奥数导引小学五年级含详解答案 第08讲:直线型计算(二)

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1、第第 8 讲讲:直线形计算二直线形计算二 内容概述: 进一步学习直线形面积公式的运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化;初步学习添加辅 助线的分析方法。 典型问题: 兴趣篇兴趣篇 1. 如图 8-1,四边形ABCD是直角梯形。其中12AD (厘米) , 8AB (厘米) , 15BC (厘米) ,且三 角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等。阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米? 2. 一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形,其中三块的面积如图 8-2 所示(单位:平方米) ,剩下一块 的面积应该是多少平方米? 3. 如图 8-3,在三角形ABC中,BC是DC的三倍,

2、AC是EC的 3 倍。三角形DEC的面积是 3 平方厘米。 请问:三角形ABC的面积是多少平方厘米? 27 4.如图 8-4,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的 2 倍。三角形ABC的面积为 36 平方厘米。三角 形BDE的面积是多少平方厘米?16 4. 如图 8-5 所示,已知三角形BEC的面积等于 20 平方厘米,E是AB边上靠近B点的四等分点。三角形 AED的面积是多少平方厘米?平行四边形DECF的面积是多少平方厘米? 【分析】连接 AC,由于三角形 BEF 的面积是 20 平方厘米,而:3:1AEEB,所以三角形 ADE 的面积是 60 平方厘米,则三角形 DEF 的面积是 8

3、0 平方厘米,则平行四边形 DECF 的面积是 160 平方厘米。 6.如图 8-6,已知平行四边形ABCD的面积为 36,三角形AOD的面积为 8。三角形BOC的面积为多少? 7.如图 8-7,长方形ABCD的面积是 96 平方厘米,E是AD边上靠近D点的三等分点,F是CD边上靠近C 点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米? 8.如图 8-8,将一个长为 18 的长方形,分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的 5 倍。三角 形ABE的边BE的长是多少? 9.如图 8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米,结果面积增加了 71 平方厘米(阴影部分) 。原 正方形

4、的面积为多少平方厘米?49 10.如图 8-10,四边形ABCD内有一点O,O点到四条边的垂线都是 4 厘米。四边形的周长是 36 厘米。四 边形的面积是多少平方厘米? 拓展篇拓展篇 1. 如图 8-11,有 9 个小长方形,其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米。其余 4 个 长方形的面积分别是多少平方米? 2. 如图 8-12 中三角形ABC的面积是 180 平方厘米,D是BC的中点,AD是AE的 3 倍。三角形ABE的 面积是多少平方厘米? 3. 如图 8-13,在四边形ABCD中,已知 3CDDF , 3AEED ,而且三角形BFC的面积为 6 平方厘米,

5、 四边形BEDF的面积为 7 平方厘米。大四边形ABCD的面积是多少? 4. 如图8-14, 把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC, 三角形ABC的面积为1。 三角形DEF 的面积是多少? 5. 如图 8-15,E是AB边上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的 5 倍。请问: 梯形的下底长是上底长的几倍? 6. 如图 8-16,一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是 9 平方厘米,黄色三角形的 面积是 21 平方厘米,绿色三角形的面积是 10 平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米? 7. 图 8-17 中,正方形ABCD的面积为

6、 1。把每条边都 3 等分,然后将这 8 个等分点与正方形内部的某一点 P相连接,形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形。阴影部分的总面积是多少? 8.如图 8-18,在梯形ABCD中,E是AB的中点。已知梯形ABCD的面积为 35 平方厘米,三角形ABD的面 积为 13 平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米? 9.在图 8-19 中,正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐,两个正方形边长分别为 6 和 4。三角形ACG和三 角形BDF的面积分别是多少? 图 8-19 10.图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米、8 厘米的正方形构成,有一条与AB边平行的直线EF将

