1、 专题专题 23 23 旋转旋转 1.1.旋转：旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个 定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 （图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转 固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前 后图形的大小和形状没有改变。 ） 如下图所示： 2.2.旋转对称中心：旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图 形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于 0，小于 360） 。 3.3.旋转的性质
2、旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.4.中心对称图形与中心对称中心对称图形与中心对称 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心 对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成 中心对称。 5.5.中心对称图形的判定中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 6.6.中心对称的性质：中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关
3、于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，发展空间观察，培养 几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习的兴趣。 1 1中心对称和中心对称图形的区别中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称 中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于 对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对
4、称点，又都在这个图形上； 而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在 这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形） ，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心 对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。 2.2.坐标系中对称点的特征坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x，-y） （2）关于 x 轴对称的点的特征 两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x
5、轴的对称点为 P （x，-y） （3）关于 y 轴对称的点的特征 两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P （-x，y） 3.3.旋转变换的应用总结旋转变换的应用总结 （1）求角度； （2）求弧度； （3）求面积； （4）证明线段相等； （5）证明角相等； （6）证明位置关系； （7）综合应用。 解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020枣庄）枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，AOBB 30，OA2将AOB绕点
6、O逆时针旋转 90，点B的对应点B的坐标是（ ） A （3，3） B （3，3） C （3，2+3） D （1，2+3） 【答案】A 【解析】如图，过点B作BHy轴于H解直角三角形求出H，BH即可 如图，过点B作BHy轴于H 在 RtABH中，AB2，BAH60， AHABcos601，BHABsin60= 3， OH2+13， B（3，3） 。 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020黑龙江龙东）黑龙江龙东）如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边 上，DCEC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1
7、）BE与MN的数量关系是 （2）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并利用图或图进行证明 【答案】见解析。 【分析】 （1）如图中，只要证明PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题 （2）如图中，结论仍然成立连接AD，延长BE交AD于点H由ECBDCA，推出BEAD，DAC EBC， 即可推出BHAD， 由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点， 推出PMBE，PM= 1 2BE， PNAD，PN= 1 2AD， 推出 PM PN，MPN90，可得BE2PM2 2 2 MN= 2MN 解： （1）如图中， AMME，APP
8、B， PMBE，PM= 1 2BE， BNDN，APPB， PNAD，PN= 1 2AD， ACBC，CDCE， ADBE， PMPN， ACB90， ACBC， PMBC，PNAC， PMPN， PMN的等腰直角三角形， MN= 2PM， MN= 21 2BE， BE= 2MN， 故答案为BE= 2MN （2）如图中，结论仍然成立 理由：连接AD，延长BE交AD于点H ABC和CDE是等腰直角三角形， CDCE，CACB，ACBDCE90， ACBACEDCEACE， ACDECB， ECBDCA（AAS） ， BEAD，DACEBC， AHB180（HAB+ABH） 180（45+HAC+
9、ABH） 180（45+HBC+ABH） 18090 90， BHAD， M、N、P分别为AE、BD、AB的中点， PMBE，PM= 1 2BE，PNAD，PN= 1 2AD， PMPN，MPN90， BE2PM2 2 2 MN= 2MN 旋转单元精品检测试卷旋转单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1.(20191.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )下列图形中,属于中心对称图形的是( ) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 绕某点旋转 180
