1、2020-2021 学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1下列说法正确的是（ ） A命题“若 x210，则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210，则 x1 或 x1” B命题“xR，x2+10”的否定是“x0R，x02+10” C“2a2b”是“ab”的充分不必要条件 D“x1”是“x2”的必要不充分条件 2 已知定义在m， n上的函数 f （x） ， 其导函数 f （x） 的大致图象如图所示， 则下列叙述正确的个数为 （ ） f（x）的值域为f（d），f（n）； f（x）在a，b
2、上单调递增，在b，d上单调递减； f（x）的极大值点为 xc，极小值点为 xe； f（x）有两个零点 A0 B1 C2 D3 3关于直线 m，n，l 及平面 ，下列命题中正确的是（ ） A若 ml，nl，则 mn B若 m，n，lm，ln，则 l C若 ，则 D若 m，m，则 4已知三棱锥 OABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且，用 ， ， 表示， 则等于（ ） A B C D 5 将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱 当该圆柱体积最大时， 边AB的长为 （ ） A B C D1 6已知 P 为椭圆上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点，且 PF1PF2，
3、若 tan PF2F13，则 C 的离心率为（ ） A B C D 7定积分（ ） A B C3+ D4+ 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B4 C D12 9已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 仅有一个零点，则实数 a 的取值范围 为（ ） A（2，+） B C D 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，M 为 DD1的中点，N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点， 则下列命题正确的个数为（ ） 若 MN4，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为 3； 若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线； 若
4、D1N 与 AB 所成的角为 ，则点 N 的轨迹为双曲线的一支； 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则点 N 的轨迹为圆 A1 B2 C3 D4 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 11 已知双曲线的焦点在 y 轴上， 焦距为 4， 且一条渐近线方程为， 则双曲线的标准方程是 12长方体的长、宽、高分别为，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 13已知函数若函数 f（x）在1，2上单调递减，则实数 m 的最小值为 14若实数 x，y 满足方程，则的取值范 围为 三、解答题三、解答题 15已知命题 p：方程表示焦点 y 轴上的椭圆；命题 q：x2，1，使得 2x+a1
5、0 成 立 （1）若命题p 为假命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题 pq 为真命题，求实数 a 的取值范围 16已知函数 （1）当 a1 时，求函数 yf（x）在0，2上的最大值和最小值； （2）求函数 f（x）的单调区间 17 如图所示， 在多面体 ABCDE 中， DEAB， ACBC， 平面 DAC平面 ABC， BC2AC4， AB2DE， DADC，点 F 为 BC 的中点 （1）证明：EF平面 ABC； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60，求平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22p
6、x（p0），过点 M（4p，0）的直线 l 交抛物线 于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点当 AB 垂直于 x 轴时，OAB 的面积为 （1）求抛物线的方程： （2）设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T 证明：y1y2为定值： 若 OATB，求直线 l 的斜率 19已知函数 f（x）ln（x+1）+a（x2+x）+2（a0） （1）当 a2 时，求 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）若 f（x）有两个极值点 求 a 的取值范围； 证明 f（x）的极小值小于 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1下列说法正确的是（ ） A命题“若 x
7、210，则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210，则 x1 或 x1” B命题“xR，x2+10”的否定是“x0R，x02+10” C“2a2b”是“ab”的充分不必要条件 D“x1”是“x2”的必要不充分条件 解：命题“若 x210，则 x1 或 x1”的否命题是“若 x210，则 x1 且 x1”，所以 A 不 正确； 命题“xR，x2+10”的否定是“x0R，x02+10”，所以 B 不正确； 2a2b”是“ab”的充要条件，所以 C 不正确； “x1”推不出“x2”，反之成立，所以“x1”是“x2”的必要不充分条件，所以 D 正确； 故选：D 2 已知定义在m， n上的函数 f （
8、x） ， 其导函数 f （x） 的大致图象如图所示， 则下列叙述正确的个数为 （ ） f（x）的值域为f（d），f（n）； f（x）在a，b上单调递增，在b，d上单调递减； f（x）的极大值点为 xc，极小值点为 xe； f（x）有两个零点 A0 B1 C2 D3 解：根据导函数 f（x）的图象可知， 当 xm，c）时，f（x）0，函数 f（x）在m，c上单调递增； 当 x（c，e）时，f（x）0，函数 f（x）在c，e上单调递减， 当 x（e，n时，f（x）0，函数 f（x）在（e，n上单调递增，故错误，正确， 根据单调性可知，函数的最小值为 f（m）或 f（e），最大值为 f（c）或 f（
