1、 专题专题 24 24 圆圆 知识点知识点 1 1：圆的概念：圆的概念 1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称 为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个 交点的角叫做圆周角。 4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角 形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 知识点知识点 2 2：点与
2、圆的位置关系：点与圆的位置关系 圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 为例（设 P 是一点，则 PO 是点到圆心的距离） ， P 在O 外，POr；P 在O 上，POr；P 在O 内，POr。 知识点知识点 3 3：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系 直线与圆有 3 种位置关系： （1）无公共点为相离； （2）有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线； （3）圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 知识点知识点 4 4：圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系 两圆之间有 5 种位置关系： 无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含； 有唯一公共点的，
3、一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切； 有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆心距为 L,则 （1）外离 LR+r； （2）外切 L=R+r； （3）相交 R-rLR+r； （4）内切 L=R-r； （5）内含 LR-r。 知识点知识点 5 5：垂径定律定律：垂径定律定律 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 知识点知识点 6 6：圆心角定律：圆心角定律 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 知识点知识点 7 7：圆周角定律：圆周角定律 （1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，
4、都等于这条弧所对的圆心角的一半 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 知识点知识点 8 8：圆内接多边形：圆内接多边形 1.1.圆内接正三角形形圆内接正三角形形 2.2.圆内接正四边形形圆内接正四边形形 3.3.圆内接正六边形形圆内接正六边形形 知识点知识点 9 9：判定定理与切线的性质：判定定理与切线的性质 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质： （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 知识点知识点 1010：圆的公切线圆的公
5、切线 1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。 如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。 （1）若两圆相离，则有 4 条公切袭线。 （2）若两圆外切，则有 3 条公切线。 （3）两圆相交，则有 2 条公切线。 （4）若两圆内切，则有 1 条公切线。 （5）若两圆内含，则有 0 条公切线。 2.公切线性质 （1）两圆的两条外公切线长相等； （2）两条内公切线的长也相等。 （3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。 知识点知识点 1111：两圆公共弦定理：两圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂
6、直并且评分这两个圆的公共弦。 知识点知识点 1212：扇形、圆柱和圆锥的相关计算扇形、圆柱和圆锥的相关计算 1. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 3.圆的计算公式： （1）圆的周长 C=2R=d （2）圆的面积 S=R 2 （3）扇形弧长 L=nR/180 （4）扇形面积 S=nR 2/180=LR/2 （5）圆柱表面积 S表=S侧 +2S底=2Rh+2R 2 （6）圆柱体的体积 V=S底h=R 2h （7）圆锥表面积 S表=S侧 +S底=Rr+r 2 （8）圆锥体的体积 V=r 2h/3 1.1.知识思维导图
7、知识思维导图 2.2.圆中常用辅助线的添法圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从 而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生 分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 （1 1）见弦作弦心距）见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论 间的联系。 （2 2）见直径作圆周角）见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来 证明问题。 （3 3）见切线作半径）见切线
