安徽省淮南市2020-2021学年高二上期末数学理科试卷(含答案解析)

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1、2020-2021 学年安徽省淮南市高二(上)期末数学试卷(理科)学年安徽省淮南市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题)小题). 1下列说法正确的是( ) A命题“若 x210,则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210,则 x1 或 x1” B命题“xR,x2+10”的否定是“x0R,x02+10” C“2a2b”是“ab”的充分不必要条件 D“x1”是“x2”的必要不充分条件 2 已知定义在m, n上的函数 f (x) , 其导函数 f (x) 的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的个数为 ( ) f(x)的值域为f(d),f(n); f(x)在a,b

2、上单调递增,在b,d上单调递减; f(x)的极大值点为 xc,极小值点为 xe; f(x)有两个零点 A0 B1 C2 D3 3关于直线 m,n,l 及平面 ,下列命题中正确的是( ) A若 ml,nl,则 mn B若 m,n,lm,ln,则 l C若 ,则 D若 m,m,则 4已知三棱锥 OABC,点 M,N 分别为 AB,OC 的中点,且,用 , , 表示, 则等于( ) A B C D 5 将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱 当该圆柱体积最大时, 边AB的长为 ( ) A B C D1 6已知 P 为椭圆上一点,F1,F2分别为 C 的左、右焦点,且 PF1PF2,

3、若 tan PF2F13,则 C 的离心率为( ) A B C D 7定积分( ) A B C3+ D4+ 8某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B4 C D12 9已知函数 f(x),若函数 g(x)f(x)a 仅有一个零点,则实数 a 的取值范围 为( ) A(2,+) B C D 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4,M 为 DD1的中点,N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点, 则下列命题正确的个数为( ) 若 MN4,则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为 3; 若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等,则点 N 的轨迹为抛物线; 若

4、D1N 与 AB 所成的角为 ,则点 N 的轨迹为双曲线的一支; 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为,则点 N 的轨迹为圆 A1 B2 C3 D4 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题)小题). 11 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 焦距为 4, 且一条渐近线方程为, 则双曲线的标准方程是 12长方体的长、宽、高分别为,1,且其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 13已知函数若函数 f(x)在1,2上单调递减,则实数 m 的最小值为 14若实数 x,y 满足方程,则的取值范 围为 三、解答题三、解答题 15已知命题 p:方程表示焦点 y 轴上的椭圆;命题 q:x2,1,使得 2x+a1

5、0 成 立 (1)若命题p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 pq 为真命题,求实数 a 的取值范围 16已知函数 (1)当 a1 时,求函数 yf(x)在0,2上的最大值和最小值; (2)求函数 f(x)的单调区间 17 如图所示, 在多面体 ABCDE 中, DEAB, ACBC, 平面 DAC平面 ABC, BC2AC4, AB2DE, DADC,点 F 为 BC 的中点 (1)证明:EF平面 ABC; (2)若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60,求平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值 18如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y22p

6、x(p0),过点 M(4p,0)的直线 l 交抛物线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点当 AB 垂直于 x 轴时,OAB 的面积为 (1)求抛物线的方程: (2)设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T 证明:y1y2为定值: 若 OATB,求直线 l 的斜率 19已知函数 f(x)ln(x+1)+a(x2+x)+2(a0) (1)当 a2 时,求 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若 f(x)有两个极值点 求 a 的取值范围; 证明 f(x)的极小值小于 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题)小题). 1下列说法正确的是( ) A命题“若 x

7、210,则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210,则 x1 或 x1” B命题“xR,x2+10”的否定是“x0R,x02+10” C“2a2b”是“ab”的充分不必要条件 D“x1”是“x2”的必要不充分条件 解:命题“若 x210,则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210,则 x1 且 x1”,所以 A 不 正确; 命题“xR,x2+10”的否定是“x0R,x02+10”,所以 B 不正确; 2a2b”是“ab”的充要条件,所以 C 不正确; “x1”推不出“x2”,反之成立,所以“x1”是“x2”的必要不充分条件,所以 D 正确; 故选:D 2 已知定义在m, n上的函数 f (

8、x) , 其导函数 f (x) 的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的个数为 ( ) f(x)的值域为f(d),f(n); f(x)在a,b上单调递增,在b,d上单调递减; f(x)的极大值点为 xc,极小值点为 xe; f(x)有两个零点 A0 B1 C2 D3 解:根据导函数 f(x)的图象可知, 当 xm,c)时,f(x)0,函数 f(x)在m,c上单调递增; 当 x(c,e)时,f(x)0,函数 f(x)在c,e上单调递减, 当 x(e,n时,f(x)0,函数 f(x)在(e,n上单调递增,故错误,正确, 根据单调性可知,函数的最小值为 f(m)或 f(e),最大值为 f(c)或 f(

