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2021届中考数学一轮复习专题22:多边形和平行四边形(知识点总结+例题讲解)

1、多边形和平行四边形多边形和平行四边形 (知识点总结(知识点总结+ +例题讲解)例题讲解) 一、多边形:一、多边形: 1.1.三角形:三角形: (1)三角形内角和:三角形的内角和为三角形的内角和为 180180; (2)三角形外角的性质: 性质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; 性质 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 2.2.多边形:多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形; (1 1)内角和:)内角和:n 边形的内角和为(n2) 180; 三角形的内角和等于 180; 四边形的内角和等于 360; (2 2)外角和:)外角和:任意多边形的

2、外角和为任意多边形的外角和为 360360; (3 3)对角线:对角线:在多边形中连接 互不相邻 的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线; n 边形共有 (3) 2 n n 条对角线; 从一个顶点出发的对角线把 n 边形分成 (n-2)个三角形。 (4 4)不稳定性:)不稳定性:n 边形(n3)具有不稳定性;(三角形具有稳定性) (5 5)注意:)注意: 多边形的外角和与边数无关; 多边形的内角中最多有 3 个锐角。 3.3.正多边形:正多边形: (1)边:各条边 都相等 ; (2)内角:各个内角 都相等 ,且正 n 边形的每个内角为 (2) 180n n ; (3)外角:各个外角相等,且正 n

3、 边形的每个外角为 360 n ; (4)对称性: 正多边形都是 轴 对称图形,其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形; 正 n 边形有 n 条对称轴; 4.4.平面镶嵌:平面镶嵌: (1) 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ,叫做用多边形覆盖平面(或平面 镶嵌); (2)平面镶嵌的条件:当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为 360时,可以平面镶 嵌。 【例题【例题 1 1】(2020陕西)如图,在正五边形 ABCDE 中,DM 是边 CD 的延长线,连接 BD,则BDM 的度数是 【答案】144 【解析】根据正五边形的性质和内角和为 540,求得每个内角的度数为 1

4、08,再结合等腰 三角形和邻补角的定义即可解答 解:因为五边形 ABCDE 是正五边形,所以 (52) 180 108 5 C ,BC=DC, 所以 180108 36 2 BDC , 所以BDM =180-36=144,故答案为:144。 【变式练习【变式练习 1 1】(2020重庆 A 卷)一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍,则这个多边形 的边数是 【答案】6 【解析】n 边形的内角和可以表示成(n-2) 180,外角和为 360,根据题意列方程求解 解:设这个多边形的边数为 n,依题意,得:(n-2) 180=2360, 解得 n=6故答案为:6。 二、平行四边形:二、平行四边形

5、: 1.1.平行四边形的概念:平行四边形的概念: (1)概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形; (2)表示:符号“ABCD”表示,读作“平行四边形 ABCD”。 2.2.平行四边形的性质:平行四边形的性质: (1)平行四边形的邻角互补,对角相等; (2)平行四边形的对边平行且相等; 推论:夹在两条平行线间的平行线段相等; (3)平行四边形的对角线互相平分; (4)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的 交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3.3.平行四边形的判定:平行四边形的判定: (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形

6、; (2)定理 1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (3)定理 2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (4)定理 3:对角线互相平分的四边形是平行四边形; (5)定理 4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.4.面积:面积: S=ah(a 表示一条边长,h 表示此边上的高); 5.5.相关结论:相关结论: (1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形; (2)同底等高的平行四边形的面积相等; (3)若一条直线过平行四边形的对角线的交点,则这条直线等分平行四边形的面积。 【例题【例题 2 2】(2020衡阳)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 A

7、C 和 BD 相交于点 O,下列条件不能 判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( ) AABDC,ADBC BABDC,ADBC CABDC,ADBC DOAOC,OBOD 【答案】C 【解析】根据平行四边形的定义,可以得到选项 A 中的条件可以判断四边形 ABCD 是平行四边 形; 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可以得到选项 B 中的条件可以判断四边形 ABCD 是平行四边形;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以得到选项 D 中的条件 可以判断四边形 ABCD 是平行四边形;选项 C 中的条件,无法判断四边形 ABCD 是平行四边形 ABDC,ADBC, 四边形 ABC

8、D 是平行四边形,故选项 A 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形; ABDC,ADBC, 四边形 ABCD 是平行四边形,故选项 B 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形; ABDC,ADBC,则无法判断四边形 ABCD 是平行四边形,故选项 C 中的条件,不能判断四 边形 ABCD 是平行四边形; OAOC,OBOD, 四边形 ABCD 是平行四边形,故选项 D 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形。 【变式练习【变式练习 2 2】(2020岳阳)如图,点 E,F 在 ABCD 的边 BC,AD 上,BE= 1 3BC,FD= 1 3AD,连 接 BF,DE 求证:

9、四边形 BEDF 是平行四边形 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得出 ADBC,ADBC,进而得出 DFBE,利用平行四边形的 判定解答即可 证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,ADBC, BE= 1 3BC,FD= 1 3AD, BEDF, DFBE, 四边形 BEDF 是平行四边形。 【例题【例题 3 3】(2020温州)如图,在ABC 中,A40,ABAC,点 D 在 AC 边上,以 CB,CD 为边作 BCDE,则E 的度数为( ) A40 B50 C60 D70 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求C,再根据平行四边形的性质可求E 解:在ABC 中

10、,A40,ABAC, C(18040)270, 四边形 BCDE 是平行四边形, E70。 【变式练习【变式练习 3 3】(2020武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如 图,AC 是 ABCD 的对角线,点 E 在 AC 上,ADAEBE,D102,则BAC 的大小是 【答案】26 【解析】根据平行四边形的性质得到ABCD102,ADBC,根据等腰三角形的性质得 到EABEBA,BECECB,根据三角形外角的性质得到ACB2CAB,由三角形的内 角和定理即可得到结论 解:四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD102,ADBC, ADAEBE, BCAEBE, EA

11、BEBA,BECECB, BECEAB+EBA2EAB, ACB2CAB, CAB+ACB3CAB180ABC180102, BAC26。 【例题【例题 4 4】(2020凉山州)如图, ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,OEAB 交 AD 于点 E,若 OA1,AOE 的周长等于 5,则 ABCD 的周长等于 16 【答案】16 【解析】由平行四边形的性质得 ABCD,ADBC,OBOD,证 OE 是ABD 的中位线,则 AB 2OE,AD2AE,求出 AE+OE4,则 AB+AD2AE+2OE8,即可得出答案 解:四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ADBC,OBOD,

12、 OEAB, OE 是ABD 的中位线, AB2OE,AD2AE, AOE 的周长等于 5, OA+AE+OE5, AE+OE5OA514, AB+AD2AE+2OE8, ABCD 的周长2(AB+AD)2816。 【变式练习【变式练习 4 4】(2020天津)如图, ABCD 的顶点 C 在等边BEF 的边 BF 上,点 E 在 AB 的延长 线上,G 为 DE 的中点,连接 CG若 AD3,ABCF2,则 CG 的长为 【答案】3 2 【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质,可以得到 BF 和 BE 的长,然后可以证明 DCG 和EHG 全等,然后即可得到 CG 的长 解:四边形

13、ABCD 是平行四边形, ADBC,CDAB,DCAB, AD3,ABCF2, CD2,BC3, BFBC+CF5, BEF 是等边三角形,G 为 DE 的中点, BFBE5,DGEG, 延长 CG 交 BE 于点 H, DCAB, CDGHEG, 在DCG 和EHG 中, CDG = HEG DG = EG DGC = EGH , DCGEHG(ASA), DCEH,CGHG, CD2,BE5, HE2,BH3, CBH60,BCBH3, CBH 是等边三角形, CHBC3, CG= 1 2CH= 3 2。 【例题【例题 5 5】(2020重庆)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC

14、,BD 相交于点 O,分别过点 A, C 作 AEBD,CFBD,垂足分别为 E,FAC 平分DAE (1)若AOE50,求ACB 的度数; (2)求证:AECF 【答案】见解析。 【解析】(1)利用三角形内角和定理求出EAO,利用角平分线的定义求出DAC,再利用平行 线的性质解决问题即可 (2)证明AEOCFO(AAS)可得结论 (1)解:AEBD, AEO90, AOE50, EAO40, CA 平分DAE, DACEAO40, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, ACBDAC40, (2)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, OAOC, AEBD,CFBD, AEOCFO90

15、, AOECOF, AEOCFO(AAS), AECF。 【变式练习【变式练习 5 5】(2020扬州)如图, ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 作 EFAC,分 别交 AB、DC 于点 E、F,连接 AF、CE (1)若 OE= 3 2,求 EF 的长; (2)判断四边形 AECF 的形状,并说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)判定AOECOF(ASA),即可得 OEOF= 3 2,进而得出 EF 的长; (2)先判定四边形 AECF 是平行四边形,再根据 EFAC,即可得到四边形 AECF 是菱形 解:(1)四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,AOCO, FCOEAO, 又AOECOF, AOECOF(ASA), OEOF= 3 2, EF2OE3; (2)四边形 AECF 是菱形, 理由:AOECOF, AECF, 又AECF, 四边形 AECF 是平行四边形, 又EFAC, 四边形 AECF 是菱形。