1、高考调研高考调研 第第1页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 高考调研高考调研 第第2页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 第第6课时课时 几几 何何 概概 型型 高考调研高考调研 第第3页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1了解几何概型的意义 2了解日常生活中的几何概型 请注意 纵观近几年高考所涉及几何概型的考查内容特点是与实
2、际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不 同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷 高考调研高考调研 第第4页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率
3、 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _( 或 )成比例，那么称这样的概率模型为几何 概率模型，简称为 长度 面积 体积 几何概型 2几何概型中 事件 A 的概率计算公式 P(A)_. 高考调研高考调研 第第7页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点 (1) 无 限 性 ： 在 一 次 试 验 中 ， 可 能 出 现 的 结 果 有 _； (2)等可能性：每个结果的发生具有 无限多个 等可能性 高考调研高考调研 第第8页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）
4、 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4几何概型的试验中 事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积和 体积)成正比，而与A的位置和形状无关 5求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后 代入公式即可求解 高考调研高考调研 第第9页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1(2014湖南文)若在区间2,3上随机选取一个数X， 则X1的概率为( ) A.4 5 B. 3 5 C.2 5 D.1 5 高考调研高考调研 第第10页页 新课标版新课标版 数学（理
5、）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 答案 B 解析 区间2,3的长度为 3(2)5，2,1的长度 为 1(2)3，故满足条件的概率 P3 5. 高考调研高考调研 第第11页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 2在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点 的距离都大于2 m的概率是( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案 B 解析 将木棒三等分，当 P 位于中间一段时，到两端 A， B 的距离都大于 2 m，P2 6 1 3. 高考调研高考调研 第第1
6、2页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 3有一杯2升的水，其中含一个细菌，若用一个小杯从 水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( ) A0.01 B0.02 C0.05 D0.04 答案 C 解析 试验的全部结果构成的区域体积为 2 升，所求事 件的区域体积为 0.1 升，故所求概率为 P0.1 2 1 200.05. 高考调研高考调研 第第13页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 4(2015衡水调研卷)已知正方体ABCDA1B1C1
7、D1内有 一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点 M在球O内的概率是( ) A. 4 B. 8 C. 6 D. 12 答案 C 解析 设正方体棱长为 a，则正方体的体积为 a3，内切 球的体积为4 3 (a 2) 31 6a 3， 故 M 在球 O 内的概率为 1 6a 3 a3 6. 高考调研高考调研 第第14页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 5(2015 人大附中期末)若在区间(0,2)内任取两数 m， n(mn)，则椭圆 x2 m2 y2 n2 1 的离心率大于 3 2 的概率为 _ 答
8、案 1 2 高考调研高考调研 第第15页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 如图，m，n的取值在边长为2的正方形中 高考调研高考调研 第第16页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 当 mn 时，椭圆离心率 e m2n2 m 1 n m 2， 由 e 3 2 ，得 m2n. 同理，当 m2m. 故满足条件的 m，n 为图中阴影部分 所求概率 P 21 221 22 1 2. 高考调研高考调研 第第17页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）
9、 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 授人以渔授人以渔 高考调研高考调研 第第18页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例1 (1)在区间0,3上任取一个数x，使得不等式x23x 20成立的概率为_ 题型一题型一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型 【解析】 x23x20 x2 或 x0”发生的概率为 _ 思考题思考题1 探究1 一维变量的几何概率可转化为长度概型 【解析】 事件“3a10”，即“a1 3”，故概率 P 2 3. 【答案】 2 3 高考调研高考调研 第第21页页 新课标
10、版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)(2013 湖北文)在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，则 m_. 【解析】 由几何概型，得5 6 m2 6 m3. 【答案】 3 高考调研高考调研 第第22页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例2 (1)(2014福建理)如图所示，若在边长为e(e为自然 对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分 的概率为_ 题型二题型二 与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型
11、高考调研高考调研 第第23页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 因为函数 yex与函数 ylnx 互为反函数， 其图像关于直线 yx 对称，又因为函数 yex与直线 ye 的 交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为 2(e1 10exdx) 2e2ex|1 02e(2e2)2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率 P S阴影 S正方形 2 e2. 【答案】 2 e2 高考调研高考调研 第第24页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率
12、(2)两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必 须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的， 在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在 约定时间内相见的概率 【思路】 两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟， 即2 3小 时设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人在约 定的时间范围内相见，当且仅当2 3xy 2 3，因此转化成 面积问题，利用几何概型求解 高考调研高考调研 第第25页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见
13、地点，要 使两人能在约定时间范围内相见， 当且仅当2 3xy 2 3. 高考调研高考调研 第第26页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图 中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时 间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴 影部分(包括边界)来表示 高考调研高考调研 第第27页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约 定
14、时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为 P S阴影 S单位正方形 11 3 2 12 8 9. 【答案】 8 9 高考调研高考调研 第第28页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究2 (1)“面积比”是几何概率的一种重要概型，既有 实际面积比也有可转化为面积比的问题 (2)会面的问题是利用数形结合转化成面积问题的几何概 型，难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内的点(x， y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问 题，转化成几何概型的面积问题 (3)对二元变量问题，一般都可转化为面积的问
