1、高考调研高考调研 第第1页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 高考调研高考调研 第第2页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第第9课时课时 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差 高考调研高考调研 第第3页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意 义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期
2、望、方差 2离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要 意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向 请注意 期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表 示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一高考的 主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用 题 高考调研高考调研 第第4页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和
3、概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1期望与方差 若离散型随机变量的概率分布为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 E()x1p1x2p2xnpn为 的数学期望 称 D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn 为 的方差， D叫做随机变量 的 ，记作_ 标准差 () 高考调研高考调研 第第7页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2离散型随机变量的期望与方
4、差具有下列性质 (1)离散型随机变量的期望E()与方差D()是一个 _，它们是随机变量本身所固有的一个数字特征，它们 不具有随机性 (2)若离散型随机变量的一切值位于区间a，b内，E()的 取值范围是 . (3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的 _，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程 度 数值 aE()b 平均水平 高考调研高考调研 第第8页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (4)若ab，其中是离散型随机变量，a，b为常数， 则E() ，D() (5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望 E(
5、)的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值 (6)D()E( 2)(E()2 aE()b a2D() 高考调研高考调研 第第9页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3常见离散型随机变量的期望与方差 (1)两点分布：若随机变量满足P(1)p，P(0)1 p，则E() ，D() (2)二项分布：若随机变量B(n，p)，则E() ，D() p p(1p) np np(1p) 高考调研高考调研 第第10页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1判断下面
6、结论是否正确(打“”或“”) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关 (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程 度越小 高考调研高考调研 第第11页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果 某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均 值是0.7. 答案 (1) (2) (3) (4) 高考调研高考调研 第第12页页 新课标版新课标版
7、数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2设随机变量B(n，p)，且E()1,6，D()1.28，则 ( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案 A 解析 由E()np1.6，D()np(1p)1.28，检验可 知n8，p0.2符合 高考调研高考调研 第第13页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3(2014陕西理)设样本数据x1，x2，x10的均值和方 差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)， 则y1，y
8、2，y10的均值和方差分别为( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A 解析 利用样本的均值、方差公式求解 x1x2x10 10 1，yixia，所以 y1，y2，y10的 均值为 1a，方差不变仍为 4.故选 A. 高考调研高考调研 第第14页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4(2014上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色 外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是 黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后 不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量表示小
9、 李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数 学期望值E()_. 答案 3 2 高考调研高考调研 第第15页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 的分布列为 1 2 3 4 P 5 8 15 56 5 56 1 56 E()15 82 15 563 5 564 1 56 3 2. 高考调研高考调研 第第16页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 5随机变量的分布列如下： 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(
10、)1 3，则 D()的值是 _ 答案 5 9 高考调研高考调研 第第17页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 a，b，c 成等差数列，2bac. 又abc1， E()1a1cca1 3. a1 6，b 1 3，c 1 2. D()(11 3) 21 6(0 1 3) 21 3(1 1 3) 21 2 5 9. 高考调研高考调研 第第18页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 授人以渔授人以渔 高考调研高考调研 第第19页页 新课标版新课标版 数
11、学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题型一题型一 期望、方差的性质期望、方差的性质 例 1 设随机变量 具有分布 P(k)1 5，k1,2,3,4,5， 求 E(32)，D(21)，(1) 【思路】 利用性质 E(ab)aE()b， D(ab)a2D() 高考调研高考调研 第第20页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 E()11 52 1 53 1 54 1 55 1 5 15 5 3，E(32)3E()211. D()(13)21 5(23) 21 5(33)
12、 21 5(43) 21 5 (53)21 5 1 5(41014)2. D(21)4D()8， (1) D1 D 2. 【答案】 11,8， 2 高考调研高考调研 第第21页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究1 若是随机变量，则f()一般仍是随机变量， 在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避 免再求的分布列带来的繁琐运算 高考调研高考调研 第第22页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)设非零常数d是等差数列x1，x2，
