1、 第第 4 讲讲 数阵图初步数阵图初步 兴趣篇兴趣篇 1、 在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。 2、 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15。 3、 如图所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。 4、 把 1 至 8 分别填入图的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。 5、 把 1 至 8 分别填入图的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。 5 2 1 8 93 7 6、 在如图所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个
2、数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个 数字之和都相等。 7、把 1 至 6 分别填入图的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13。 8、把 1 至 6 分别填入图的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等。这个和最大是多少？ 最小是多少？ 9、把 1 至 7 这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。如果中心圆内 填的数相等，那么就视为同一种填法。请写出所有可能的填法。 10、在图的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下 面那个数最小是几？ 拓展篇拓展篇 1、 将 1 至 9 分别填入图
3、中的圆圈内， 可以使得图中所有三角形 （共七个） 的三个顶点上的数之和都等于 15。 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数。 2、在图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等。现在如果已经 填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。 3、图是由四个交叠的长方形组成的。在交点处有八个小圆圈。请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自 然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。 4、在图中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行与
4、第三行的数字之和都是 7。 9 5 6 161 6 9 7 5、 请在图的每个小圆圈内填入 1 或 2， 使得每个大圆圈上四个数之和两两不同。 那么所填数的总和是多少？ 6、把 1 至 8 分别填入图的把个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字只差都不等于 1。 7、 在图的其个圆圈内填入七个连续自然数， 使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数。 请问：标有的圆圈内填的数是多少？ 8、小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1,2,3,4,5,6,7 这七个数填入图的七个方框里，每个数只填一 次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8,11,15。问：在圆上的
5、三个数的乘积最大可能是多少？ 9、把 1 至 6 这六个数字填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是 多少？最大是多少？ 12 9 6 10 7 4 8 10、把 1 至 11 填入图“六一”图形的是一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。 11、请将 1 至 6 填入图的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。 12、如图，有一座长方形城堡，四周有十个掩体。守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表。为 了使城堡四条边上的武器威力总数相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？ 武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪 威力数 1 2
6、3 4 5 武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮 威力数 6 7 8 9 10 超越篇超越篇 1、如图，四个圆共被分为十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个数填入其他 区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28。 2、如图，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和。 3、把 1 至 8 填入图中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数都相等。 4、把 1 至 12 分别填入图所示六角星团的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等。现在已经填 好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。
7、4 52 7 10 8 7 9 1 9 15 37 2 6 5、把 1 至 8 填入图的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和 是大正方形顶点的数字之和的一半。 6、图中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线 上圆圈内的数加起来都等于 23。 7、如图，55 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子已经分 别填入 1 和 2） ， 使得每行、 每列、 每条对角线的五个数各不相同， 且每块上所填的和都相等。 请问：ABCDE 是多少？ 8、图是奥林匹克五环标志，五个
