1、2019 年贵州省铜仁市松桃县中考数学一模试卷年贵州省铜仁市松桃县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题均有分，每小题均有 A、B、C、D 四个四个 备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上）备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上） 1 （4 分）的值等于（ ） A3 B3 C3 D 2 （4 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （4 分）某中学田径队的 18 名队员的年龄情况如下表： 年
2、龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 7 3 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A15，15 B15，15.5 C15，16 D16，15 4 （4 分）第六次全国人口普查公布的我国总人口数约为 1370000000 人，用科学记数法表 示正确的是（ ） A1.37107 B1.37108 C1.37109 D1.371010 5 （4 分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A B C D 6 （4 分）已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm，则菱形的面积为（ ） A3cm2 B4cm2 Ccm2 D2cm2 7 （4 分）若双曲线的图
3、象经过第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck D不存在 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 是BAC 的平分线且交 BC 于点 D，DEAB，垂足为点 E，若 AB8cm，则DBE 的周长（ ） 第 2 页（共 22 页） A4cm B6cm C8cm D8cm 9 （4 分）小明骑自行车到学校上学，若每小时骑 15 千米，可早到 10 分钟，若每小时骑 13 千米，则迟到 5 分钟，设他家到学校的路程为 x 千米，下列方程正确的是（ ） A B C D 10 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，1） ，B（，0） ，动点 P 在线段
4、 AB 上运动，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 M，作 x 轴的垂线，垂足为点 N，连接 MN， 则线段 MN 的最小值为（ ） A1 B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）计算：| 12 （4 分）一元二次方程 x23x 的解是： 13 （4 分）在四边形 ABCD 中，ABCD，请添加一个条件 ，使得四边形 ABCD 是 平行四边形 14 （4 分）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 边形 15 （4 分）一组数据 2，2，3，4，4 的方差是 16 （4 分）如图，在AB
5、C 中，ACBC2，C90，D 是的中点，DEDF，点 E， F 分别在 AC，BC 上，则四边形 CFDE 的面积为 第 3 页（共 22 页） 17 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2kx+k+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 18（4 分） 有一组单项式依次为x2， ， ， ， 则第 n 个单项式为 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 40 分）分） 19 （10 分） （1）计算： （） 12sin60+（3.14）0+| | （2）先化简，再求值： （1+），其中 a 在1、1、2 中选一个适合 的数代入求值 20 （10 分）如
6、图，AE 与 BD 相交于点 C，已知 AC4，BC2.1，EC8，DC4.2，求证： ABDE 21 （10 分）如图是某校九年级学生为灾区捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图 （1）求抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，求该样本中捐款 15 元的人数所占的圆心角度数； （3）若该校九年级学生有 1000 人，据此样本估计九年级捐款总数为多少元？ 22 （10 分）为了安全，交通部门一再提醒司机：请勿超速！同时，进一步完善各类监测系 统，如图，在松铜公路某直线路段 MN 内限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速， 第 4 页（共 22 页） 在公路 MN 旁设立了测速点 C，从测速
7、点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 3 秒钟， 已知CAN45，CBN60，BC120 米 （1）求测速点 C 到该段公路的距离； （2）请你通过计算判断此车是否超速， （结果精确到 0.1m/s） （参考数据：1.41， 1.73） 四、 （本题满分四、 （本题满分 12 分）分） 23 （12 分）为加强中小学生安全教育，某校九（1）班组织了“防溺水”知识竞赛，班委 会决定购买钢笔和圆珠笔对表现优异的同学进行奖励，同学们前往商店采购，商店里的 阿姨说： “购买 3 支钢笔和 2 支圆珠笔共需 8 元，并且 3 支钢笔比 2 支圆珠笔多花 4 元” （1）求钢笔和圆珠笔每支各需多
8、少元？ （2）班委会决定购买钢笔和圆珠笔共 30 支，且支出不超过 50 元，则最多能够购买多少 支钢笔？ 五、 （本题满分五、 （本题满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3cm，AD4cm，EF 经过对角线 BD 的中点 O， 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：BOFDOE； （2）当 EFBD 时，求 AE 的长 六、 （本题满分六、 （本题满分 14 分）分） 25 （14 分）已知二次函数 yax2+bx+3 的图象经过 A（1，0） 、C（3，0） 、并且与 y 轴 相交于点 B，点 P 是直线 BC 上方的抛物线上的一动点，PQy 轴
9、交直线 BC 于点 Q （1）求此二次函数的表达式； （2）求线段 PQ 的最大值； 第 5 页（共 22 页） （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使MAB 为等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 22 页） 2019 年贵州省铜仁市松桃县中考数学一模试卷年贵州省铜仁市松桃县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，每小题均有分，每小题均有 A、B、C、D 四个四个 备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题