8、作半径 命题的条件中含有圆的切线， 往往是连结过切点的半径， 利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。 （4 4）两圆相切作公切线）两圆相切作公切线 对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有 关的角的关系。 （5 5）两圆相交作公共弦）两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角 或圆心角联系起来。 3.3.圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧）圆中常用辅助线的添法顺口溜（圆问题的解题技巧） 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，
9、勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤
10、学加苦练，成绩上升成直线。 4.拓展知识：圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 重要结论：PAPB=PCPD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 重要结论：CE 2=AEBE （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 重要结论：PA 2=PCPB （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等。 重要结论：PCPB=PDPE 5.圆问题的基本题型 类型 1.圆的性质及其重要定理的考查。涉及垂径定理；同圆或等圆中
11、的圆心角、弦、弧之间的关系；圆周 角定理；圆内接四边形性质等。 类型 2.直线与圆的位置关系。涉及相离、内含、同心圆、内切、外切、相交。 类型 3.圆与圆的位置关系。涉及相离、相交、相切。 类型 4.圆与多边形计算的考查。涉及圆与多边形的关系的计算，涉及弧长、扇形面积、圆锥侧面积、全面 积的计算等。 类型 5.与圆有关的综合类问题的考查。涉及圆的知识与三角函数、一次函数、二次函数、反比例函数等的 综合应用。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020淮安）淮安）如图所示，点A、B、C在O上，ACB54，则ABO的度数是（ ） A54 B27 C36 D108 【答案】C 【解析】根据圆周
12、角定理求出AOB，根据等腰三角形的性质求出ABOBAO，根据三角形内角和定理求 出即可 ACB54， 圆心角AOB2ACB108， OBOA， ABOBAO= 1 2 （180AOB）36 【例题【例题 2 2】（】（20202020南京）南京） 如图， 在边长为2cm的正六边形ABCDEF中， 点P在BC上， 则PEF的面积为 cm 2 【答案】23 【解析】连接BF，BE，过点A作ATBF于T，证明SPEFSBEF，求出BEF的面积即可 连接BF，BE，过点A作ATBF于T ABCDEF是正六边形， CBEF，ABAF，BAF120， SPEFSBEF， ATBE，ABAF， BTFT，B
13、ATFAT60， BTFTABsin60= 3， BF2BT23， AFE120，AFBABF30， BFE90， SPEFSBEF= 1 2EFBF= 1 2 2 23 =23 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019陕西）陕西）如图，O的半径OA6，过点A作O的切线AP，且AP8，连接PO并延长，与 O交于点B、D，过点B作BCOA，并与O交于点C，连接AC、CD （1）求证：DCAP； （2）求AC的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据切线的性质得到OAP90，根据圆周角定理得到BCD90，根据平行线的性质和 判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性
14、质定理即可得到结论 【解析】 （1）证明：AP是O的切线，OAP90， BD是O的直径，BCD90， OACB，AOPDBC，BDCAPO，DCAP； （2）解：AOBC，ODOB， 延长AO交DC于点E， 则AEDC，OE= 1 2BC，CE= 1 2CD， 在 RtAOP中，OP= 62+ 82 =10， 由（1）知，AOPCBD， = = ， 即12 10 = 6 = 8 ， BC= 36 5 ，DC= 48 5 ， OE= 18 5 ，CE= 24 5 ， 在 RtAEC中，AC= 2+ 2=(6 + 18 5 )2+ (24 5 )2= 245 5 圆单元精品检测试卷圆单元精品检测试
15、卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3636 分）分） 1 （20202020福建）福建） 如图， 四边形ABCD内接于O，ABCD，A为 中点， BDC60， 则ADB等于 （ ） A40 B50 C60 D70 【答案】A 【解析】A为 中点， ABCD， = ， = = ， 圆周角BDC60， BDC对的 的度数是 260120， 的度数是1 3 （360120）80， 对的圆周角ADB的度数是1 2 80 = 40 2 （20202020青岛）青岛）如图，BD是O的直径，点
16、A，C在O上， = ，AC交BD于点G若COD126， 则AGB的度数为（ ） A99 B108 C110 D117 【答案】B 【解析】根据圆周角定理得到BAD90，DAC= 1 2COD63，再由 = 得到BD45， 然后根据三角形外角性质计算AGB的度数 BD是O的直径，BAD90， = ，BD45， DAC= 1 2COD= 1 2 12663， AGBDAC+D63+45108 3 （20202020泸州）泸州）如图，O中， = ，ABC70则BOC的度数为（ ） A100 B90 C80 D70 【答案】C 【解析】先根据圆周角定理得到ABCACB70，再利用三角形内角和计算出A4
