1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 2：与角的度数相关的综合题：与角的度数相关的综合题 1已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+2 经过点 A（3，6） 、B（6，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）点 D 是抛物线上的点，且位于线段 BC 上方，联结 CD 如果点 D 的横坐标为 2求 cotDCB 的值； 如果DCB2CBO，求点 D 的坐标 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx2 经过点 A（2，0）和 B（1，1） ，与 y 轴交 于点 C （1）求这个抛物线的表达式； （2）
2、如果点 P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交 x 轴于点 D， 求 P 点坐标； 点 Q 在 x 轴上，如果QCAPCB，求点 Q 的坐标 3在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx24x+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的正 半轴交于点 C （1）直接写出点 B、C 的坐标，并求直线 BC 的解析式； （2）若点 P 是线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线与抛物线在 x 轴下方交于点 Q试问线段 PQ 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线 PQ 上是否存在点 M，满足OM
3、B45，若存在，请求点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由 4如图，直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B （1）求抛物线的解析式； （2）E（m，0）为 x 轴上一动点，过点 E 作 EDx 轴，交直线 AB 于点 D，交抛物线于点 P，连接 BP 点 E 在线段 OA 上运动，若BPD 直角三角形，求点 E 的坐标； 点 E 在 x 轴的正半轴上运动，若PBD+CBO45请直接写出 m 的值 5如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C，直线 lAC，
4、 垂足为 C （1）求该抛物线的表达式； （2）若直线 l 与该抛物线的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； （3）设动点 P（m，n）在该抛物线上，当PAC45时，求 m 的值 6已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点（0， 3） （1）求 a 的值； （2）若 P 为二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的顶点，求证：ACOPCB； （3）若 Q 为二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上一点，且ACOQCB，求 Q 点的坐标 7如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yax2+bx+4（a0）经
5、过点 A（8，0） 、B（2， 0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是 AB 中点，连接 CD点 P 是抛物线上一点 （1）求 a、b 的值； （2）若 SCDPSCDO，求点 P 的横坐标； （3）过点 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 E，若CPECDO，求点 P 的横坐标 8如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的 顶点为 M，对称轴交 x 轴于 E，点 D 在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DEOC，DM （1）求抛物线的对称轴方程； （2）若 DADC，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点
