1、2020-2021 学年厦门市思明区学年厦门市思明区二校联考二校联考九年级九年级上第二次月考数学试卷上第二次月考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知点 A 与点 B 关于原点对称，若点 A 的坐标为（2，3） ，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 2 如图， ABD和BCD都是等边三角形， ABD旋转后与BCD重合， 则可以作为旋转中心的点有 （ ） A一个 B两个 C三个 D四个 3下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A2cm、3cm、4cm、5cm B1.1cm、2.2cm、3.3c
2、m、4.4cm C0.5cm、2.5cm、3cm、5cm D1cm、2cm、2cm、4cm 4如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 平分ACB 交O 于点 D，若ABC30，则CAD 的度数为（ ） A100 B105 C110 D120 5在一个不透明的袋子中有 3 个白球、4 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同从袋子中随机摸出 一个球，它是红球的概率是（ ） A B C D 6若正多边形的中心角为 72，则该正多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 7 已知点 A （4， 4） 和点 O （0， 0） ， 将点 A 绕点 O 逆时针旋转 90后， 得到点 A， 则点
3、A的坐标是 （ ） A （4，4） B （4，4） C （2，2） D （4，4） 8已知：ABC 中，ABAC，求证：B90，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： A+B+C180，这与三角形内角和为 180矛盾 因此假设不成立B90 假设在ABC 中，B90 由 ABAC，得BC90，即B+C180 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A B C D 9如图，BM 为O 的切线，点 B 为切点，点 A、C 在O 上，连接 AB、AC、BC，若MBA130，则 ACB 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 10如图，点 D 在半圆 O 上，半径 OB，AD10，点 C 在弧 B
4、D 上移动，连接 AC，H 是 AC 上一点， DHC90，连接 BH，点 C 在移动的过程中，BH 的最小值是（ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如果 x：y1：2，那么 12在平面直角坐标系中有两点 A（4，0） ，B（0，2） ，如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合） ，当点 C 的坐 标为 时，使得BOCAOB 13如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD32，则B+E 14如图，在ABC 中，AB13，AC5，BC12，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得到BDE，连接 DC 交 AB 于点
5、F，则ACF 与BDF 的周长之和为 15如图，在半径为的O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 ABCD4，则 OP 的长 为 16如图，半径为 2cm 的O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方形的中心，直 线 OE 过 F 点当正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒（2）cm 的速度向左运动 秒时，O 与 正方形重叠部分的面积为（）cm2 三、解答题（三、解答题（9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （10 分）解方程： （1）3（x3）2+x（x3）0； （2）x22x30（用配方法解） 18 （8 分）在如图所示的方格纸中
6、，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABO 的三个顶点都在格 点上 （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（3，1） ，则点 A 的坐标为 ； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后的OA1B1 19 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DFAE，垂足为 F （1）求证：ABEDFA； （2）若 AB6，BC4，求 DF 的长 20 （8 分）在一个不透明的盒子中装有 4 个小球，4 个小球上分别标有数字 1，2，3，4，这些小球除数字 外都相同，将小球搅匀 （1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是 ； （2）先从盒子中随
7、机摸出一个小球，再从余下的 3 个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法 求两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的概率 21 （10 分）如图ABC，ABAC2，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 （0 180）得到AEF，点 B、C 的对应点分别是 E、F连结 BE、CF 相交于点 D （1）当 CF 恰好垂直 AE 时，求CFE 的大小； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长 22 （10 分）已知，如图，四边形 ABCD 的顶点都在同一个圆上，且A：B：C2：3：4 （1）求A、B 的度数； （2）若 D 为的中点，AB4，BC3，求四边形 ABCD