7、此图 形分成面积相等的两部分,那么BF的长度为多少厘米? 11.(1)如 8-21 中左图所示,把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米,结果面积增加了 50 平方 厘米(阴影部分) 。原正方形的面积为多少平方厘米? (2)如图 8-2 中中间图所示,把一个正方形的相邻两边减少 3 厘米与减少 5 厘米,结果面积减少了 65 平方 厘米(阴影部分) ,则原正方形面积为多少平方厘米? O G F ED C BA O A B C DE F G 超越篇超越篇 1.如图如图 8-23,三角形,三角形ABC的每边长都是的每边长都是 96 厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请

8、厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请 求出求出CE和和CF的长度之和。的长度之和。 2.如图如图 8-24,把四边形,把四边形ABCD的各边都延长的各边都延长 1 倍,得到一个新四边形倍,得到一个新四边形EFGH。如果。如果ABCD的面积是的面积是 5 平方平方 厘米,则厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?的面积是多少平方厘米? 3.图 8-25 中ABCD是正方形,图中数字是各线段的长度(单位:厘米) 。过I点的线段IM将五边形EFGHI 分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米? 5. 如图 8-26,在钝角三角形ABC中,M为AB边的中点,MD EC、 都垂直于

9、BC边。若三角形BDE的面 积是 3 平方厘米,则三角形ABC的面积是多少? 6、 在图 8-27 中,大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米。大正方形面积是多少平方厘米? 5、 如图 8-28, 直角三角形ABC的三边长分别为 30AC (分米) , 18AB (分米) , 24BC (分米) ,ED 垂直于AC,且 95ED (厘米) 。问正方形BFEG的边长是多少厘米? 6、 菜鸟和大虾在武林大会上相遇,争夺武林盟主的地位。三百回合大战后,两人不分胜负。突然,菜鸟向 对手发出一枚飞镖。说时迟,那时快,飞镖已经接近大虾的胸口,只见大虾迅速抽身向左闪开,同时用 手中的宝剑向飞镖劈去,只

10、听见“嘡”的一声,飞镖被劈成了两半。如图 8-29,菜鸟的飞镖是正六角星的 形状,边长为 5。被大虾劈开的刀口如虚线所示,那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几? 8. 如图 8-30,将三个边长为 1 的正方形组合在一起,中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中 心。请问:图中阴影部分的面积是多少? 第第 8 讲讲:直线形计算二直线形计算二 内容概述: 进一步学习直线形面积公式的运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化;初步学习添加辅 助线的分析方法。 典型问题: 兴趣篇兴趣篇 6. 如图 8-1,四边形ABCD是直角梯形。其中12AD (厘米) , 8AB (厘米) ,

11、 15BC (厘米) ,且三 角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等。阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米? 【分析】【分析】令 AE 的长度为x厘米,则 CF 的长度为 3 2 x厘米,则有: 31 1588126 22 xxx 解之得:6x。 所以阴影三角形 DEF 的面积是:6 1222 6236630S 阴 (平方厘米) 。 7. 一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形,其中三块的面积如图 8-2 所示(单位:平方米) ,剩下一块 的面积应该是多少平方米? 【分析】【分析】最后剩下的那块面积应为:40 15 3020(平方米) M O G F E D CB A 8. 如图

12、 8-3,在三角形ABC中,BC是DC的三倍,AC是EC的 3 倍。三角形DEC的面积是 3 平方厘米。 请问:三角形ABC的面积是多少平方厘米? 27 【分析】 111 339 DEC ABC SCE CD SBCAB 三角形 三角形 所以三角形ABC的面积是 27 平方厘米。 4.如图 8-4,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的 2 倍。三角形ABC的面积为 36 平方厘米。三角 形BDE的面积是多少平方厘米?16 【分析】由于三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米,而:2:3BE BC ,所以三角形BDE的面积是 24 平方厘 米。同理,三角形 BDE 的面积是 16 平方厘米

