1、 专题专题 06 实数实数 知识点知识点 1 1：平方根：平方根 1.算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a” 。 2. 平方根：如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“ a” （a 称为被开方数） 。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系： （1）被开方数必须都为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平 方根可以立即写出它的负平方根。 （3）0 的算术平方根与平方根同为 0。 5.平
2、方表： （自行完成） 1 2= 6 2= 11 2= 16 2= 21 2= 2 2= 7 2= 12 2= 17 2= 22 2= 3 2= 8 2= 13 2= 18 2= 23 2= 4 2= 9 2= 14 2= 19 2= 24 2= 5 2= 10 2= 15 2= 20 2= 25 2= 知识点知识点 2 2：立方根：立方根 1. 立方根：如果 x 3=a，则 x 叫做 a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数） 。 2. 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。 3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方） 。 4. 立方根与平方根的区别：
3、 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根，负数没有平方根，正数的 平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为 0. 知识点知识点 3 3：实数：实数 1.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数。 2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 3.实数：有理数和无理数统称实数。 4.设 a 表示实数，则 a 的相反数是-a |a|0 当 a0 时， |a|=a 当 a=0 时，|a|=0 当 a0 时，|a|=-a 实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的 大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数
4、的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算 法则及运算律。 一、一、题型规律总结题型规律总结 （1）平方根是其本身的数是 0；算术平方根是其本身的数是 0 和 1；立方根是其本身的数是 0 和1。 （2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立 方根，这个立方根的符号与原数相同。 （3）a本身为非负数，有非负性，即a0；a有意义的条件是a0。 （4）公式：(a) 2=a（a0） ；3 a= 3 a（a取任何数） 。 （5）区分(a) 2=a（a0），与 2 a=a （6） 非负数的重要性质： 若几个非负数之和等于 0， 则每一个非负数都为
5、0 （此性质应用很广， 务必掌握） 。 二、实数分类总结二、实数分类总结 【例题【例题 1】 （】 （2020湖州）湖州）数 4 的算术平方根是（ ） A2 B2 C2 D2 【答案】A 【解析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果 2 的平方为 4， 4 的算术平方根为 2 【例题【例题 2】 （】 （2020宁波）宁波）实数 8 的立方根是 【答案】2 【解析】根据立方根的性质和求法，求出实数 8 的立方根是多少即可 实数 8 的立方根是： 8 3 =2 【例题【例题 3】 （】 （2020连云港）连云港）计算（1）2020+（1 5） 164
6、3 【答案】2 【解析】先计算乘方、负整数指数幂、立方根，再计算加减可得 原式1+542 实数单元精品检测试卷实数单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （ （2020达州）达州）下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A3.14 B10 3 C12 D17 【答案】C 【解析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解 3= 9，4= 16， A.3.14 是有理数，故此选项不合题意； B.10 3
7、 是有理数，故此选项不符合题意； C.12是比 3 大比 4 小的无理数，故此选项符合题意； D.17比 4 大的无理数，故此选项不合题意； 2 （ （2020凉山州）凉山州）下列等式成立的是（ ） A81 =9 B|5 2|= 5 +2 C （ 1 2） 12 D （tan451）01 【答案】C 【解析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得 A81 =9，此选项计算错误； B|5 2|= 5 2，此选项错误； C （ 1 2） 12，此选项正确； D （tan451）0无意义，此选项错误； 3 （ （2020黔东南州）黔东南州）实数 210介于（
8、） A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间 【答案】C 【解析】首先化简 210 = 40，再估算40，由此即可判定选项 210 = 40，且 6407， 62107 4 （ （2020台州）台州）无理数10在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【答案】B 【解析】由91016可以得到答案 3104 5 （ （2020铜仁市）铜仁市）实数 a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） Aab Bab Cab Dab 【答案】D 【解析】根据数轴即可判断 a 和 b 的符号以及绝对值的大
9、小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求 解根据数轴可得：a0，b0，且|a|b|， 则 ab，ab，ab，ab 6 6 （ （20192019 湖南常德）湖南常德）下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A B C3.1 D 【答案】A 【解析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解 四个选项中是无理数的只有和，而4，34 选项中比 3 大比 4 小的无理数只有 7.估计 1 2 3024 6 的值应在（ ） A. 1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 【答案】B 【解析】 111 2 3024
10、=2 3024=2 52 666 ， 而2 5= 4 5= 20，20在 4 到 5 之间，所以2 52在 2 到 3 之间 【点评】【点评】此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，属于中考当中的简单题. 8若 2 2 2 m ，则有（ ） A0m1 B-1m0 C-2m-1 D-3m-2 【答案】C 【解析】考察实数运算与估算大小，实数估算大小往年中考较少涉及，但难度并不大。 化简得：m 2 ，因为4 2 1（A+提示：注意负数比较大小不要 弄错不等号方向），所以2 2 1。故选 C。 9. 如图，数轴上的 A，B，C，D 四点中，与表示数3的点最接近的是【 】 A. 点 A B.