6、P 是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线 BM 上只存在一个点 Q，使PQC 45，求点 P 的坐标 9如图，抛物线 ymx2+4mx12m（m0）与 x 轴相交于点 A、B（点 A 在点 B 的右边） ，顶点为 C （1）求 A、B 两点的坐标； （2）若ABC 为等边三角形，点 M（x0，y0）为抛物线 ymx2+4mx12m（m0）上任意一点，总有 n my02+40y0298 成立，求 n 的最小值； （3）若 m，点 P 为 x 轴上一动点，若 CAB+CPB，当 tan4 时，求 P 点的坐标 10如图，直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线
7、 yx2+bx+c 经过点 A，B （1）求抛物线的解析式； （2）E（m，0）为 x 轴上一动点，过点 E 作 EDx 轴，交直线 AB 于点 D，交抛物线于点 P，连接 BP 点 E 在线段 OA 上运动，若BPD 直角三角形，求点 E 的坐标； 点 E 在 x 轴的正半轴上运动，若PBD+CBO45请直接写出 m 的值 11如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A，B 两点，OA1，与 y 轴交于点 C，连接 AC，tanOAC3， 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D （1）求点 A，C 的坐标； （2）若点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO，求直线 PA 在与 y 轴交点
8、的坐标； （3）点 Q 在抛物线上，且在 x 轴下方，直线 AQ，BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值 12如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴负半轴交于 A 点，与 x 轴正半轴交于 B 点，与 y 轴正半轴交于 C 点，COBO，AB14 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 M、N 在第一象限内抛物线上，M 在 N 点下方，连 CM、CN，OCN+OCM180， 设 M 点横坐标为 m，N 点横坐标为 n，求 m 与 n 的函数关系式（n 是自变量） ； （3）如图 3，在（2）条件下，连 AN 交 CO 于 E，过 M 作 M
9、FAB 于 F，连 BM、EF，若AFE2 FMB2，求 N 点坐标 13如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线 y+bx+c 经过点 B，C， 与 x 轴的另一个交点为 A （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，求四边形 ACPB 面积最大时点 P 的坐标； （3）若 M 是抛物线上一点，且MCBABC，请直接写出点 M 的坐标 14 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线 yx3 与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另
10、一点 D，并且直线 lx 轴，点 P（m，y1）为该抛 物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点 （1）当 m0，且 y1时，连接 AQ，BD，求证：四边形 ABDQ 是平行四边形； （2）当 m0 时，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC2，连接 PQ，求线段 PQ 的长； （3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 15在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yax22ax3 分别交 x 轴正半轴于点 B，交 x 轴负半 轴于点 A，与 y 轴负半
11、轴交于点 C，且 AB4 （1）如图 1，求 a 的值； （2）如图 2，D 是第一象限抛物线上的点，连 AD，过点 D 作 DMy 轴，交 CB 的延长线于点 M，连接 AM 交 BD 于点 N，若 SABNSDMN，求点 D 的坐标以及 tanDAB 的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AD，P 是第一象限抛物线上的点（点 P 与点 D 不重合） ，过点 P 作 AD 的垂线，交 x 轴于点 F，点 E 在 x 轴上（点 E 在点 F 的左侧） ，EF13，点 G 在直线 FP 上，连接 EP、OG若 EPOG，PEF+G45，求点 P 的坐标 16如图，边长为 3 的正方形的