17、0，然后根据圆 周角定理得到BOC的度数 = ， ABCACB70， A180707040， BOC2A80 4.4.（20202020绍兴）绍兴）如图所示，点A，B，C，D，E均在O上，BAC15，CED30，则BOD的度数 为（ ） A45 B60 C75 D90 【答案】D 【解析】首先连接BE，由圆周角定理即可得BEC的度数，继而求得BED的度数，然后由圆周角定理，求 得BOD的度数 连接BE， BECBAC15，CED30， BEDBEC+CED45， BOD2BED90 5 （20202020杭州）杭州）如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合）
18、 ，BD 与OA交于点E设AED，AOD，则（ ） A3+180 B2+180 C390 D290 【答案】D 【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用表示COD， 最后由角的和差关系得结果 OABC， AOBAOC90， DBC90BEO90AED90， COD2DBC1802， AOD+COD90， +180290， 290 6 （20202020牡丹江）牡丹江）如图所示，四边形ABCD内接于O，连接BD若 = ，BDC50，则ADC的度 数是（ ） A125 B130 C135 D140 【答案】B 【解析】 连接OA，OB，OC， 根据圆周角定理
19、得出BOC100， 再根据 = 得到AOC， 从而得到ABC， 最后利用圆内接四边形的性质得到结果 连接OA，OB，OC， BDC50， BOC2BDC100， = ， BOCAOC100， ABC= 1 2AOC50， ADC180ABC130 7（20202020德州）德州） 如图， 圆内接正六边形的边长为 4， 以其各边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积为 （ ） A243 4 B123 +4 C243 +8 D243 +4 【答案】A 【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴6 （S半圆S弓形AmB） 求解即可 【解析】设正六边形的中心为O，连
20、接OA，OB 由题意，OAOBAB4， S弓形AmBS扇形OABSAOB= 6042 360 3 4 4 2=8 343， S阴6 （S半圆S弓形AmB）6 （1 22 28 3+43）243 4， 8 （20202020乐山）乐山）在ABC中，已知ABC90，BAC30，BC1如图所示，将ABC绕点A按逆时 针方向旋转 90后得到ABC则图中阴影部分面积为（ ） A 4 B3 2 C3 4 D 3 2 【答案】B 【解析】解直角三角形得到AB= 3BC= 3，AC2BC2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论 ABC90，BAC30，BC1， AB= 3BC= 3，AC2BC2， 902 2
21、360 903 360 （1 2 1 3 303 360 ）= 3 2 ， 9.9.（20192019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，AB为O的直径，C，D为O上两点，若BCD40，则ABD的大小 为（ ） A60 B50 C40 D20 【答案】B 【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题 的关键连接AD，先根据圆周角定理得出A及ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论 连接AD， AB为O的直径，ADB90 BCD40，ABCD40， ABD904050 1010(2019(2019 甘肃陇南甘肃陇南) )如图所示，点A，B，S在
22、圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则ASB的度数 是（ ） A22.5 B30 C45 D60 【答案】C 【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半 设圆心为 0，连接OA.OB，如图，先证明OAB为等腰直角三角形得到AOB90，然后根据圆周角定理确 定ASB的度数 设圆心为O，连接OA.OB，如图， 弦AB的长度等于圆半径的倍， 即ABOA， OA 2+OB2AB2， OAB为等腰直角三角形，AOB90， ASBAOB45 11.11.（20192019湖北天门）湖北天门）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直
23、线CD交BA的延长线于点 E，连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论 的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】A 【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握 辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键 连结DO AB为O的直径，BC为O的切线，CBO90， ADOC，DAOCOB，ADOCOD 又OAOD，DAOADO，CODCOB 在COD和COB中， CODCOB（SAS） ， CDOCBO90 又点D在O上， CD是O的切线；故正确， CODCOB，CDCB
24、， ODOB，CO垂直平分DB， 即CODB，故正确； AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90， EDA+ADOBDO+ADO90，ADEBDO， ODOB，ODBOBD，EDADBE， EE，EDAEBD，故正确； EDOEBC90，EE， EODECB， ， ODOB， EDBCBOBE，故正确. 12.12. （20192019山东省德州市山东省德州市 ） 如图， 点O为线段BC的中点， 点A，C，D到点O的距离相等， 若ABC40， 则ADC的度数是（ ） A130 B140 C150 D160 【答案】B 【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可
