1、课时训练课时训练( (十五十五) ) 二次函数的应用二次函数的应用 (限时:40 分钟) |夯实基础| 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图 K15-1 所示的平面直角坐标系,其函数解析式为 y=- 1 25x 2,当水 面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时,水面的宽度 AB 为 ( ) 图 K15-1 A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m 2.如图 K15-2 是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为 O,B,以点 O 为原点,水平直线 OB 为 x 轴,建立平面直角坐标系, 桥的拱形可近似看成抛物线 y=- 1 400(x-80) 2+16,桥拱与桥
2、墩 AC 的交点 C 恰好在水面 CD 处,有 ACx 轴,若 OA=10 米,则 桥面离水面的高度 AC 为 ( ) 图 K15-2 A.16 9 40米 B. 17 4 米 C.16 7 40米 D. 15 4 米 3.如图 K15-3,假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m,则所围成矩形 ABCD 的最大面积是 ( ) 图 K15-3 A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2 4.2018 威海 如图 K15-4,将一个小球从斜坡的点 O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x-1 2x 2刻画,斜坡可以用 一次函数 y=1 2x 刻画,下列结论错误的是 (
3、 ) 图 K15-4 A.当小球抛出高度达到 7.5 m 时,小球距 O 点水平距离为 3 m B.小球距 O 点水平距离超过 4 m 时呈下降趋势 C.小球落地点距 O 点水平距离为 7 m D.斜坡的坡度为 12 5.2017 天门 飞机着落后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数解析式是s=60t-3 2t 2,则飞机着落后滑行 的最长时间为 秒. 6.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离 地高度相同,在各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的
4、离地高度 相同,则 t= . 7.2018 沈阳 如图 K15-5,一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计),当 AB= m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大. 图 K15-5 8.某服装店购进单价为15 元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件,而当销售价每 降低 2 元时,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大. 9.2018 湖州 如图 K15-6,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=ax2+bx(a0)的
5、顶点为 C,与 x 轴的正半轴交于点 A, 它的对称轴与抛物线 y=ax2(a0)交于点 B.若四边形 ABOC 是正方形,则 b 的值是 . 图 K15-6 10.2018 十堰 为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标,我市结合本地丰富的山水资源,大力发展旅游业.王家庄在当地政府 的支持下,办起了民宿合作社,专门接待游客,合作社共有 80 间客房,根据合作社提供的房间单价 x(元)和游客居住房间数 y(间)的信息,乐乐绘制出 y 与 x 的函数图象如图 K15-7 所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元,对于游客所居住的每个房间,合
6、作社每天需支出20元的各种费 用,房价定为多少时,合作社每天获利最大?最大利润是多少? 图 K15-7 11.2017 德州 随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在 水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地 处离池中心 3 米. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度是多少. 图 K15-8 |拓展提升| 12.2017 绍兴 某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的
7、总长度为 50 m.设饲养室长为 x(m),占地面积为 y(m2). (1)如图 K15-9,问饲养室长 x 为多少时,占地面积 y 最大? (2)如图K15-9,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长 多 2 m 就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确. 图 K15-9 参考答案参考答案 1.C 解析 根据题意,得点 B 的纵坐标为-4,把 y=-4 代入 y=- 1 25x 2,得 x= 10, A(-10,-4),B(10,-4),AB=20 m,即水面的宽度 AB 为 20 m. 2.B 解析 ACx 轴,OA=10
8、 米, 点 C 的横坐标为-10. 当 x=-10 时,y=- 1 400(x-80) 2+16=-1 400(-10-80) 2+16=-17 4 , C(-10,- 17 4 ), 桥面离水面的高度 AC 为17 4 米. 故选 B. 3.C 解析 设 BC=x m,则 AB=(16-x)m,矩形 ABCD 的面积为 y m2, 根据题意,得 y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64, 当 x=8 时,y最大值=64, 所围成矩形 ABCD 的最大面积是 64 m2. 4.A 解析 根据函数图象可知,当小球抛出的高度为 7.5 m 时,二次函数 y=4x-1 2x 2 的函
9、数值为 7.5,即 4x-1 2x 2=7.5,解得 x1=3,x2=5,故当抛出的高度为 7.5 m 时,小球距离 O 点的水平距离为 3 m 或 5 m,A 结论错误;由 y=4x-1 2x 2,得 y=-1 2(x-4) 2+8, 则抛物线的对称轴为直线 x=4,当 x4 时,y 随 x 值的增大而减小,B 结论正确;联立方程 y=4x-1 2x 2 与 y=1 2x,解得 = 0, = 0 或 = 7, = 7 2. 则抛物线与直线的交点坐标为(0,0)或 7,7 2 ,C 结论正确;由点 7,7 2 知坡度为7 27=12 也可以根据 y= 1 2x 中系数 1 2的意义判断坡度为
10、12 ,D 结论正确.故选 A. 5.20 解析 滑行的最长时间实际上是求 s 取最大值时对应的时间 t 的值. s=60t-3 2t 2=-3 2(t-20) 2+600, 当 t=20 秒时,s 的最大值为 600 米. 6.1.6 解析 设各自抛出后 1.1 秒时达到相同的最大离地高度 h,则第一个小球的离地高度 y=a(t-1.1)2+h(a0), 由题意 a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h, 解得 t=1.6. 故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同. 7.150 解析 设AB=x m,矩形土地ABCD的面积为y m2,由题意,得y=x 90
11、0-3 2 =-3 2(x-150) 2+33750,-3 20,该函数图象开 口向下,当 x=150 时,该函数有最大值.即 AB=150 m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大. 8.22 解析 设每件的定价为 x 元,每天的销售利润为 y 元. 根据题意,得 y=(x-15)8+2(25-x)=-2x2+88x-870. y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. a=-20,抛物线开口向下, 当 x=22 时,y最大值=98.故答案为 22. 9.-2 解析 由抛物线 y=ax2+bx 可知,点 C 的横坐标为- 2,纵坐标为- 2 4.四边形 ABOC 是正方形,- 2
12、= 2 4.b=0(舍去) 或 b=-2.故填-2. 10.解:(1)依题意,函数图象上的两点的坐标分别为(70,75),(80,70), 设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 则:70 + = 75, 80 + = 70,解得: = - 1 2, = 110, 即 y 与 x 的函数关系式为 y=-1 2x+110. (2)设合作社每天获得的利润为 W 元, 则由题意知:W=(x-20)y=(x-20) -1 2x+110 =- 1 2(x-120) 2+5000, 当 x=120 时,W最大=5000, 即当房价为 120 元时,合作社每天获利最大,最大利润为 5000 元. 1
13、1.解析 (1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为 x 轴,喷水管 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式; (2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度. 解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,喷水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a(x-1)2+h(0 x3). 抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得 4 + = 0, + = 2. 解得 = - 2 3, = 8 3. 所以抛物线的解析式为 y=-2 3(x-1) 2+8 3(0 x3). 化为一般式为 y=-2 3x 2+4 3x+2(0 x3). (2)由(1)抛物线的解析式为 y=-2 3(x-1) 2+8 3(0 x3)可知当 x=1 时,y 最大值=8 3. 所以抛物线水柱的最大高度为8 3 m. 12.解:(1)y=x 50- 2 =-1 2(x-25) 2+625 2 , 当 x=25 时,占地面积 y 最大. (2)y=x 50-(-2) 2 =-1 2(x-26) 2+338, 当 x=26 时,占地面积 y 最大. 即当饲养室长为 26 m 时,占地面积最大. 26-25=12, 小敏的说法不正确.
