1、第第 8 讲讲：直线形计算二直线形计算二 内容概述： 进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初步学习添加辅 助线的分析方法。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1. 如图 8-1，四边形ABCD是直角梯形。其中12AD （厘米） ， 8AB （厘米） ， 15BC （厘米） ，且三 角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等。阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？ 2. 一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图 8-2 所示（单位：平方米） ，剩下一块 的面积应该是多少平方米？ 3. 如图 8-3，在三角形ABC中，BC是DC的三倍，
2、AC是EC的 3 倍。三角形DEC的面积是 3 平方厘米。 请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 27 4.如图 8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的 2 倍。三角形ABC的面积为 36 平方厘米。三角 形BDE的面积是多少平方厘米？16 4. 如图 8-5 所示，已知三角形BEC的面积等于 20 平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点。三角形 AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？ 【分析】连接 AC，由于三角形 BEF 的面积是 20 平方厘米，而:3:1AEEB，所以三角形 ADE 的面积是 60 平方厘米，则三角形 DEF 的面积是 8
3、0 平方厘米，则平行四边形 DECF 的面积是 160 平方厘米。 6.如图 8-6，已知平行四边形ABCD的面积为 36，三角形AOD的面积为 8。三角形BOC的面积为多少？ 7.如图 8-7，长方形ABCD的面积是 96 平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C 点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 8.如图 8-8，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 5 倍。三角 形ABE的边BE的长是多少？ 9.如图 8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米，结果面积增加了 71 平方厘米（阴影部分） 。原 正方形
4、的面积为多少平方厘米？49 10.如图 8-10，四边形ABCD内有一点O，O点到四条边的垂线都是 4 厘米。四边形的周长是 36 厘米。四 边形的面积是多少平方厘米？ 拓展篇拓展篇 1. 如图 8-11，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米。其余 4 个 长方形的面积分别是多少平方米？ 2. 如图 8-12 中三角形ABC的面积是 180 平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的 3 倍。三角形ABE的 面积是多少平方厘米？ 3. 如图 8-13，在四边形ABCD中，已知 3CDDF ， 3AEED ，而且三角形BFC的面积为 6 平方厘米，
5、 四边形BEDF的面积为 7 平方厘米。大四边形ABCD的面积是多少？ 4. 如图8-14， 把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC， 三角形ABC的面积为1。 三角形DEF 的面积是多少？ 5. 如图 8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的 5 倍。请问： 梯形的下底长是上底长的几倍？ 6. 如图 8-16，一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄色三角形的 面积是 21 平方厘米，绿色三角形的面积是 10 平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？ 7. 图 8-17 中，正方形ABCD的面积为
6、 1。把每条边都 3 等分，然后将这 8 个等分点与正方形内部的某一点 P相连接，形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形。阴影部分的总面积是多少？ 8.如图 8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点。已知梯形ABCD的面积为 35 平方厘米，三角形ABD的面 积为 13 平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米？ 9.在图 8-19 中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4。三角形ACG和三 角形BDF的面积分别是多少？ 图 8-19 10.图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米、8 厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将
7、此图 形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？ 11.（1）如 8-21 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加了 50 平方 厘米（阴影部分） 。原正方形的面积为多少平方厘米？ （2）如图 8-2 中中间图所示，把一个正方形的相邻两边减少 3 厘米与减少 5 厘米，结果面积减少了 65 平方 厘米（阴影部分） ，则原正方形面积为多少平方厘米？ O G F ED C BA O A B C DE F G 超越篇超越篇 1.如图如图 8-23，三角形，三角形ABC的每边长都是的每边长都是 96 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请