12、边 AB 在 x 轴负半轴上，点 C，D 在第三象限内，点 A 的坐标为（5，0） ， 经过点 A，C 的抛物线 yx2+bx+c 交 y 轴于点 N，其顶点为 M （1）求抛物线的解析式； （2）若 y 轴左侧抛物线上一点 P 关于 y 轴的对称点 P恰好落在直线 MC 上，求点 P 的坐标； （3）连接 AC，AM，AN，请你探究在 y 轴左侧的抛物线上，是否存在点 Q，使ANQMAC？若存 在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 1解： （1）抛物线 yax2+bx+2 经过点 A（3，6） 、B（6，0） ， ， ， 抛物线的表达式为 yx2+x+2； （2）如图
13、 1， 由（1）知，抛物线的解析式为 yx2+x+2， 当 x0 时，y2， C（0，2） ，当 x2 时，y4+2+24， D（2，4） ， B（6，0） ， CD2（20）2+（42）28，BC2（60）2+（02）240， DB2（62）2+（04）232， CD2+BC2DB2， BCD 是直角三角形，BDC90， 在 RtBDC 中，CD2，BD4， cotDCB； 如图 2， 过点 C 作 CEx 轴，则BCECBO， DCB2CBO， DCEBCE，过点 B 作 BECE，并延长交 CD 的延长线于 F， C（0，2） ，B（6，0） ， F（6，4） ，设直线 CF 的解析式为
14、 ykx+2， 6k+24， k， 直线 CF 的解析式为 yx+2， 抛物线的解析式为 yx2+x+2， 联立，解得或， D（4，） 2解： （1）抛物线 yax2+bx2 经过点 A（2，0）和 B（1，1） ， ， 解得：， 抛物线解析式为：yx2x2； （2）如图 1，过点 P 作 PEx 轴于 E， 抛物线 yax2+bx2 与 y 轴交于点 C， 点 C（0，2） ， OC2， PEOC， ， PE， x2x2， x2 或 x（不合题意舍去） ， 点 P（2，） ； 如图 2，过点 B 作 BHCO 于 H， 由可知 DO， B（1，1） ，点 C（0，2） ，A（2，0） OAO
15、C2，BHCH1， BCH45OCA， BCA90， 当点 Q 在线段 AO 上时， QCAPCB， DCOQCO， 又COCO，DOCQOC90， DOCQOC（ASA） ， DOQO， 点 Q 坐标为（，0） ， 当点 Q在射线 OA 上时， QCAPCB， DCQ90， CDO+DQC90，DCO+CDO90， DQCDCO， 又DOCQOC90， DOCCOQ， ， 4QO， QO， 点 Q（，0） ， 综上所述：点 Q 坐标为（，0）或（，0） 3解： （1）针对于抛物线 yx24x+3， 令 x0，则 y3， C（0，3） ， 令 y0，则 x24x+30， x11，x23， A（
16、1，0） ，B（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， ， 直线 BC 的解析式为 yx+3； （2）存在，如图 1， 由（1）知，直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P（m，m+3） ，则 Q（m，m24m+3） ， PQ（m+3）（m24m+3）m2+3m（m）2+， 当 m时，PQ 最大，最大值为； （3）当点 M 在 x 轴上方时，如图 2， 由（2）知，点 P 的横坐标为， PQy 轴， PQ 是 OB 的中垂线， 点 M 在 PQ 上， OMOB， OMB45， BMQOMB22.5， 由（1）知，B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC， OBC45，
17、PBMBPQOBC22.5BMQ， BPMP， 由（2）知，P（，） ， BP， PM， HMHP+PM+， M（，+） ； 当点 M 在 x 轴下方时，由对称性得，M（，） ， 即满足条件的点 M（，+）或（，） 4解： （1）直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（4，0） ， 04+n， n4， 直线解析式为：yx+4， 当 x0 时，y4， 点 B（0，4） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B，则，解得， 抛物线的解析式为：yx2+3x+4； （2）EDx 轴， PEA90， BDPADE90， 设点 E（m，0） ，点 P（m，m2+3m+4） ，则点 D（m，m+4） ，
18、PD2（m2+4m）2，BP2m2+（m2+3m）2，BD2m2+（m+44）22m2， 当PBD90时，BP2+BD2PD2， m2+（m2+3m）2+2m2（m2+4m）2， m2，m0（舍去） 点 E 的坐标为（2，0） ， 当BPD90时，BP2+PD2BD2， 同理可得：m0（舍去）或 3 或 4（舍去） ， 点 E 的坐标为（3，0） ， 综上所述：点 E 的坐标为（2，0）或（3，0） ； 当点 P 在 x 轴上方时，如图 1，连接 BC，延长 BP 交 x 轴于 N， 点 A（4，0） ，点 B（0，4） ， OAOB4， BAOABO45， 抛物线 yx2+3x+4 与 x
