1、2020 年贵州省铜仁市松桃县中考数学模拟试卷（年贵州省铜仁市松桃县中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）本题每小题均有分）本题每小题均有 A、B、C、D 四个备选答案，四个备选答案， 其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 12020 的倒数是（ ） A2020 B C D 2在实数，2，0，中，最小的实数是（ ） A2 B0 C D 3下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（ ） A众数 B中位数 C方
2、差 D平均数 4一元二次方程 x2x10 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 5如图，已知圆心角AOB 的度数为 100，则圆周角ACB 的度数是（ ） A80 B100 C120 D130 6 如图， 在ABC 中， ADBC， 垂足为点 D， 若 AC6， C45， tanABC3， 则 BD 等于 （ ） A2 B3 C3 D2 7对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ） A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理 B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一
3、点与直线上各点 连接的所有线段中，垂线段最短”的原理 C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理 8 “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具” ，比如在化学中，甲烷的化学式 CH4，乙烷的化学 式是 C2H6，丙烷的化学式是 C3H8，设碳原子的数目为 n（n 为正整数） ，则它们的化学式都可用下 列哪个式子来表示（ ） AnH2n+2 BnH2n CnH2n2 DnHn+3 9如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24，再沿直线前进 10 米，又向左转 24， 照这样走下去，他第一次回到出发
4、地 A 点时，一共走的路程是（ ） A140 米 B150 米 C160 米 D240 米 10将些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，第 16 个图中有 （ ）个“O” A245 B215 C272 D311 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 119 的平方根是 12将等边CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA，使得 B，C，A三点在同一直线上，如图所示， 则 的大小是 13分解因式：a2b+2ab2+b3 14在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球如果口袋中
5、装有 3 个红球且 从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有 个 15若 a2+5abb20，则的值为 16两组数据 m，6，n 与 1，m，2n，7 的平均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据 的中位数为 17如图，RtAOB 中，AOB90，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，点 A，B 的坐标分别为（，0） ， （0，1） ，把 RtAOB 沿着 AB 对折得到 RtAOB，则点 O的坐标为 1对于实数 a，b，我们定义符号 maxa，b的意义为：当 ab 时，maxa，ba；当 ab 时，maxa， bb；如：max4，24，max3，33，若关于 x
6、 的函数为 ymaxx+3，x+1，则该函数的最 小值是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 个小题，第个小题，第 19 题每小题题每小题 10 分，第分，第 20、21、22 题每小题题每小题 10 分，共分，共 40 分，要有解题分，要有解题 的主要过程）的主要过程） 19 （1）计算： （1）2018+2sin60+（2018）0| （2）先化简，再求值：+2，其中 a1，b2 20一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向，距离灯塔 20 海里的 A 处，它向东航行多少海里到达灯塔 P 南 偏西 45方向上的 B 处（参考数据：1.732，结果精确到 0.1）？ 21为了深化课程改革
7、，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏” 、 “国际象棋” 、 “音乐舞蹈” 和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择 社团的意向并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整） ： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比 a 20% b 10% 5% 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生总人数及 a、b 的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有 1300 名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数 22如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过点 O 且与
8、BC、AD 分别交于点 E、F试猜想线段 AE、CF 的关系，并说明理由 四、解答题（本题满分四、解答题（本题满分 12 分）分） 23某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高 20 元，已知 20 个甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价相同 （1）求甲、乙每个商品的进货单价； （2）若甲、乙两种商品共进货 100 件，要求两种商品的进货总价不高于 9000 元，同时甲商品按进价提 高 10%后的价格销售，乙商品按进价提高 25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于 10480 元，问有哪几种进货方案？ （3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品