10、卡相应的位置上）备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上） 1 （4 分）的值等于（ ） A3 B3 C3 D 【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数 【解答】解：3， 故选：A 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0 的算术平 方根是 0 2 （4 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形故不符合题意； C、不是轴对称
11、图形，是中心对称图形故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故符合题意 故选：D 【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形的知识，记住：如果一个图形沿着一条直 线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在同一 平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那 么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点 3 （4 分）某中学田径队的 18 名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 7 3 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 第 7 页（共 22 页） A
12、15，15 B15，15.5 C15，16 D16，15 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：15 岁的有 7 人，最多， 众数为：15， 中位数为： （15+15）215 故选：A 【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； 将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数 4 （4 分）第六次全国人口普查公布的我国总人口数约为 1370000000 人，用科学记数法表 示正确的是（ ） A1.37107 B1.3
13、7108 C1.37109 D1.371010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 1370000000 用科学记数法表示为：1.37109 故选：C 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5 （4 分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
14、A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实 心，不包括端点用空心”的原则逐个判断即可 【解答】解：解不等式 2x+11，得：x1， 解不等式 x+23，得：x1， 不等式组的解集为：1x1， 故选：B 第 8 页（共 22 页） 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 6 （4 分）已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm，则菱形的面积为（ ） A3cm2 B4cm2 Ccm2 D2cm2 【分析】根据菱形的性质可得该对角线与菱
15、形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定 理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积两条对角线的乘 积，即可求得菱形的面积 【解答】解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长 2， 则菱形的面积2222cm2 故选：D 【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半 7 （4 分）若双曲线的图象经过第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck D不存在 【分析】根据反比例函数 y（k0）的性质，当 k0，双曲线的两支分别位于第二、 第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大可得 2k10，再解不等式即可 【解答】解：双曲线的图象
16、经过第二、四象限， 2k10， 解得：k， 故选：B 【点评】此题主要考查了反比例函数（k0）的性质， （1）k0，反比例函数图象 在一、三象限； （2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，C90，AD 是BAC 的平分线且交 BC 于点 D，DEAB，垂足为点 E，若 AB8cm，则DBE 的周长（ ） 第 9 页（共 22 页） A4cm B6cm C8cm D8cm 【分析】 根据角平分线性质求出 CDDE， 根据勾股定理求出 ACAEAB， 求出 BD+DE AE，即可求出答案 【解答】解：AD 平分CAB，C90，DEAB， CDDE，
17、由勾股定理得：AC，AE， AEACBC， DE+BDCD+BEBC， ACBC， BD+DEACAE， BDE 的周长是 BD+DE+BE AE+BE AB 8 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线性质，等腰直角三角形，垂线等知识点的应用， 关键是求出 AEACBC，CDDE，通过做此题培养了学生利用定理进行推理的能力 9 （4 分）小明骑自行车到学校上学，若每小时骑 15 千米，可早到 10 分钟，若每小时骑 13 千米，则迟到 5 分钟，设他家到学校的路程为 x 千米，下列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】设他家到学校的路程为 x 千米，根据时间路程速度结合“若每小时
18、骑 15 千 米，可早到 10 分钟，若每小时骑 13 千米，则迟到 5 分钟” ，即可得出关于 x 的一元一次 方程，此题得解 【解答】解：设他家到学校的路程为 x 千米， 第 10 页（共 22 页） 依题意，得：+ 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一 次方程是解题的关键 10 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，1） ，B（，0） ，动点 P 在线段 AB 上运动，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 M，作 x 轴的垂线，垂足为点 N，连接 MN， 则线段 MN 的最小值为（ ） A1 B C D 【分析】过点 P
19、向两坐标轴做垂线与两坐标轴转成的四边形是矩形，根据矩形的对角线 相等，只要求出对角线 OP 的最啎问题就得以解决，由于 P 点是 AB 上的支点，当 OP AB 时，根垂 【解答】解：连接 OP A（0，1） ，B（，0） OA1，OB AB2 PMAO，PNOB PMOPNO90 又ABO90 AOBPMOPNO90 四边形 PMON 是矩形 MNOP 当 OP 最小时，MN 最小 当 OPAB 时，OP 最小 第 11 页（共 22 页） 此时有ABOPOAOB ABOPOAOB 20P1 OP 故选：D 【点评】本题侧重考查学生的知识的运用能力，考查了矩形的对角线相等，点到直线距 离，垂
