1、第第 23 讲讲 最值问题一最值问题一 兴趣篇兴趣篇 1、3 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？ 2、用 1、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？ 3、用 24 根长 1 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用 22 根火柴棒呢？ 4、三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少？ 5、 （1）请将 1、2、3、4 填入算式“口口口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ （2）请将 1、2、3、4、5、6 填入算式“口口口口口口”的方格中。要求 5、6 分别填在百位，4、3 分 别填在十位，1、2
2、 分别填在个位，并使得算式结果最大。应该怎么填？ 6、在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小） ，然后把这 3 个差数相加，所得 的和最小是多少？ 7、在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差（大减小）最小的一个是多少？ 8、把 1、2、3、4、5、6 填入算式“口口口口口口”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大。 这个减法算式的结果最大可能是多少？最小可能是多少？ 9、一个自然数由数字 8、9 组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的 两位数都不相等。请问：满足条件的自然数最大是多少？ 10、有 7 个盘子排成一排，依次
3、编号为 1,2,3，7。每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了 80 个。其中 1 号盘放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球数之和都相等。请问：第 6 个盘 子中最大可能放了多少个玻璃球？ 拓展篇拓展篇 1、3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？ 2、（1） 在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字 （例如： 可以在2的后面插入2得到122435） ， 这样得到的六位数最大可能是多少？ （2）在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？ 3、有 9 个同学要进行象棋比赛。他们准备分成两组，
4、不同组的人相互之间只比赛一场，同 组的人之间不比赛。他们一共最多能比赛多少场？ 4、3 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少？ 5、请将 2、3、4、5、6、8 填入算式“口口口口口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ 6、请将 6、7、8、9 填入算式“口口+口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ 7、在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小） ，然后把这 5 个差数相加，所得 的和最小是多少？ 8、 如果 7 个互不相同的自然数之和为 100， 那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？ 9、一个多位数的各位数字互不
5、相同，而且各位数字之和为 23。这样的多位数最小可能是多少？最大可能是 多少？ 10、黑板上写着 1,2,3,4，10 各一个。小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最 后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？ 11、如图，这时一个正方体的展开图。将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 3 个面上的数之和最大 是多少？ 12、如图，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右下角的B点， 去搬运一块食物。为了使得整个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线 一共有几条？ B A 超越篇超越篇 1、一个两位数除以它的各位数字