10、能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A 是轴对称图形,B 旋转 120 的整数倍可以重合,D 选项旋转 72的整数倍可以重合,故选 C. 2.2.（20192019 辽宁本溪）辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】【答案】B. 【解析】【解析】A 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； B 选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确； C 选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误； D 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误， 故选 B 3.3.（20192019 山东枣庄）山东枣庄）如图，点E是正方形
11、ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转 90到ABF 的位置若四边形AECF的面积为 20，DE2，则AE的长为（ ） A4 B2 C6 D2 【答案】D 【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再 利用勾股定理得出答案 ADE绕点A顺时针旋转 90到ABF的位置 四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于 20， ADDC2， DE2， RtADE中，AE2 4 （20202020苏州）苏州）如图，在ABC中，BAC108，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在BC边上，且ABCB，则C的度数为（ ）
12、A18 B20 C24 D28 【答案】C 【解析】由旋转的性质可得CC，ABAB，由等腰三角形的性质可得CCAB，BABB， 由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解 ABCB， CCAB， ABBC+CAB2C， 将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC， CC，ABAB， BABB2C， B+C+CAB180， 3C180108， C24， CC24。 5.5.（20202020 年浙江绍兴）年浙江绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点 B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ） A平行四边形正方形平行四边形矩形 B
13、平行四边形菱形平行四边形矩形 C平行四边形正方形菱形矩形 D平行四边形菱形正方形矩形 【答案】B 【解析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况 观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形 6.6.（20192019南京南京）如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形 变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称其中所有正确 结论的序号是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行
14、， 或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等 于旋转角 依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC与ABC重合 先将ABC绕着BC的中点旋转 180， 再将所得的三角形绕着BC的中点旋转 180， 即可得到ABC； 先将ABC沿着BC的垂直平分线翻折， 再将所得的三角形沿着BC的垂直平分线翻折， 即可得到ABC。 7.7.（20192019湖北孝感湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P，则 P的坐标为（ ） A （3，2） B （3，1） C （2，3） D （3，2） 【答案】D 【解析】本题考查了
15、坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求 出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 作PQy轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P看作把OPQ绕原点O顺时针旋 转 90得到OPQ，利用旋转的性质得到PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ 3，从而可确定P点的坐标 作PQy轴于Q，如图， P（2，3） ， PQ2，OQ3， 点P（2， 3） 绕原点O顺时针旋转 90得到点P相当于把OPQ绕原点O顺时针旋转 90得到OPQ， PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ3， 点P的坐标为（3，2） 8.8
16、.（20192019山东省聊城市）山东省聊城市）如图，在 RtABO中，OBA90，A（4，4） ，点C在边AB上，且， 点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标 为（ ） A （2，2） B （，） C （，） D （3，3） 【答案】C 【解析】根据已知条件得到ABOB4，AOB45，求得BC3，ODBD2，得到D（0，2） ，C（4，3） ， 作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2） ，求得直线EC 的解析式为yx+2，解方程组可得到结论 在 RtABO中，OBA90，A（4，4
17、） ， ABOB4，AOB45， ，点D为OB的中点， BC3，ODBD2， D（0，2） ，C（4，3） ， 作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P， 则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2） ， 直线OA 的解析式为yx， 设直线EC的解析式为ykx+b， ， 解得：， 直线EC的解析式为yx+2， 解得， P（，） ， 故选：C 9.9.（20192019河南河南）如图，在OAB中，顶点O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB与正方形ABCD组成 的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A （10，3） B （3，