9、n），故错误， 当 f（m）0 且 f（e）0 时，函数无零点，故错误 故选：B 3关于直线 m，n，l 及平面 ，下列命题中正确的是（ ） A若 ml，nl，则 mn B若 m，n，lm，ln，则 l C若 ，则 D若 m，m，则 解：对于 A，由 ml，nl，在同一个平面可得 mn，在空间不成立，故 A 错误； 对于 B，由线面垂直的判定定理知少相交条件，故 B 错误； 对于 C，当三个平面 ， 两两垂直时，结论错误，故 C 错误； 对于 D，若 m，m，则 ，故 D 正确 故选：D 4已知三棱锥 OABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且，用 ， ， 表示， 则等于（ ） A
10、B C D 解：由题意知 故选：D 5 将周长为8的矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到圆柱 当该圆柱体积最大时， 边AB的长为 （ ） A B C D1 解：设 ABx，则 BC， 则圆柱的体积 V（4x）2x， 由题意，02x8，得 0 x4 V（4x）2x 当且仅当 4x2x，即 x时上式取等号 故选：A 6已知 P 为椭圆上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点，且 PF1PF2，若 tan PF2F13，则 C 的离心率为（ ） A B C D 解：由题意可设|PF2|m，在直角三角形 PF1F2中，tanPF2F13，可得|PF1|3m， 由椭圆的定义可知，m+3m2a，解得
11、 m，由勾股定理可得，m2+（3m）2（2c）2， 即，解得， 故选：A 7定积分（ ） A B C3+ D4+ 解：3x2x3|1（1）2， dx，表示以原点为圆心，以半径为 1 的圆的面积的二分之一， 故dx， 故2+， 故选：B 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B4 C D12 解：由题意可知几何体的直观图如图： 几何体的体积为： 故选：A 9已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）a 仅有一个零点，则实数 a 的取值范围 为（ ） A（2，+） B C D 解：令 m（x）（x0），则， 所以 m（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 当
12、x0 时，m（x）， 当 x+时，m（x）0； 令 h（x）（x+2）ex（x0），则 h（x）（x+3）ex， 所以 h（x）在（，3）上单调递减，在（3，0）上单调递增， 当 x时，h（x）0， 作出函数 f（x）的图象如图所示， 因为函数 g（x）f（x）a 仅有一个零点， 即函数 yf（x）与 ya 只有一个交点， 所以实数 a 的取值范围为 故选：D 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，M 为 DD1的中点，N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点， 则下列命题正确的个数为（ ） 若 MN4，则 MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为 3； 若点 N 到直线 BB1与
13、直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线； 若 D1N 与 AB 所成的角为 ，则点 N 的轨迹为双曲线的一支； 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则点 N 的轨迹为圆 A1 B2 C3 D4 解：对于，MN4，MD2，所以 DN2， 则 MN 的中点到 MD 中点的距离为， MN 中点的轨迹为以 MD 中点为圆心，为半径且平行于平面 ABCD 的圆， 其面积为 （）23，故正确； 对于，BB1平面 ABCD，NB 即为 N 到直线 BB1的距离， 在平面 ABCD 内，点 N 到定点 B 的距离与到定直线 DC 的距离相等， 所以点 N 的轨迹就是以 B 为焦点，DC 为准线的
14、抛物线，故正确； 对于，如图，建立空间直角坐标系，设 N（x，y，0）， （x，y，4），（0，4，0），cos， 化简得 3y2x216，所以 N 的轨迹为双曲线，故错误； 对于，MN 与平面 ABCD 所成的角为MND，所以MND， 则 DN2，所以点 N 的轨迹为以 D 为圆心，2 为半径的圆，故正确 所以命题正确的个数为 3 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11已知双曲线的焦点在 y 轴上，焦距为 4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是 解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a0，b0）， 由 2c4，则 c2，渐近线方程为，即，
15、 由 c2a2+b2，解得：b1，a ， 双曲线的标准方程为： 故答案为： 12长方体的长、宽、高分别为，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 6 解：根据题意，长方体的 8 个顶点都在同一球面上， 则长方体的体对角线就是球的直径， 因为长方体的长、宽、高分别为，1， 所以长方体的体对角线的长为， 故球的半径 r， 所以球的表面积 S4r26 故答案为：6 13已知函数若函数 f（x）在1，2上单调递减，则实数 m 的最小值为 6 解：f（x）+2x3， 若 f（x）在1，2上单调递减， 则 f（x）0 在1，2恒成立， 即 m2x33x2+x 在1，2恒成立， 故只需 m（2x33x