8、 的面积 23 （10 分）小李的活鱼批发店以 44 元/公斤的价格从港口买进一批 2000 公斤的某品种活鱼，在运输过程 中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一由于市场调节，该品种活鱼的售 价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录 （1）请估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量； （直接写出答案） （2）按此市场调节的观律， 若该品种活鱼的售价定为 52.5 元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； 考虑到该批发店的储存条件，小李打算 8 天内卖完这批鱼（只卖活鱼） ，且售价保持不变，求该批发 店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由 表一
9、 所抽查的鱼的总重量 m（公斤） 100 150 200 250 350 450 500 存活的鱼的重量与 m 的比值 0.885 0.876 0.874 0.878 0.871 0.880 0.880 表二 该品种活鱼的售价（元/公斤） 50 51 52 53 54 该品种活鱼的日销售量（公斤） 400 360 320 280 240 24 （10 分）如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在O 上，边 AD 经过O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与O 相交于点 G、F，且 EF 平分BFD （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若 DF，求 DE 的长 25 （12 分）如图，O 是A
10、BC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 ODAB 于点 D，延长 DO 交O 于点 P，过点 P 作 PEAC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF （1）若POC60，AC12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证：ODOE； （3）求证：PF 是O 的切线 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知点 A 与点 B 关于原点对称，若点 A 的坐标为（2，3） ，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 【分析】平面直角坐标系中
11、任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） 【解答】解：点 A 与点 B 关于原点对称，点 A 的坐标为（2，3） ， 点 B 的坐标是（2，3） 故选：D 2 如图， ABD和BCD都是等边三角形， ABD旋转后与BCD重合， 则可以作为旋转中心的点有 （ ） A一个 B两个 C三个 D四个 【分析】 根据等边三角形的性质得 ADABBDBCCD， ABDADBCBDCDB60， 则可利用旋转的定义， 要把ABD 旋转后与BCD 重合， 可选择 B 点或 D 点或 BD 的中点为旋转中心 【解答】解：ABD 和BCD 都是等边三角形， ADABBDBCCD，ABDADBCBDCD
12、B60， 将ABD 绕点 B 顺时针旋转 60可得到DBC 或将ABD 绕点 D 逆时针旋转 60可得到BCD 或 将ABD 绕 BD 的中点旋转 180可得到CDB 故选：C 3下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A2cm、3cm、4cm、5cm B1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm C0.5cm、2.5cm、3cm、5cm D1cm、2cm、2cm、4cm 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出 答案 【解答】解：A、2534，故四条线段不成比例； B、4.41.13.32.2，故四条线段不成比例； C、0.552.53，故
13、四条线段不成比例； D、2241，故四条线段成比例 故选：D 4如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 平分ACB 交O 于点 D，若ABC30，则CAD 的度数为（ ） A100 B105 C110 D120 【分析】利用圆周角定理得到ACB90，则利用互余计算出BAC60，接着根据角平分线定义 得到BCD45，从而利用圆周角定理得到BADBCD45，然后计算BAC+BAD 即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， BAC90ABC903060， CD 平分ACB， BCD45， BADBCD45， CADBAC+BAD60+45105 故选：B 5在一个不透明的袋子中
14、有 3 个白球、4 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同从袋子中随机摸出 一个球，它是红球的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率，即可求出答案 【解答】解：根据题意可得：袋子中有 3 个白球，4 个红球，共 7 个， 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率 故选：D 6若正多边形的中心角为 72，则该正多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据正多边形的中心角，求出 n 即可 【解答】解：由题意，72， n5， 故选：D 7 已知点 A （4， 4） 和点 O （0， 0） ， 将点
15、A 绕点 O 逆时针旋转 90后， 得到点 A， 则点 A的坐标是 （ ） A （4，4） B （4，4） C （2，2） D （4，4） 【分析】如图作 AHx 轴于 H，AEx 轴于 E利用全等三角形的性质解决问题即可 【解答】解：如图作 AHx 轴于 H，AEx 轴于 E A（4，4） ， OE4，AE4， AHOAEOAOA90， AOH+AOE90，AOE+A90， AOHA， OAOA， AOHOAH（AAS） ， OHAE4，AHOE4， A（4，4） ， 故选：B 8已知：ABC 中，ABAC，求证：B90，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： A+B+C180，这与三