13、x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3， x19，则方差D()_. 思考题思考题1 【解析】 E()x10， D() d2 199 28212021292 30|d|. 【答案】 30|d| 高考调研高考调研 第第23页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个球，表示所取 球的标号 求的分布列、期望和方差； 若ab，E()1，D()11，试求a，b的值 高考调研高考调研 第第24页页 新课标版新课标
14、版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E()01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D()(01.5)21 2(11.5) 2 1 20(21.5) 2 1 10(3 1.5)2 3 20(41.5) 21 52.75. 高考调研高考调研 第第25页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【答案】 E()1.5，D()2.75 a2，b2或 a2，b4 由
15、D()a2D()，得 a22.7511，即 a 2. 又 E()aE()b，所以 当 a2 时，由 121.5b，得 b2. 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. a2， b2 或 a2， b4 即为所求 高考调研高考调研 第第26页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例2 一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次 从袋中任意摸出一个球 (1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好 颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球 的个数的均值和方差 题型二题型二 期望与方差的计
16、算期望与方差的计算 高考调研高考调研 第第27页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 (1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每 次摸出一球是白球的概率为 P2 6 1 3. 记“有放回摸两次， 颜色不同”为事件 A， 其概率为 P(A) 4 9. 高考调研高考调研 第第28页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)设摸得白球的个数为 X，则 X 的取值为 0,1,2， P(X0)4 6 3 5 2 5， P(X1)4 6 2 5 2 6
17、 4 5 8 15， P(X2)2 6 1 5 1 15. 高考调研高考调研 第第29页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 X的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 E(X)02 51 8 152 1 15 2 3， D(X)(02 3) 22 5(1 2 3) 2 8 15(2 2 3) 2 1 15 16 45. 【答案】 (1)4 9 (2) 2 3， 16 45 高考调研高考调研 第第30页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和
18、概率 探究2 求离散型随机变量X的均值与方差的方法： (1)写出X的分布列； (2)由均值的定义求E(X)； (3)由方差的定义求D(X) 高考调研高考调研 第第31页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2014天津理)某大学志愿者协会有6名 男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学 院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学 院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支 教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学
19、中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望 思考题思考题2 高考调研高考调研 第第32页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解； (2)先确定随机变量X的所有取值，求出对应的概率，列 出分布列，再代入随机变量的期望公式求解 【解析】 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学 院”为事件 A，则 P(A)C 1 3 C 2 7C 0 3 C 3 7 C3 10 49 60. 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60. 高考调研高考调研 第第33页页 新课
20、标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(Xk)C k 4 C 3k 6 C3 10 (k0,1,2,3) 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 所以数学期望 E(X)01 61 1 22 3 103 1 30 6 5. 【答案】 (1)49 60 (2) 6 5 高考调研高考调研 第第34页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题型三题型三 二项分布的
21、均值与方差二项分布的均值与方差 例 3 (2015 山西四校联考)在一次数学考试中，第 22,23,24 题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做 一题，设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为1 3，每 位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间 没有影响 (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率； (2)设选做第 23 题的人数为 ， 求 的分布列及数学期望 高考调研高考调研 第第35页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 (1)设事件 A1表示甲选第 22 题，A2表示甲选 第 23 题，
22、A3表示甲选第 24 题， B1表示乙选第 22 题，B2表示乙选第 23 题，B3表示乙选 第 24 题， 则甲、乙两人选做同一题的事件为 A1B1A2B2A3B3， 且 A1与 B1，A2与 B2，A3与 B3相互独立， 所以 P(A1B1A2B2A3B3)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) P(A3)P(B3)31 9 1 3. 高考调研高考调研 第第36页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)设 可能的取值为 0,1,2,3,4,5.B(5，1 3)， P(k)Ck 5(1 3) k(2 3) 5kCk
23、 52 5k 35 ，k0,1,2,3,4,5. 的分布列为 E()np51 3 5 3. 【答案】 (1)1 3 (2) 5 3 高考调研高考调研 第第37页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究3 求随机变量的期望时，可首先分析是否服从二 项分布，若B(n，p)，则用公式E()np求解，可大大减少 计算量 高考调研高考调研 第第38页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 思考题思考题3 某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选 题中