19、轴交于点 A，点 C， 0 x2+3x+4， x14，x21， 点 C（1，0） ， OC1， PBD+CBO45，BAOPBD+BNO45， CBOBNO， 又BOCBON90， BCONBO， ， ， ON16， 点 N（16，0） ， 直线 BN 解析式为：yx+4， 联立并解得：x0（舍去）或， m； 当点 P 在 x 轴下方时，如图 2，连接 BC，设 BP 与 x 轴交于点 H， PBD+CBO45，OBH+PBD45， CBOOBH， 又OBOB，COBBOH， BOHBOC（ASA） ， OCOH1， 点 H（1，0） ， 直线 BH 解析式为：y4x+4， 联立并解得：x0（
20、舍去）或 7， 点 P 的横坐标为 7， m7， 综上所述：m7 或 5解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+x3； （2）过点 D 作 DEy 轴于点 E， 而直线 lAC，AOy 轴， CDE+DCE90，DCE+OCA90， CDEOCA， AOCCED90， CEDAOC，则， 而点 A、C 的坐标分别为（6，0） 、 （0，3） ，则 AO6，OC3，设点 D（x，x2+x3） ， 则 DEx，CEx2x， 则，解得 x0（舍去）或1， 当 x1 时，yx2+x35， 故点 D 的坐标为（1，5） ； （3）当点 P 在 x 轴的上
21、方时， 由点 C、D 的坐标得，直线 l 的表达式为 y2x3， 延长 AP 交直线 l 于点 M，设点 M（t，2t3） ， PAC45，直线 lAC， ACM 为等腰直角三角形，则 ACCM， 则 62+32（t0）2+（2t3+3）2，解得 t3， 故点 M 的坐标为（3，3） ， 由点 A、M 的坐标得，直线 AM 的表达式为 yx+2， 联立并解得 x6（舍去）或， 故点 P 的横坐标 m； 当点 P 在 x 轴的下方时， 同理可得 x6（舍去）或 x5， 故 m5， 综上，m5 或 6解： （1）把 C（0，3）代入 ya（x1） （x3）得到 3a3， a1， a 的值为1； （
22、2）如图 1 中，连接 AC、PC、BC、PB a1， 抛物线的解析式为：y（x1） （x3）x2+4x3（x2）2+1， P（2，1） ， B（3，0） ，C（0，3） ， CP2，BP，CB3， BP2+BC220，CP2（2）220， BP2+BC2CP2， CBP90， tanPCB， tanACO， tanPCBtanACO， ACOPCB； （3） （）如图 2 中，当点 Q 在 BC 左侧的抛物线上时， 由（2）可知：Q（2，1） ； （）如图 3 中，当点 Q 在 BC 右侧的抛物线上时，延长 CQ 交 x 轴于点 E，过点 E 作 EFCB 交 CB 的延长线于点 F ACO
23、QCB， tanACOtanQCB， ， 设 EF 长为 x， ， 解得：x， BE3， E（6，0） ， CE 的解析式为：yx+3， 联立并解得或（舍去） ， 点 Q（，） ， 故点 Q 的坐标为： （2，1）或（，） 7解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+8） （x2）a（x2+6x16） ， 即16a4，解得 a，则 b； （2）由（1）知，抛物线的表达式为 yx2x+4， 点 D 是 AB 中点，故点 D（3，0） ， 当点 P 在 DC 的下方时， 过点 O 作直线 mCO， SCDPSCDO，则点 P 为直线 m 与抛物线的交点， 由点 C、D 的坐
24、标得，直线 CD 的表达式为 yx+4， 则直线 m 的表达式为 yx， 联立并解得 x； 当点 P 在 CD 上方时， 则作 CD 的平行线 n，该平行线与 CD 距离与点 O 到 CD 的距离一样，即为， 同理可得 x， 故点 P 的横坐标为、； （3）当点 P 在 CD 的左侧时，如图 2， 过点 D 作 DQCD 交 CP 的延长线于点 Q，过点 Q 作 QGx 轴于点 G，连接 AC， QDCD，PECD，故CPECQD， 在 RtOCD 中，OD3，CO4，则 CD5， 而 ADAOOD835CD， CADACDCDO， 而CPECDO，故CADACDCPECQD， 设CADACD
25、CPE， 在 RtAOC 中，tanCAOtantanCQD， CDO+QDG90，CDO+DCO90， QDGDCO， CODDGQ， tanCQD，即上述两个三角形的相似比为， 则，即2， 故 QG6，DG8， 故点 Q（11，6） ， 由点 Q、C 的坐标得，直线 QC 的表达式为 yx+4， 联立并解得 x； 当点 P 在 CD 的右侧时， 同理可得 x2， 故点 P 的横坐标为或 2 8解： （1）OCc，故 DEOCc， yx2+bx+c（x+2b）2+cb2，故点 M 的坐标为（2b，cb2） ， 则 DMc（cb2），解得 b（舍去）或， 则抛物线的对称轴为直线 x5； （2）