6、之和，余数最大是多少？ 2、4 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 人体重之和都大于 99 千克。这 4 个小朋友体重之和最小是多少千克？ 3、将 1 至 30 依次写成一排：1232930，形成一个多位数。从这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最 大是多少？如果要求剩下的数首位不为 0，这个数最小是多少？ 4、用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使这 2 个数的差最小（大减小） ，这个差最小 是多少？ 5、将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口口口-口口口”的方格中。如果算式的计算结果为整数，那 么这个结果最大是多少，最小是多少？
7、 6、如图，一只木箱的长、宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、4 厘米。有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每 条棱只允许爬一次。甲虫最多能爬行多少厘米？如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘 米？ 7、如图，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定。接下来，甲每次报一个数字，乙就 把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那 么最后的差是多少？ 8、一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1 层，现在有 32 个人分别要去第 2 层、第 3 层第 33 层，他们可以 选择坐电梯或者走楼梯。有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可以选
8、择走楼梯上楼或乘电梯 到这一层再走楼梯。每个人上一层楼梯会有 3 份不满意，下一层楼梯会有 1 份不满意。请问：电梯停在 哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小？ 第第 23 讲讲 最值问题一最值问题一 兴趣篇兴趣篇 1、3 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？ 【答案】3 分析分析积的个位数字，只与乘数的个位数字有关。考虑 3 个连续奇数的个位的所有情况： 1 3 55 3 5 75 5 7 95 7 9 13 9 1 37 ；，最小是 3。 2、用 1、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？ 【答案】9 分析分析又相同的 3
9、个数字组成的三位数的差必为 9 的倍数。9 的倍数中最小的是 9（不考虑 0） 。那么差最 小是 9。如4214129。 3、用 24 根长 1 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用 22 根火柴棒呢？ 【答案】36 平方厘米；30 平方厘米 分析分析在和相同的情况下，差越小，积越大。2446，那么我们围成一个66的正方形，面积最大， 为 36 平方厘米。而 22 不能被 4 整除，那么我们让这个矩形的长和宽尽量接近。22256 ，那么这个 矩形的面积最大为5630。 4、三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少？ 【答案】252 分析分析在和相同的情况下，差越小
10、，积越大。19667，乘积最大为667252 。 5、 （1）请将 1、2、3、4 填入算式“口口口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ （2）请将 1、2、3、4、5、6 填入算式“口口口口口口”的方格中。要求 5、6 分别填在百位，4、3 分 别填在十位，1、2 分别填在个位，并使得算式结果最大。应该怎么填？ 【答案】 （1）4132； （2）631542 分析分析（1） 要使得算式结果最大， 首先要保证首位尽量大。 那么十位填 3 和 4。 在两数和固定的情况下， 差小积大，那么方格中填3241. (2) 要使得算式结果最大，首先要保证首位尽量大。那么百位填 5,6，十位填 3
11、 和 4，个位填 1,2。在两数 和固定的情况下，差小积大，那么方格中填631 542。 6、在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小） ，然后把这 3 个差数相加，所得 的和最小是多少？ 【答案】7 分析分析方法 1:采用逐步调整法。如果空白处填 3，那么它与 3,7,10 的差分别为0,4,7。空白处加 1，则与 3 的差加 1，与 7 和 10 的差减 1，差总体减 1。知道空白处为 7 时，如果再加 1，则与 3 和 7 的差加 1，与 10 的差减 1，差总体加 1。即当空白处填 7 时，差的和最小，为 73771077。 方法方法 2:2:这道题可以类比统筹与最