16、角形内角和为 180矛盾 因此假设不成立B90 假设在ABC 中，B90 由 ABAC，得BC90，即B+C180 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A B C D 【分析】通过反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；理顺证明过程即可 【解答】解：由反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论； 所以题目中“已知：ABC 中，ABAC，求证：B90” 用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： 应该为：假设B90； 那么，由 ABAC，得BC90，即B+C180 所以A+B+C180，这与三角形内角和定理相矛盾， ； 因此假设不成立B90； 原题正确顺序为： 故选：A 9如图，BM
17、 为O 的切线，点 B 为切点，点 A、C 在O 上，连接 AB、AC、BC，若MBA130，则 ACB 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】 直接利用切线的性质得出OBM90， 求出AOB 的度数， 进而利用圆周角定理可得出答案 【解答】解：如图，连接 OA，OB， BM 为O 的切线， OBM90， MBA130， ABO40， OAOB， BAOABO40， AOB1804040100， ACBAOB50， 故选：B 10如图，点 D 在半圆 O 上，半径 OB，AD10，点 C 在弧 BD 上移动，连接 AC，H 是 AC 上一点， DHC90，连接 BH，点 C
18、在移动的过程中，BH 的最小值是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】如图，取 AD 的中点 M，连接 BD，HM，BM由题意点 H 在以 M 为圆心，MD 为半径的M 上，推出当 M、H、B 共线时，BH 的值最小； 【解答】解：如图，取 AD 的中点 M，连接 BD，HM，BM DHAC， AHD90， 点 H 在以 M 为圆心，MD 为半径的M 上， 当 M、H、B 共线时，BH 的值最小， AB 是直径， ADB90， BD12， BM13， BH 的最小值为 BMMH1358 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如果 x：y1：2，
19、那么 【分析】根据合比性质，可得答案 【解答】解：+1+1，即 故答案为： 12在平面直角坐标系中有两点 A（4，0） ，B（0，2） ，如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合） ，当点 C 的坐 标为 （1，0）或者（1，0） 时，使得BOCAOB 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论 【解答】解：点 A 为（4，0） ， AO4； 点 B 为（0，2） ， OB2 若BOCAOB 则： 即：， OC1 故点 C 为（1，0）或者（1，0） 故答案为： （1，0）或者（1，0） 13如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD32，则B+E 212 【分析】连接 CE，先
20、根据圆内接四边形对角互补可得B+AEC180，再根据同弧所对的圆周角相 等可得CEDCAD32，然后求解即可 【解答】解：如图，连接 CE， 五边形 ABCDE 是O 的内接五边形， 四边形 ABCE 是O 的内接四边形， B+AEC180， CEDCAD32， B+E180+32212 故答案为：212 14如图，在ABC 中，AB13，AC5，BC12，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得到BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则ACF 与BDF 的周长之和为 42 【分析】 由旋转的性质可得出 BDBC， 结合CBD60可得出BCD 为等边三角形， 进而可得出 CD 的长度，再根据
21、三角形的周长公式即可求出ACF 与BDF 的周长之和 【解答】解：BDE 由BCA 旋转得出， BDBC12 CBD60， BCD 为等边三角形， CDBC12 CACF+CBDFAC+CF+AF+BF+DF+BDAC+AB+CD+BD5+13+12+1242 故答案为：42 15如图，在半径为的O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 ABCD4，则 OP 的长 为 【分析】作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连结 OD、OB，根据垂径定理得到 AEBEAB2，DF CFCD2，根据勾股定理计算出 OE1，同理可得 OF1，证明四边形 OEPF 为正方形，于是得 到 OPO
22、E 【解答】解：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连结 OD、OB， 则 AEBEAB2，DFCFCD2， 在 RtOBE 中，OB，BE2， OE1， 同理可得 OF1， ABCD，OEAB，OFCD， 四边形 OEPF 为矩形， OEOF1， 四边形 OEPF 为正方形， OPOE， 故答案为： 16如图，半径为 2cm 的O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方形的中心，直 线 OE 过 F 点当正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒（2）cm 的速度向左运动 1 或（11+6） 秒 时，O 与正方形重叠部分的面积为（）cm2 【分析】分两种