26、由（1）知函数的对称轴为 x5，则抛物线的表达式为 yx2x+c， 令 yx2x+c0，则 xA+xB10，xAxB4c， 则 AB， 在 RtADE 中，AEAB，DEc，ADDC5， 由勾股定理得：AD2DE2+AE2，即 25c2+254c，解得 c4， 故抛物线的表达式为 yx2x+4； （3）如图，连接 PQ、PC、QC，作PCQ 的外接圆 K，连接 KP、KC， 过点 K 作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 R，交抛物线的对称轴于点 N， 设点 K 的坐标为（m，n） ，点 P（5，t） ， PQC45，故PKC90，且 PKCKQK， RKC+NKP90，NKP+NPK90， RK
27、CNPK， RtKRCRtPNK（AAS） ， RKPN，PNRK， 即 4n5m，tnm， 即 nm1，t2m1， 故点 K 的坐标为（m，m1） ，点 P 的坐标为（5，2m1） 由抛物线的表达式知，顶点 M 的坐标为（5，） ，点 B 的坐标为（8，0） ， 由点 B、M 的坐标得，直线 MB 的表达式为 yx6， 设点 Q 的坐标为（n，n6） ， 由 KCKQ 得，m2+（m14）2（mn）2+（m1n+6）2，整理得：n2（m+）n+20m 0， 直线 BM 上只存在一个点 Q，故（m+）2420m0， 解得 m5 或， 故点 P 的坐标为（5，9）或（5，） 9解： （1）令 y
28、mx2+4mx12m0，解得 x2 或6， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （6，0） ； （2）由点 AB 的坐标知，AB8，函数的对称轴为 x2， 当 x2 时，ymx2+4mx12m16m， ABC 为等边三角形，则 yCACsinCABABsin6084， 故点 C 的坐标为（2，4） ， 则16m4，解得 m， 则抛物线的最大值为 4，即 y04， 设 tmy02+40y0298， 则 t4y02+40y02984（y05）2+24（45）2+210， 故有 n10，解得 n， 故 n 的最小值为； （3）连接 BC 并延长交 y 轴于点 M，设直线 CP 与 y 轴交于点
29、 H， 过点 H 作 HKCM 于点 K， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y2x+12，则点 M（0，12） ， 则 tanCBA2，则 tanCMH， 由点 C、M 的坐标得，CM， 根据函数的对称性，BCCA，则ABCCAB， 则 CAB+CPBCBA+CPBMCH， 在CHM 中，tanCMH，tanMCHtan4， 则设 HK4x，则 CKx，MK8x， 则 CMCK+KMx+8x9x，解得 x， HMx， 则 OH12，故点 H（0，） ， 由点 C、H 的坐标得，直线 CH 的表达式为 yx+， 令 y0，则 x34， 当点 P 在 y 轴左侧时， 同理可得，点
30、P（38，0） ， 故点 P 的坐标为（34，0）或（38，0） 10解： （1）直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（3，0） ， 03+n， n3， 直线解析式为：yx+3， 当 x0 时，y3， 点 B（0，3） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B， ， ， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）EDx 轴， PEA90， BDPADE90， 设点 E（m，0） ，点 P（m，m2+2m+3） ，则点 D（m，m+3） ， PD2（m2+3m）2，BP2m2+（m2+2m）2，BD2m2+（m+33）22m2， 当PBD90时，BP2+BD2PD2， m2+（m2+2m）
31、2+2m2（m2+3m）2， m1，m0（舍去） 点 E 的坐标为（1，0） ， 当BPD90时，BP2+PD2BD2， m2+（m2+2m）2+（m2+3m）22m2， m0（舍去） ，m3（舍去） ，m2， 点 E 的坐标为（2，0） ， 综上所述：点 E 的坐标为（1，0）或（2，0） ； （3）当点 P 在 x 轴上方时，如图 1，连接 BC，延长 BP 交 x 轴于 N， 点 A（3，0） ，点 B（0，3） ， OAOB3， BAOABO45， 抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B， 0 x2+2x+3， x13，x21， 点 C（1，0） ， OC1， PBD+
