1、多边形和平行四边形多边形和平行四边形 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、多边形：一、多边形： 1.1.三角形：三角形： （1）三角形内角和：三角形的内角和为三角形的内角和为 180180； （2）三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 2.2.多边形：多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； （1 1）内角和：）内角和：n 边形的内角和为(n2) 180； 三角形的内角和等于 180； 四边形的内角和等于 360； （2 2）外角和：）外角和：任意多边形的
2、外角和为任意多边形的外角和为 360360； （3 3）对角线：对角线：在多边形中连接 互不相邻 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线； n 边形共有 (3) 2 n n 条对角线； 从一个顶点出发的对角线把 n 边形分成 (n-2)个三角形。 （4 4）不稳定性：）不稳定性：n 边形(n3)具有不稳定性；（三角形具有稳定性） （5 5）注意：）注意： 多边形的外角和与边数无关； 多边形的内角中最多有 3 个锐角。 3.3.正多边形：正多边形： （1）边：各条边 都相等 ； （2）内角：各个内角 都相等 ，且正 n 边形的每个内角为 (2) 180n n ； （3）外角：各个外角相等，且正 n
3、 边形的每个外角为 360 n ； （4）对称性： 正多边形都是 轴 对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形； 正 n 边形有 n 条对称轴； 4.4.平面镶嵌：平面镶嵌： （1） 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形覆盖平面(或平面 镶嵌)； （2）平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为 360时，可以平面镶 嵌。 【例题【例题 1 1】(2020陕西)如图，在正五边形 ABCDE 中，DM 是边 CD 的延长线，连接 BD，则BDM 的度数是 【答案】144 【解析】根据正五边形的性质和内角和为 540，求得每个内角的度数为 1
4、08，再结合等腰 三角形和邻补角的定义即可解答 解：因为五边形 ABCDE 是正五边形，所以 (52) 180 108 5 C ，BC=DC， 所以 180108 36 2 BDC ， 所以BDM =180-36=144，故答案为：144。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020重庆 A 卷)一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，则这个多边形 的边数是 【答案】6 【解析】n 边形的内角和可以表示成(n-2) 180，外角和为 360，根据题意列方程求解 解：设这个多边形的边数为 n，依题意，得：(n-2) 180=2360， 解得 n=6故答案为：6。 二、平行四边形：二、平行四边形
5、： 1.1.平行四边形的概念：平行四边形的概念： （1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）表示：符号“ABCD”表示，读作“平行四边形 ABCD”。 2.2.平行四边形的性质：平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等； 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的 交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3.3.平行四边形的判定：平行四边形的判定： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
6、； （2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.4.面积：面积： S=ah(a 表示一条边长，h 表示此边上的高)； 5.5.相关结论：相关结论： （1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形； （2）同底等高的平行四边形的面积相等； （3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积。 【例题【例题 2 2】(2020衡阳)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 A
7、C 和 BD 相交于点 O，下列条件不能 判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( ) AABDC，ADBC BABDC，ADBC CABDC，ADBC DOAOC，OBOD 【答案】C 【解析】根据平行四边形的定义，可以得到选项 A 中的条件可以判断四边形 ABCD 是平行四边 形； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项 B 中的条件可以判断四边形 ABCD 是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项 D 中的条件 可以判断四边形 ABCD 是平行四边形；选项 C 中的条件，无法判断四边形 ABCD 是平行四边形 ABDC，ADBC， 四边形 ABC
8、D 是平行四边形，故选项 A 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形； ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 B 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形； ABDC，ADBC，则无法判断四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 C 中的条件，不能判断四 边形 ABCD 是平行四边形； OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 D 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020岳阳)如图，点 E，F 在 ABCD 的边 BC，AD 上，BE= 1 3BC，FD= 1 3AD，连 接 BF，DE 求证：