8、厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请 求出求出CE和和CF的长度之和。的长度之和。 2.如图如图 8-24，把四边形，把四边形ABCD的各边都延长的各边都延长 1 倍，得到一个新四边形倍，得到一个新四边形EFGH。如果。如果ABCD的面积是的面积是 5 平方平方 厘米，则厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 3.图 8-25 中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米） 。过I点的线段IM将五边形EFGHI 分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米？ 5. 如图 8-26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD EC、 都垂直于
9、BC边。若三角形BDE的面 积是 3 平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？ 6、 在图 8-27 中，大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米。大正方形面积是多少平方厘米？ 5、 如图 8-28， 直角三角形ABC的三边长分别为 30AC （分米） ， 18AB （分米） ， 24BC （分米） ，ED 垂直于AC，且 95ED （厘米） 。问正方形BFEG的边长是多少厘米？ 6、 菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位。三百回合大战后，两人不分胜负。突然，菜鸟向 对手发出一枚飞镖。说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用 手中的宝剑向飞镖劈去，只
10、听见“嘡”的一声，飞镖被劈成了两半。如图 8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的 形状，边长为 5。被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？ 8. 如图 8-30，将三个边长为 1 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中 心。请问：图中阴影部分的面积是多少？ 第第 8 讲讲：直线形计算二直线形计算二 内容概述： 进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初步学习添加辅 助线的分析方法。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 6. 如图 8-1，四边形ABCD是直角梯形。其中12AD （厘米） ， 8AB （厘米） ，
11、 15BC （厘米） ，且三 角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等。阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？ 【分析】【分析】令 AE 的长度为x厘米，则 CF 的长度为 3 2 x厘米，则有： 31 1588126 22 xxx 解之得：6x。 所以阴影三角形 DEF 的面积是：6 1222 6236630S 阴 （平方厘米） 。 7. 一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图 8-2 所示（单位：平方米） ，剩下一块 的面积应该是多少平方米？ 【分析】【分析】最后剩下的那块面积应为：40 15 3020（平方米） M O G F E D CB A 8. 如图
12、 8-3，在三角形ABC中，BC是DC的三倍，AC是EC的 3 倍。三角形DEC的面积是 3 平方厘米。 请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 27 【分析】 111 339 DEC ABC SCE CD SBCAB 三角形 三角形 所以三角形ABC的面积是 27 平方厘米。 4.如图 8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的 2 倍。三角形ABC的面积为 36 平方厘米。三角 形BDE的面积是多少平方厘米？16 【分析】由于三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，而:2:3BE BC ，所以三角形BDE的面积是 24 平方厘 米。同理，三角形 BDE 的面积是 16 平方厘米
13、。 9. 如图 8-5 所示，已知三角形BEC的面积等于 20 平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点。三角形 AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？ 【分析】连接 AC，由于三角形 BEF 的面积是 20 平方厘米，而:3:1AEEB，所以三角形 ADE 的面积是 60 平方厘米，则三角形 DEF 的面积是 80 平方厘米，则平行四边形 DECF 的面积是 160 平方厘米。 6.如图 8-6，已知平行四边形ABCD的面积为 36，三角形AOD的面积为 8。三角形BOC的面积为多少？ 【分析、根据题意，阴影部分面积之和为平行四边形面积的一半，由于三角形 ADO
14、 的面积是 8，则三角形 OBC 的面积为 10。 7.如图 8-7，长方形ABCD的面积是 96 平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C 点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】由于 211 32 323 ABE SSS 三角形长方形长方形 ； 1311 12 3428 SSS 三角形DEF长方形长方形 ; 111 12 428 SSS 三角形BFC长方形长方形 所以阴影部分的面积是：96 32 12 1240（平方厘米） 。 8.如图 8-8，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 5 倍。三角 形ABE的边BE的
