1、2020-2021 学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 A1，2，3，4，B2，4，6，8，则 AB 中元素的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 2当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象是（ ） A B C D 3已知 aR，则“a1”是“1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 4下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（ ） A By2x Cyln（x+1） Dy2x 5若 ab0，cd0，则一定有（ ）
2、A B C D 6已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1）（ ） A2 B0 C1 D2 7已知函数 f（x），在下列区间中，包含 f（x）的零点的区间是（ ） A（ 0，1） B（ 1，2） C（ 2，4） D（4，+） 8设 alog37，b21.1，c0.83.1，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 9如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过 3 分钟漏完已知圆 柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 t（分）的函数 关系表示的图象只可能是（ ） A B C D 10
3、袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取 3 个小球设每 个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题）小题）. 11命题“存在 xR，使得 x2+2x+50”的否定是 12函数的定义域为 13某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日 销售量不低于 50 件的概率为 14设 f（x），则 f（f（2） 15设 f（x）是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数 x1，x2R，使得， 则称函数 f（x）具有性质 P，那么下列函数： ；f（x）x2
4、；f（x）|x21|； 具有性质 P 的函数的个数为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知集合 Ax|5x，Bx|x1 或 x2，UR （）求 AB； （）求 A（UB） 17某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图： （）求甲在比赛中得分的均值和方差； （）从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析， 求抽到 2 场都不超过均值的 概率 18对于四个正数 x，y，z，w，如果 xwyz，那么称（x，y）是（z，w）的“
5、下位序对” （）对于 2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”； （）设 a，b，c，d 均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的 大小关系 19已知函数 f（x）log2|x| （）求函数 f（x）的定义域及的值； （）判断函数 f（x）的奇偶性； （）判断 f（x）在（，0）上的单调性，并给予证明 20某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C（x）当年产量不足 80 件时，（万元）；当年产量不小于 80 件时.（万元）每件商 品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 （1）写出年利润 L（x）（万元）
6、关于年产量 x（件）的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 A1，2，3，4，B2，4，6，8，则 AB 中元素的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 解：集合 A1，2，3，4，B2，4，6，8， AB2，4， AB 中元素的个数为 2 故选：B 2当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象是（ ） A B C D 解：a1 时，函数 yax与 ylogax 的均为增函数， 故选：B 3已知 aR，则“a1”是“1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非
7、充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 解：aR，则“a1”“”， “”“a1 或 a0”， “a1”是“”的充分非必要条件 故选：A 4下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（ ） A By2x Cyln（x+1） Dy2x 解：，y2x和 yln（x+1）在（1，1）上都为增函数，y2 x在（1，1）上是减函数 故选：D 5若 ab0，cd0，则一定有（ ） A B C D 解：cd0， ， 又 ab0， 故选：D 6已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）x2+，则 f（1）（ ） A2 B0 C1 D2 解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（x）f（x），f
8、（1）f（1）， 又当 x0 时，f（x）x2+， f（1）12+12，f（1）2， 故选：A 7已知函数 f（x），在下列区间中，包含 f（x）的零点的区间是（ ） A（ 0，1） B（ 1，2） C（ 2，4） D（4，+） 解：函数 f（x）f（x），在其定义域上连续， f（4）20， f（2）310； 故函数 f（x）的零点在区间（2，4）上， 故选：C 8设 alog37，b21.1，c0.83.1，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 解：1log372，b21.12，c0.83.11， 则 cab， 故选：B 9如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏
9、斗盛满液体，经过 3 分钟漏完已知圆 柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 t（分）的函数 关系表示的图象只可能是（ ） A B C D 解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口， 当时间取t 时，漏斗中液面下落的高度不 会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果 故选：B 10袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取 3 个小球设每 个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（ ） A B C D 解： 从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球， 共有 C5310 种选法， 则既没有黑球也没有白球只有
10、1 种， 每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为 1， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11命题“存在 xR，使得 x2+2x+50”的否定是 对任何 xR，都有 x2+2x+50 解：因为命题“存在 xR，使得 x2+2x+50”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何 xR，都有 x2+2x+50 故答案为：对任何 xR，都有 x2+2x+50 12函数的定义域为 0，1） 解：要使原函数有意义，则：； 0 x1； 原函数的定义域为0，1） 故答案为：0，1） 13某
11、网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日 销售量不低于 50 件的概率为 0.55 解：由频率分布直方图得： 日销售量不低于 50 件的频率为： 1（0.015+0.03）100.55 估计日销售量不低于 50 件的概率为 0.55 故答案为：0.55 14设 f（x），则 f（f（2） 解：函数 f（x）， f（f（2）f（）， 故答案为： 15设 f（x）是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数 x1，x2R，使得， 则称函数 f（x）具有性质 P，那么下列函数： ；f（x）x2；f（x）|x21|； 具有性质 P 的函数的个数为 2 解：函
12、数， 因为函数 f（x）为奇函数，可找到关于原点对称的点， 比如 x11，x21，则有 ， 故选项具有性质 P； 函数 f（x）x2， 假设存在两个不等实数 x1，x2R，使得， 即，解得 x1x2，与假设矛盾， 故不存在，故选项不具有性质 P； 函数 f（x）|x21|，故函数 f（x）为偶函数，且 f（0）1， 令 f（x）|x21|1，解得， 则存在，使得， 故选项具有性质 P 所以具有性质 P 的函数的个数为 2 个 故答案为：2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知
13、集合 Ax|5x，Bx|x1 或 x2，UR （）求 AB； （）求 A（UB） 解：（）集合 Ax|5x，Bx|x1 或 x2， ABx|5x1 （）UR，Bx|x1 或 x2， UBx|1x2 A（UB）x|1x 17某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图： （）求甲在比赛中得分的均值和方差； （）从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析， 求抽到 2 场都不超过均值的 概率 解：（）甲在比赛中得分的均值为， 方差为， （）甲得分在 20 分以下的 6 场比赛分别为 7，8，10，15，17，19 从中随机抽取 2 场，这 2 场
14、比赛的得分如下： （7，8），（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17）， （8，19），（10，15），（10，17），（10，19），（15，17），（15，19），（17，19），共 15 种， 其中抽到 2 场都不超过均值的情形是：（7，8），（7，10），（7，15），（8，10），（8，15），（10， 15），共 6 种， 所以抽到 2 场都不超过均值的概率为 P 18对于四个正数 x，y，z，w，如果 xwyz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对” （）对于 2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”； （）设 a
15、，b，c，d 均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的 大小关系 解：（）因为 37112， 所以（2，7）的“下位序对”是（3，11）； （）因为（a，b）是（c，d）的“下位序对”， 所以 adbc， 因为 a，b，c，d 均为正数， ， 所以， 同理可证， 综上所述， 19已知函数 f（x）log2|x| （）求函数 f（x）的定义域及的值； （）判断函数 f（x）的奇偶性； （）判断 f（x）在（，0）上的单调性，并给予证明 解：（）根据题意，函数 f（x）log2|x|，则有|x|0， 解得 x0，即函数的定义域为x|x0， log2 |log2（ ）； （）f
16、（x）log2|x|，其定义域为x|x0， 则 f（x）log2|x|log2|x|f（x），则 f（x）为偶函数； （）f（x）在（，0）上为减函数， 证明：当 x（，0）时，f（x）log2（x）， 设 x1x20，则 f（x1）f（x2）log2（x1）log2（x 2）log2 ， 又由 x1x20，则x1x20，所以 1， 所以 f（x1）f（x2）log2 0， 故 f（x）在（，0）上为减函数 20某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C（x）当年产量不足 80 件时，（万元）；当年产量不小于 80 件时.（万元）每件商 品售价为 50
17、万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 （1）写出年利润 L（x）（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：（1）当 0 x80 时，根据年利润销售收入成本， L（x）50 xx210 x250 x2+40 x250； 当 x80 时，根据年利润销售收入成本， L（x）50 x51x+14502501200（x+） 综合可得，L（x） （2）当 0 x80 时，L（x）x2+40 x250（x60）2+950， 当 x60 时，L（x）取得最大值 L（60）950 万元； 当 x80 时，L（x）1200（x+）1200212002001000， 当且仅当 x，即 x100 时，L（x）取得最大值 L（100）1000 万元 综合，由于 9501000， 当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元