23、情形：如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，分别 求解即可解决问题 【解答】解：如图 1 中，当点 A，B 落在O 上时，由题意，AOB 是等边三角形，O 与正方形重叠 部分的面积为（）cm2 此时，运动时间 t（2）（2）1（秒） 如图 2 中，当点 C，D 落在O 上时，由题意，OCD 是等边三角形，O 与正方形重叠部分的面积为 （）cm 2 此时，运动时间 t4+2（2）（2）（11+6） （秒） ， 综上所述，满足条件的 t 的值为 1 秒或（11+6）秒 故答案为 1 或（11+6） 三、解答题（三、解答题（9 小题，共小题，共 86 分
24、）分） 17 （10 分）解方程： （1）3（x3）2+x（x3）0； （2）x22x30（用配方法解） 【分析】 （1）把 x3 看成整体，提公因式分解因式求解； （2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边 是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解 【解答】解： （1） （x3） （3x9+x）0 ； （2）配方得 x22x+14 即（x1）24 x12 x13，x21 18 （8 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABO 的三个顶点都在格 点上 （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（3，1
25、） ，则点 A 的坐标为 （2，3） ； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后的OA1B1 【分析】 （1）利用 B 点坐标作出直角坐标系，从而得到 A 点坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 A1、B1即可 【解答】解： （1）建立如图所示的直角坐标系，点 A 的坐标为（2，3） ； 故答案为（2，3） ； （2）如图，OA1B1为所作 19 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DFAE，垂足为 F （1）求证：ABEDFA； （2）若 AB6，BC4，求 DF 的长 【分析】 （1）由矩形性质得 ADBC，进而由平行线的性质得AEB
26、DAF，再根据两角对应相等的 两个三角形相似； （2）由 E 是 BC 的中点，求得 BE，再由勾股定理求得 AE，再由相似三角形的比例线段求得 DF 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，B90， DAFAEB， DFAE， AFDB90， ABEDFA； （2）E 是 BC 的中点，BC4， BE2， AB6， AE， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC4， ABEDFA， ， 20 （8 分）在一个不透明的盒子中装有 4 个小球，4 个小球上分别标有数字 1，2，3，4，这些小球除数字 外都相同，将小球搅匀 （1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是
27、 ； （2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的 3 个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法 求两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的结果数，然后 根据概率公式计算 【解答】解： （1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率； 故答案为； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的结果数为 8， 所以两次摸出的小球标注数字之和大于 4 的概率 21 （10 分）如图ABC，ABAC2，BAC3
28、0，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定的角度 （0 180）得到AEF，点 B、C 的对应点分别是 E、F连结 BE、CF 相交于点 D （1）当 CF 恰好垂直 AE 时，求CFE 的大小； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长 【分析】 （1）由旋转的性质可得 AEAFABAC2，EAFBAC30，由等腰三角形的性质和 直角三角形的性质可求解； （2）由菱形的性质可得 DFAF2，DFAB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解 【解答】解： （1）AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的， AEAFABAC2，EAFBAC30， AEFAFE75， 又CFAE，
29、 AFC90EAF60， CFEAFEAFC756015； （2）四边形 ABDF 为菱形， DFAF2，DFAB， ACFBAC30， ACF 为等腰三角形，且CAF120， ACF30， CF2cosACFAC， CDCFDF 22 （10 分）已知，如图，四边形 ABCD 的顶点都在同一个圆上，且A：B：C2：3：4 （1）求A、B 的度数； （2）若 D 为的中点，AB4，BC3，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）根据圆内接四边形的性质求出A、B 的度数； （2）连接 AC，根据勾股定理求出 AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到 ADCD，根据勾股定 理、三角形的面积公
30、式计算，得到答案 【解答】解： （1）设A、B、C 分别为 2x、3x、4x， 四边形 ABCD 为圆内接四边形， A+C180，即 2x+4x180， 解得，x30， A、B 分别为 60、90； （2）连接 AC， B90， AC 为圆的直径，AC5，ABC 的面积346，D90， 点 D 为的中点， ADCDAC， ADC 的面积， 四边形 ABCD 的面积6+ 23 （10 分）小李的活鱼批发店以 44 元/公斤的价格从港口买进一批 2000 公斤的某品种活鱼，在运输过程 中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一由于市场调节，该品种活鱼的售 价与日销售量之间有一定的