15、长是多少？ 【分析】由于梯形的面积是三角形面积的 5 倍。所以长方形面积是三角形面积的 6 倍。 连接 AC，则 BE:BC=1:3。所以 BE 的长度是 6 厘米。 9.如图 8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米，结果面积增加了 71 平方厘米（阴影部分） 。原 正方形的面积为多少平方厘米？49 【分析】令原来正方形的边长为a，则新增加的面积为：53 571aa，解之得：7a 所以原正方形的面积为 49 平方厘米。 10.如图 8-10，四边形ABCD内有一点O，O点到四条边的垂线都是 4 厘米。四边形的周长是 36 厘米。四 边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意
16、，连接 OA、OB、OC、OD，则四边形的面积为：36 4 272 （平方厘米） 。 拓展篇拓展篇 9. 如图 8-11，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米。其余 4 个 长方形的面积分别是多少平方米？ 【分析】根据题意，a的面积为：4 16 88 （平方厘米） ； b的面积为：12 16 824 （平方厘米） ； 同理可证明，10c ，30d 10. 如图 8-12 中三角形ABC的面积是 180 平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的 3 倍。三角形ABE的 面积是多少平方厘米？ 【分析】 由于 D 是中点， 所以三角形 ABD 的面积
17、为 90 平方厘米。 所以三角形 ABE 的面积为 30 平方厘米。 11. 如图 8-13，在四边形ABCD中，已知 3CDDF ， 3AEED ，而且三角形BFC的面积为 6 平方厘米， 四边形BEDF的面积为 7 平方厘米。大四边形ABCD的面积是多少？ 【分析】连接 BD，由于:2:1CF DF ，则有三角形 BDF 的面积为 3，三角形 DEB 的面积为 4，又由于 AE:DE=3:1，所以三角形 ABE 的面积为 12。所以大四边形 ABCD 的面积为： 6 3 4 1225 （平方厘米） ； 12. 如图8-14， 把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC， 三角形AB
18、C的面积为1。 三角形DEF 的面积是多少？ 【分析令三角形 DEF 为 1 份，则根据鸟头模型，有： d c b a 20 16 12 8 4 1 2 AFC SEFDF SCFFA 三角形DEF 三角形 所以三角形 AFC 的面积为 2 份，同理，三角形 ABD 的面积为 2 份，三角形 BEF 的面积为 2 份。则三角形 ABC 的面积为 7 份，为 1,。 所以 1 7 DEF S 三角形 . 13. 如图 8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的 5 倍。请问： 梯形的下底长是上底长的几倍？ 【分析】根据题意，令三角形 AEC 的面积为 1 份
19、，则三角形 BEC 的面积为 2 份。梯形 ABCD 的面积为 5 份，所以三角形 ADC 的面积为 2 份。 则梯形的下底面长是上底长的： 3 1.5 2 倍。 14. 如图 8-16，一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄色三角形的 面积是 21 平方厘米，绿色三角形的面积是 10 平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意，由于黄色+绿色=红色+蓝色=长方形面积的一半。 所以蓝色三角形的面积为：21 10922（平方厘米） 。 15. 图 8-17 中，正方形ABCD的面积为 1。把每条边都 3 等分，然后将这 8 个等分点与
20、正方形内部的某一点 P相连接，形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形。阴影部分的总面积是多少？ 【分析】根据题意，连接 PA、PB、PC、PD，每一个小三角形内阴影部分的面积均为其中的 2 3 。所以阴影 部分的面积是 2 3 8.如图 8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点。已知梯形ABCD的面积为 35 平方厘米，三角形ABD的面 积为 13 平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米？ 【分析】根据题意，由于梯形的面积为 35 平方厘米，而三角形ABD的面积为 13 平方厘米，所以三角形 DBC 的面积也为 22 平方厘米。所以三角形 ABC 的面积也为 22 平方理米，则三
21、角形 BEC 的面积为 11 平方 厘米。 9.在图 8-19 中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4。三角形ACG和三 角形BDF的面积分别是多少？ 图 8-19 【分析】 （1）根据题意，连接 EA，则根据蝴蝶模型，由三角形 AGO 的面积与三角形 EOD 的面积相等，所 以所要求的阴影部分面积为正方形 GFCE 的一半，即为：4 4 28 ； （2）连接 FE，则三角形 BFO 的面积与三角形 DOE 的面积相等。 则图中阴影部分发呢面积为正方形 ABDE 面积的一半，为6 6 2 18 。 10.图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米
22、、8 厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图 形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？ 【分析】令 BF 的长度为 x，则有： 2010222128 8xxxx ，解之得：5.8x 。 所以 BF 的长度为 5.8 厘米。 11.（1）如 8-21 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加了 50 平方 厘米（阴影部分） 。原正方形的面积为多少平方厘米？ （2）如图 8-2 中中间图所示，把一个正方形的相邻两边减少 3 厘米与减少 5 厘米，结果面积减少了 65 平方 厘米（阴影部分） ，则原正方形面积为多少平方厘米？ O G F
