2021年高考数学大二轮专题复习专题六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

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资源描述

1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情研析 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质,特别是椭圆、双曲线的离心率 和双曲线的渐近线 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 核心知识回顾 1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|PF1|PF2|2a(2a0,b0)的渐近线方程为 03y b ax;焦点坐标 F1 04(c,0),F205(c, 0); 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0, b0)的渐近线方程为 06y a bx, 焦点坐标 F1 07(0, c), F208(0, c) (3)抛物线的焦点坐标与准

2、线方程 抛物线 y2 2px(p0)的焦点坐标为 09 p 2,0 , 准线方程为 10 xp 2; 抛物线 x2 2py(p0)的焦点坐标为 11 0,p 2 ,准线方程为 12yp 2 3弦长问题 (1)弦长公式 设直线的斜率为 k,直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,则|AB|1k2|x1x2| 1k2 (x1x2)24x1x2或 |AB| 1 1 k 2 |y1y2| 1 1 k 2 (y1y2)24y1y2. (2)过抛物线焦点的弦长 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2

3、p2,弦长|AB| 01x1x2p 热点考向探究 考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程 例 1 (1)(2020 河南一模)已知 P 为圆 C:(x5)2y236 上任意一点,A(5,0),若线 段 PA 的垂直平分线交直线 PC 于点 Q,则 Q 点的轨迹方程为( ) Ax 2 9 y2 161 Bx 2 9 y2 161 Cx 2 9 y2 161(x0) 答案 B 解析 点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点,|AQ|PQ|,又|QA|QC|PC|60)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A, B, C, 若|BC| 2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为( ) Ay23 2x

4、By23x Cy29 2x Dy29x 答案 B 解析 如图,分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,设准线与 x 轴的交 点为 G,|BF|a,则由已知得|BC|2a,由定义得|BD|a,故BCD30.在 RtACE 中, |AE|AF|3,|AC|33a,2|AE|AC|,33a6,从而得 a1.BDFG,1 p 2 3, 解得 p3 2,抛物线的方程为 y 23x. (3)(2020 山东省青岛市高三三模)若方程x 2 m y2 1m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则实数 m 的取值范围为_ 答案 0,1 2 解析 由题可知, 方程x 2 m y2 1m1表示焦点在y轴

5、上的椭圆, 可得1mm0, 解得0m 1 2, 所以实数 m 的取值范围为 0,1 2 . 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时, 椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定 (3)焦点三角形的作用:借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建 方程组,便于解决问题. (4)圆锥曲线基本问题考查的另一个重点是定义的应用,根据圆锥曲线的定义分析判断一 些问题,在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线,则要把另一个焦点也考虑 进去 1(202

6、0 山东省淄博市二模)当 3, 5 6 时,方程 x2cos y2sin 1 表示的轨迹不可 能是( ) A两条直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 B 解析 当 3, 2 时,0cos sin 1,方程 x2cos y2sin 1 表示的曲线为椭圆;当 2时,方程为 y 21,即 y 1,方程 x2cos y2sin 1 表示两条直线;当 2, 5 6 时, cos 0b0)的左、右焦点,点 P 是椭圆上位于第二象限 内的点,延长 PF1交椭圆于点 Q,若 PF2PQ,且|PF2|PQ|,则椭圆的离心率为( ) A 6 3 B 21 C 3 2 D2 2 答案 A 解析 由 PF2PQ 且|P

7、F2|PQ|,可得PQF2为等腰直角三角形,设|PF2|t,则|QF2| 2t,由椭圆的定义可得|PF1|2at,2t 2t4a,则 t2()2 2 a,在直角三角形 PF1F2 中,可得 t2(2at)24c2,4(64 2)a2(128 2)a24c2,化为 c2(96 2)a2,可得 ec a 6 3.故选 A. 3P 是双曲线 C:x 2 2y 21 右支上一点,直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线,P 在 l 上的 射影为 Q,F1是双曲线 C 的左焦点,则|PF1|PQ|的最小值为( ) A1 B2 15 5 C4 15 5 D2 21 答案 D 解析 如图所示,设双曲线的右焦点为