12、优化问题。如 3 人的家分别在距离学校 3,7,10 公里处，他们要选一个地方 聚会，那么这个地点选在哪里，可以让 3 人走的总距离最短？ 7、在所有包含 3 个相同数码的四位数中，与 1389 之差（大减小）最小的一个是多少？ 【答案】1411 分析分析要使差最小，首先这个四位数的千位为 1。如果这个 1 就是那个相同的数码，那么为了让差尽 量小，只能是1311或1411，1389 131178,1411 138922。 如果1不是那个相同的数码， 那么为了让差尽量小， 只能是1333或1444。1389 133356,1444 138955。 综上，与 1389 之差（大减小）最小的一个是
13、 1411。 8、把 1、2、3、4、5、6 填入算式“口口口口口口”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大。 这个减法算式的结果最大可能是多少？最小可能是多少？ 【答案】最大 531；最小 47 分析分析被减数越大， 减数越小，差越大，那么最大值为：654123531；被减数与减数越接近，差越小。 那么要让两数的百位只差 1，被减数的末两位尽量小，减数的末两位尽量大，最小值为41236547。 9、一个自然数由数字 8、9 组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的 两位数都不相等。请问：满足条件的自然数最大是多少？ 【答案】99889 分析分析由 8 和 9
14、组成的两位数共有 4 个：88,89,98,99。那么这个自然数最大是五位数，且这 4 个两位数 在这个五位数中都会出现。那么这样的五位数最大是 99889 10、有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1,2,3，7。每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了 80 个。其中 1 号盘放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球数之和都相等。请问：第 6 个盘 子中最大可能放了多少个玻璃球？ 【答案】12 个 分析分析实际可当作一个周期问题。任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球数之和都相等，那么玻璃球每 3 个盘子一循环。即 1,4,7 号盘子中都有 18 个球， 2,5 号盘子
15、中的球数量相同， 3,6 号盘子中的球数量相同。 那么 2,3,5,6 号盘子中共有 26 个球，5,6 号盘子中共有 13 个球。 因此，若可以有盘子中不放球，那么第 6 个盘子中最多放 13 个球；若每个盘子中至少有 1 个球，那么 第 6 个盘子中最多放 12 个球。 拓展篇拓展篇 1、3 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？ 【答案】6 分析分析积的个位数字，只与乘数的个位数字有关。考虑 3 个连自然数的个位的所有情况：如果个位有 0 或5 ， 那 么 乘 积 的 个 位 必 为0 。 如 果 个 位 没 有0和5 ， 那 么 有 1 2 36 2 3 44 6 7 8
16、6 7 8 94 ；。个位最大为 6 2、（1） 在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字 （例如： 可以在2的后面插入2得到122435） ， 这样得到的六位数最大可能是多少？ （2）在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？ 【答案】 （1）124435； （2）98766789 分析分析（1）法一：可以写出来逐一比较 112435 122435 124435 124335 124355 ，显然 124435 最大。 法二：如果我们能找到某一位比它后一位大，那么在这一位后面在写一个同样的数字，会比在下一位 后面大。在 1243
17、5 中，4 比 3 大，因此在 4 后再加一个 4，得到 124435 是最大的。 （2）和上一问法二相反。9876789 中，6 比下一个数 7 小，因此在 6 后再加一个 6，得到 98766789 是 最小的。 3、有 9 个同学要进行象棋比赛。他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同 组的人之间不比赛。他们一共最多能比赛多少场？ 【答案】20 场 分析分析设一组有a人，一组有b人，那么共要比赛ab场。又9ab，那么想让两数积最大，那么差尽可 能小。4520ab ，最多能比赛 20 场。 4、3 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少？ 【答案】168 分析分
18、析把 17 分成 3 个不同的，比较接近的数。那么可以分成17467，467168 。 5、请将 2、3、4、5、6、8 填入算式“口口口口口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ 【答案】842653 分析分析要使得算式结果最大，首先要保证首位尽量大。那么百位填 8,6，十位填 5 和 4，个位填 3,2。在 两数和固定的情况下，差小积大，那么方格中填842653。 6、请将 6、7、8、9 填入算式“口口+口口”的方格中。要使得算式结果最大，应该怎么填？ 【答案】78+96 分析分析加数是一个两位数，那么可以看成：10 +。那么很显然，最大的 9 和 10 乘，次大的 8 和 9