15、题 高考调研高考调研 第第29页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)(2015湖北八校联考)正方形的四个顶 点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线y x2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形 ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_ 思考题思考题2 高考调研高考调研 第第30页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 利用定积分直接求面积，再利用几何概型的 概率公式求解 正方形内空白部分面积为
16、11x2(x2)dx 112x2dx2 3 x 3|1 12 3 2 3 4 3， 阴影部分面积为 224 3 8 3， 所以所求概率为 8 3 4 2 3. 【答案】 2 3 高考调研高考调研 第第31页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)设不等式组 0 x2， 0y2 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 是( ) A. 4 B. 2 2 C. 6 D.4 4 高考调研高考调研 第第32页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章
17、第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 画草图易知区域 D 是边长为 2 的正方形，到 原点的距离大于 2 的点在以原点为圆心，以 2 为半径的圆的 外部，所以所求事件的概率为 P 221 42 2 22 4 4 .选 D. 【答案】 D 高考调研高考调研 第第33页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题型三题型三 与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型 例 3 已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3， 在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC1 2VSABC 的概率是 _ 高考调研高考调研 第第
18、34页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 当 P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三 棱台内时符合要求，由几何概型知，P11 8 7 8. 【答案】 7 8 高考调研高考调研 第第35页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究3 几何概型的概率公式中的“几何度量”，除了前 面的长度、面积，也可以是体积，而且只与体积大小有关 高考调研高考调研 第第36页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理
19、和概率计数原理和概率 (1) 若 在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于a的概率为 _ 思考题思考题3 【解析】 满足条件的点在以 A 为球心，半径为 a 的1 8球 内，所以所求概率为 P 1 8 4 3a 3 a3 6. 【答案】 6 高考调研高考调研 第第37页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱 底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O 的距离大于1的概率为_ 【解析】 圆柱的体积 V
20、柱R2h2， 半球的体积 V半球1 2 4 3R 32 3. 圆柱内一点 P 到点 O 的距离小于等于 1 的概率为1 3. 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 11 3 2 3. 【答案】 2 3 高考调研高考调研 第第38页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 例4 过等腰RtABC的直角顶点C在ACB内部随机作 一条射线，设射线与AB相交于点D，求ADAC的概率 题型四题型四 与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型 高考调研高考调研 第第39页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习
21、 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 【解析】 在 AB 上取一点 E，使 AEAC，连接 CE(如 图)，则当射线 CD 落在ACE 内部时，ADAC.易知ACE 67.5 ，ADAC 的概率 P67.5 900.75. 【答案】 0.75 高考调研高考调研 第第40页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 探究4 (1)解决概率问题先判断概型，本题属于几何概 型，满足两个条件：每次试验的结果有无限多个，且全体 结果可用一个有度量的几何区域表示；每次试验的各种结 果是等可能的 (2)对于两个区域A、B，且AB，当区
22、域B为平面图形 时，如果点P在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能 的，注意观察角度是否等可能，若与角度有关，则可以选择 角度作为区域的测度当考查对象为线时，一般用角度比计 算 高考调研高考调研 第第41页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (1)如图所示，M 是半径为 R 的圆周上的一个定点，在 圆周上等可能地任取一点 N， 连接 MN， 则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是_ 思考题思考题4 高考调研高考调研 第第42页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概
23、率计数原理和概率 【解析】 当弦 MN 的长度恰为 2R 时，MON 2， 如图当点 N 落在半圆弧 NMN上时，弦 MN 的长度不超过 2R，故所求概率为 P1 2. 【答案】 1 2 高考调研高考调研 第第43页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 (2)在直角坐标系内，射线OT落在60的终边上，任作一 条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率 【解析】 以 O 为起点作射线 OA 是随机的，因而射线 OA 落在任何位置都是等可能的射线 OA 是否落在xOT 内 只与xOT 的大小有关，符合几何概型的条件 于是，记 B
24、射线 OA 落在xOT 内， xOT60 ，P(B) 60 360 1 6. 【答案】 1 6 高考调研高考调研 第第44页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是 试验的可能结果不是有限个它的特点是试验结果在一个区 域内的分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域 的形状位置无关，只与该区域的大小有关 2几何概型的“约会问题”已经是程序化的方式与技 巧，必须熟练掌握 高考调研高考调研 第第45页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章
25、 计数原理和概率计数原理和概率 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第46页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 1(2015 衡水调研卷)设 x0，则 sinx1 2的概率为 ( ) A.1 6 B. 1 4 C.1 3 D.1 2 答案 C 高考调研高考调研 第第47页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 由 sinx1 6的概率为_ 答案 1 2 高考调研高考调研 第第53页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第
26、十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 VPABCD1 6 1 3SABCD h 1 6(h 为 P 到平面 ABCD 的 高)SABCD1，h1 2.故满足条件的点构成的几何体为如图 中截面下方部分故所求概率为1 2. 高考调研高考调研 第第54页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 5(2015重庆一模)某校早上8：00开始上课，假设该校 学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该 时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分 钟到校的概率为_(用数字作答) 答案 9 32 高考调研高考
27、调研 第第55页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校 的时间对应的点(x，y)所构成的平面区域，再画出小张比小王 至少早到5分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域，计算出两 区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可，设小王到 校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟 时满足xy5. 高考调研高考调研 第第56页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 如图，原点 O 表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小 王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)， 该正 方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5 分钟对应的 图形(图中阴影部分)的面积为1 21515 225 2 ， 故所求概率 P 225 2 400 9 32. 高考调研高考调研 第第57页页 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第十章第十章 计数原理和概率计数原理和概率 题组层级快练题组层级快练