8、 F2,则|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|,即当|PQ| |PF2|最小时,|PF1|PQ|取最小值,由图知当 F2,P,Q 三点共线时|PQ|PF2|取得最小值, 即 F2到直线 l 的距离 d1,故所求最小值为 2a12 21.故选 D. 考向 2 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)(2020 山东省潍坊市二模)以抛物线 E:x24y 的焦点为圆心,且与 E 的准线相切 的圆的方程为( ) A(x1)2y24 Bx2(y1)24 C(x1)2y24 Dx2(y1)24 答案 D 解析 抛物线 E:x24y 的焦点为(0,1),准线方程为 y1,圆与 E 的准线相切,则圆 的半径 r2,

9、故圆的方程为 x2(y1)24.故选 D. (2)已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点,P 是 双曲线在第一象限上的点, 直线PO交双曲线C左支于点M, 直线PF2交双曲线C右支于点N, 若|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) Ay 2x By 2 2 x Cy 2x Dy 2 2x 答案 A 解析 由题意得,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a,|PF1|4a,|PF2|2a,由于 P,M 关于原点对称,F1,F2关于原点对称,线段 PM,F1F2互相平分,四边形 PF1MF2为

10、平行四 边形,PF1MF2, MF2N60, F1PF260, 由余弦定理可得 4c216a24a22 4a 2a cos 60, c 3a,bc2a2 2a.b a 2,双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A. (3)(多选)(2020 山东省潍坊市三模)已知椭圆 C: x2 a y2 b1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1, F2,且|F1F2|2,点 P(1,1)在椭圆内部,点 Q 在椭圆上,则以下说法正确的是( ) A|QF1|QP|的最小值为 2 a1 B椭圆 C 的短轴长可能为 2 C椭圆 C 的离心率的取值范围为 0, 51 2 D若PF1 F1Q ,则椭圆 C 的长轴

11、长为 5 17 答案 ACD 解析 因为|F1F2|2,所以 F2(1,0),|PF2|1,所以|QF1|QP|2 a|QF2|QP|2 a |PF2|2 a1,当 Q,F2,P 三点共线时,取等号,故 A 正确;若椭圆 C 的短轴长为 2,则 b1,a2,所以椭圆方程为x 2 2 y2 11, 1 2 1 11,则点 P 在椭圆外,故 B 错误;因为点 P(1, 1)在椭圆内部,所以1 a 1 b1,又 ab1,所以 ba1,所以 1 a 1 a10, 解得 a3 5 2 62 5 4 (1 5) 2 4 ,所以 a1 5 2 ,所以 e 1 a0,b0)渐近线的斜率 k 与离心率 e 之间

12、满足关系式 e21k2. 1设 F1,F2分别是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, l 在 y 轴上的截距为 1, 若|AF1|2|F1B|, 且 AF2x 轴, 则此椭圆的短轴的长为( ) A5 B2 5 C10 D 5 答案 B 解析 AF2x 轴,直线 l 在 y 轴上的截距为 1,A(c,2),又|AF1|2|F1B|,B(2c, 1),则 c 2 a2 4 b21, 4c2 a2 1 b21, 16 b2 1 b23,即 b 25,b 5,故选 B. 2已知 F 是双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(

13、a0,b0)的左焦点,过点 F 作垂直于 x 轴的直线交该 双曲线的一条渐近线于点 M,若|FM|2a,记该双曲线的离心率为 e,则 e2( ) A1 17 2 B1 17 4 C2 5 2 D2 5 4 答案 A 解析 由题意,得 F(c,0),该双曲线的一条渐近线为 yb ax,将 xc 代入 y b a x 得 ybc a , bc a 2a, 即 bc2a2, 4a4b2c2c2(c2a2), e4e240, 解得 e21 17 2 , 故选 A. 考向 3 直线与圆锥曲线 角度 1 弦中点、弦分点问题 例 3 (1)已知椭圆 E: x2 9 y2 41, 直线 l 交椭圆于 A, B

14、 两点, 若 AB 的中点坐标为 1 2,1 , 则 l 的方程为( ) A2x9y100 B2x9y100 C2x9y100 D2x9y100 答案 D 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x 2 1 9 y2 1 4 1,x 2 2 9 y2 2 41,两式作差并化简整理得 y2y1 x2x1 4 9 x1x2 y1y2,而 x1x21,y1y22,所以 y2y1 x2x1 4 9 x1x2 y1y2 2 9,所以直线 l 的方程为 y 12 9 x1 2 ,即 2x9y100.经验证可知符合题意故选 D. (2)(2020 河北省保定市一模)抛物线 y22px(p0)焦点为