9、全部售完，哪种方案利润最大？最大利 润是多少？ 五、解答题（本题满分五、解答题（本题满分 12 分）分） 24如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CEBF连接 DE，过点 E 作 EG DE，使 EGDE，连接 FG，FC （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变， （1）中结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变， （1）中结论是否仍然成立？ 请直接写出你的判断 六、解
10、答题（本题满分六、解答题（本题满分 14 分）分） 25如图，抛物线 yx2+mx+n 与直线 yx+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接 AC，BC， 已知 A（0，3） ，C（3，0） （）求抛物线的解析式和 tanBAC 的值； （）在（）条件下： （1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使 得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 （2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点 M 从点 D 出发
11、，沿线段 DE 以每秒一个单 位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 2020 年贵州省铜仁市松桃县中考数学模拟试卷（年贵州省铜仁市松桃县中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是 故选：C 2在实数，2，0，中，最小的实数是（ ） A2 B0 C D 【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正
12、数大于 0，负数小于 0 进行大小比较即可 【解答】解：实数，2，0，中，最小的实数是2， 故选：A 3下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（ ） A众数 B中位数 C方差 D平均数 【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的意义进行判断 【解答】解：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组 数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数 故选：C 4一元二次方程 x2x10 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可 【解答】解：a1，b1，c1， b24ac（1
13、）241（1）50， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A 5如图，已知圆心角AOB 的度数为 100，则圆周角ACB 的度数是（ ） A80 B100 C120 D130 【分析】在优弧上任取一点连接得到圆内接四边形，先求出圆周角的度数，再根据圆内接四边形的性质 即可求出 【解答】解：如图，设点 E 是优弧上的一点，则EAOB50， C180E130 故选：D 6 如图， 在ABC 中， ADBC， 垂足为点 D， 若 AC6， C45， tanABC3， 则 BD 等于 （ ） A2 B3 C3 D2 【分析】根据三角函数定义可得 ADACsin45，从而可得 AD 的长，再利用正切定义可
14、得 BD 的长 【解答】解：AC6，C45， ADACsin4566， tanABC3， 3， BD2， 故选：A 7对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ） A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理 B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点 连接的所有线段中，垂线段最短”的原理 C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理 【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项 即可 【解答】解：A
15、、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正 确； B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原 理，故错误； C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确； D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确， 故选：B 8 “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具” ，比如在化学中，甲烷的化学式 CH4，乙烷的化学 式是 C2H6，丙烷的化学式是 C3H8，设碳原子的数目为 n（n 为正整数） ，则它们的化学式都可用下 列哪个式子来表示（ ） AnH2n+2 BnH2n
16、CnH2n2 DnHn+3 【分析】设碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，氢原子的数目为 an，列出部分 an的值，根据数值的变 化找出变化规律“an2n+2” ，依次规律即可解决问题 【解答】解：设碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，氢原子的数目为 an， 观察，发现规律：a1421+2，a2622+2，a3823+2， an2n+2 碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，它的化学式为nH2n+2 故选：A 9如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24，再沿直线前进 10 米，又向左转 24， 照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走的路程是（ ） A140