13、。 9. 如图 8-5 所示,已知三角形BEC的面积等于 20 平方厘米,E是AB边上靠近B点的四等分点。三角形 AED的面积是多少平方厘米?平行四边形DECF的面积是多少平方厘米? 【分析】连接 AC,由于三角形 BEF 的面积是 20 平方厘米,而:3:1AEEB,所以三角形 ADE 的面积是 60 平方厘米,则三角形 DEF 的面积是 80 平方厘米,则平行四边形 DECF 的面积是 160 平方厘米。 6.如图 8-6,已知平行四边形ABCD的面积为 36,三角形AOD的面积为 8。三角形BOC的面积为多少? 【分析、根据题意,阴影部分面积之和为平行四边形面积的一半,由于三角形 ADO

14、 的面积是 8,则三角形 OBC 的面积为 10。 7.如图 8-7,长方形ABCD的面积是 96 平方厘米,E是AD边上靠近D点的三等分点,F是CD边上靠近C 点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米? 【分析】由于 211 32 323 ABE SSS 三角形长方形长方形 ; 1311 12 3428 SSS 三角形DEF长方形长方形 ; 111 12 428 SSS 三角形BFC长方形长方形 所以阴影部分的面积是:96 32 12 1240(平方厘米) 。 8.如图 8-8,将一个长为 18 的长方形,分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的 5 倍。三角 形ABE的边BE的

15、长是多少? 【分析】由于梯形的面积是三角形面积的 5 倍。所以长方形面积是三角形面积的 6 倍。 连接 AC,则 BE:BC=1:3。所以 BE 的长度是 6 厘米。 9.如图 8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米,结果面积增加了 71 平方厘米(阴影部分) 。原 正方形的面积为多少平方厘米?49 【分析】令原来正方形的边长为a,则新增加的面积为:53 571aa,解之得:7a 所以原正方形的面积为 49 平方厘米。 10.如图 8-10,四边形ABCD内有一点O,O点到四条边的垂线都是 4 厘米。四边形的周长是 36 厘米。四 边形的面积是多少平方厘米? 【分析】根据题意

16、,连接 OA、OB、OC、OD,则四边形的面积为:36 4 272 (平方厘米) 。 拓展篇拓展篇 9. 如图 8-11,有 9 个小长方形,其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米。其余 4 个 长方形的面积分别是多少平方米? 【分析】根据题意,a的面积为:4 16 88 (平方厘米) ; b的面积为:12 16 824 (平方厘米) ; 同理可证明,10c ,30d 10. 如图 8-12 中三角形ABC的面积是 180 平方厘米,D是BC的中点,AD是AE的 3 倍。三角形ABE的 面积是多少平方厘米? 【分析】 由于 D 是中点, 所以三角形 ABD 的面积

17、为 90 平方厘米。 所以三角形 ABE 的面积为 30 平方厘米。 11. 如图 8-13,在四边形ABCD中,已知 3CDDF , 3AEED ,而且三角形BFC的面积为 6 平方厘米, 四边形BEDF的面积为 7 平方厘米。大四边形ABCD的面积是多少? 【分析】连接 BD,由于:2:1CF DF ,则有三角形 BDF 的面积为 3,三角形 DEB 的面积为 4,又由于 AE:DE=3:1,所以三角形 ABE 的面积为 12。所以大四边形 ABCD 的面积为: 6 3 4 1225 (平方厘米) ; 12. 如图8-14, 把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC, 三角形AB

18、C的面积为1。 三角形DEF 的面积是多少? 【分析令三角形 DEF 为 1 份,则根据鸟头模型,有: d c b a 20 16 12 8 4 1 2 AFC SEFDF SCFFA 三角形DEF 三角形 所以三角形 AFC 的面积为 2 份,同理,三角形 ABD 的面积为 2 份,三角形 BEF 的面积为 2 份。则三角形 ABC 的面积为 7 份,为 1,。 所以 1 7 DEF S 三角形 . 13. 如图 8-15,E是AB边上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的 5 倍。请问: 梯形的下底长是上底长的几倍? 【分析】根据题意,令三角形 AEC 的面积为 1 份