15、F,点 P 满足OP OF (O 为坐标 原点),若过点 O 作互相垂直的两弦 OA,OB,则当弦 AB 过点 P 时, 的所有可能取值的集合 为( ) A4 B3 C 1 4,4,3 D 1 3,3,4 答案 A 解析 由已知得 F p 2,0 ,因为OP OF ,所以OP p 2,0 p 2 ,0 ,所以 P p 2 ,0 , 由题意知,弦 AB 所在直线的斜率不为 0,可设直线 AB 的方程为 xmyp 2 ,A(x1,y1),B(x2, y2), 由 xmyp 2 , y22px, 得 y22pmyp20, 所以 y1y22pm, y1y2p2, 所以 x1x2 my1p 2 my2p

16、 2 m2y1y2pm 2 (y1y2) 2p2 4 m2(p2)pm 2 2pm 2p2 4 2p2 4 .因为 OAOB,所以 OA OB 0,又OA (x1,y1),OB (x2,y2),所以 x1x2y1y20,即 2p2 4 p20,又 p0,所 以 2 40,解得 4 或 0(不符合题意,舍去),当 4 时,满足 4p 2m24p20,所 以 的所有可能取值的集合为4故选 A. (1)弦中点问题:在涉及圆锥曲线弦中点的问题中,基本的处理方法有两个:一是设出弦 的端点坐标,使用“点差法”;二是设出弦所在的直线方程,利用直线方程与圆锥曲线方程联 立消元后的一元二次方程, 根据根与系数的

17、关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决 问题. (2)弦分点问题:解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其 转化为弦端点及弦分点的坐标关系, 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的关系, 构建 方程(组)求解 1(2020 汉中市重点中学高三联考)已知抛物线 C:y26x,直线 l 过点 P(2,2),且与抛 物线 C 交于 M,N 两点,若线段 MN 的中点恰好为点 P,则直线 l 的斜率为( ) A1 3 B5 4 C3 2 D1 4 答案 C 解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),代入抛物线 C:y26x,得 y 2 16x1, y2 26x2, 得

18、(y1y2)(y1y2)6(x1x2).因为线段 MN 的中点恰好为点 P, 所以 x 1x24, y1y24,从 而 4(y1y2)6(x1x2),即直线 l 的斜率为y 1y2 x1x2 3 2.故选 C. 2(2020 湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分 别为 F1,F2,以 F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点 P(P 在第一象限),PF1交双曲线的左支 于点 Q,若PQ 2QF1 ,则双曲线的离心率为( ) A1 10 2 B 101 2 C 10 2 D 10 2 1 答案 A 解析 以 F1F2为直径的圆 x2y2c2

19、与渐近线 yb ax 联立得 P(a, b).设 Q(x0, y0), 由PQ 2QF1 得 x0a2c 3 ,y0b 3,代入 x2 a2 y2 b21 整理,得 4e 24e90,解得 e1 10 2 .故选 A. 角度 2 弦长问题 例 4 (2020 广东省汕头市三模)已知抛物线 E:y22px 上一点(m,2)到其准线的距离为 2. (1)求抛物线 E 的方程; (2)如图,A,B,C 为抛物线 E 上三个点,D(8,0),若四边形 ABCD 为菱形,求四边形 ABCD 的面积 解 (1)由已知可得 42mp, mp 22, 消去 m 得 p24p40,解得 p2, 抛物线 E 的方

20、程为 y24x. (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2),菱形 ABCD 的中心 M(x0,y0). 当 ACx 轴,则 B 在原点,M(4,0),|AC|8,|BD|8,菱形 ABCD 的面积 S1 2|AC| |BD| 32. 解法一:当 AC 与 x 轴不垂直时, 设直线 AC 的方程为 xtym(t0),则直线 BD 的斜率为t. 联立 y 24x, xtym消去 x,得 y 24ty4m0, y 1y24t, y1y24m, x1x2y 2 1y 2 2 4 (y 1y2)22y1y2 4 4t22m, x02t2m,y02t,M 为 BD 的中点, B(4t22m8,4t),