17、 米 B150 米 C160 米 D240 米 【分析】多边形的外角和为 360每一个外角都为 24，依此可求边数，再求多边形的周长 【解答】解：多边形的外角和为 360，而每一个外角为 24， 多边形的边数为 3602415， 小华一共走了：1510150 米 故选：B 10将些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“O”的个数，第 16 个图中有 （ ）个“O” A245 B215 C272 D311 【分析】分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 5；第 2 个图形中小圆的个数为 7；第 3 个图形中小 圆的个数为 11；第 4 个图形中小圆的个数为 17；则知第
18、 n 个图形中小圆的个数为 n（n1）+5据此可 以再求得第 16 个图中有多少个“” 【解答】解：第一个图形有：5 个， 第二个图形有：21+57 个， 第三个图形有：32+511 个， 第四个图形有：43+517 个， 由此可得第 n 个图形有：n（n1）+5个， 第 16 个图中有 16（161）+5245， 故选：A 二填空题二填空题 119 的平方根是 3 【分析】直接利用平方根的定义计算即可 【解答】解：3 的平方是 9， 9 的平方根是3 故答案为：3 12将等边CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA，使得 B，C，A三点在同一直线上，如图所示， 则 的大小是 120 【分析】
19、根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可 【解答】解：三角形 ABC 是等边三角形， ACB60， 等边CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA，使得 B，C，A三点在同一直线上， BCA180，BCA60， ACB60， 60+60120， 故答案为：120 13分解因式：a2b+2ab2+b3 b（a+b）2 【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可 【解答】解：原式b（a+b）2 故答案为：b（a+b）2 14在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球如果口袋中装有 3 个红球且 从中随机摸出一个球是红球的概率为，那么口袋中小球共有 12 个 【分析】
20、设口袋中小球共有 x 个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出 x 即可 【解答】解：设口袋中小球共有 x 个， 根据题意得， 解得 x12， 所以口袋中小球共有 12 个 故答案为：12 15若 a2+5abb20，则的值为 5 【分析】先根据题意得出 b2a25ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论 【解答】解：a2+5abb20， b2a25ab， 5 故答案为：5 16两组数据 m，6，n 与 1，m，2n，7 的平均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据 的中位数为 7 【分析】根据平均数的计算公式先求出 m、n 的值，再根据中位数的定义即可得出答案
21、 【解答】解：两组数据 m，6，n 与 1，m，2n，7 的平均数都是 6， ， 解得：， 若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 1，4，6，7，8，8，8， 一共 7 个数，第四个数是 7，则这组数据的中位数是 7； 故答案为：7 17如图，RtAOB 中，AOB90，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，点 A，B 的坐标分别为（，0） ， （0，1） ，把 RtAOB 沿着 AB 对折得到 RtAOB，则点 O的坐标为 （，） 【分析】作 OCy 轴于点 C，首先根据点 A，B 的坐标分别为（，0） ， （0，1）得到BAO30， 从而得出OBA60，然后根据 RtAO
22、B 沿着 AB 对折得到 RtAOB，得到CBO60，最后 设 BCx，则 OCx，利用勾股定理求得 x 的值即可求解 【解答】解：如图，作 OCy 轴于点 C， 点 A，B 的坐标分别为（，0） ， （0，1） ， OB1，OA， tanBAO， BAO30， OBA60， RtAOB 沿着 AB 对折得到 RtAOB， CBO60， 设 BCx，则 OCx， x2+（x）21， 解得：x（负值舍去） ， OC， OCOB+BC1+， 点 O的坐标为（，） 故答案为： （，） 18对于实数 a，b，我们定义符号 maxa，b的意义为：当 ab 时，maxa，ba；当 ab 时，maxa， b
23、b；如：max4，24，max3，33，若关于 x 的函数为 ymaxx+3，x+1，则该函数的最 小值是 2 【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据 maxa，b的意义即可得出 函数的最小值 【解答】解：联立两函数解析式成方程组，得：， 解得： 当 x1 时，ymaxx+3，x+1x+12；当 x1 时，ymaxx+3，x+1x+32 函数 ymaxx+3，x+1最小值为 2 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19 （1）计算： （1）2018+2sin60+（2018）0| （2）先化简，再求值：+2，其中 a1，b2 【分析】 （1）根
24、据零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案 （2）根据分式的运算法则进行化简，然后将 a 与 b 的值代入原式即可求出答案 【解答】解： （1）原式1+2+12 （2）原式+2 2+2 当 a1，b2 时， 原式3 20一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60方向，距离灯塔 20 海里的 A 处，它向东航行多少海里到达灯塔 P 南 偏西 45方向上的 B 处（参考数据：1.732，结果精确到 0.1）？ 【分析】利用题意得到 ACPC，APC60，BPC45，AP20，如图，在 RtAPC 中，利用 余弦的定义计算出 PC10，利用勾股定理计算出 AC10，再判断PBC 为等腰直角三角
25、形得到 BC PC10，然后计算 ACBC 即可 【解答】解：如图，ACPC，APC60，BPC45，AP20， 在 RtAPC 中，cosAPC， PC20cos6010， AC10， 在PBC 中，BPC45， PBC 为等腰直角三角形， BCPC10， ABACBC10107.3（海里） 答：它向东航行约 7.3 海里到达灯塔 P 南偏西 45方向上的 B 处 21为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏” 、 “国际象棋” 、 “音乐舞蹈” 和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择 社团的意向并将调查结果绘制成如下