19、乘。因此应该填789 1067896 。 7、在图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小） ，然后把这 5 个差数相加，所得 的和最小是多少？ 【答案】19 分析分析这道题可以抽象为统筹与最优化问题： 5 人的家分别在距离学校 1,5,7,10,15 公里处， 他们要选一个 地方聚会，那么这个地点选在哪里，可以让 5 人走的总距离最短。那么易知选中间点（第三个人的家）作 为聚会地点。即圆圈中填 7。 那么这个和为： 7 1757710715719。 8、 如果 7 个互不相同的自然数之和为 100， 那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？ 【答案】11；18
20、 分析分析要让最小的数最大，最大的数最小，我们要让这 7 个互不相同的自然数尽量接近。那么首先考虑 连续自然数。987 14，我们能找到一组和最接近 100 的连续自然数 11,12,13,14,15,16,17。那么现在距 离 100 还差 2，我们给最后两个数各加 1，得到：11,12,13,14,15,17,18。那么最小的数最大为 11，最大的 数最小为 18。 9、一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 23。这样的多位数最小可能是多少？最大可能是 多少？ 【答案】最小 689；最大 8543210 分析分析要让这个多位数尽量小，那么首先位数必须少。易知，最小是三位数，先让
21、其中两个数最大，那 么剩下一个数必然最小。23986，这个数是 689。 要让这个多位数尽量大，那么位数必须尽量多。12345621，那么最多可以是 7 位数（加上 0） 。先让其中 6 位最小小，那么剩下一位最大。230123458 ，这个数是 8543210 10、黑板上写着 1,2,3,4，10 各一个。小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最 后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？ 【答案】9 分析分析我们考虑，擦掉 2 个数，写下他们的平均数，那么这个数必然比小数大，比大数小。那么这里的 任意两个数的平均数不会超过 9（最大是8 1029，或9929） ，
22、那么这个数的最大值就是 9。 那么要让剩下的数尽量大，大数求平均的次数越少越好，因此我们从最小的数开始求平均。 首先擦去 1,3，写上 2； 擦去 2,2，写上 2； 擦去 2,4，写上 3； 擦去 3,5，写上 4； 擦去 8,10，写上 9。 因此这个数最大是 9。 11、如图，这时一个正方体的展开图。将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 3 个面上的数之和最大 是多少？ 【答案】13 分析分析把展开图拼成一个正方体，我们可以知道 6,5 在对面，不会相邻。那么数字最大的相邻 3 块是 64313。 12、如图，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右下角的
23、B点， 去搬运一块食物。为了使得整个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线 一共有几条？ 【答案】 分析分析我们将 A,B 之间的两个面展开成 1 个平面。那么两点之间线段最短，此时连接 A，B 即可。共有 6 种展开方法，故共有 6 条最短路线。如图，这 6 个点分别是 6 条棱的中点。从其中 1 个点连接 A 和 B，就是 其中一条最短路线。 超越篇超越篇 1、一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？ 【答案】15 分析分析除数越大，余数的范围越大。那么我们先从各位和最大的找起。 和为 18:99185.9 和为 17:98 175.13;89 175.4 和
24、为 16:97 166.1;88 165.8;79 164.15 和为 16 以下的余数不可能为 15。那么余数最大为 15。 2、4 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 3 人体重之和都大于 99 千克。这 4 个小朋友体重之和最小是多少千克？ 【答案】134 千克 分析分析如果有其中 3 人的体重和比 99 大很多，必然会造成“浪费”，为了避免这种“浪费”，让任意 3 人都 刚好有 99kg 最好。那么先让每人都是 33kg，那么任意 3 人体重都是 99kg，此时只要给其中 2 人增加 1kg， 那么任意 3 人的体重都超过 99kg。这 4 人体重和是33333434134
25、kg。 3、将 1 至 30 依次写成一排：1232930，形成一个多位数。从这个多位数中划掉 45 个数字，剩下的数最 大是多少？如果要求剩下的数首位不为 0，这个数最小是多少？ 【答案】最大 998930；最小 100120 分析分析1-30 共有921 251个数，去掉 45 个数，还剩 6 个数。 要让剩下的数最大，那么我们让前面的数尽量是 9.1-30 中共有 3 个数字 9。如果前 3 位都是 9，那么要 划去 46 个数，显然是不行的。那么我们让第 3 位是 8。于是这个数最大是 998930。 要让剩下的数最小，那么首位为 1，其他尽量为 0.1-30 中共有 3 个 0。但是