25、求出所求角的度数由题意得到 OAOBOCOD，作出圆O，如图所示， 四边形ABCD为圆O的内接四边形， ABC+ADC180， ABC40，ADC140 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 13 （20202020盐城）盐城）如图，在O中，点A在 上，BOC100则BAC 【答案】130 【解析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论 如图，取O上的一点D，连接BD，CD， BOC100， D50， BAC18050130 14 （20202020天水）天水）如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计） ，
26、则这个圆锥的底面半径是 【答案】8 3 【解析】根据半径为 8，圆心角为 120的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可 设圆锥的底面半径为r， 由题意得，1208 180 =2r， 解得，r= 8 3 15 （20202020攀枝花）攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为 2 的O，ODBC于点D，BAC60，则 OD 【答案】1 【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到BOD的度数， 结合直角三角形的性质可得OD 【解析】连接OB和OC， ABC内接于半径为 2 的O，BAC60，BOC120，OBOC2， ODBC，OBOC， BO
27、DCOD60，OBD30，OD= 1 2OB1 16 （20202020襄阳）襄阳）在O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 【答案】60或 120 【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB1：2，得BOC120，根据同弧所对圆周角等于圆 心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数 【解析】如图， 弦BC垂直平分半径OA， OD：OB1：2， BOD60， BOC120， 弦BC所对的圆周角等于 60或 120 17 （20202020长沙）长沙）已知圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，该圆锥的侧面展开图的面积为 【答案】3 【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧= 1 2
28、 2rlrl即可得圆锥的侧面展开图的面积 圆锥的侧面展开图是扇形， S侧rl313， 该圆锥的侧面展开图的面积为 3 18 （20202020扬州）扬州）圆锥的底面半径为 3，侧面积为 12，则这个圆锥的母线长为 【答案】4 【解析】根据圆锥的侧面积公式：S侧= 1 2 2rlrl即可进行计算 S侧rl， 3l12， l4 答：这个圆锥的母线长为 4 19 （20202020扬州）扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b3cm，则螺 帽边长a cm 【答案】3 【分析】根据正六边形的性质，可得ABC120，ABBCa，根据等腰三角形的性质，可得CD的长， 根据锐
29、角三角函数的余弦，可得答案 【解析】如图，连接AC，过点B作BDAC于D， 由正六边形，得 ABC120，ABBCa， BCDBAC30 由AC3，得CD1.5 cosBCD= = 3 2 ，即1.5 = 3 2 ， 解得a= 3 20 （20202020连云港）连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4B3B4，直线l经过 B2、B3，则直线l与A1A2的夹角 【答案】48 【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出A1A2A3 A2A3A4120，得出CA2A3A2A3C60，则
30、C60，由正五边形的性质得出B2B3B4108，由平 行线的性质得出EDA4B2B3B4108，则EDC72，再由三角形内角和定理即可得出答案 【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示： 六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和（62）180720， A1A2A3A2A3A4= 720 6 =120， CA2A3A2A3C18012060， C180606060， 五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和（52）180540， B2B3B4= 540 5 =108， A3A4B3B4， EDA4B2B3B4108， E
31、DC18010872， CED180CEDC180607248 三、解答题三、解答题（5 5 个小题，每题个小题，每题 1212 分，共分，共 6060 分）分） 21 （20202020聊城）聊城）如图，在ABC中，ABBC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点D作DE BC，垂足为点E （1）试证明DE是O的切线； （2）若O的半径为 5，AC610，求此时DE的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）连接OD、BD，求出BDAC，瑞成ADDC，根据三角形的中位线得出ODBC，推出ODDE， 根据切线的判定推出即可； （2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得BD，然后证得CDEAB