19、,则三角形 BEC 的面积为 2 份。梯形 ABCD 的面积为 5 份,所以三角形 ADC 的面积为 2 份。 则梯形的下底面长是上底长的: 3 1.5 2 倍。 14. 如图 8-16,一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是 9 平方厘米,黄色三角形的 面积是 21 平方厘米,绿色三角形的面积是 10 平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米? 【分析】根据题意,由于黄色+绿色=红色+蓝色=长方形面积的一半。 所以蓝色三角形的面积为:21 10922(平方厘米) 。 15. 图 8-17 中,正方形ABCD的面积为 1。把每条边都 3 等分,然后将这 8 个等分点与

20、正方形内部的某一点 P相连接,形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形。阴影部分的总面积是多少? 【分析】根据题意,连接 PA、PB、PC、PD,每一个小三角形内阴影部分的面积均为其中的 2 3 。所以阴影 部分的面积是 2 3 8.如图 8-18,在梯形ABCD中,E是AB的中点。已知梯形ABCD的面积为 35 平方厘米,三角形ABD的面 积为 13 平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米? 【分析】根据题意,由于梯形的面积为 35 平方厘米,而三角形ABD的面积为 13 平方厘米,所以三角形 DBC 的面积也为 22 平方厘米。所以三角形 ABC 的面积也为 22 平方理米,则三

21、角形 BEC 的面积为 11 平方 厘米。 9.在图 8-19 中,正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐,两个正方形边长分别为 6 和 4。三角形ACG和三 角形BDF的面积分别是多少? 图 8-19 【分析】 (1)根据题意,连接 EA,则根据蝴蝶模型,由三角形 AGO 的面积与三角形 EOD 的面积相等,所 以所要求的阴影部分面积为正方形 GFCE 的一半,即为:4 4 28 ; (2)连接 FE,则三角形 BFO 的面积与三角形 DOE 的面积相等。 则图中阴影部分发呢面积为正方形 ABDE 面积的一半,为6 6 2 18 。 10.图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米

22、、8 厘米的正方形构成,有一条与AB边平行的直线EF将此图 形分成面积相等的两部分,那么BF的长度为多少厘米? 【分析】令 BF 的长度为 x,则有: 2010222128 8xxxx ,解之得:5.8x 。 所以 BF 的长度为 5.8 厘米。 11.(1)如 8-21 中左图所示,把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米,结果面积增加了 50 平方 厘米(阴影部分) 。原正方形的面积为多少平方厘米? (2)如图 8-2 中中间图所示,把一个正方形的相邻两边减少 3 厘米与减少 5 厘米,结果面积减少了 65 平方 厘米(阴影部分) ,则原正方形面积为多少平方厘米? O G F

23、ED C BA O A B C DE F G 【分析】 (1)根据题意,令原正方形的边长为a,则有:42450aa,解之得;7a 。所以原正方形的面积 为 2 49a 。 (2)根据题意,令原正方形的边长为a,则有:53565aa,解之得:10a 。所以原正方形面积为 100. 12.如图 8-22, 直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF,E点恰好在AB边上。 直角边AC长 20 厘米,BC 长 12 厘米。正方形的边长为多少厘米? 【分析】令这正方形边长为a,则有: 2 11 20121612 202 22 aaaaaa 解之得:7.5a,则正方形的边长为 7.5 厘米。 超越篇超越篇

24、1.如图如图 8-23,三角形,三角形ABC的每边长都是的每边长都是 96 厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请厘米,用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请 求出求出CE和和CF的长度之和。的长度之和。 【分析】【分析】由于:1:2 DBEDEC SS 三角形三角形 ,所以 2 3 CEBC,则64CE (厘米); 而由于:1:3 ABDBDC SS 三角形三角形 ,所以 3 72 4 DCAC(厘米),所以36CF (厘米) 。 则两者的长度和为:64 36 100(厘米) 。 2.如图如图 8-24,把四边形,把四边形ABCD的各边都延长的各边都延长 1 倍,得

25、到一个新四边形倍,得到一个新四边形EFGH。如果。如果ABCD的面积是的面积是 5 平方平方 厘米,则厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?的面积是多少平方厘米? 【分析】【分析】连接,有、中,又夹成两角的边、 的乘积比,2 EAAH ABAD ,所以2 EAHEAD SS 三角形三角形 。 BDEAHABDEADBAD180EAAHABAD 类似的,还可得 2 FCGBCD sS 三角形三角形 , 有210SSSS 三角形EAH三角形FCG三角形ABD三角形BCD 同理可证:210SSSS 三角形EBF三角DHG三角形ABD三角形BCD 所以四边形 EFGH 的面积是:25 立方厘米。 3.

