1、第第 3 3 讲讲 分数除法分数除法 一、思维导图一、思维导图 二、知识梳理二、知识梳理 知识点一：倒数的认识知识点一：倒数的认识 1.1.倒数的意义倒数的意义 乘积是 1 的两个数互为倒数。倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是 1。 2.2.互为倒数的两个数特点互为倒数的两个数特点 如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；如果一个是整数，则另 一个分数的分子是 1，分母是这个整数。 3.3.求一个数倒数的方法求一个数倒数的方法 （1）通过计算，乘积是 1 的两个数互为倒数。 （2）交换这个数的分子和分母的位置。 4.4.特殊的特殊的 1 的倒数是 1，0 没有倒数。
2、知识点二：分数除法的计算法则知识点二：分数除法的计算法则 一个数除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 知识点三：分数四则混合运算规律知识点三：分数四则混合运算规律 1. 只有乘、除法， 按照从左到右的顺序依次进行计算。 2. 在没有括号的算式里，既有加、减法又有乘、除法，要先算乘、除法，再算加、减法。 3. 在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。 知识点四：分数除法的应用题知识点四：分数除法的应用题 1.1.解决解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，一般方法：的问题，一般方法： 方程法：（1）找出单位“1”，
3、设未知量为 x； （2）找出题中的等量 关系式； （3）列出方程并解答； （4）检验并写出答案。 2.2. “已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这数已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这数”的问题的解法：的问题的解法： 方程法：根据题中的等量关系： “单位1的量（1几分之几）已知量”或 “单位1的量单位1的量几分之几已知量”， 设单位“1”的量为 x，列方程解答。 3.3. 已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量的问题的解法：已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量的问题的解法： 有两个量都是未知的，先把谁看作单位“1”都可以，设
4、其中一个量为未知数 x，用这个量 表示另一个量，然后找出等量关系，列方程解答出一个量，再解答第二个量。 4.4. 利用抽象的利用抽象的“1 1”解决实际问题：解决实际问题： 工程问题是分数问题的特例，工作总量与工作效率都不是具体的数，而是用抽象的分数来 表示。一般地，工作总量用单位“1”来表示，工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。 三三、精讲精练精讲精练 考点一：倒数的认识 典例分析典例分析 【例 1】（2020 春雁塔区期末）的倒数是 ，0.25 的倒数是 4 【思路分析】两个数的乘积是 1，那么这两个数就互为倒数交换分子分母的位置就可以找到这个分数 的倒数据此解答 【规范解答】解：的
5、倒数是；0.25，所以 0.25 的倒数是 4 故答案为：；4 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法 举一反三举一反三 1（2020旬阳县）的倒数是 ； 的倒数是 【思路分析】根据倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数0 没有倒数，求一个分数的倒数，把分子 和分母调换位置即可，由此解答 【规范解答】解：的倒数是 的倒数是 故答案为：， 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法明确：0 没有倒数，1 的倒数是 1 2（2020历下区） 8 的倒数是 0.125，最小合数的倒数是 【思路分析】根据倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数
6、最小的合数是 4，4 的倒数是；求小数的 倒数，先把小数化成分数，然后把分子和分母调换位置即可 【规范解答】解：0.125 和 8 互为倒数，最小的合数的倒数是 故答案为：8， 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法 3（2020 春新田县期中）1.25 的倒数是 ；1 的倒数是 1 【思路分析】求倒数的方法：求一个分数的倒数，就把这个分数的分子和分母交换位置； 求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为 1 的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到； 求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置 【规范解答】解：1.25 的倒数是；1 的倒数是 1