18、10） C （10，3） D （3，10） 【答案】D 【解析】先求出AB6，再利用正方形的性质确定D（3，10） ，由于 70417+2，所以第 70 次旋转结束 时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转 2 次，每次旋转 90，此时旋转前后的点D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标 A（3，4） ，B（3，4） ， AB3+36， 四边形ABCD为正方形， ADAB6， D（3，10） ， 70417+2， 每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转 2 次， 每次旋转 90， 点
19、D的坐标为（3，10） 10.10. （20202020年浙江嘉兴）年浙江嘉兴） 如图， 正三角形ABC的边长为3， 将ABC绕它的外心O逆时针旋转60得到ABC， 则它们重叠部分的面积是（ ） A A2 2 B B C C D D 【答案】C 【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形， 据此即可求解 解：作AMBC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形 ABC是等边三角形，AMBC， ABBC3，BMCMBC，BAM30， AMBM， ABC的面积BCAM3， 重叠部分的面积ABC的面
20、积 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11.11.（20192019海南省）海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边AC 绕点A逆时针旋转（090）得到AF，连结EF若AB3，AC2，且+B，则EF 【答案】 【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长 由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2， B+BAC90，且+B， BAC+90 EAF90 EF 12.12.（20192019湖南邵阳湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0） ，点B在第一象 限，将等边
21、AOB绕点O顺时针旋转 180得到AOB，则点B的坐标是 【答案】故答案为（2，2） 【解析】作BHy轴于H，如图， OAB为等边三角形， OHAH2，BOA60， BHOH2， B点坐标为（2，2） ， 等边AOB绕点O顺时针旋转 180得到AOB， 点B的坐标是（2，2） 故答案为（2，2） 13.(201913.(2019 山西）山西）如图， 在ABC 中， BAC=90，AB=AC=10cm， 点 D 为ABC 内一点， BAD=15， AD=6cm， 连接 BD，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，
22、 则 CF 的长为_cm. 【答案】6210 【解析】过点 A 作 AGDE 于点 G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90，CAE=BAD=15 AED=45；在AEF 中：AFD=AED+CAE=60 在 RtADG 中：AG=DG=23 2 AD 在 RtAFG 中：622,6 3 FGAF AG GF 6210AFACCF 故答案为：6210 14.14.（20192019 山东淄博）山东淄博）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角（0180）得到格点 A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则 度 【答案】90 【解析】作CC1，AA1的垂直平分线
23、交于点E，可得点E是旋转中心，即AEA190 如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E CC1，AA1的垂直平分线交于点E， 点E是旋转中心， AEA190旋转角90 15.15.（20192019 广西池河）广西池河）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC由AB绕点A顺时针旋转 90 而得，则AC所在直线的解析式是 【答案】y2x4 【解析】过点C作CDx轴于点D，易知ACDBAO（AAS） ，已知A（2，0） ，B（0，1） ，从而求得点C 坐标，设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解 A（2
24、，0） ，B（0，1） OA2，OB1 过点C作CDx轴于点D， 则易知ACDBAO（AAS） ADOB1，CDOA2 C（3，2） 设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得 直线AC的解析式为y2x4 16.16.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）如图，将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，其中点A与A是对应点，点 B与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若ACB45，AC3，BC2，则AB的长为 【答案】 【解析】由旋转的性质可得ACAC3，ACBACA45，可得ACB90，由勾股定理可求解 将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC， ACAC3，ACBACA45
25、ACB90 AB 17.17.（20202020 年浙江丽水）年浙江丽水）图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A 与点B重合） ， 点O是夹子转轴位置，OEAC于点E，OFBD于点F，OEOF1cm，ACBD6cm，CEDF， CE：AE2：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动 （1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm （2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm 【答案】见解析。 【分析】 （1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长
26、和宽 即可解决问题 （2）如图 3 中，连接EF交OC于H想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解： （1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形， OEOF1cm， EF2cm， ABCD2cm， 此时四边形ABCD的周长为 2+2+6+616（cm） ， 故答案为 16 （2）如图 3 中，连接EF交OC于H 由题意CECF6（cm） ， OEOF1cm， CO垂直平分线段EF， OC（cm） ， OEECCOEH， EH（cm） ， EF2EH（cm） EFAB， ， AB（cm） 故答案为 18.如图， 在直角OAB 中， AOB=