26、统计图表（不完整） ： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比 a 20% b 10% 5% 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生总人数及 a、b 的值； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有 1300 名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数 【分析】 （1）用书法的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数，用文学鉴赏、音乐舞 蹈的人数除以总人数即可求出 a、b 的值； （2）用总人数乘以国际象棋的人数所占的百分比求出国际象棋的人数，再把条形统计图补充即可； （3）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占
27、的百分比即可 【解答】解： （1）本次抽样调查的学生总人数是：2010%200， a100%30%， b100%35%， （2）国际象棋的人数是：20020%40， 条形统计图补充如下： （3）若该校共有 1300 名学生，则全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是 130035%455（人） ， 答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是 130035%455 人 22如图，ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，EF 过点 O 且与 BC、AD 分别交于点 E、F试猜想线段 AE、CF 的关系，并说明理由 【分析】先猜出 AE 与 CF 的关系，然后说明理由即可，由题意可以推出四边形 AEC
28、F 是平行四边形，从 而可以推出 AE 与 CF 的关系 【解答】解：AE 与 CF 的关系是平行且相等 理由：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，AFEC， OAFOCE， 在OAF 和OCE 中， ， OAFOCE（ASA） ， AFCE， 又AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形， AECF 且 AECF， 即 AE 与 CF 的关系是平行且相等 23某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高 20 元，已知 20 个甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价相同 （1）求甲、乙每个商品的进货单价； （2）若甲、乙两种商品共进货 100 件，要求两种商品的进货总价
29、不高于 9000 元，同时甲商品按进价提 高 10%后的价格销售，乙商品按进价提高 25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于 10480 元，问有哪几种进货方案？ （3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利 润是多少？ 【分析】 （1）设甲每个商品的进货单价是 x 元，每个乙商品的进货单价是 y 元，根据甲的进货单价比乙 的进货单价高 20 元，已知 20 个甲商品的进货总价与 25 个乙商品的进货总价相同即可列方程组求解； （2）设甲进货 x 件，乙进货（100 x）件，根据两种商品的进货总价不高于 9000 元，两种商品全部售
30、 完后的销售总额不低于 10480 元即可列不等式组求解； （3）把利润表示出甲进的数量的函数，利用函数的性质即可求解 【解答】解： （1）设甲每个商品的进货单价是 x 元，每个乙商品的进货单价是 y 元 根据题意得：， 解得：， 答：甲商品的单价是每件 100 元，乙每件 80 元； （2）设甲进货 x 件，乙进货（100 x）件 根据题意得：， 解得：48x50 又x 是正整数，则 x 的正整数值是 48 或 49 或 50，则有 3 种进货方案： 甲进货 48 件，乙进货 52 件或甲进货 49 件，乙进货 51 件或甲进货 50 件，乙进货 50 件 （3）销售的利润 w10010%x
31、+80（100 x）25%，即 w200010 x， 则当 x 取得最小值 48 时，w 取得最大值，是 200010481520（元） 此时，乙进的件数是 1004852（件） 答：当甲进 48 件，乙进 52 件时，最大的利润是 1520 元 24如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CEBF连接 DE，过点 E 作 EG DE，使 EGDE，连接 FG，FC （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 FGCE ，位置关系是 FGCE ； （2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变， （1）中结论是否仍然成立？
32、 请作出判断并给予证明； （3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变， （1）中结论是否仍然成立？ 请直接写出你的判断 【分析】 （1）只要证明四边形 CEGF 是平行四边形即可得出 FGCE，FGCE； （2）构造辅助线后证明HGECED，利用对应边相等求证四边形 GHBF 是矩形后，利用等量代换 即可求出 FGC，FGCE； （3）证明CBFDCE 后，即可证明四边形 CEGF 是平行四边形 【解答】解： （1）FGCE，FGCE； （2）过点 G 作 GHCB 的延长线于点 H， EGDE， GEH+DEC90， GEH+HGE90， DECHGE，
33、在HGE 与CED 中， ， HGECED（AAS） ， GHCE，HECD， CEBF， GHBF， GHBF， 四边形 GHBF 是矩形， GFBH，FGCH FGCE 四边形 ABCD 是正方形， CDBC， HEBC HE+EBBC+EB BHEC FGEC 另解：过点 E 作 EMGF 于 M， 易证：EGMDEC（AAS） EMCDBC， 另解：也可证明ECDFBC（SAS） ， EDFC， GEEDFC，DECCFB， CFED， CFGE， 四边形是 GFCE 是平行四边形，从而得证 （3）成立 四边形 ABCD 是正方形， BCCD，FBCECD90， 在CBF 与DCE 中