8、圆圈内共分成了九个部分。请在这九个部分中填入 1 至 9 这九个数字，使 得每个圆环内的各数之和都相等。请问：这个和最大是多少？最小是多少？ 6 ED CBA 21 第第 4 讲讲 数阵图初步数阵图初步 兴趣篇兴趣篇 7、 在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。 【解析】 25114 11141116 21126113 aa accc bcbb 【答案】 8、 请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15。 【解析】 3 7 5 ad bd cd a、b、c、d 为 1，2，4，6，三偶一奇，组成左
9、边的 3，5，7 为 3 奇，那么1=26dab，c=4。 5 2 1 6 4 35 2 1 【答案】 9、 如图所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。 【解析】 89872 8389646 89710 acca babaac aabb ， 【答案】 10、 把 1 至 8 分别填入图的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。 【解析】 64 2 7 3 5 8 93 7 8 936 74 10 【答案】答案不唯一，例如 11、 把 1 至 8 分别填入图的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。 【解析】 【答案】答案不唯一，例
10、如 12、 在如图所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的 三个数字之和都相等。 8 176 23 4 5 9 12 10 11 8 1 76 2 3 4 5 四列相等，只能是 18273+45。 两行相等应该都是和为 18，只能是 1764 8235 只要每条边上和一样，那么三解形和必然一样，共六条边，分为 112，211，310，49，58，67 分对填入即可。 【解析】 【答案】答案不唯一，例如 7、把 1 至 6 分别填入图的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为 13。 【解析】 1 6 13 1326 26 abcdcdef
11、abcdefcd 2126 5 88 268358145 263514 () cd cd abef abefcd ， ， ， ， 不唯一 【答案】答案不唯一，例如 1 1 1 2 2 3 32 3 只要每行每列两条对角线都有 1，2，3 即可。 比如：a 不是 1 不是 2，只能是 3。b1，c3 d2，e1。 8、把 1 至 6 分别填入图的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等。这个和最大是多少？ 最小是多少？ 【解析】 和最大时，b 最大，和最小时 b 最小,21+b 为 2 个和。 21+b 为偶数，b 为奇数，最大 b5，最小 b1。 和最大(215)213 和最小(21
12、 1)211 【答案】最大 13；最小 11。 9、把 1 至 7 这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。如果中心圆内 填的数相等，那么就视为同一种填法。请写出所有可能的填法。 【解析】 1 64 3 5 2 f e d bca 【答案】 10、在图的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下 面那个数最小是几？ 【解析】 【答案】8 4 2 1 7 6 3 55 3 6 7 1 2 4 4 2 1 7 6 3 5 设每边和为 k， a2bc 最小，a，c 可以是 2，3，b1， 但有相同的数，让 a2bc 稍大一点
13、a，c 可以是 2，4，b1。 拓展篇拓展篇 1、 将 1 至 9 分别填入图中的圆圈内， 可以使得图中所有三角形 （共七个） 的三个顶点上的数之和都等于 15。 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数。 【解析】 56154 9152 aa abb 26157 5153 cc cdd 34158 6151 ee eff 【答案】 9 5 6 6 5 9 24 7 1 3 8 2、在图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等。现在如果已经 填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。 【解析】 97641 16421abba 【答案】2
14、1； 3、图是由四个交叠的长方形组成的。在交点处有八个小圆圈。请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自 然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。 【解析】 161 6 9 7 161 13 8 6 9 7 4 【答案】答案不唯一，例如 4、在图中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是 7。 【解析】 （不唯一） 【答案】答案不唯一，例如 15 119 7 13 5 3 1 igeh fd c b a 4 0 2 34 0320 5、 请在图的每个小圆圈内填入
15、1 或 2， 使得每个大圆圈上四个数之和两两不同。 那么所填数的总和是多少？ 【解析】 如果abcd， 则 A 圆之和aecf B 圆之和debf AB 所以 a，b，c，d 不能全一样 所以一个圆之和最小11125 所以一个圆之和最大22217 所以三个圆之和分别为 5，6，7 1 1 125 1 1226 12227 【答案】9 6、把 1 至 8 分别填入图的把个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字只差都不等于 1。 0040 223 3 4 【解析】 18 中数字最多差 7，最少差 1， a 与 b，c，d，e，f，g 的差都不是 1，所以分别差 27 a 只能是 1 或
16、8，同理，d 只能是 1 或 8。 （不唯一） 【答案】答案不唯一，例如 7、 在图的其个圆圈内填入七个连续自然数， 使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数。 请问：标有的圆圈内填的数是多少？ 2 6 8 53 4 71 2 6 8 53 4 71 12 9 6 10 7 4 8 【解析】 填入每个数都属于 2 个和 812961077 562 281 123456728 17 1341331ababab 个和 个和 填入之数为 必是，或， 【答案】5 8、小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1,2,3,4,5,6,7 这七个数填入图的七个方框里，每个数只填一