27、30， 将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA1B1， 则A1OB= 【答案】70 【解析】将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA1B1，AOB=30， OABOA1B1， A1OB=AOB=30 A1OB=A1OAAOB=70 19.如图，在等边ABC 中，AB=6，D 是 BC 的中点，将ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，那么线段 DE 的长度 为 【答案】3 【解析】考点有旋转的性质；等边三角形的判定与性质 首先，利用等边三角形的性质求得 AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知ADE 为等边三 角形，则 DE=AD 如图，在等边ABC 中，B=60，AB=6
28、，D 是 BC 的中点， ADBD，BAD=CAD=30， AD=ABcos30=6=3 根据旋转的性质知，EAC=DAB=30，AD=AE， DAE=EAC+BAD=60， ADE 的等边三角形， DE=AD=3，即线段 DE 的长度为 3 20.如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶点 A，B 的坐标分别为（1，1） ， （1，1） ， 把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45得正方形 ABCD， 则正方形 ABCD 与正方形 ABCD重 叠部分所形成的正八边形的边长为 【答案】22 【解析】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及
29、其应用问题；应牢固 掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键如图，首先求出 正方形的边长、对角线长；进而求出 OA的长；证明AMN 为等腰直角三角形，求出 AN 的长度；同理 求出 DM的长度，即可解决问题 如图，由题意得：正方形 ABCD 的边长为 2， 该正方形的对角线长为 2， OA=；而 OM=1， AM=1； 由题意得：MAN=45，AMN=90， MNA=45， MN=AM=； 由勾股定理得：AN=2； 同理可求 DM=2， MN=2（42）=22， 正八边形的边长为 22 三、解答题三、解答题（6 6 个小题，共个小题，共 6060 分）分）
30、21 （8 分） （20202020达州）达州）如图，ABC中，BC2AB，D、E分别是边BC、AC的中点将CDE绕点E旋转 180 度，得AFE （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB3，AD+BF8，求四边形ABDF的面积S 【答案】见解析。 【分析】 （1）结论：四边形ABDF是菱形根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 （2）设OAx，OBy，构建方程组求出 2xy即可解决问题 解： （1）结论：四边形ABDF是菱形 CDDB，CEEA， DEAB，AB2DE， 由旋转的性质可知，DEEF， ABDF，ABDF， 四边形ABDF是平行四边形， BC2AB，BDDC，
31、BABD， 四边形ABDF是菱形 （2）连接BF，AD交于点O 四边形ABDF是菱形， ADBF，OBOF，AOOD，设OAx，OBy， 则有2 + 2 = 8 2+ 2= 32， x+y4， x 2+2xy+y216， 2xy7， S菱形ABDF= 1 2 BFAD2xy7 22 （8 分） （20202020福建）福建）如图，ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转 90得到，且点B的对应点D恰 好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P （1）求BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且CDFDAC 判断DF和PF的数量关系，并证明； 求证： = 【解析】见解析。 【分析】 （1）由旋转
32、的性质得出ABAD，BAD90，ABCADE，得出ADEB45，可求出 BDE的度数； （2）由旋转的性质得出ACAE，CAE90，证得FPDFDP，由等腰三角形的判定得出结论； 过点P作PHED交DF于点H，得出HPFDEP， = ，证明HPFCDF（ASA） ，由全等三角形 的性质得出HFCF，则可得出结论 【解析】 （1）ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转 90得到， ABAD，BAD90，ABCADE， 在 RtABD中，BADB45， ADEB45， BDEADB+ADE90 （2）DFPF 证明：由旋转的性质可知，ACAE，CAE90， 在 RtACE中，ACEAEC45， CD
33、FCAD，ACEADB45， ADB+CDFACE+CAD， 即FPDFDP， DFPF 证明：过点P作PHED交DF于点H， HPFDEP， = ， DPFADE+DEP45+DEP， DPFACE+DAC45+DAC， DEPDAC， 又CDFDAC， DEPCDF， HPFCDF， 又FDFP，FF， HPFCDF（ASA） ， HFCF， DHPC， 又 = ， = 23.23.（9 分） （20192019 北京市）北京市）已知30AOB，H 为射线 OA 上一定点，31OH ，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足OMP为钝角，以点 P 为中心，将线
34、段 PM 顺时针旋转150，得到线段 PN，连接 ON （1）依题意补全图 1； （2）求证：OMPOPN ； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON=QP，并证明 备用图备用图图图1 B A O HH OA B 【答案】见解析。 【解析】本题考查的知识点有尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30锐角的性质、中心对称 的性质. （1）见下图。 （2）证明：30AOB 在OPM 中，=180150OMPPOMOPMOPM 又150MPN， 150OPNMPNOPMOPM OMPOPN . （3）如下图，过点 P 作 PKO