7、故答案为：，1 【名师点评】此题考查了求一个数倒数的方法 考点二：分数除法的计算法则 典例分析典例分析 【例 2】（2019防城港模拟） 【思路分析】分数除法：除以一个不为零的数等于乘上这个数的倒数，由此计算 【规范解答】解： 故答案为： 【名师点评】本题考查了分数除法的计算方法，计算时要细心，注意把结果化成最简分数 举一反三举一反三 1（2019宿迁模拟）一个数乘以等于，这个数是 【思路分析】已知一个数乘以等于求这个数是多少，用除以 【规范解答】解： 答：这个数是 故答案为： 【名师点评】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法进行解答 2（2019衡阳模拟）300 千米比 360 千米
8、少 【思路分析】把要求的结果看作单位“1”，300 千米是单位“1”的（1），根据分数除法的意义， 用除法进行解答 【规范解答】解：300（1 ） 300 360（千米） 答：300 千米比 360 千米少 故答案为：360 【名师点评】这种类型的题目属于分数除应用题，只要找清单位“1”，求单位“1”的量，是用除法进 行解答 3（2019山东模拟） 50 的等于 40 【思路分析】把要求的数看成单位“1”，它的是 40，根据分数除法的意义，用 40 除以即可求出这 个数 【规范解答】解：4050 答：50 的等于 40 故答案为：50 【名师点评】本题先找出单位“1”，已知一个数的几分之几是多
9、少，求这个数用除法求解 考点三：分数四则混合运算规律 典例分析典例分析 【例 1】（2019 秋鼓楼区期末）估算下面 4 个算式的计算结果，最大的是（ ） A120 B120 C120 D120 【思路分析】先把除法变成乘法，然后根据“积一定，一个因数越小另一个因数就越大”解答即可 【规范解答】解：根据估算的方法，由分析得： 120（1）120 ； 120（1）120 ； 120（1）120 ； 120（1）120 ； ； 即 120（1）120（1）120（1 ）120（1）； 答：结果最大是 120（1） 故选：D 【名师点评】解答本题关键是明确：积一定，一个因数越小另一个因数就越大，反之
10、，一个因数越大另 一个因数就越小 举一反三举一反三 1（2019 春渭滨区期末）连续两个偶数和的是 25，这两个偶数分别是（ ） A22，24 B12，18 C24，26 D26，28 【思路分析】根据题意，连续两个偶数和的是 25，先用 25 除以求出这两个偶数的和是多少，然后再 进行选择即可 【规范解答】解：2550 A：22+2446，不符合题意； B：12+1830，不符合题意； C：24+2650，符合题意； D：26+2854，不符合题意； 故选：C 【名师点评】解答本题的关键是根据分数除法的意义求出两个偶数的和，然后再进一步解答即可 2（2019宁波模拟）下面 4 个算式的计算结
11、果，最大的是（ ） A888（1+ ） B888（1 ） C888（1+ ） D888（1 ） 【思路分析】 根据分数四则混合运算的顺序以及乘法分配律， 分别求出各个算式中的结果， 再比较解答 【规范解答】解：A、888（1+ ） 888 799 B、888（1 ） 888 999 C、888（1+ ） 8881+888 888+98 986 D、888（1 ） 8881888 88898 789 999986799789 所以，结果最大的是 888（1） 故选：B 【名师点评】含有算式的大小比较，先求出它们的结果，然后再按照分数大小比较的方法进行解答 3 （2018 秋长沙县期末） 小邮把一
12、个数除以， 错算为乘以， 得出结果 6 那么正确计算结果应是 （ ） A18 B27 C13.5 D6 【思路分析】逆推求解，先用 6 除以，求出这个数，再用这个数除以即可求解 【规范解答】解：6 9 13.5 答：正确的计算结果是 13.5 故选：C 【名师点评】解决本题的关键是先根据乘除法的互逆关系，求出被除数，再按照正确的计算方法进行计 算 考点四：分数除法的应用题 典例分析典例分析 【例 4】（2020 春复兴区期末）一辆汽车从甲地开往乙地，已行驶 144 千米，距乙地还有全程的甲乙 两地相距多少千米？ 【思路分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，已经行驶的 144 千米相当于全程的
13、（1），根据 分数除法的意义，用 144 千米除以进率（1）就是甲乙两地距离 【规范解答】解：144（1 ） 144 360（千米） 答：甲乙两地相距 360 千米 【名师点评】此题主要是考查分数除法的意义及应用已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已 知数除以它所对应的分率 举一反三举一反三 1（2020 春复兴区期末）数学李老师花 100 元买了一件降价的衣服，这个价格是原价的这件衣服的 原价是多少元？ 【思路分析】把这件衣服的原价看作单位“1”，现价（100 元）相当于原价的，根据分数除法的意义， 用 100 元除以就是这件衣服的原价 【规范解答】解：100125（元） 答：这件衣服的