21、又点 B 在抛物线上, 且直线 BD 的斜率为t, 16t 24(4t22m8), 2t 2t2m8t (t0), 解得 m4,t 1,满足 16t216m0, B(4,4),|BD|4 2, |AC|1t2|y1y2|1t216t216m 216644 10. 菱形 ABCD 的面积 S1 2|AC| |BD|16 5. 综上,菱形 ABCD 的面积 S32 或 16 5. 解法二:设 B(a2,2a),直线 BD 的斜率为 k(k0), 则 k 2a a28,M a28 2 ,a ,直线 AC 的斜率为1 k, 直线 AC 的方程为 xa 28 2 k(ya), xa 28 2 k(ya)

22、, y24x, 消去 x, 得 y24ky4ka2a2160, y1y22y02a,4k2a,ka 2. 解方程a 2 2a a28(a0), 得 a 2, k 1, 满足16k 241(4ka2a216)16k2 16ka8a2640,接下去同解法一 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及过焦点的 弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式:直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB| 1k2(x1x2)24x1x2,其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率. 已知点 M 到定

23、点 F(4,0)的距离和它到直线 l:x25 4 的距离的比是常数4 5. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l: ykxm 与圆 x2y29 相切, 切点 N 在第四象限, 直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求证:FAB 的周长为定值 解 (1)设 M(x,y),由题意得 (x4)2y2 x25 4 4 5, x2 25 y2 91 为点 M 的轨迹 C 的方程 (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题知 k0,m0,x1x2 50km 25k29,x1x2 25m2225 25k29 , |AB| k21|x1x2| k21 50km 25k29

24、 2 425m 2225 25k29 120k k21 25k29 , |FA|FB|54 5x15 4 5x210 4 5(x1x2) 10 40km 25k2910 120kk21 25k29 , |FA|FB|AB|10, FAB 的周长为定值 10. 真题押题 真题检验 1(2020 全国卷)已知 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距离为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p( ) A2 B3 C6 D9 答案 C 解析 设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|xAp 212,即 9 p 212,解得 p 6.故选 C. 2(2020 全国卷)设

25、双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心 率为 5.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a( ) A1 B2 C4 D8 答案 A 解析 c a 5,c 5a,根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a,SPF1F2 1 2 |F1P|F2P|4,|F1P| |F2P|8.F1PF2P,|F1P|2|F2P|2(2c)2,(|F1P|F2P|)2 2|F1P|F2P|4c2,即(2a)2284( 5a)2,解得 a1,故选 A. 3(多选)(2020 新高考卷)已知曲线 C:mx2ny21,( ) A若 mn0,则

26、 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B若 mn0,则 C 是圆,其半径为 n C若 mn0,则 C 是两条直线 答案 ACD 解析 对于 A,若 mn0,则 mx2ny21 可化为x 2 1 m y 2 1 n 1,因为 mn0,所以 0 1 m0,则 mx2ny21 可化为 x2y21 n,此时曲线 C 表示圆心在原点,半径为 n n 的圆,故 B 不正确;对于 C,若 mn0,则 mx2ny21 可化为 y21 n,y n n ,此时曲线 C 表示 平行于 x 轴的两条直线,故 D 正确故选 ACD. 4(2020 全国卷)设双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线为

27、 y 2x,则 C 的离 心率为_ 答案 3 解析 由双曲线方程x 2 a2 y2 b21 可得其焦点在 x 轴上,因为双曲线的一条渐近线方程为 y 2x,所以b a 2,所以 e c a 1b 2 a2 3. 5(2020 新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C:y24x 的焦点,且与 C 交于 A,B 两 点,则|AB|_ 答案 16 3 解析 抛物线的方程为 y24x,抛物线的焦点为 F(1,0),又直线 AB 过焦点 F 且斜 率为 3, 直线 AB 的方程为 y 3(x1), 代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x210 x30, 解法一:解得 x11 3,x23,|AB| 1k2|

28、x1x2|13 1 33 16 3 . 解法二:10036640, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x210 3 ,过 A,B 分别作准线 x1 的垂线,设垂足分别 为 C,D,如图所示,则|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x2216 3 . 6(2020 全国卷)已知椭圆 C1:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合, C1的中心与 C2的顶点重合 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A, B 两点, 交 C2于 C, D 两点, 且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率; (2)设 M 是 C1与 C2的公