20、线段最短及三角形面积公式 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）计算：| 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案 【解答】解：|， 故答案为： 【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数 12 （4 分）一元二次方程 x23x 的解是： x10，x23 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x23x， x23x0， x（x3）0， 解得：x10，x23 故答案为：x10，x23 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后 方程的左边能因式分
21、解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点 解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用当化简 后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程 第 12 页（共 22 页） 13 （4 分）在四边形 ABCD 中，ABCD，请添加一个条件 ADBC 或者 ABCD ，使 得四边形 ABCD 是平行四边形 【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件 【解答】解：ABCD， 当 ADBC， （两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ） 或 ABCD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）时，四边形 ABC
22、D 是平行四 边形 故答案为：ADBC 或者 ABCD 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是： （1）两组 对边分别平行的四边形是平行四边形；（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四 边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 14 （4 分）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 四 边形 【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题 【解答】解：多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和 是 360 度， 这个多
23、边形是四边形 故答案为四 【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，比较简单 15 （4 分）一组数据 2，2，3，4，4 的方差是 0.8 【分析】根据方差公式计算即可方差 S2（x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2 【解答】解： （2+4+2+3+4）53， S2（23）2+（43）2+（23）2+（33）2+（43）250.8 故答案为：0.8 【点评】本题考查了方差的意义方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动 性越大，反之也成立 16 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC2，C90，D 是的中点，DEDF，点 E， F 分别在 AC，BC 上，则四边形 C
24、FDE 的面积为 1 第 13 页（共 22 页） 【分析】连接 CD，构建全等三角形，证明ECDFBD，根据全等三角形的性质和三 角形的面积公式解答即可 【解答】解：连接 CD， C90，D 是 AB 的中点， CDABBD， ACBC， CDAB，ACDB45， CDF+BDF90， EDDF， EDF90， EDC+CDF90， EDCBDF， 在ECD 与FBD 中 ， ECDFBD（ASA） ， DEDF 在ABC 中，ACBC，C90，D 是 AB 的中点， SDCBSACB221， 第 14 页（共 22 页） 四边形 CFDE 的面积 SSEDC+SCDFSBDF+SCDFSC
25、DB1， 故答案为：1 【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三 角形的特殊性：如两个锐角都是 45；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等 来证明角相等 17 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2kx+k+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k且 k1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0 且 k10，求出即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2x+10 有实数根， k10 且（2k）24（k1） （k+3）0， 解得：k且 k1，
26、 故答案为：k且 k1 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根 的判别式0，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键 18 （4 分）有一组单项式依次为x2，则第 n 个单项式为 （1）n 【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第 n 的个单项 式 【解答】解：有一组单项式依次为x2， 第 n 个单项式为： （1）n， 故答案为： （1）n 【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中单 项式的变化规律 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 40 分）分） 19 （10 分） （
27、1）计算： （） 12sin60+（3.14）0+| | 第 15 页（共 22 页） （2）先化简，再求值： （1+），其中 a 在1、1、2 中选一个适合 的数代入求值 【分析】 （1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式， 再进一步计算可得； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的 x 的值代 入计算可得 【解答】解： （1）原式22+1+2 2+1+2 3+； （2）原式（+） a1， a 不能为1，1， a 取 2， 当 a2 时，原式211 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则，
28、也考查了三角函数值、负整数指数的规定、绝对值性质和零指数幂的规定 20 （10 分）如图，AE 与 BD 相交于点 C，已知 AC4，BC2.1，EC8，DC4.2，求证： ABDE 【分析】由 AC，EC，BC，DC 的长度可得出，结合ACBECD 可得出 ACBECD，利用相似三角形的性质可得出AE，再利用“内错角相等，两直线 平行”可证出 ABDE 第 16 页（共 22 页） 【解答】证明：， 又ACBECD， ACBECD， AE， ABDE 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用“两边对应成比 例且夹角相等，两个三角形相似”证出ACBECD 是解题的关键 2