9、n),故错误, 当 f(m)0 且 f(e)0 时,函数无零点,故错误 故选:B 3关于直线 m,n,l 及平面 ,下列命题中正确的是( ) A若 ml,nl,则 mn B若 m,n,lm,ln,则 l C若 ,则 D若 m,m,则 解:对于 A,由 ml,nl,在同一个平面可得 mn,在空间不成立,故 A 错误; 对于 B,由线面垂直的判定定理知少相交条件,故 B 错误; 对于 C,当三个平面 , 两两垂直时,结论错误,故 C 错误; 对于 D,若 m,m,则 ,故 D 正确 故选:D 4已知三棱锥 OABC,点 M,N 分别为 AB,OC 的中点,且,用 , , 表示, 则等于( ) A

10、B C D 解:由题意知 故选:D 5 将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱 当该圆柱体积最大时, 边AB的长为 ( ) A B C D1 解:设 ABx,则 BC, 则圆柱的体积 V(4x)2x, 由题意,02x8,得 0 x4 V(4x)2x 当且仅当 4x2x,即 x时上式取等号 故选:A 6已知 P 为椭圆上一点,F1,F2分别为 C 的左、右焦点,且 PF1PF2,若 tan PF2F13,则 C 的离心率为( ) A B C D 解:由题意可设|PF2|m,在直角三角形 PF1F2中,tanPF2F13,可得|PF1|3m, 由椭圆的定义可知,m+3m2a,解得

11、 m,由勾股定理可得,m2+(3m)2(2c)2, 即,解得, 故选:A 7定积分( ) A B C3+ D4+ 解:3x2x3|1(1)2, dx,表示以原点为圆心,以半径为 1 的圆的面积的二分之一, 故dx, 故2+, 故选:B 8某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B4 C D12 解:由题意可知几何体的直观图如图: 几何体的体积为: 故选:A 9已知函数 f(x),若函数 g(x)f(x)a 仅有一个零点,则实数 a 的取值范围 为( ) A(2,+) B C D 解:令 m(x)(x0),则, 所以 m(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减, 当

12、x0 时,m(x), 当 x+时,m(x)0; 令 h(x)(x+2)ex(x0),则 h(x)(x+3)ex, 所以 h(x)在(,3)上单调递减,在(3,0)上单调递增, 当 x时,h(x)0, 作出函数 f(x)的图象如图所示, 因为函数 g(x)f(x)a 仅有一个零点, 即函数 yf(x)与 ya 只有一个交点, 所以实数 a 的取值范围为 故选:D 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4,M 为 DD1的中点,N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点, 则下列命题正确的个数为( ) 若 MN4,则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为 3; 若点 N 到直线 BB1与

13、直线 DC 的距离相等,则点 N 的轨迹为抛物线; 若 D1N 与 AB 所成的角为 ,则点 N 的轨迹为双曲线的一支; 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为,则点 N 的轨迹为圆 A1 B2 C3 D4 解:对于,MN4,MD2,所以 DN2, 则 MN 的中点到 MD 中点的距离为, MN 中点的轨迹为以 MD 中点为圆心,为半径且平行于平面 ABCD 的圆, 其面积为 ()23,故正确; 对于,BB1平面 ABCD,NB 即为 N 到直线 BB1的距离, 在平面 ABCD 内,点 N 到定点 B 的距离与到定直线 DC 的距离相等, 所以点 N 的轨迹就是以 B 为焦点,DC 为准线的

14、抛物线,故正确; 对于,如图,建立空间直角坐标系,设 N(x,y,0), (x,y,4),(0,4,0),cos, 化简得 3y2x216,所以 N 的轨迹为双曲线,故错误; 对于,MN 与平面 ABCD 所成的角为MND,所以MND, 则 DN2,所以点 N 的轨迹为以 D 为圆心,2 为半径的圆,故正确 所以命题正确的个数为 3 故选:C 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 16 分)分) 11已知双曲线的焦点在 y 轴上,焦距为 4,且一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程是 解:由题意可知:设双曲线的标准方程为(a0,b0), 由 2c4,则 c2,渐近线方程为,即,

15、 由 c2a2+b2,解得:b1,a , 双曲线的标准方程为: 故答案为: 12长方体的长、宽、高分别为,1,且其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 6 解:根据题意,长方体的 8 个顶点都在同一球面上, 则长方体的体对角线就是球的直径, 因为长方体的长、宽、高分别为,1, 所以长方体的体对角线的长为, 故球的半径 r, 所以球的表面积 S4r26 故答案为:6 13已知函数若函数 f(x)在1,2上单调递减,则实数 m 的最小值为 6 解:f(x)+2x3, 若 f(x)在1,2上单调递减, 则 f(x)0 在1,2恒成立, 即 m2x33x2+x 在1,2恒成立, 故只需 m(2x33x

16、2+x)max, 令 g(x)2x33x2+x,x1,2, 则 g(x)6x26x+1,对称轴 x, 故 g(x)在1,2单调递增, 而 g(1)10,故 g(x)0 在1,2恒成立, 故 g(x)在1,2单调递增,故 g(x)maxg(2)6, 故 m 的最小值是 6, 故答案为:6 14若实数 x,y 满足方程,则的取值范 围为 解:因为实数 x,y 满足方程, 所以点(x,y)到点(0,3)与(0,3)的距离和为 10, 结合椭圆的定义可知点(x,y)的轨迹方程为, 设点 P 在椭圆上,F1(0,3),F2(0,3),Q(1,0), 则|PQ|+|PF1|PQ|+10|PF2|, 而|Q