29、共点,若|MF|5,求 C1与 C2的标准方程 解 (1)F(c,0),ABx 轴且与椭圆 C1相交于 A,B 两点, 则直线 AB 的方程为 xc, 联立 xc, x2 a2 y2 b21, a2b2c2, 解得 xc, y b2 a , 则|AB|2b 2 a . 抛物线 C2的方程为 y24cx,把 xc 代入 y24cx,得 y 2c,|CD|4c. |CD|4 3|AB|,即 4c 8b2 3a ,2b23ac. 又 b2a2c2,2c23ac2a20, 即 2e23e20,解得 e1 2或 e2, 0e1,e1 2,椭圆 C1 的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c,b 3c

30、,椭圆 C1的方程为 x2 4c2 y2 3c21, 联立 y 24cx, x2 4c2 y2 3c21, 消去 y 并整理得 3x216cx12c20, 解得 x2 3c 或 x6c(舍去), 由抛物线的定义可得|MF|2 3cc 5c 3 5, 解得 c3. 曲线 C1的标准方程为 x2 36 y2 271, 曲线 C2的标准方程为 y212x. 金版押题 7已知 A,B 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的直线与抛物线的交点,O 是坐标原点,且 满足AF 2FB ,SOAB 2 3 |AB|,则抛物线的标准方程为( ) Ay24x By21 4x Cy28x Dy21 8x 答案

31、A 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF 2FB ,所以 y12y2,又由抛物线焦点弦的性 质,得 y1y2p2,所以2y2 2p 2,解得|y2| 2 2 p,|y1| 2p,所以 1 |AF| 1 |BF| 3 2|BF| 2 p, 解得|BF|3 4p,|AF| 3 2p,|AB| 9 4p,SOAB 1 2 p 2 (|y1|y2|) 3 2 8 p2 2 3 9 4p,解得 p2,所以 抛物线的标准方程为 y24x,故选 A. 8已知双曲线 x2y 2 31 的左、右焦点分别为 F1,F2,圆 x 2y21 上的点到直线 x 3 y60 的距离的最小值为 m, 若双

32、曲线上一点 P, 使sin PF 2F1 sin PF1F2m, 则F2P F2F1 的值为( ) A3 B2 C3 D2 答案 B 解析 由双曲线 x2y 2 31,得 a1,b 3,c2,圆 x 2y21 的圆心(0,0)到直线 x 3y60 的距离为 d 6 133,所以圆上的点到直线 x 3y60 的距离的最小值为 m312, 设|PF1|s, |PF2|t, 且 P 在双曲线的右支上, 可得 st2at2, 又sin PF 2F1 sin PF1F2 m2,由正弦定理可得s t |PF1| |PF2| sin PF2F1 sin PF1F22,解得 s4,t2,由余弦定理可得 cos

33、 PF2F12 24242 224 1 4,则F2P F2F1 241 42.故选 B. 专题作业 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1若圆锥曲线 C:x2my21 的离心率为 2,则 m( ) A 3 3 B 3 3 C1 3 D1 3 答案 C 解析 因为圆锥曲线 C 的离心率为 2,故为双曲线,所以 m0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A,B 两点,且|AB|6,这 样的直线可以作 2 条,则 b 的取值范围是( ) A(0,2 B(0,2) C(0, 6 D(0, 6) 答案 D 解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦,且过一个焦点只能作一条

34、, 所 以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A,B 两点,|AB|6,且可作两条,则要求2b 2 a 6,又 a 2,即 b20,故 b 的取值范围为(0, 6),故选 D. 3 已知抛物线 C: y1 4x 2 的焦点为 F, 准线为 l, P 是 l 上一点, 直线 PF 与抛物线交于 A, B 两点,若PA 2AF ,则|AB|为( ) A40 9 B40 C16 D16 3 答案 D 解析 抛物线 C 的方程为 x24y,焦点 F(0,1),准线方程为 y1,设 A(x1,y1),B(x2, y2),则由抛物线的定义可知,|AB|AF|BF|y1y22.PA 2AF ,直线 AB 的斜

35、率为 3 3 ,直线 AB 的方程为 y 3 3 x1,联立方程 y 3 3 x1, x24y, 消去 x 得 3y210y30, y1y210 3 ,|AB|AF|BF|y1y2216 3 ,故选 D. 4(2020 河北省衡水中学高三一模)已知椭圆 C1: x2 m2y 21(m1)与双曲线 C2:x 2 n2y 2 1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为 C1,C2的离心率,则( ) Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e20, m1, n0,mn. e1 m21 m 1 1 m2,e2 n21 n 1 1 n2, e1e2 1 1 m2 1 1 n2