26、第 3 个 0 只能在最后一位， 第 2 个 0 后，最小的 2 个数是 1,2。所以最小值为 100120。 B A 4、用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使这 2 个数的差最小（大减小） ，这个差最小 是多少？ 【答案】139 分析分析差最小，那么首位差 1，大数末三位尽量小，小数末三位尽量大。在保证首位可选的情况下有，最 大值 987，那么最小值 126；或者最小值 123，那么最大值 984。 71236984139 41263987139；。最小值为 139。 5、将 2 至 8 这 7 个自然数填入算式“口口口口-口口口”的方格中。如果算式的计算
27、结果为整数，那 么这个结果最大是多少，最小是多少？ 【答案】最大 6452；最小 827 分析分析结果最大时， 乘数尽量选大数， 剩下的 3 个数中， 除数尽量选大数。 那么有85763246452。 结果最小时，乘数尽量选小数，剩下 3 个数中，除数尽量选小数。那么有2435786827。 6、如图，一只木箱的长、宽、高分别为 5 厘米、3 厘米、4 厘米。有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每 条棱只允许爬一次。甲虫最多能爬行多少厘米？如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘 米？ 【答案】39 厘米；34 厘米。 分析分析一笔画问题。一个图形如果能用 1 笔画出，那么奇点的数目只能是
28、 0（偶点出发，偶点结束）或 2 （奇点出发，奇点结束）个。 （1）共有 8 个奇点，那么我们至少去掉 3 条线，使奇点数目变为 2 个，此时可以一笔画出。为了让总路程 最长，我们去掉 3 条 3 厘米长的棱，如,BC FG EH，那么总路程为5444339厘米。 （2）如果 A 点出发，A 点结束，那么 A 为偶点，必须 8 个点都是偶点，那么我们需要去掉 4 条线。但是我 们不能去掉 4 条 3 厘米长的棱， 否则图形就断了。 那么我们可以去掉 2 条 3 厘米长的棱， 2 条 4 厘米长的棱， 如,BC DG AE DH。那么总路程为：54423234 厘米。 7、如图，黑板上写有一个三
29、位数减三位数的算式，其中首位已经确定。接下来，甲每次报一个数字，乙就 HG FE D C B A HG FE D C B A 把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那 么最后的差是多少？ 【答案】140 2 1 ab cd 分析分析如果甲报的第一个数是 9,8,7,6 中的一个，那么乙把它填入 c，那么可以乙可以保证差不超过 299160139；如果甲报的第一个数是 0,1,2,3 中的一个，那么可以把它填入 a，那么可以保证差不超过 239100139。接下来的分析比较复杂，我们可以得到，甲先报 4 或 5 得到的差最大，是 140。推理过程
30、 如下 如果甲先报 5，乙必然不会把 5 填入 a，否则甲连报 3 个 0，差为 150；乙也不会把 5 填入 c，因为这样， 甲连报 3 个 9， 差为 140。 乙会选择放入 b,d 中的一个， 希冀甲会在接下来的几个数中， 报 9,8,7,6,1,2,3,4 中的一个，那么可以把差降到 140 以下。但如果乙把 5 放入 b，那么甲接下来连报 2 个 4,乙只能放入 a,d 中，接下来报 0，那么差为 141。因此乙只能把 5 放入 d 中。那么甲接下来的策略是报 2 个 5,1 个 9，差为 140。 同理可得，甲先报 4，得到的差也是 140 8、一栋大楼共 33 层，电梯停在第 1
31、 层，现在有 32 个人分别要去第 2 层、第 3 层第 33 层，他们可以 选择坐电梯或者走楼梯。有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯 到这一层再走楼梯。每个人上一层楼梯会有 3 份不满意，下一层楼梯会有 1 份不满意。请问：电梯停在 哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小？ 【答案】27 层 分析分析我们用逐步调整法。14楼层数人会选择直接上楼，这样不满意更低。那么我们先从最高层看 起，看每降低一层不满意度会有什么变化： 停的楼层 从 1 层上 不满意 下电梯下 不满意 下电梯上 不满意 总不满意度 33 8 人 23 人 0 人 32 7 -24 23 +0 1 +3 -21 31 7 +0 22 -23 2 +6 -17 30 7 +0 21 -22 3 +9 -13 29 7 +0 20 -21 4 +12 -9 28 6 -21 20 +0 5 +15 -6 27 6 +0 19 -20 6 +18 -2 26 6 +0 18 -19 7 +21 +2 我们发现，从 33 层下到 27 层，每次不满意度都会减少，而从 27 层下到 26 层，不满意度增加。因此停在 27 层的不满意总份数最小。