32、CBO45，BAOPBD+BNO45， CBOBNO， 又BOCBON90， BCONBO， ， ， ON9， 点 N（9，0） ， 直线 BN 解析式为：yx+3， x+3x2+2x+3， x10（舍去） ，x2， 点 P 的横坐标为， m； 当点 P 在 x 轴下方时，如图 2，连接 BC，设 BP 与 x 轴交于点 H， PBD+CBO45，OBH+PBD45， CBOOBH， 又OBOB，COBBOH， BOHBOC（ASA） ， OCOH1， 点 H（1，0） ， 直线 BH 解析式为：y3x+3， 3x+3x2+2x+3， x10（舍去） ，x25， 点 P 的横坐标为 5， m5
33、， 综上所述：m5 或 11解： （1）OA1，tanOAC3， 则 OCOAtanOAC3，故点 A、C 的坐标分别为（1，0） 、 （0，3） ， （2）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，C（0，3） ， ，解得， 抛物线的函数表达式为 yx2+2x3； 若点 P 在 x 轴下方，如图 1， 延长 AP 到 H，使 AHAB，过点 B 作 BIx 轴，连接 BH，作 BH 中点 G，连接并延长 AG 交 BI 于点 F， 过点 H 作 HIBI 于点 I， 当 x2+2x30，解得：x13，x21， B（3，0） ， A（1，0） ，C（0，3） ， OA1，OC3，AC，
34、AB4， RtAOC 中，sinACO，cosACO， ABAH，G 为 BH 中点， AGBH，BGGH， BAGHAG，即PAB2BAG， PAB2ACO， BAGACO， RtABG 中，AGB90，sinBAG， BGAB， BH2BG， HBI+ABGABG+BAG90， HBIBAGACO， RtBHI 中，BIH90，sinHBI，cosHBI， HIBH，BIBH， xH3+，yH，即 H（，） ， 由点 A、H 的坐标的，直线 AH 的表达式为：yx， 故直线 PA 在与 y 轴交点的坐标为（0，） ； 若点 P 在 x 轴上方，如图 2， 在 AP 上截取 AHAH，则 H
35、与 H 关于 x 轴对称， H（，） ， 同理可得，直线 AH：yx+， 故直线 PA 在与 y 轴交点的坐标（0，） ； 综上，直线 PA 在与 y 轴交点的坐标为（0，）或（0，） ； （3）DM+DN 为定值， 抛物线 yx2+2x3 的对称轴为：直线 x1， D（1，0） ，xMxN1， 设 Q（t，t2+2t3） （3t1） ， 由点 A、Q 的坐标得，直线 AQ：y（t+3）xt3， 当 x1 时，yMt3t32t6， DM0（2t6）2t+6， 同理可得，直线 BQ：y（t1）x+3t3， 当 x1 时，yNt+1+3t32t2， DN0（2t2）2t+2， DM+DN2t+6+
36、（2t+2）8，为定值 12解： （1）设点 C（0，c） ，则点 B（c，0） ， 而 AB14，故点 A（c14，0） ， 则抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）（xc） （xc+14） ， 将点 C 的坐标代入上式得：c（0c） （0c+14） ， 解得 c0（舍）或 c10， 故抛物线的表达式为 yx2+x+10； （2）过点 C 作 x 轴的平行线交过点 M 与 y 轴的平行线于点 K，故点 N 作 NHCK 于点 H， 设直线 CN 与 y 轴的夹角为 ，则OCN+180， OCN+OCM180， OCM， 则 CM、CN 与水平线的夹角也相等，如图 1，即NCHMCK，
37、设 M 点横坐标为 m， N 点横坐标为 n， 点 M、 N 的坐标分别为 （m， m2+m+10） 、（n， n2+n+10） ， 则 tanNCHn+，同理 tanMCKm， 故n+m， 解得 m12n； （3）过点 N 作 NLx 轴于点 L， 则 tanNAL（10n） ， 则 EOAOtanNAL4（10n）10n，FOm12n， 则 tanBMF， 以 OA 为边作正方形 AJWO，连接 FJ、JE、OJ，过点 J 作 JREF 于点 R， AJ4，AF12n（4）16n，则 tanAFJ， AFJBMF， FJ 平分AFE，则 FRFA16n， JO 平分AOE， AJJWJR，
38、 而 JEJE， RtJERRtJEW（HL） ， REEW10n46n， EFRFREAFER16n（6n）10， 在 RtEOF 中，EF2OE2+OF2，即 102（10n）2+（12n）2， 解得：n4 或 18（舍去 18） ， 故点 N（4，12） 13解： （1）直线 yx+c 与 x 轴交于点 B（4，0） ， 04+c， c2， 点 C（0，2） ， 抛物线 y+bx+c 经过点 B，C， ， ， 抛物线的解析式为：yx2； （2）如图 1，过点 P 作 PEAB 交 BC 于点 E， 抛物线 yx2 与 x 轴的交点为 A、B， 0 x2， x14，x21， 点 A（1，0