14、原价是 125 元 【名师点评】此题主要是考查分数除法的意义及应用已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已 知数除以它所对应的分率 2 （2020 春交城县期末） 一批货物， 运走一些后还剩下 60 吨， 剩下的是运走的 这批货物共有多少吨？ 【思路分析】把这批货物的总吨数看作单位“1”，剩下的是运走的，剩下的是总吨数的，根据分 数除法的意义，用剩下的吨数除以就是这批货物的吨数 【规范解答】解：剩下的是运走的，则剩下的是总吨数的 60 60 180（吨） 答：这批货物共有 180 吨 【名师点评】此题是考查分数除法的意义及应用已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数 除以它所对应的分率
15、 3（2020 春宝鸡期末）熊冬眠的时间约是 120 天，熊的冬眠时间是青蛙冬眠时间的，蛇的冬眠时间是 青蛙冬眠时间的蛇的冬眠时间是多少天？ 【思路分析】根据题意，把青蛙冬眠的时间看作单位“1”，熊冬眠的时间约是 120 天，熊的冬眠时间是 青蛙冬眠时间的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出青蛙冬眠的时间，蛇的 冬眠时间是青蛙冬眠时间的， 再根据一个数乘分数的意义， 用乘法求出蛇冬眠的时间 据此列式解答 【规范解答】解：120 180（天） 答：蛇的冬眠时间是 180 天 【名师点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问 题 四四
16、、巩固提升巩固提升 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1（2019怀化模拟）选择（ ） A B25 C D12 【思路分析】，按照从左向右的顺序进行计算 【规范解答】解： 12 故选：D 【名师点评】只含有一级运算的，按照从左向右的顺序进行计算 2（2020安新县）下面说法不正确的是（ ） A的倒数是 B1 的倒数是 1 C5 的倒数是 D.0 的倒数是 0 【思路分析】根据倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数，1 的倒数是 1 【规范解答】解：的倒数是；1 的倒数是 1；5 的倒数是；0 没有倒数 故选项 D 不正确 故选：D 【名师点评】此题考查倒数的意义和求法
17、：乘积是 1 的两个数互为倒数 3（2020 春高邑县期中）（ ）没有倒数 A0 B自然数 C小数 D带分数 【思路分析】倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数据此即可判断 【规范解答】解：由两个数乘积是 1 的数互为倒数可知，0 和任何数相乘都得 0，所以 0 没有倒数； 故选：A 【名师点评】此题考查了倒数的意义，应注意基础知识的积累 4（2019永州模拟）一个数的是 16，这个数是（ ） A120 B20 C12 D12 【思路分析】根据一个数的是 16，要求这个数是多少用 16 除以即可 【规范解答】解：1620 答：这个数是 20 故选：B 【名师点评】本题先找出
18、单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法求解 5（2019长沙模拟）与 12结果相等的式子是（ ） A1254 B1245 C1245 D1254 【思路分析】根据分数除法的计算方法，以及整数乘除法的计算方法，求出每个算式的结果各是多少， 判断出与 12相等的式子是哪个即可 【规范解答】解：1215 A、1254 2.44 9.6 B、1245 35 15 C、1245 35 0.6 D、1254 604 240 所以与 12相等的式子是 1245 故选：B 【名师点评】此题主要考查了分数除法和整数乘除法的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出 每个算式的值各是多少 6（20
19、19永州模拟）甲与乙的比是，甲乙两数和是 210，求甲、乙两数各是几？正确的是（ ） A甲：75，乙：135 B甲：80，乙：130 C甲：100，乙：110 D甲：90，乙：120 【思路分析】由甲与乙的比是，甲数是 3 份，那么乙数就是 4 份；首先求出总份数，再分别求出甲、 乙两数各占两数和的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法分别求出甲、乙两数 【规范解答】解：3+47（份） 甲数：21090； 乙数：210120 答：甲数是 90，乙数是 120 故选：D 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7