35、A 于 K，过点 N 作 NFOB 于 F OMP=OPN PMK=NPF 在NPF 和PMK 中， 90 NPFPMK NFOPKM PNPM NPFPMK （AAS） PF=MK，PNF=MPK，NF=PK 又ON=PQ 在 RtNOF 和 RtPKQ 中， ONPQ NFPK RtNOFRtPKQ （HL） KQ=OF 设 ,MKy PKx POA=30，PKOQ 2OPx 3 ,3OKx OMxy 2OFOPPFxy ， 313MHOHOMxy ， 313KHOHOKx . M 与 Q 关于 H 对称 MH=HQ KQ=KH+HQ =313313xxy =2 322 3xy 又KQ=O
36、F 2 322 32xyxy 2 3222 3x 1x ，即 PK=1 又30POA OP=2. 24.（9 分）如图，将小旗 ACDB 放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为 A（6，12） ，B（6，0） ， C（0，6） ，D（6，6） 以点 B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转 90 （1）画出旋转后的小旗 ACDB； （2）写出点 A，C，D的坐标； （3）求出线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积 【答案】见解析。 【解析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图 形的形状与大小是解题的关键 （1）根据平面直角坐标系
37、找出 A、C、D、B的位置，然后顺次连接即可；小旗 ACDB如图 所示。 （2）根据旋转的性质分别写出点 A，C，D的坐标即可； 点 A（6，0） ，C（0，6） ，D（0，0） （3）先求出 AB 的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解 A（6，12） ，B（6，0） ， AB=12， 线段 BA 旋转到 BA时所扫过的扇形的面积=36 25.25.（12 分） （20192019广西贵港）广西贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，将ABC绕点C顺时针方向 旋转得到ABC， 记旋转角为， 当 90180时， 作ADAC， 垂足为D，AD与BC交于点E （1）如图 1，当CAD15
38、时，作AEC的平分线EF交BC于点F 写出旋转角的度数； 求证：EA+ECEF； （2）如图 2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF 的最小值 （结果保留根号） 【答案】见解析。 【解析】 （1）解直角三角形求出ACD即可解决问题 连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM首先证明CFA是等边三角形，再证 明FCMACE（SAS） ，即可解决问题 （2）如图 2 中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M证明AEFAEB，推 出EFEB，推出B，F关于AE对称，推出PFPB，推出PA+PFPA+PBAB，求出AB即
39、可 解决问题 【解答】 （1）解：旋转角为 105 理由：如图 1 中， ADAC，ADC90， CAD15， ACD75，ACA105， 旋转角为 105 证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM CEDACE+CAE45+1560， CEA120， FE平分CEA，CEFFEA60， FCO180457560， FCOAEO，FOCAOE， FOCAOE， ， ， COEFOA，COEFOA， FAOOEC60， AOF是等边三角形，CFCAAF， EMEC，CEM60，CEM是等边三角形， ECM60，CMCE， FCAMCE60，FCMACE， FCMACE（S
40、AS） ，FMAE， CE+AEEM+FMEF （2）解：如图 2 中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M 由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB， AEFAEB， EFEB， B，F关于AE对称，PFPB， PA+PFPA+PBAB， 在 RtCBM中，CBBCAB2，MCB30， BMCB1，CM， AB PA+PF的最小值为 26.26.（14 分） （20202020 年浙江绍兴）年浙江绍兴）如图 1，矩形DEFG中，DG2，DE3，RtABC中，ACB90，CA CB2，FG，BC的延长线相交于点O，且FGBC，OG2，OC4将ABC绕点O逆时针旋转（0 180
41、）得到ABC （1）当30时，求点C到直线OF的距离 （2）在图 1 中，取AB的中点P，连结CP，如图 2 当CP与矩形DEFG的一条边平行时，求点C到直线DE的距离 当线段AP与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围 【答案】见解析。 【分析】 （1）如图 1 中，过点C作CHOF于H解直角三角形求出CH即可 （2）分两种情形：如图 2 中，当CPOF时，过点C作CMOF于M如图 3 中，当CPDG时， 过点C作CNFG于N分别求出CM，CN即可 设d为所求的距离第一种情形：如图 4 中，当点A落在DE上时，连接OA，延长ED交OC于M如 图 5 中，当点P
42、落在DE上时，连接OP，过点P作PQCB于Q结合图象可得结论来源:学|科|网 第二种情形：当AP与FG相交，不与EF相交时，当点A在FG上时，AG22，即d22， 如图 6 中，当点P落在EF上时，设OF交AB于Q，过点P作PTBC于T，过点P作PROQ交OB 于R，连接OP求出QG可得结论 第三种情形：当AP经过点F时，如图 7 中，显然d3综上所述可得结论 【解答】解： （1）如图 1 中， 过点C作CHOF于HHCO30， CHCOcos302， 点C到直线OF的距离为 2 （2）如图 2 中，当CPOF时，过点C作CMOF于M CPOF， O180OCP45， OCM是等腰直角三角形，
43、 OC4， CM2， 点C到直线DE的距离为 2 如图 3 中，当CPDG时，过点C作CNFG于N 同法可证OCN是等腰直角三角形， N2， 点C到直线DE的距离为 2+2 设d为所求的距离 第一种情形：如图 4 中，当点A落在DE上时，连接OA，延长ED交OC于M OA2，OM2，OMA90， AM4， AD2，即d2， 如图 5 中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQCB于Q PQ1，OQ5，OP， PM，PD2， d2，2d2 第二种情形：当AP与FG相交，不与EF相交时，当点A在FG上时，AG22，即d22， 如图 6 中，当点P落在EF上时，设OF交AB于Q，过点P作PTBC于T，过点P作PROQ交OB 于R，连接OP OP，OF5， FP1， OFOT，PFPT，FPTO90， RtOPFRtOPT（HL） ， FOPTOP， PQOQ，OPRPOF， OPRPOR， ORPR， PT 2+TR2PR2， 1 2+（5PR）2PR2， PR2.6，RT2.4， BPRBQO， ， ， OQ， QGOQOG，即d 22d， 第三种情形：当AP经过点F时，如图 7 中，显然d3 综上所述，2d2 或d3