36、 1 1 n2 1 m2 1 m2n2 1m 2n21 m2n2 1 1 m2n21,故选 A. 5 已知双曲线x 2 3y 21 的右焦点是抛物线 y22px(p0)的焦点, 直线 ykxm 与抛物线 相交于 A, B 两个不同的点, 点 M(2, 2)是 AB 的中点, 则AOB(O 为坐标原点)的面积是( ) A4 3 B3 13 C 14 D2 3 答案 D 解析 双曲线右焦点为(2,0), 抛物线焦点为(2,0),y28x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y 2 18x1, y2 28x2, 得(y1y2)(y1y2)8(x1x2), y 1y2 x1x2 8 y1y2

37、 8 42. 直线 AB 的斜率为 2,又过点 M(2,2), 直线 AB 的方程为 y2x2.将直线 AB 的方程与 y28x 联立得 x24x10,x1x2 4,x1x21, |AB|k21 (x1x2)24x1x2 51642 15. 又 O 到直线 AB 的距离 d 2 5 2 5 5 . SAOB1 22 15 2 5 5 2 3.故选 D. 6(2020 山东省实验中学高考预测卷)已知点 P 在椭圆 :x 2 a2 y2 b21(ab0)上,点 P 在 第一象限,点 P 关于原点 O 的对称点为 A,点 P 关于 x 轴的对称点为 Q,设PD 3 4PQ ,直线 AD 与椭圆 的另

38、一个交点为 B,若 PAPB,则椭圆 的离心率 e( ) A1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 答案 C 解析 设 P(x0, y0), 由题意可得 A(x0, y0), Q(x0, y0), 由PD 3 4PQ 可得 D x0,y 0 2 , 所以 kPAy0 x0,kAD y0 2 y0 x0 x0 y0 4x0,设 B(x,y),则 kPBkAB yy0 xx0 yy0 xx0 y2y2 0 x2x2 0.因为 P,B 在椭圆上,所以 x 2 a2 y2 b21, x2 0 a2 y2 0 b21, 两式相减可得y 2y2 0 x2x2 0 b2 a2,所以可得 kPBkAB b

39、2 a2,所以 kPB b 2 a2 1 kAB b2 a2 1 kAD b2 a2 4x0 y0 .因为 PAPB,所以 kPAkPB1,即y0 x0 b 2 a2 4x0 y0 1,整理可得 a24b2,所以离心率 ec a c2 a2 1b 2 a2 11 4 3 2 ,故选 C. 7已知曲线 C1是以原点 O 为中心,F1,F2为焦点的椭圆,曲线 C2是以 O 为顶点,F2 为焦点的抛物线, A 是曲线 C1与 C2的交点, 且AF2F1为钝角, 若|AF1|7 2, |AF2| 5 2, 则AF1F2 的面积是( ) A 3 B2 C 6 D4 答案 C 解析 不妨设曲线 C1,C2

40、的焦点在 x 轴上,画出图形如图所示,ADF1D,根据抛物线 的定义可知|AF2|AD|5 2,故 cos F1AD 5 7,也即 cos AF1F2 5 7,在AF1F2 中,由余弦 定理得5 7 49 4 |F1F2|225 4 27 2|F1F2| ,解得|F1F2|2 或|F1F2|3,由于AF2F1为钝角,故|AD|F1F2|, 所以|F1F2|3 舍去,故|F1F2|2.而 sin AF1F21 5 7 2 2 6 7 ,所以 SAF1F21 2 7 2 22 6 7 6.故选 C. 8(2020 石家庄模拟)过双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点 F 的直

41、线 l 交 C 的右支 于 A,B 两点,直线 AO(O 是坐标原点)交 C 的左支于点 D,若 DFAB,且|BF|2|DF|,则双 曲线 C 的离心率为( ) A 10 2 B 10 C 29 3 D 87 3 答案 C 解析 设左焦点为 F.因为直线 AO 交 C 的左支于点 D,所以 A,D 两点关于原点对称, 连接 AF,DF,BF,因为 DFAB,且|AF|DF|,|AF|DF|,所以四边形 AFDF为矩 形因为|BF|2|DF|,所以令|DF|t,则|BF|2t,|AF|t,|AF|t2a,|BF|2t2a, 在ABF中, |AF|2|AB|2|BF|2, 即 t2(3t2a)2