23、ED C BA O A B C DE F G 【分析】 （1）根据题意，令原正方形的边长为a，则有：42450aa，解之得；7a 。所以原正方形的面积 为 2 49a 。 （2）根据题意，令原正方形的边长为a，则有：53565aa，解之得：10a 。所以原正方形面积为 100. 12.如图 8-22， 直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上。 直角边AC长 20 厘米，BC 长 12 厘米。正方形的边长为多少厘米？ 【分析】令这正方形边长为a，则有： 2 11 20121612 202 22 aaaaaa 解之得：7.5a，则正方形的边长为 7.5 厘米。 超越篇超越篇
24、1.如图如图 8-23，三角形，三角形ABC的每边长都是的每边长都是 96 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形。请 求出求出CE和和CF的长度之和。的长度之和。 【分析】【分析】由于:1:2 DBEDEC SS 三角形三角形 ，所以 2 3 CEBC，则64CE (厘米)； 而由于:1:3 ABDBDC SS 三角形三角形 ，所以 3 72 4 DCAC(厘米)，所以36CF （厘米） 。 则两者的长度和为：64 36 100（厘米） 。 2.如图如图 8-24，把四边形，把四边形ABCD的各边都延长的各边都延长 1 倍，得
25、到一个新四边形倍，得到一个新四边形EFGH。如果。如果ABCD的面积是的面积是 5 平方平方 厘米，则厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 【分析】【分析】连接，有、中，又夹成两角的边、 的乘积比，2 EAAH ABAD ，所以2 EAHEAD SS 三角形三角形 。 BDEAHABDEADBAD180EAAHABAD 类似的，还可得 2 FCGBCD sS 三角形三角形 ， 有210SSSS 三角形EAH三角形FCG三角形ABD三角形BCD 同理可证：210SSSS 三角形EBF三角DHG三角形ABD三角形BCD 所以四边形 EFGH 的面积是：25 立方厘米。 3.
26、图 8-25 中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米） 。过I点的线段IM将五边形EFGHI 分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米？ 【分析】8 82 523 424 22 1 6246S 五边形 所以五边形面积的一半为 23. 而连接 FI，三角形 EFI 的面积为： 1 58 5 226 1 224816 2 所以 1 87 2 FMI SFM 三角形 所以FM的长度为 1.75 厘米，所求 BM 的长度为 2.75 厘米。 10. 如图 8-26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD EC、 都垂直于BC边。若三角形BDE的面 积是 3 平方厘米，则三角
27、形ABC的面积是多少？ 【分析】连接 MC，根据梯形蝴蝶模型，可知：三角形 DEM 的面积=三角形 CDM 的面积。 所以三角形 BDE 的面积与三角形 CMB 的面积相等，均为 3 厘米，又由于 M 为中点，所以 三角形 ABC 的 G G H H F F E E A A D D B BC C 面积为 6. 7、 在图 8-27 中，大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米。大正方形面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意，由于 22 ()()40abab ab，由于20ab，则2ab。 所以11,9ab。所以大正方形的面积为 121. 7、 如图 8-28， 直角三角形ABC的三边长分别
28、为 30AC （分米） ， 18AB （分米） ， 24BC （分米） ，ED 垂直于AC，且 95ED （厘米） 。问正方形BFEG的边长是多少厘米？ 【分析】根据题意，可以令正方形边长为 a，则有： 1 24 18230 9.5 1824 2 xx，解之得：3.5x 所以所要求的正方形 BEFG 的长度是 3.5 厘米。 8、 菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位。三百回合大战后，两人不分胜负。突然，菜鸟向 对手发出一枚飞镖。说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用 手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡”的一声，飞镖被劈成了两半。如图 8-29，菜鸟的
29、飞镖是正六角星的 形状，边长为 5。被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？ 【分析】对图形进行分割，分割过程如下：即所给我我们的图形共有 12 个小正三角形组成，令每一个 小正三角形的面积为 1，则根据鸟头模型有： 11 13143 15 15225 BAC SBDBE SABAC 三角形BDE 三角形 。所以四边形 ACDE 的面积为： 14382 19 22525 。 所以较小的残片的面积为： 82107 1 2525 .所以较小残片占整个面积的： 107 107 25 12300 所以，较小的残片占整个面积的 16. 如图 8-30，将三个边长为 1 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中 心。请问：图中阴影部分的面积是多少？ 【分析】如下图所示，连接 BE、FE、FG、AD。由于四边形 AMEF 为梯形，则三角形 AMO 的面积近与三角 形 FOB 的面积相等。 而三角形 OFE 的面又与三角形 OFG 的面积相等。 所以三角形 AMF 的面积与四边形 AOGF 的面积相等。 由于三角形 OBG 的面积为：1 4 ； 三角形ABD的面积为：1 2 ， 所以四边形 AOGF 的面积为：1 8 。 所以所有阴影部分面积之和为： 11 4 82 D EC B A M O G F E D CB A