20、（2019 春无锡期末） 5 个是：是 12 个 【思路分析】要求个是，用除以 ； 要求是几个，用除以即可 【规范解答】解： 5 12 答：5 个是，是 12 个 故答案为：5，12 【名师点评】求一个数里面有几个另一个数，用除法进行解答 8（2019 秋花溪区期中）用千克小麦可以磨出千克面粉，每千克小麦可以磨面粉 千克，要磨 1 千克面粉需要小麦 1 千克 【思路分析】（1）已知千克小麦可以磨面粉千克，要求 1 千克小麦可磨面粉多少千克，用面粉重 量除以小麦重量即可； （2）要求多少千克小麦可以磨出 1 千克面粉，用小麦重量除以面粉重量即可 【规范解答】解：（1） （千克） 答：每千克小麦可
21、以磨面粉千克 （2） 1（千克） 答：要磨 1 千克面粉需要小麦 1千克 故答案为：，1 【名师点评】此题解答的关键是分清求的是什么，然后确定用谁去除以谁 9（2019 秋丰台区期末）的倒数是 【思路分析】求一个分数的倒数，把这个分数的分子和分母交换位置即可求解 【规范解答】解：的倒数是 故答案为： 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法 10（2019 秋天河区期末） 的倒数是，0.8 的倒数是 【思路分析】根据倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数求一个分数的倒数，把分子和分母调换位 置即可；求一个小数的倒数，可以先把小数 0.8 化成分数，然后分子和分母调
22、换位置据此解答 【规范解答】解：的倒数是，0.8 的倒数是 故答案为：， 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法 11（2019 春简阳市 期中） 3 5 12 20 9 15 0.6 （填小数） 【思路分析】首先根据分数与除法的关系，可得：35；再把 35 的结果用小数表示是 0.6； 然后根据分数的基本性质，分子由 3 变成 12，扩大到原来的 4 倍，则分母由 5 变成 20；分母由 5 变成 15，扩大到原来的 3 倍，则分子由 3 变成 9；再根据分数与除法的关系解答即可 【规范解答】解：3512209150.6（填小数） 故答案为：3、5、20、9、0
23、.6 【名师点评】此题主要考查了分数除法的运算方法，以及分数的基本性质的应用，要熟练掌握 12（2018 秋阳信县校级期末）在横线里填上“或“ 0.01 【思路分析】（1）根据一个大于 0 的数除以小于 1 的数其商比这个数大即可判定 （2）根据一个数除以分数的计算法则即可判定 【规范解答】解：（1）0.01 ； （2） 故答案为：， 【名师点评】一个大于 0 的数除以小于 1 的数其商比这个数大、一个数除以分数的计算法则都属于基础 知识，要掌握 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 13（2020 春高邑县期中）因为1，所以是倒数 （判断对错） 【思路分析】 若两个数的乘积是 1， 我
24、们就称这两个数互为倒数 因为1， 所以和互为倒数， 而不能单独说是倒数，据此判断即可 【规范解答】解：因为1，所以和互为倒数 故原题说法错误 故答案为： 【名师点评】此题考查了倒数的定义，要熟练掌握 14（2020 春交城县期末）因为41，所以和 4 互为倒数 （判断对错） 【思路分析】根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数据此进行判断即可 【规范解答】解：乘积是 1 的两个数互为倒数 因为41，所以和 4 互为倒数此说法正确 故答案为： 【名师点评】此题考查的目的是理解倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数 15（2019福建模拟）一个数（0 除外）除以，等于把这个数扩大 5 倍 （
25、判断对错） 【思路分析】一个不为 0 的数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数，所以一个数（0 除外）除以， 即等于乘的倒数 5，根据乘法的意义，等于把这个数扩大了 5 倍 【规范解答】解：根据分数除法的运算法则， 一个数（0 除外）除以，即等于乘的倒数 5，根据乘法的意义，等于把这个数扩大了 5 倍 所以一个数（0 除外）除以，等于把这个数扩大 5 倍说法正确 故答案为： 【名师点评】本题考查了学生对于分数除法运算法则的理解与应用 16（2019 秋花溪区期中）如果甲数比乙数多，那么乙数就比甲数少 （判断对错） 【思路分析】甲数比乙数多，是把乙数看成单位“1”，那么甲数就是 1+，用两数的差除
26、以甲数， 即可得出乙数就比甲数少几分之几，再与比较 【规范解答】解：（1+ ） 即乙数就比甲数少，不是，原题错误 故答案为： 【名师点评】本题先找出单位“1”，把其它量用单位“1”表示出来，然后根据求一个数是另一个数的 几分之几的方法求解 17（2019 秋虎林市校级期中）如果 A 是 B 的，那么 B 是 A 的倍 （判断对错） 【思路分析】首先把 B 看作单位“1”，求出 A 的值是多少；然后用 B 除以 A，求出 B 是 A 的多少倍即 可 【规范解答】解：把 B 看作单位“1”，则 A 是 ， 因为 1 ， 所以 B 是 A 的倍， 所以题中说法正确 故答案为： 【名师点评】 此题主要