11、 点 B C. 点 C D. 点 D 【答案】【答案】B. 【解析解析】实数和数轴；估计无理数的大小；作差法的应用. 13413 223 0 222 ， 3 3 2 . 3 23 2 ，即与无理数3最接近的整数是2. 在数轴上示数3的点最接近的是点 B. 10估算2 的值（ ） A 在 1 到 2 之间 B 在 2 到 3 之间 C 在 3 到 4 之间 D 在 4 到 5 之间 【答案】C 【解析】 先估计的整数部分，然后即可判断2 的近似值 56， 324 【点拨】 此题主要考查了无理数的估算能力， 现实生活中经常需要估算， 估算应是我们具备的数学能力， “夹 逼法”是估算的一般方法，也是
12、常用方法 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11 （ （2020河南）河南）请你写出一个大于 1，且小于 3 的无理数是 【答案】2（本题答案不唯一） 【解析】根据算术平方根的性质可以把 1 和 3 写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之 间的数即可 1= 1，3= 9， 写出一个大于 1 且小于 3 的无理数是2 12 （ （2020南充）南充）计算：|12|+20 【答案】2 【解析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值 原式= 2 1+1= 2 13 （ （2020自贡）自贡）与14 2 最接近的自然数是 【答案
13、】2 【解析】根据 3.5144，可求 1.51422，依此可得与14 2 最接近的自然数 3.5144， 1.514 22， 与14 2 最接近的自然数是 2 14 （ （2020重庆）重庆）计算： （1 5） 14 = 【答案】3 【解析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得 原式523 15（2020遂宁）遂宁） 下列各数 3.1415926， 9， 1.212212221， 1 7， 2， 2020， 4 3 中， 无理数的个数有 个 【答案】3 【解析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，找出无理数的 个数在所列实数中，无理数有 1.21221
14、2221，2，4 3 这 3 个。 16 （ （2020凤山县一模）凤山县一模）计算：9 1 【答案】2 【解析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案 原式312 17 （ （2020泰州）泰州）9 的平方根等于 【答案】3 【解析】直接根据平方根的定义进行解答即可 （3）29， 9 的平方根是3 18 （ （2020河南）河南）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 【答案】3 【解析】 由于所求无理数大于 1 且小于 2， 两数平方大于 2 小于 4， 所以可选其中的任意一个数开平方即可 大于 1 且小于 2 的无理数是3，答案不唯一 19 （ （2020遵义）遵义）计算：12 3的结
15、果是 【答案】3 【解析】首先化简12，然后根据实数的运算法则计算 12 3 =23 3 = 3 20 （ （2020苏州）苏州）计算：9 +（2）2（3）0=_. 【答案】见解析。 【解析】根据实数的计算法则进行计算即可，如何不为 0 的 0 次幂为 1 【解析】9 +（2）2（3）0 = 3 +41， = 3 +3 三、解答题（共三、解答题（共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分）分） 21 （ （2020达州）达州）计算：22+（1 3） 2+（5）0+1253 【答案】1 【解析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案 原式4+9+
16、151 22 （ （2020泸州）泸州）计算：|5|（2020）0+2cos60+（1 3） 1 【答案】8 【解析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出 答案 原式51+2 1 2 +3 51+1+3 8 23 （ （2020连云港）连云港）计算（1）2020+（1 5） 1643 【答案】2 【解析】先计算乘方、负整数指数幂、立方根，再计算加减可得 原式1+542 24 （ （2020乐山）乐山）计算：|2|2cos60+（2020）0 【答案】2 【解析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 原式= 2
17、2 1 2 + 12 25 （ （2020自贡）自贡）计算：|2|（5 +）0+（ 1 6） 1 【答案】-5 【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值 原式21+（6） 1+（6） 5 26 （ （2020遂宁）遂宁）计算：8 2sin30|12|+（1 2） 2（2020）0 【答案】见解析。 【解析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法， 最后计算加减可得 原式22 2 1 2 （2 1）+41 22 12+1+41 = 2 +3 27 （ （2020上海）上海）计算：27 1 3+ 1 5+2 （1 2）
18、 2+|35| 【答案】0 【解析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可 原式（33） 1 3+ 5 24+35 3+5 24+35 0 28 （ （2020常德）常德）计算：20+（1 3） 14 4tan45 【答案】3 【解析】先计算 20、4、 （1 3） 1、tan45，再按运算顺序求值即可 原式1+3241 1+643 29 （ （2020衢州）衢州）计算：|2|+（1 3） 09 +2sin30 【答案】1 【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案 原式2+13+2 1 2 2+13+11 30 （ （2020台州）台州）计算：|3|+8 2 【答案】3+2 【解析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案 原式3+22 23+2 31 （ （2020金华）金华）计算： （2020）0+4 tan45+|3| 【答案】5 【解析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减 即可原式1+21+35 32. 是非负实数，并且满足。设，记为 m 的最小值，y 为 m 的最大值。求 xy 的值。 【答案】5/77 【解析】由得 解得 由是非负实数，得 。 又，