29、1 （10 分）如图是某校九年级学生为灾区捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图 （1）求抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，求该样本中捐款 15 元的人数所占的圆心角度数； （3）若该校九年级学生有 1000 人，据此样本估计九年级捐款总数为多少元？ 【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得该样本中捐款 15 元的人数所占的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据可以估计九年级捐款总数为多少元 【解答】解： （1）由统计图可得， 1530%50（人） 即抽样调查的人数为 50； （2）该样本中捐款 15 元的有 50251510（人） ，
30、它所占的圆心角为：36072； （3） （515+1025+1510）5010009500（元） ， 答：九年级捐款总数为 9500 元 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答 第 17 页（共 22 页） 22 （10 分）为了安全，交通部门一再提醒司机：请勿超速！同时，进一步完善各类监测系 统，如图，在松铜公路某直线路段 MN 内限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速， 在公路 MN 旁设立了测速点 C，从测速点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 3 秒钟， 已知CAN45，CBN60，BC120 米 （1
31、）求测速点 C 到该段公路的距离； （2）请你通过计算判断此车是否超速， （结果精确到 0.1m/s） （参考数据：1.41， 1.73） 【分析】 （1）作 CHMN在 RtBCH 中，求出 CE 即可； （2）求出 BH、AH 即可解决问题 【解答】解： （1）过 C 作 CHMN，垂足为 H， CBN60，BC120 米， CHBCsin6012060（米） ； （2）BHBCcos6060（米） ， CAN45， AHCH60米 AB606043.8（m） ， 车速为 43.8314.6m/s 60 千米/小时16.7m/s， 又14.6 m/s16.7 m/s 此车没有超速 【点评】
32、此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，解题的关键是学会添 加常用辅助线面构造直角三角形解决问题 第 18 页（共 22 页） 四、 （本题满分四、 （本题满分 12 分）分） 23 （12 分）为加强中小学生安全教育，某校九（1）班组织了“防溺水”知识竞赛，班委 会决定购买钢笔和圆珠笔对表现优异的同学进行奖励，同学们前往商店采购，商店里的 阿姨说： “购买 3 支钢笔和 2 支圆珠笔共需 8 元，并且 3 支钢笔比 2 支圆珠笔多花 4 元” （1）求钢笔和圆珠笔每支各需多少元？ （2）班委会决定购买钢笔和圆珠笔共 30 支，且支出不超过 50 元，则最多能够购买多少 支钢笔？ 【
33、分析】 （1）设购买一支刚笔 x 元，一支圆珠笔 y 元根据“购买 3 支钢笔和 2 支圆珠 笔共需 8 元，并且 3 支钢笔比 2 支圆珠笔多花 4 元”列出方程组并解答 （2）设购买刚笔 z 支，则购买圆珠笔（30z）支，根据“购买钢笔和圆珠笔共 30 支， 且支出不超过 50 元”列出不等式 【解答】解： （1）设购买一支刚笔 x 元，一支圆珠笔 y 元，可得方程组： 解得： 答：购买一支刚笔 2 元，一支圆珠笔 6 元， （2）设购买刚笔 z 支，则购买圆珠笔（30z）支，根据题意，得 2z+（30z）50 解得：z20 答：最多能购买 20 支钢笔 【点评】本题考查了二元一次方程组及
34、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细 审题，找到等量关系及不等关系，难度一般 五、 （本题满分五、 （本题满分 12 分）分） 24 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3cm，AD4cm，EF 经过对角线 BD 的中点 O， 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：BOFDOE； （2）当 EFBD 时，求 AE 的长 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）根据 ASA 证明证明BOFDOE （2）设 AExcm，由 EBEDADAE（4x）cm，在 RtABE 中，根据 AB2+AE BE2，构建方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，
35、 ADBC， BFODEO，FBOEDO， 又O 是 BD 中点， OBOD， BOFDOE（ASA） （2）连接 BE EFBD，O 为 BD 中点， EBED， 设 AExcm，由 EBEDADAE（4x）cm， 在 RtABE 中，AB3cm， 根据勾股定理得：AB2+AEBE2，即 9+x2（4x）2， 解得：x， AE 的长是 cm 【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 六、 （本题满分六、 （本题满分 14 分）分） 第 20 页（共 22 页） 25 （14 分）已知二次函数 yax2+bx+3 的图象经过 A
36、（1，0） 、C（3，0） 、并且与 y 轴 相交于点 B，点 P 是直线 BC 上方的抛物线上的一动点，PQy 轴交直线 BC 于点 Q （1）求此二次函数的表达式； （2）求线段 PQ 的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使MAB 为等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法确定函数关系式 （2）设 P（m，m2+2m+3） ，Q（m，m+3） 利用两点间的距离公式得到 PQ m2+3m，利用配方法求得最值 （3）分三种情况讨论： MAMB，22+a212+（a3）2 MAAB，22+a210 ABMB，12+（a3）21
37、0 借助于方程求得点 M 的坐标即可 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+3 的图象经过 A（1，0） ，C（3，0） 解得 此二次函数表达式为 yx2+2x+3 （2）设直线 BC 为 ykx+b，因其经过 B（0，3） ，C（3，0） ， 解得 k1，b3 第 21 页（共 22 页） 直线 BC 的表达式为 yx+3 设 P（m，m2+2m+3） ，Q（m，m+3） PQm2+2m+3（m+3） m2+3m （m）2+ PQ 的最大值为 （3）存在，理由如下： 二次函数 yx2+2x+3 的对称轴为 x1，OA1，OB3， 在 RtABO 中由勾股定理可得 AB，AB210 设
38、 M（1，a） ，则 MA222+a2，MB212+（a3）2 分三种情况讨论： MAMB，22+a212+（a3）2，得 a1， M1（1，1） ； MAAB，22+a210，得 a， M2（1，） ，M3（1，） ； ABMB，12+（a3）210，得 a0 或 a6， M4（1，0） ，M5（1，6） M5、A、B 三点共线， M5（1，6）舍去 M 的坐标为：M1（1，1） ，M2（1，） ，M3（1，） ，M4（1，0） 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 第 22 页（共 22 页） 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系