42、(2t2a)2, 解得 t10 3 a.在AFF中, |AF |2|AF|2|FF|2,即 10 3 a 2 10 3 a2a 2 4c2,解得 e 29 3 ,故选 C. 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9(2020 济南一中模拟)已知曲线 C 的方程为 x2 k22 y2 6k1(kR),则下列结论正确的 是( ) A当 k8 时,曲线 C 为椭圆,其焦距为 4 15 B当 k2 时,曲线 C 为双曲线,其离心率为 3 C对任意实数 k,曲线 C 都不可能为焦点在 y 轴上的双曲线 D当 k3 时,曲线 C 为双曲线,其渐近线与圆(x4)2y29 相切 答案 BC

43、解析 对于 A, 当 k8 时, 曲线 C 的方程为 x2 62 y2 21, 该曲线为椭圆, 焦距 2c2 622 4 15, A 错误; 对于 B, 当 k2 时, 曲线 C 的方程为x 2 2 y2 41, 该曲线为双曲线, 则 a 2, c 6, 其离心率 ec a 3, B 正确; 对于 C, 若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线, 则 6k0, k220,b0)的一条渐近线方程为 x2y0, 双曲线的左焦点在直线 xy 50 上,A,B 分别是双曲线的左、右顶点,点 P 为双曲线右 支上位于第一象限的动点,直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2的取值可能为( )

44、 A3 4 B1 C4 3 D2 答案 CD 解析 由双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线方程为 x2y0,可得 a2b,由双曲 线的左焦点在直线 xy 50 上,可得 c 5,则 a2b25,得 a2,b1,双曲线的方 程为x 2 4y 21, 由题意可得 A(2, 0), B(2, 0), 设 P(m, n)(m2, n0), 则m 2 4 n21, 即 n2 m24 1 4,k1k2 n m2 n m2 n2 m24 1 4,易知 k1,k20,则 k1k22 k1k21,由 A,B 分别为双 曲线的左、右顶点,可得 k1k2,则 k1k21.故选 CD. 11 (

45、2020 邯郸一中模拟)已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F, 点 P 在椭圆 C 上, 点 Q 在圆 E:(x3)2(y4)24 上,且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外,若|PQ|PF|的最小 值为 2 56,且椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直径长相等,则下列说法正确的是( ) A椭圆 C 的焦距为 2 B椭圆 C 的短轴长为 3 C|PQ|PF|的最小值为 2 5 D过点 F 的圆 E 的切线斜率为4 7 3 答案 AD 解析 由题意,知圆 E 的圆心为 E(3,4),半径为 2.因为椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直 径长相等,所以 2a4,即 a2.如图

46、,设椭圆的左焦点为 F1,连接 PF1,EF1,由椭圆的定义 知|PF|PF1|2a4,所以|PF|4|PF1|,所以|PQ|PF|PQ|(4|PF1|)|PF1|PQ| 4|PF1|PE|24|EF1|62 56,当且仅当 P,Q,E,F1四点共线,且当 P,Q 分别 为线段 EF1与椭圆 C、圆 E 的交点时,等号成立,则|EF1|(3c)2(40)2 (c3)2162 5.对于 A,因为 0c0)的焦点,AB,CD 是经过点 F 的弦且 ABCD,AB 的斜率为 k,且 k0,C,A 两点在 x 轴上方则下列结论中一定成立的是( ) AOC OD 3 4p 2 B四边形 ACBD 面积的

47、最小值为 16p2 C 1 |AB| 1 |CD| 1 2p D若|AF| |BF|4p2,则直线 CD 的斜率为 3 答案 ACD 解析 设 AB 的倾斜角为 , 则有|AB| 2p sin2, |CD| 2p sin2 2 2p cos2, 所以 1 |AB| 1 |CD| 1 2p,C 正确;|AF| p 1cos,|BF| p 1cos ,若|AF| |BF|4p 2,则 sin 1 2, tan 3 3 , 所以直线CD的斜率为 3, D正确; S四边形ACBD1 2|AB| |CD| 2p2 sin2cos2 8p2 sin22 8p2,当 4时等号成立,即四边形 ACBD 面积的最小值为 8p 2,所以 B 不正确;设 C(x1, y1),D(x2,y2),由抛物线过焦点弦的性质可知,x1x2p 2 4 ,y1y2p2,所以OC OD x1x2y1y2 3 4p 2,所以 A 正确故选 ACD. 三、填空题 13已知椭

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