17、次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8,11,15。问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？ 【解析】 三线之和为：8111534 ()()()34 1234567234 26 3 85145 118268 15125712 467168 abccdecfg c c c abcab cdede cfgfg aeg 使 使最大。 【答案】168 9、把 1 至 6 这六个数字填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是 多少？最大是多少？ 【解析】 【答案】最小是 9，最大是 12 10、把 1 至 11 填入图“六一”图形的是一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个
18、数之和都相等。 设每边之和为 k， 【解析】 （不唯一） 【答案】答案不唯一，例如 11、请将 1 至 6 填入图的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。 【解析】 1032 8 7 4 11 159 6 设每条直线上之和为 k， 设每条直线上之和为 k， （不唯一） 【答案】 12、如图，有一座长方形城堡，四周有十个掩体。守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表。为 了使城堡四条边上的武器威力总数相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？ 武器 手枪 步枪 自动步枪 冲锋枪 轻机枪 威力数 1 2 3 4 5 武器 重机枪 迫击炮 火箭筒 加农炮 榴弹炮 威力数 6 7 8 9
19、 10 【解析】 5 4 62 3 1 掩体掩体掩体 掩体 掩体掩体掩体 掩体 掩体 掩体 城堡 设各边和为 k， 【答案】 超越篇：超越篇： 1、如图，四个圆共被分为十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个数填入其他 区域内，使得每个圆中四个数之和都是 28。 【解析】 城堡 榴炮弹 步枪手枪 加农枪 迫击炮 冲锋枪 火箭筒 轻机枪自动步枪 重机枪 4 52 7 10 8 【答案】 2、如图，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和。 【解析】 4 9 52 3 76 10 11 12 8 1 7 9 1 9 4 7 12 9
20、1 9 6 【答案】 3、把 1 至 8 填入图中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数都相等。 【分析】设未选中的数为x，则 8 个顶点数字之和为45x，再设每个面上数字之和为k。将所有面上的和 求出来时，每个顶点计算了三次。显然63(45)245kxkx，所以x是奇数。 分别讨论1,3,5,7,9x ，只有当7x 时，解出19k 不能被x整除，而其余x的取值所对应的k 都 能被x整除，不合题意。构造一种符合要求的填法如上图。 答案不唯一，例如 4、把 1 至 12 分别填入图所示六角星团的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等。现在已经填 好了六个数，那么每条直线上各数
21、之和应该是多少？并把下图补充完整。 4 7 12 9 1 9 6 7 6 1 4 8 2 3 5 【解析】 【答案】26； 5、把 1 至 8 填入图的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和 是大正方形顶点的数字之和的一半。 15 37 2 6 11 10 915 37 12428 6 【解析】 可得答案： （不唯一） 【答案】答案不唯一，例如 6、图中一共有 6 条线段，请将九个连续的自然数（其中一个是 6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线 上圆圈内的数加起来都等于 23。 【解析】 (23) ()()()()()()6 2()6138 66 672 9
22、 729=89 k k abcacdbceefhdfgghk abcdefgh abcdefgh abcdefgh ghgh 设每线之和为 一共 个数连续的， 平均数为，个数为412，答案不唯一 但=23， 为11，12。 【答案】答案不唯一，例如 7、如图，55 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入 1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子已经分 8 3 726 6 51 6 11 12 7 4 10 5 8 6 9 别填入 1 和 2） ， 使得每行、 每列、 每条对角线的五个数各不相同， 且每块上所填的和都相等。 请问：ABCDE 是多少？ 图 1 图 2 图 3 【分析】【分析】
23、因为每行，每列，每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和相等，一共分成了 5 块， 必然这几个和都是1234515下面用( , )m n来表示第m行第n列的数字 不难得到如图 2 所示，在（2，2）应填 2，而图 2 中标明a的两个数应该相等 我们考察方格数最小的右下角， 四个方格的和应该为15， 则其中必有一个5， 否则154443， 必有两个 4 出现在同行或者同列，因此矛盾下面分情况讨论： 155532， 则两个 5 必须出现在图 2 中b的位置上 （出现在另外两个位置上则对角线有重 复） ， 那么 3 和 2 就在另外两个位置上，从而与上面填出的 2 矛盾 155442，同上一种
24、情况，矛盾 155433， 那么b的位置上就只能是 3， 从而另外两个位置上是 4 和 5， 考虑左上角的a， 我们发现a不能是 1，2，4，5，只能是 3，从而第 5 行的a也是 3，第 5 行有两个 3，矛盾 155541，b的位置填 5， 其他两个位置填 1 和 4，很容易看出，左上角的a不能为 1， 2， 4，5，因此只能填 3 接着可以按照题意填出C位置只能是 5，最上面一行的 5 就只能在（1，3）的位置上，从而最后一 个 5 应该在（2，1）的位置上按照题意依次下去很容易填出全表如图 3 所示 因此14523ABCDE 8、图是奥林匹克五环标志，五个圆圈内共分成了九个部分。请在这
25、九个部分中填入 1 至 9 这九个数字，使 得每个圆环内的各数之和都相等。请问：这个和最大是多少？最小是多少？ ED CBA 21 EDCBA 21 2 b ba a12 ABCDE 3 2 54 1 3 2 5 4 1 1 45 3 4 5 3 54321 21 2 【分 析】计算 五个圈内各 数之和的 和，其中b，d，f，h被计 算了两遍， 所以这个 和是 123456789bdfh ，而这个和一定能被 5 整除，所以b，d，f，h中填入大数时 能使这个和取得最大值，最大是 6、7、8、9，各圆圈内的和也取得 15，由于156978，所以满足条 件的所有数无法配成 15，当和为 14 时可以找出满足条件的填法，所以和最大为 14，当b，d，f，h取 1、 2、3、4 时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值 11