9、四边形 BEDF 是平行四边形 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，进而得出 DFBE，利用平行四边形的 判定解答即可 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BE= 1 3BC，FD= 1 3AD， BEDF， DFBE， 四边形 BEDF 是平行四边形。 【例题【例题 3 3】(2020温州)如图，在ABC 中，A40，ABAC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 BCDE，则E 的度数为( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求C，再根据平行四边形的性质可求E 解：在ABC 中
10、，A40，ABAC， C(18040)270， 四边形 BCDE 是平行四边形， E70。 【变式练习【变式练习 3 3】(2020武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如 图，AC 是 ABCD 的对角线，点 E 在 AC 上，ADAEBE，D102，则BAC 的大小是 【答案】26 【解析】根据平行四边形的性质得到ABCD102，ADBC，根据等腰三角形的性质得 到EABEBA，BECECB，根据三角形外角的性质得到ACB2CAB，由三角形的内 角和定理即可得到结论 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD102，ADBC， ADAEBE， BCAEBE， EA
11、BEBA，BECECB， BECEAB+EBA2EAB， ACB2CAB， CAB+ACB3CAB180ABC180102， BAC26。 【例题【例题 4 4】(2020凉山州)如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAB 交 AD 于点 E，若 OA1，AOE 的周长等于 5，则 ABCD 的周长等于 16 【答案】16 【解析】由平行四边形的性质得 ABCD，ADBC，OBOD，证 OE 是ABD 的中位线，则 AB 2OE，AD2AE，求出 AE+OE4，则 AB+AD2AE+2OE8，即可得出答案 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，OBOD，
12、 OEAB， OE 是ABD 的中位线， AB2OE，AD2AE， AOE 的周长等于 5， OA+AE+OE5， AE+OE5OA514， AB+AD2AE+2OE8， ABCD 的周长2(AB+AD)2816。 【变式练习【变式练习 4 4】(2020天津)如图， ABCD 的顶点 C 在等边BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长 线上，G 为 DE 的中点，连接 CG若 AD3，ABCF2，则 CG 的长为 【答案】3 2 【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到 BF 和 BE 的长，然后可以证明 DCG 和EHG 全等，然后即可得到 CG 的长 解：四边形
13、ABCD 是平行四边形， ADBC，CDAB，DCAB， AD3，ABCF2， CD2，BC3， BFBC+CF5， BEF 是等边三角形，G 为 DE 的中点， BFBE5，DGEG， 延长 CG 交 BE 于点 H， DCAB， CDGHEG， 在DCG 和EHG 中， CDG = HEG DG = EG DGC = EGH ， DCGEHG(ASA)， DCEH，CGHG， CD2，BE5， HE2，BH3， CBH60，BCBH3， CBH 是等边三角形， CHBC3， CG= 1 2CH= 3 2。 【例题【例题 5 5】(2020重庆)如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC
14、，BD 相交于点 O，分别过点 A， C 作 AEBD，CFBD，垂足分别为 E，FAC 平分DAE (1)若AOE50，求ACB 的度数； (2)求证：AECF 【答案】见解析。 【解析】(1)利用三角形内角和定理求出EAO，利用角平分线的定义求出DAC，再利用平行 线的性质解决问题即可 (2)证明AEOCFO(AAS)可得结论 (1)解：AEBD， AEO90， AOE50， EAO40， CA 平分DAE， DACEAO40， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ACBDAC40， (2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， AEBD，CFBD， AEOCFO90
15、， AOECOF， AEOCFO(AAS)， AECF。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020扬州)如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAC，分 别交 AB、DC 于点 E、F，连接 AF、CE (1)若 OE= 3 2，求 EF 的长； (2)判断四边形 AECF 的形状，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)判定AOECOF(ASA)，即可得 OEOF= 3 2，进而得出 EF 的长； (2)先判定四边形 AECF 是平行四边形，再根据 EFAC，即可得到四边形 AECF 是菱形 解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AOCO， FCOEAO， 又AOECOF， AOECOF(ASA)， OEOF= 3 2， EF2OE3； (2)四边形 AECF 是菱形， 理由：AOECOF， AECF， 又AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， 又EFAC， 四边形 AECF 是菱形。