31、变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录 （1）请估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量； （直接写出答案） （2）按此市场调节的观律， 若该品种活鱼的售价定为 52.5 元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； 考虑到该批发店的储存条件，小李打算 8 天内卖完这批鱼（只卖活鱼） ，且售价保持不变，求该批发 店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由 表一 所抽查的鱼的总重量 m（公斤） 100 150 200 250 350 450 500 存活的鱼的重量与 m 的比值 0.885 0.876 0.874 0.878 0.871 0.880 0.880 表二 该品种活鱼的售价（元/公斤）
32、 50 51 52 53 54 该品种活鱼的日销售量（公斤） 400 360 320 280 240 【分析】 （1）用总质量乘以 0.880 可得； （2）由表知，售价每增加 1 元，日销售量就减少 40 公斤，据此求解可得； 由售价每增加 x 元/公斤，可估计日销售量在 400 公斤的基础上减少 40 x 公斤，设批发店每日卖鱼的利 润为 w， 根据总利润每公斤的利润销售量列出函数解析式， 在根据题意求出增加的单价的取值范围， 利用二次函数的性质求解可得 【解答】解： （1）估计运到的 2000 公斤鱼中活鱼的总重量为 20000.8801760 公斤； （2）由表知，售价每增加 1 元，
33、日销售量就减少 40 公斤， 所以估计日销售量 40040（52.550）300（公斤） 若活鱼的售价再 50 元/公斤的基础上，售价每增加 x 元/公斤，可估计日销售量在 400 公斤的基础上减 少 40 x 公斤， 设批发店每日卖鱼的利润为 w， 则 w（50+x） （40040 x） 40 x2+400 x 40（x5）2+1000， 由“8 天内卖完这批活鱼”可得 8（40040 x）1760， 解得 x4.5， 根据实际意义有 40040 x0，解得 x10， x4.5， 400， 当 x5 时，w 随 x 的增大而增大， 当售价定为 54.5 元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为
34、 990 元 24 （10 分）如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在O 上，边 AD 经过O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与O 相交于点 G、F，且 EF 平分BFD （1）求证：AD 是O 的切线 （2）若 DF，求 DE 的长 【分析】 （1）连接 OE，根据角平分线的定义求出DFEOFE，根据等腰三角形的性质得出OEF OFE，求出DFEOEF，求出 OEAD，根据切线的判定得出即可； （2）连接 BE，证DEFABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出 DE 【解答】 （1）证明：连接 OE， OEOF， OEFOFE， FE 平分BFD， DFEOFE， DFEO
35、EF， OECD， OED+D180， 四边形 ABCD 是正方形， D90， OED90， 即 OEAD， OE 过 O， AD 是O 的切线； （2）解：连接 BE， 四边形 ABCD 是正方形， DA90，ABCD，ADAB， OEAD， ABCDOE， OBOF， AEDE， 设 DEAEx，则 ADAB2x， BF 为O 直径， BEF90， AD90， ABE+AEB1809090，DEF+AEB180BEF90， DEFABE， ABEDEF， ， ， 即得：x2， 即 DE2 25 （12 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 ODAB 于点 D，延长
36、DO 交O 于点 P，过点 P 作 PEAC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF （1）若POC60，AC12，求劣弧 PC 的长； （结果保留 ） （2）求证：ODOE； （3）求证：PF 是O 的切线 【分析】 （1）根据弧长计算公式 l进行计算即可； （2）证明POEADO 可得 DOEO； （3）方法 1、连接 AP，PC，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用CEPCAP 找出角的关系求解 方法 2、先计算判断出 PDBF，进而判断出四边形 PDBF 是矩形即可得出结论； 方法 3、利用三个内角是 90 度的四边形是矩形判断出四边形 PDBF 是矩形即可
37、得出结论 【解答】 （1）解：AC12， CO6， 2； 答：劣弧 PC 的长为：2 （2）证明：PEAC，ODAB， PEA90，ADO90 在ADO 和PEO 中， ， POEAOD（AAS） ， ODEO； （3）证明： 法一： 如图，连接 AP，PC， OAOP， OAPOPA， 由（2）得 ODEO， ODEOED， 又AOPEOD， OPAODE， APDF， AC 是直径， APC90， PQE90 PCEF， 又DPBF， ODEEFC， OEDCEF， CEFEFC， CECF， PC 为 EF 的中垂线， EPQQPF， CEPCAP EPQEAP， QPFEAP， QPF
38、OPA， OPA+OPC90， QPF+OPC90， OPPF， PF 是O 的切线 法二： 设O 的半径为 r ODAB，ABC90， ODBF， ODECFE 又ODOE， FCECrOErODrBC BFBC+FCr+BC PDr+ODr+BC PDBF 又PDBF，且DBF90， 四边形 DBFP 是矩形 OPF90 OPPF， PF 是O 的切线 方法 3、AC 为直径， ABC90 又ADO90， PDBF PCFOPC OPOC， OCPOPC OCPPCF，即ECPFCP PDBF， ODEEFC ODOE， ODEOED 又OEDFEC， FECEFC ECFC 在PEC 与PFC 中 PECPFC（SAS） PFCPEC90 四边形 PDBF 为矩形 DPF90， 即 PF 为圆的切线