34、， ， CBFDCE（SAS） ， BCFCDE，CFDE， EGDE， CFEG， DEEG DEC+CEG90 CDE+DEC90 CDECEG， BCFCEG， CFEG， 四边形 CEGF 平行四边形， FGCE，FGCE 25如图，抛物线 yx2+mx+n 与直线 yx+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接 AC，BC， 已知 A（0，3） ，C（3，0） （）求抛物线的解析式和 tanBAC 的值； （）在（）条件下： （1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使 得以 A，P，Q 为顶点
35、的三角形与ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 （2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单 位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 【分析】 （）只需把 A、C 两点的坐标代入 yx2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形 ABC 是直角三角形，从而得到ACB 90，然后根据三角函数的定义就可求出 tanBAC
36、 的值； （） （1） 过点 P 作 PGy 轴于 G， 则PGA90 设点 P 的横坐标为 x， 由 P 在 y 轴右侧可得 x0， 则PGx， 易得APQACB90 若点G在点A的下方， 当PAQCAB时， PAQCAB 此 时可证得PGABCA， 根据相似三角形的性质可得 AG3PG3x 则有 P （x， 33x） ， 然后把 P （x， 33x）代入抛物线的解析式，就可求出点 P 的坐标当PAQCBA 时，PAQCBA，同理，可 求出点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标； （2）过点 E 作 ENy 轴于 N，如 图 3易得 AEEN，则点 M 在整个
37、运动中所用的时间可表示为+DE+EN作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 DE，则有 DEDE，DCDC，DCADCA45，从而可得D CD90，DE+ENDE+EN根据两点之间线段最短可得：当 D、E、N 三点共线时，DE+END E+EN 最小此时可证到四边形 OCDN 是矩形，从而有 NDOC3，ONDCDC然后求出 点 D 的坐标，从而得到 OD、ON、NE 的值，即可得到点 E 的坐标 【解答】解： （）把 A（0，3） ，C（3，0）代入 yx2+mx+n，得 ， 解得： 抛物线的解析式为 yx2x+3 联立， 解得：或， 点 B 的坐标为（4，1） 如图 1 C（3，0） ，
38、B（4，1） ，A（0，3） ， AB220，BC22，AC218， BC2+AC2AB2， ABC 是直角三角形， ACB90， tanBAC； （）方法一： （1）存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似 过点 P 作 PGy 轴于 G，则PGA90 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x0，则 PGx PQPA，ACB90， APQACB90 若点 G 在点 A 的下方， 如图 2，当PAQCAB 时，则PAQCAB PGAACB90，PAQCAB， PGABCA， AG3PG3x 则 P（x，33x） 把 P（x，33x）代入 yx2x+3，得 x
39、2x+333x， 整理得：x2+x0 解得：x10（舍去） ，x21（舍去） 如图 2，当PAQCBA 时，则PAQCBA 同理可得：AGPGx，则 P（x，3x） ， 把 P（x，3x）代入 yx2x+3，得 x2x+33x， 整理得：x2x0 解得：x10（舍去） ，x2， P（，） ； 若点 G 在点 A 的上方， 当PAQCAB 时，则PAQCAB， 同理可得：点 P 的坐标为（11，36） 当PAQCBA 时，则PAQCBA 同理可得：点 P 的坐标为 P（，） 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（11，36） 、 （，） 、 （，） ； 方法二： 作APQ 的“外接矩形”AQGH
40、，易证AHPQGP， ， 以 A，P，Q 为顶点的三角形与ACB 相似， 或， 设 P（2t，2t25t+3） ，A（0，3） ，H（2t，3） ， ，|， 2t1，2t2， ，|3 2t111，2t21， （舍） ， 满足题意的点 P 的坐标为（11，36） 、 （，） 、 （，） ； （2）方法一： 过点 E 作 ENy 轴于 N，如图 3 在 RtANE 中，ENAEsin45AE，即 AEEN， 点 M 在整个运动中所用的时间为+DE+EN 作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 DE， 则有 DEDE，DCDC，DCADCA45， DCD90，DE+ENDE+EN 根据两点之间线段
41、最短可得： 当 D、E、N 三点共线时，DE+ENDE+EN 最小 此时，DCDDNONOC90， 四边形 OCDN 是矩形， NDOC3，ONDCDC 对于 yx2x+3， 当 y0 时，有x2x+30， 解得：x12，x23 D（2，0） ，OD2， ONDCOCOD321， NEANAOON312， 点 E 的坐标为（2，1） 方法二： 作点 D 关于 AC 的对称点 D，DD交 AC 于点 M，显然 DEDE， 作 DNy 轴，垂足为 N，交直线 AC 于点 E，如图 4， 在 RtANE 中，ENAEsin45AE，即 AEEN， 当 D、E、N 三点共线时，DE+ENDE+EN 最
42、小， A（0，3） ，C（3，0） ， lAC：yx+3， M（m，m+3） ，D（2，0） ， DMAC，KDMKAC1， 1， m，M（，） ， M 为 DD的中点， D（3，1） ， EYDY1， E（2，1） 方法三：如图，5，过 A 作射线 AFx 轴，过 D 作射线 DFy 轴，DF 与 AC 交于点 E A（0，3） ，C（3，0） ， lAC：yx+3 OAOC，AOC90， ACO45， AFOC， FAE45 EFAEsin45 当且仅当 AFDF 时，DE+EF 取得最小值，点 M 在整个运动中用时最少为：t+DE+EF， 抛物线的解析式为 yx2x+3，且 C（3，0） ， 可求得 D 点坐标为（2，0） 则 E 点横坐标为 2，将 x2 代入 lAC：yx+3，得 y1 所以 E（2，1）