26、图 8-25 中ABCD是正方形,图中数字是各线段的长度(单位:厘米) 。过I点的线段IM将五边形EFGHI 分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米? 【分析】8 82 523 424 22 1 6246S 五边形 所以五边形面积的一半为 23. 而连接 FI,三角形 EFI 的面积为: 1 58 5 226 1 224816 2 所以 1 87 2 FMI SFM 三角形 所以FM的长度为 1.75 厘米,所求 BM 的长度为 2.75 厘米。 10. 如图 8-26,在钝角三角形ABC中,M为AB边的中点,MD EC、 都垂直于BC边。若三角形BDE的面 积是 3 平方厘米,则三角

27、形ABC的面积是多少? 【分析】连接 MC,根据梯形蝴蝶模型,可知:三角形 DEM 的面积=三角形 CDM 的面积。 所以三角形 BDE 的面积与三角形 CMB 的面积相等,均为 3 厘米,又由于 M 为中点,所以 三角形 ABC 的 G G H H F F E E A A D D B BC C 面积为 6. 7、 在图 8-27 中,大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米。大正方形面积是多少平方厘米? 【分析】根据题意,由于 22 ()()40abab ab,由于20ab,则2ab。 所以11,9ab。所以大正方形的面积为 121. 7、 如图 8-28, 直角三角形ABC的三边长分别

28、为 30AC (分米) , 18AB (分米) , 24BC (分米) ,ED 垂直于AC,且 95ED (厘米) 。问正方形BFEG的边长是多少厘米? 【分析】根据题意,可以令正方形边长为 a,则有: 1 24 18230 9.5 1824 2 xx,解之得:3.5x 所以所要求的正方形 BEFG 的长度是 3.5 厘米。 8、 菜鸟和大虾在武林大会上相遇,争夺武林盟主的地位。三百回合大战后,两人不分胜负。突然,菜鸟向 对手发出一枚飞镖。说时迟,那时快,飞镖已经接近大虾的胸口,只见大虾迅速抽身向左闪开,同时用 手中的宝剑向飞镖劈去,只听见“嘡”的一声,飞镖被劈成了两半。如图 8-29,菜鸟的

29、飞镖是正六角星的 形状,边长为 5。被大虾劈开的刀口如虚线所示,那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几? 【分析】对图形进行分割,分割过程如下:即所给我我们的图形共有 12 个小正三角形组成,令每一个 小正三角形的面积为 1,则根据鸟头模型有: 11 13143 15 15225 BAC SBDBE SABAC 三角形BDE 三角形 。所以四边形 ACDE 的面积为: 14382 19 22525 。 所以较小的残片的面积为: 82107 1 2525 .所以较小残片占整个面积的: 107 107 25 12300 所以,较小的残片占整个面积的 16. 如图 8-30,将三个边长为 1 的正方形组合在一起,中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中 心。请问:图中阴影部分的面积是多少? 【分析】如下图所示,连接 BE、FE、FG、AD。由于四边形 AMEF 为梯形,则三角形 AMO 的面积近与三角 形 FOB 的面积相等。 而三角形 OFE 的面又与三角形 OFG 的面积相等。 所以三角形 AMF 的面积与四边形 AOGF 的面积相等。 由于三角形 OBG 的面积为:1 4 ; 三角形ABD的面积为:1 2 , 所以四边形 AOGF 的面积为:1 8 。 所以所有阴影部分面积之和为: 11 4 82 D EC B A M O G F E D CB A

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