24、一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验 操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过已知 6 道 备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙 每题正确完成的概率都为2 3，且每题正确完成与否互不影响 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计 算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 高考调研高考调研 第第39页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个 数分别为 ，则 的可能取值为 1,2,3， P(1)C 1
25、4C 2 2 C3 6 1 5， P(2)C 2 4C 1 2 C3 6 3 5， P(3)C 3 4C 0 2 C3 6 1 5， 高考调研高考调研 第第40页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 考生甲正确完成题数的分布列为 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 E()11 52 3 53 1 52. 又 B 3，2 3 ，其分布列为 P(k)Ck 3 2 3 k 1 3 3k，k0,1,2,3. E()np32 32. 高考调研高考调研 第第41页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第
26、十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)D()(12)21 5(22) 23 5(32) 21 5 2 5， D() npq32 3 1 3 2 3， D()P(2) 高考调研高考调研 第第42页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题 数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获 得通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强 【答案】 (1)E()甲2，E()乙2 (2)甲的实验操作能 力较强 高考调研高考调研 第第43页页 新课标版新课标版 数学（理）
27、数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简 明的描写期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值； 方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散 程度，即取值的稳定性把握离散型随机变量的数学期望与 方差的含义，是处理有关应用题的重要环节 高考调研高考调研 第第44页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2期望与方差的常用性质，掌握下述有关性质，会给解 题带来方便： (1)E(ab)aE()b； E()E()E()； D(ab)a2D()
28、； (2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p) 高考调研高考调研 第第45页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第46页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表 示取到次品的个数，则E(X)等于_ 答案 3 5 解析 离散型随机变量 X 服从 N10，M3，n2 的超 几何分布，E(X)nM N 23 10 3 5. 高考调研高考调研 第第47页页 新课标
29、版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2(2015 河南豫北六校联考)设 是服从二项分布 B(n， p)的随机变量，又 E()15，D()45 4 ，则 n 与 p 的值分别为 ( ) A60，3 4 B60， 1 4 C50，3 4 D50，1 4 高考调研高考调研 第第48页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 答案 B 解析 由已知得 np15， npq45 4 ， 解得 q3 4， p1 4. n60，故选 B. 高考调研高考调研 第第49页页 新课标版
30、新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3(2015衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号 五辆消防车，分配到附近的A，B，C，D四个村子进行送水抗 旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车 中去A村的辆数为随机变量，则E()的值为( ) A.1 4 B.3 4 C1 D.5 4 答案 D 高考调研高考调研 第第50页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 由题意知，随机变量 的取值是 1,2， “2”是指“有两辆消防车同时去 A 村”，
31、 则 P(2)C 2 5A 3 3 C2 5A 4 4 1 4. 所以 P(1)3 4. 所以 E()13 42 1 4 5 4. 高考调研高考调研 第第51页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4马老师从课本上抄录的一个随机变量的概率分布列 如下表： 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看 清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的 数值相同，据此，小牛给出了正确答案E()_. x 1 2 3 P(x) ？ ！ ？ 高考调研高考调研 第第52页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高
32、三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 答案 2 解析 令“？”为a，“！”为b，则2ab1. 又E()a2b3a2(2ab)2. 高考调研高考调研 第第53页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 5(2015 山东日照质检)甲袋和乙袋中都装有大小相同的 红球和白球，已知甲袋中共有 m 个球，乙袋中共有 2m 个球， 从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为2 5， 从乙袋中摸出 1 个球 为红球的概率为 P2. (1)若 m10，求甲袋中红球的个数； (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红 球
33、的概率是1 3，求 P2 的值； 高考调研高考调研 第第54页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (3)设 P21 5，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每 次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 1 次，从乙袋中摸 2 次设 表示摸出红球的总数，求 的分布列和均值 答案 (1)4 (2) 3 10 (3) 4 5 高考调研高考调研 第第55页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 (1)设甲袋中红球的个数为 x， 依题意，得 x102 54. (2)
34、由已知，得 2 5m2mP2 3m 1 3，解得 P2 3 10. 高考调研高考调研 第第56页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 P(0)3 5 4 5 4 5 48 125， P(1)2 5 4 5 4 5 3 5C 1 21 5 4 5 56 125， P(2)2 5C 1 21 5 4 5 3 5( 1 5) 2 19 125， P(3)2 5( 1 5) 2 2 125. 高考调研高考调研 第第57页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 所以的分布列为 所以 E()0 48 1251 56 1252 19 1253 2 125 4 5. 高考调研高考调研 第第58页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题组层级快练题组层级快练 (第一次作业第一次作业) 高考调研高考调研 第第59页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题组层级快练题组层级快练 (第二次作业第二次作业)