32、D，根据相似三角形的性质即可求得 DE 【解析】 （1）证明：连接OD、BD， AB是O直径，ADB90，BDAC， ABBC，D为AC中点， OAOB，ODBC， DEBC，DEOD， OD为半径，DE是O的切线； （2）由（1）知BD是AC的中线， ADCD= 1 2 =310， O的半径为 5， AB6， BD= 2 2=102 (310)2= 10， ABAC，AC， ADBCED90， CDEABD， = ，即 310 10 = 10 ，DE3 22 （20202020上海）上海）如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D （1）求证：BAC2ABD；
33、（2）当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小； （3）当AD2，CD3 时，求边BC的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）连接OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可 （2）分三种情形：若BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD若CDCB，则CBDCDB 3ABD若DBDC，则D与A重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可 （3）如图 3 中，作AEBC交BD的延长线于E则 = = 2 3，推出 = = 4 3，设 OBOA4a， OH3a，根据BH 2AB2AH2OB2OH2，构建方程求出 a即可解决问题 【解析】 （1）证明：连接OA A ABAC， = ，
34、OABC，BAOCAO， OAOB，ABDBAO，BAC2BAD （2）解：如图 2 中，延长AO交BC于H 若BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD， ABAC，ABCC，DBC2ABD， DBC+C+BDC180，8ABD180，C3ABD67.5 若CDCB，则CBDCDB3ABD，C4ABD， DBC+C+CDB180，10ABD180，BCD4ABD72 若DBDC，则D与A重合，这种情形不存在 综上所述，C的值为 67.5或 72 （3）如图 3 中，作AEBC交BD的延长线于E 则 = = 2 3， = = 4 3，设 OBOA4a，OH3a， BH 2AB2AH2OB2OH
35、2， 2549a 216a29a2， a 2=25 56，BH= 52 4 ， BC2BH= 52 2 23 （20202020金华）金华）如图， 的半径OA2，OCAB于点C，AOC60 （1）求弦AB的长 （2）求 的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长； （2）根据AOC60，可以得到AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可 【解析】 （1） 的半径OA2，OCAB于点C，AOC60， ACOAsin602 3 2 = 3， AB2AC23； （2）OCAB，AOC60， AOB120， OA2， 的长是：1202 180 = 4
36、 3 24 （20202020齐齐哈尔）齐齐哈尔）如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点， = = ，连接AD，过点D 作DEAC交AC的延长线于点E （1）求证：DE是O的切线 （2）若直径AB6，求AD的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）连接OD，根据已知条件得到BOD= 1 3 18060，根据等腰三角形的性质得到ADO DAB30，得到EDA60，求得ODDE，于是得到结论； （2）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90，解直角三角形即可得到结论 【解析】 （1）证明：连接OD， = = ， BOD= 1 3 18060， = ，EADDAB= 1 2 BOD30， OAOD，
37、ADODAB30， DEAC，E90， EAD+EDA90，EDA60， EDOEDA+ADO90， ODDE，DE是O的切线； （2）解：连接BD， AB为O的直径， ADB90， DAB30，AB6， BD= 1 2AB3， AD= 62 32=33 25 （20202020辽阳）辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，CAB90，以点A为圆心，以AB的长为 半径作A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE （1）求证：DE与A相切； （2）若ABC60，AB4，求阴影部分的面积 【答案】见解析。 【分析】 （1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，求得D
38、AEAEB，根据全等 三角形的性质得到DEACAB，得到DEAE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到ABE是等边三角形，求得AEBE，EAB60，得到CAEACB，得到CE BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论 【解析】 （1）证明：连接AE， 四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEAEB， AEAB， AEBABC，DAEABC， AEDBAC（AAS） ， DEACAB， CAB90，DEA90，DEAE， AE是A的半径，DE与A相切； （2）解：ABC60，ABAE4， ABE是等边三角形，AEBE，EAB60， CAB90， CAE90EAB906030，ACB90B906030， CAEACB，AECE，CEBE， SABC= 1 2ABAC= 1 2 4 43 =83， SACE= 1 2SABC= 1 2 83 =43， CAE30，AE4， S扇形AEF= 302 360 = 3042 360 = 4 3 ， S阴影SACES扇形AEF43 4 3