17、F2|PQ|PF2|QF2 |, , 所以10+|PQ|PF2|, 故答案为: 三、解答题三、解答题 15已知命题 p:方程表示焦点 y 轴上的椭圆;命题 q:x2,1,使得 2x+a10 成 立 (1)若命题p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 pq 为真命题,求实数 a 的取值范围 解:(1)若命题 p 为真命题,则,即 1a4 因为命题p 为假命题, 所以命题 p 为真命题 故实数 a 的取值范围为(1,4); (2)若命题 q 为真命题,则2+a10,即 a3, 因为命题 pq 为真命题, 所以命题 p 和命题 q 均为真命题 故实数 a 的取值范围为(3,4) 16已

18、知函数 (1)当 a1 时,求函数 yf(x)在0,2上的最大值和最小值; (2)求函数 f(x)的单调区间 解:(1)当 a1 时, 令 f(x)0,得 x1, 当 0 x1 时,f(x)0,此时 f(x)单调递增; 当 1x2 时,f(x)0,此时 f(x)单调递减, 当 x1 时,f(x)取最大值,又 f(0)0, 函数的最大值和最小值分别为,0 (2)由,得 当 a0 时,由 f(x)0,得 x1;由 f(x)0,得 x1 当 a0 时,由 f(x)0,得 x1;由 f(x)0,得 x1 综上,当 a0 时,函数的单调递增区间为(,1),单调递减区间为(1,+); 当 a0 时,函数的

19、单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(,1) 17 如图所示, 在多面体 ABCDE 中, DEAB, ACBC, 平面 DAC平面 ABC, BC2AC4, AB2DE, DADC,点 F 为 BC 的中点 (1)证明:EF平面 ABC; (2)若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60,求平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值 【解答】(1)证明:取 AC 的中点 O,连接 DO,OF, 在DAC 中,DADC,DOAC, 由平面 DAC平面 ABC,且交线为 AC, 得 DO平面 ABC, O,F 分别为 AC,BC 的中点,OFAB,且 AB2OF, 又 DEAB

20、,AB2DE,所以 OFDE, 四边形 DEFO 为平行四边形,EFDO, EF平面 ABC; (2)解:DO平面 ABC,ACBC,平面 DAC平面 ABC, 所以 BC平面 ADC; 以 O 为原点,OA 为 x 轴,过点 O 与 CB 平行的直线为 y 轴,OD 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系, 因为 BC2AC4,AB2DE,DADC,点 F 为 BC 的中点, 则 A(1,0,0),C(1,0,0),B(1,4,0), EF平面 ABC,直线 BE 与平面 ABC 所成角为EBF60, , 取平面 ADC 的一个法向量, 设平面 DCE 的一个法向量, 因为, 则,取 z

21、1,得, , , 设平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角为 , 则, 平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值为 18如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y22px(p0),过点 M(4p,0)的直线 l 交抛物线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点当 AB 垂直于 x 轴时,OAB 的面积为 (1)求抛物线的方程: (2)设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T 证明:y1y2为定值: 若 OATB,求直线 l 的斜率 解:(1)当 AB 垂直于 x 轴时, 所以OAB 的面积为, 因为 p0,所以, 所以抛物线的方程为 y2x (2)由题意可知直

22、线 l 与 x 轴不垂直 由(1)知 M(2,0),设, 则 由 A,M,B 三点共线,得, 因为 y1y2,化简得 y1y22 因为 y1y22,所以 因为线段 AB 垂直平分线的方程为, 令 y0,得 因为 OATB,所以 kOAkTB, 即,整理得, 解得 y12,故 A(4,2) 所以 kAM1,即直线 l 的斜率为1 19已知函数 f(x)ln(x+1)+a(x2+x)+2(a0) (1)当 a2 时,求 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若 f(x)有两个极值点 求 a 的取值范围; 证明 f(x)的极小值小于 解:(1)当 a2 时,f(x)ln(x+1)+2x2+

23、2x+2 ,f(0)3 又f(0)2,f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y3x+2 (2)f(x)ln(x+1)+a(x2+x)+2 的定义域为(1,+), 令 g(x)2ax2+3ax+a+1,a28a,g(x)的对称轴 当0 时,即 0a8,g(x)0,故 f(x)0, f(x)在(1,+)上单调递增此时 f(x)无极值 当0 时,即 a8, , 函数 g(x)在区间有两个变号零点 x1,x2, 不妨设 x1x2,其中 , 当1xx1时,g(x)0,f(x)0,f(x)在(1,x1)上单调递增; 当 x1xx2时,g(x)0,f(x)0,f(x)在(x1,x 2)上单调递减; 当 xx2时,g(x)0,f(x)0,f(x)在(x2,+)上单调递增 当 f(x)有两个极值点时,a 的取值范围为(8,+) 由可知,函数 f(x)有唯一的极小值点为 x2,且 又g(x2)0, 令, 在上恒成立, g(x)在单调递减 ,即 f(x)的极小值小于

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