39、） ， 设点 P（a，a2a2） ，则点 E（a，a2） ， PEa2（a2a2）a2+2a， 四边形 ACPB 面积（4+1）2+（a2+2a）4（a2）2+9， 当 a2 时，四边形 ACPB 面积有最大值， 此时点 P（2，3） ； （3）如图 2，当点 M 在 BC 上方时，设 CM 交 AB 于点 H， MCBABC， CHBH， CH2AC2+OH2， BH24+（4BH）2， BH， OH， 点 H（，0） ， 点 C（0，2） ，点 H（，0） ， 直线 CH 解析式为：yx2， 联立方程组可得， 解得：或， 点 M（，） ， 当点 M在 BC 下方时， MCBABC， MCA
40、B， 点 M的纵坐标为2， 点 M的坐标为（3，2） ； 综上所述：点 M（，）或（3，2） 14解： （1）证明：当 y0 时，x30， 解得 x11，x24， A（1，0） ，B（4，0） ， AB5 当 x0 时，y3， C（0，3） 直线 lx 轴， 直线 l 的解析式为 y3 x33， 解得 x30，x43， D（3，3） ， CD3 点 Q（m，y2）在直线 l 上， y23 y1， y1， m0，点 P（m，y1）在该抛物线上， ， 解得 m2 或 m5（舍去） 直线 lx 轴， CQ2， DQ5， ABDQ，ABDQ， 四边形 ABDQ 是平行四边形 （2）P，Q 两点的横坐标
41、都是 m， 直线 lx 轴， |， 设 OEn，则 EC3n， n（3n）2， 解得 n1 或 n2 OEEC， OE1，EC2 直线 lx 轴， OAECQE，AOEQCE， AOEQCE， ， QC2， m0， m2， PQ； （3）假设存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角，即PCQ+BAC90 BAC+ACO90， PCQACO OA1，OC3， tanPCQtanACO， 连接 PQ 直线 lx 轴，直线 PQy 轴， PCQ 是直角三角形，且CQP90 tanPCQ， 当点 P 在直线 l 上方时，PQy1y2m， （i）若点 P 在 y 轴左侧，则 m0， QCm （m） ，
42、 解得 m10（舍去） ，m2（舍去） （ii）若点 P 在 y 轴右侧，则 m0， QCm m，解得 m30（舍去） ，m4 y1y2， y1， ； 当点 P 在直线 l 下方时，m0， QCm，PQy2y1m， m， 解得 m50（舍去） ，m6， y2y1， y1， 综上，存在点，使得PCQ 与BAC 互为余角 15解： （1）如图 1 中， 对称轴 x1，AB4， 点 A 坐标（1，0） ，点 B 坐标（3，0） ， 把（1，0）代入抛物线解析式，得到 0a+2a3， a1 （2）如图 2 中， SABNSDMN， SABDSADM， CMAD， 直线 BC 解析式为 yx3，设直线
43、AD 解析式为 yx+b， 把点 A（1，0）代入得到 b1， 直线 AD 解析式为 yx+1， 由解得 x11（舍去）或 x24， 点 D 坐标（4，5） ， tanDAB1 （3）如图 3 中，作 GNOA 于 N，PMOF 于 M，PE 与 DN 交于点 K，DN 与 OG 交于点 H，OG 与 PE 交于点 J DABAEK+EKA45，AEK+FGO45， EKAHKJFGO， PGAD， FGO+GHD90， GHDKHJ， HKJ+KHJ90， PEM+EOG90，NGO+GOA90， PEMNGO， PEGO，GNOPME90， PEMOGN（AAS） ， ONPMFN，GNE
44、MFN， ENFMON， 设点 P（m，m22m3） ， EF13， 3（m22m3）+m13， m或2（舍去） ， 点 P 坐标（，） 16解： （1）由题意得：点 A、C 的坐标分别为（5，0） 、 （2，3） ， 将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+6x+5； （2）由（1）知，点 M（3，4） ，设直线 MC 的表达式为 ykx+m， 则，解得， 故直线 MC 的表达式为 yx1， 设点 P（x，x2+6x+5） ，则点 P（x，x2+6x+5） ， 将点 P的坐标代入 MC 的表达式得，x2+6x+5x1，解得 x1 或6， 故点 P 的坐标为
45、（1，0）或（6，5） ； （3）存在，理由： 设点 Q（x，x2+6x+5） ，过点 M 作 MEy 轴于点 E，过点 Q 作 QFy 轴于点 F， 由题意得：OAON5，ME4，AE2，QFx，NF5x26x5x26x， 当点 Q 在点 A 的右侧时，如上图， BAC45， CAM+AME45， ANQ+QNF45，ANQMAC， AMEQNF， AEMQFN90， AEMQFN， ， ，解得 x4 或 0（舍去 0） ， 故点 Q（4，3） ； 当点 Q 在点 A 的左侧时， 同理可得：AEMNFQ， ， ，解得 x或 0（舍去 0） ， 故点 Q（，） ， 综上，点 Q 的坐标为（4，3）或（，）