16、2+x）max， 令 g（x）2x33x2+x，x1，2， 则 g（x）6x26x+1，对称轴 x， 故 g（x）在1，2单调递增， 而 g（1）10，故 g（x）0 在1，2恒成立， 故 g（x）在1，2单调递增，故 g（x）maxg（2）6， 故 m 的最小值是 6， 故答案为：6 14若实数 x，y 满足方程，则的取值范 围为 解：因为实数 x，y 满足方程， 所以点（x，y）到点（0，3）与（0，3）的距离和为 10， 结合椭圆的定义可知点（x，y）的轨迹方程为， 设点 P 在椭圆上，F1（0，3），F2（0，3），Q（1，0）， 则|PQ|+|PF1|PQ|+10|PF2|， 而|Q
17、F2|PQ|PF2|QF2 |， ， 所以10+|PQ|PF2|， 故答案为： 三、解答题三、解答题 15已知命题 p：方程表示焦点 y 轴上的椭圆；命题 q：x2，1，使得 2x+a10 成 立 （1）若命题p 为假命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题 pq 为真命题，求实数 a 的取值范围 解：（1）若命题 p 为真命题，则，即 1a4 因为命题p 为假命题， 所以命题 p 为真命题 故实数 a 的取值范围为（1，4）； （2）若命题 q 为真命题，则2+a10，即 a3， 因为命题 pq 为真命题， 所以命题 p 和命题 q 均为真命题 故实数 a 的取值范围为（3，4） 16已
18、知函数 （1）当 a1 时，求函数 yf（x）在0，2上的最大值和最小值； （2）求函数 f（x）的单调区间 解：（1）当 a1 时， 令 f（x）0，得 x1， 当 0 x1 时，f（x）0，此时 f（x）单调递增； 当 1x2 时，f（x）0，此时 f（x）单调递减， 当 x1 时，f（x）取最大值，又 f（0）0， 函数的最大值和最小值分别为，0 （2）由，得 当 a0 时，由 f（x）0，得 x1；由 f（x）0，得 x1 当 a0 时，由 f（x）0，得 x1；由 f（x）0，得 x1 综上，当 a0 时，函数的单调递增区间为（，1），单调递减区间为（1，+）； 当 a0 时，函数的
19、单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（，1） 17 如图所示， 在多面体 ABCDE 中， DEAB， ACBC， 平面 DAC平面 ABC， BC2AC4， AB2DE， DADC，点 F 为 BC 的中点 （1）证明：EF平面 ABC； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60，求平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值 【解答】（1）证明：取 AC 的中点 O，连接 DO，OF， 在DAC 中，DADC，DOAC， 由平面 DAC平面 ABC，且交线为 AC， 得 DO平面 ABC， O，F 分别为 AC，BC 的中点，OFAB，且 AB2OF， 又 DEAB
20、，AB2DE，所以 OFDE， 四边形 DEFO 为平行四边形，EFDO， EF平面 ABC； （2）解：DO平面 ABC，ACBC，平面 DAC平面 ABC， 所以 BC平面 ADC； 以 O 为原点，OA 为 x 轴，过点 O 与 CB 平行的直线为 y 轴，OD 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 因为 BC2AC4，AB2DE，DADC，点 F 为 BC 的中点， 则 A（1，0，0），C（1，0，0），B（1，4，0）， EF平面 ABC，直线 BE 与平面 ABC 所成角为EBF60， ， 取平面 ADC 的一个法向量， 设平面 DCE 的一个法向量， 因为， 则，取 z
21、1，得， ， ， 设平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角为 ， 则， 平面 DCE 与平面 ADC 所成的锐二面角的余弦值为 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0），过点 M（4p，0）的直线 l 交抛物线 于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点当 AB 垂直于 x 轴时，OAB 的面积为 （1）求抛物线的方程： （2）设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T 证明：y1y2为定值： 若 OATB，求直线 l 的斜率 解：（1）当 AB 垂直于 x 轴时， 所以OAB 的面积为， 因为 p0，所以， 所以抛物线的方程为 y2x （2）由题意可知直
22、线 l 与 x 轴不垂直 由（1）知 M（2，0），设， 则 由 A，M，B 三点共线，得， 因为 y1y2，化简得 y1y22 因为 y1y22，所以 因为线段 AB 垂直平分线的方程为， 令 y0，得 因为 OATB，所以 kOAkTB， 即，整理得， 解得 y12，故 A（4，2） 所以 kAM1，即直线 l 的斜率为1 19已知函数 f（x）ln（x+1）+a（x2+x）+2（a0） （1）当 a2 时，求 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）若 f（x）有两个极值点 求 a 的取值范围； 证明 f（x）的极小值小于 解：（1）当 a2 时，f（x）ln（x+1）+2x2+
23、2x+2 ，f（0）3 又f（0）2，f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 y3x+2 （2）f（x）ln（x+1）+a（x2+x）+2 的定义域为（1，+）， 令 g（x）2ax2+3ax+a+1，a28a，g（x）的对称轴 当0 时，即 0a8，g（x）0，故 f（x）0， f（x）在（1，+）上单调递增此时 f（x）无极值 当0 时，即 a8， ， 函数 g（x）在区间有两个变号零点 x1，x2， 不妨设 x1x2，其中 ， 当1xx1时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（1，x1）上单调递增； 当 x1xx2时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（x1，x 2）上单调递减； 当 xx2时，g（x）0，f（x）0，f（x）在（x2，+）上单调递增 当 f（x）有两个极值点时，a 的取值范围为（8，+） 由可知，函数 f（x）有唯一的极小值点为 x2，且 又g（x2）0， 令， 在上恒成立， g（x）在单调递减 ，即 f（x）的极小值小于