27、考查了分数除法的运算方法， 要熟练掌握， 解答此题的关键是把 B 看作单位 “1” ， 求出 A 的值是多少 四计算题（共四计算题（共 1 小题）小题） 18（2016 秋天门月考）直接写出得数 4 9 5 4 12 16 3 【思路分析】根据分数除法法则口算即可 【规范解答】解： 4 9 5 4 4 4 12 1620 3 【名师点评】本题考查了分数除法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键 五操作题（共五操作题（共 2 小题）小题） 19把一张纸的平均分成 3 份，每份是多少？ 列式是 3 在图中表示出来 【思路分析】“把一张纸的平均分成 3 份，每份是多少”根据分数除法的意义，用除以 3 即
28、可据 此即可列出算式；在图中表示：把这张纸的面积看作单位“1”，首先把它平均分成 5 份，每份是， 表示取这样的 4 份，然后再把这 4 份平均分成 3 份，其中 1 份 【规范解答】解：3 在图中表示出来如下（图中涂色部分）： 故答案为： 3 【名师点评】此题主要是考查分数的意义、分数除法的意义 20把互为倒数的两个数用线连一连 【思路分析】求一个分数的倒数，可把分数的分子、分母调换位置，据此可以得到答案 【规范解答】解：连线如下： 【名师点评】此题考查倒数的意义和求法：乘积是 1 的两个数互为倒数同时对倒数的意义和求法要求 掌握并熟练运用 六解答题（共六解答题（共 6 小题）小题） 21（
29、2019益阳模拟）的倒数与 0.25 的倒数的积是多少？ 【思路分析】先根据倒数的求法求出的倒数与 0.25 的倒数，再相乘即可解答 【规范解答】解：的倒数是 2，0.25 的倒数是 4， 248； 答：积是 8 【名师点评】 此题主要考查倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数， 根据语言简单列出算式求解即可 22（2017长沙）被分数，除得的结果都是整数的最小分数是多少 【思路分析】根据一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数，可得这个数被分数，除，等 于这个数分别乘以，6，；然后根据，要使得被分数，除得的结果都是整数，只 要满足被分数除得的结果是整数即可，据此求出被分数，除得的结果都是
30、整数的最小分数是 多少即可 【规范解答】解：这个数被分数，除，等于这个数分别乘以，6， ； 因为 ， 所以要使得被分数，除得的结果都是整数，只要满足被分数除得的结果是整数即可， 因为 1 ， 所以被分数，除得的结果都是整数的最小分数是 【名师点评】此题主要考查了分数的除法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数除以分数， 等于这个数乘以分数的倒数 23（2015 秋含山县校级期中）看图列式计算 （1） （2） 长是宽的，面积是多少？ 【思路分析】（1）由线段图可知：把要求的数量看作单位“1”，已知它的是 42 千克，根据已知一个 数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答 （2）已知长方形的
31、宽是，长是宽的，首先根据一个数乘分数的意义，用乘法求出长，再根据 长方形的面积长宽，把数据代入公式解答 【规范解答】解：（1）42 98（千克）； 答：要求的数量是 98 千克 （2）（分米）， （平方分米）； 答：这个长方形的面积是平方分米 【名师点评】此题考查的目的是理解分数除法的意义以及分数除法的计算法则，掌握长方形的面积公式 及应用 24（2020惠安县）计算时笑笑是这样做的你同意吗？请说明理由 【思路分析】观察笑笑的算式，她是运用了商不变的规律进行计算的，是正确的，由此求解 【规范解答】解： （5）（5）（商不变规律） 51 5（任何数除以 1 都得它本身） 所以笑笑的做法是正确的
32、【名师点评】本题考查了计算分数除法的方法，可以结合商不变规律等进行求解 25一个数的与的积是，这个数是多少？ 【思路分析】设这个数是 x，那么它的就是x， x 乘与相等，由此列出方程 【规范解答】解：设这个数是 x，由题意得： x ， x ， x ， x ； 答：这个数是 【名师点评】这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式 或方程计算 26一根电话线，用去米，占这根电线的，这根电线有多少米？ 【思路分析】把整根电话线的总长度看成单位“1”，它的对应的数量是米，求总长度用除法 【规范解答】解： 1（米）； 答：这根电线有 1 米 【名师点评】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示的是某些量的几分之几，有些就表示 具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位 是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几
