1、 1 第第 1414 讲讲 几何初步、相交线、平行线几何初步、相交线、平行线 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 线段与直线】线段与直线】 1线段： (1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线 (2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短 (3)线段的和与差：已知两条线段 a 和 b，且 ab，在直线 l 上画线段 ABa，BCb，则线段 AC 就是线段 a 与 b 的和，即 ACab 在直线 l 上画线段 ABa，在 AB 上画线段 ADb，则线段 DB 就是线段 a 与 b 的差，即 DBab. (4)线段的中点：如图，线段 AB 上的一点 M，把线段 AB 分成两条线段 AM 与 M
2、B.如果 AMMB，那么点 M 就 叫做线段 AB 的中点，此时有 AMMB1 2AB，AB2AM2MB. 2直线： (1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形 (2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形. 【考点【考点 2 2 角及角平分线】角及角平分线】 1.角的分类： 周角、平角、直角之间的关系和度数 1 周角2 平角4 直角360， 1 平角2 直角180，1 直角90， 160，160，1 1 60 ，1 1 60 . 2角平分线的概念及性质： (1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线
3、(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 3余角、补角与邻补角： (1)余角： 如果两个角的和为 90，那么这两个角互为余角； 同角(等角)的余角相等 2 (2)补角： 如果两个角的和为 180，那么这两个角互为补角； 同角(等角)的补角相等 (3)邻补角： 两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角； 互为邻补角的两个角的和为 180. 【考点【考点 3 3 相交、垂线及其性质】相交、垂线及其性质】 1.相交线三线八角(如图) 同位角：1 与5，2 与6，4 与8，3 与7. 内错角：2 与8，3 与5. 同旁内
4、角：3 与8，2 与5 对顶角：1 与3，2 与4，5 与7，6 与8 2.垂线及其性质 (1)定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线 (2)基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 (3)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 (5)线段垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 【考点【考点 4 4 平行线的判定及性质】平行线的判定
5、及性质】 1.平行线的判定及性质 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 两条平行线之间的距离处处相等 性质： (1)两直线平行，同位角相等，即12； (2)两直线平行，内错角相等，即23； 3 (3)两直线平行，同旁内角互补，即34180. 判定： (1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行； (2)同位角相等，两直线平行； (3)内错角相等，两直线平行； (4)同旁内角互补，两直线平行； (5)平行于同一条直线的两条直线平行 【考点【考点 5 5 命题与定理】命题与定理】 命题与定理 命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事
6、项，结论是由已知事 项推出的事项，命题常写成“如果那么”的形式 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题 定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明 二、考点分析 【考点【考点 1 1 线段与直线】线段与直线】 【解题技巧】 直线可以看作是线段向两个方向无限延伸的， 而射线可以看作是线段向一个方向无限延伸的； 线段的中点是解决有“边”的图形的度量问题、大小问题、长短问题等的基础。 【例 1】 （2019 吉林中考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于 游人更
7、好地观赏风光如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学 道理是（ ） A两点之间，线段最短 B平行于同一条直线的两条直线平行 C垂线段最短 D两点确定一条直线 【答案】A 【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案 4 【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可 得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程 故选：A 【举一反三举一反三 1-1】 （2019广州）如图，点A，B，C在直线l上，PBl，PA6cm，PB5cm，PC7cm，则点 P到直线l的距离是 cm 【答案】5 【分析】根据点到直线的距离是直线
8、外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案 【解答】解：PBl，PB5cm， P到l的距离是垂线段PB的长度 5cm， 故答案为：5 【举一反三举一反三 1-2】（2019日照） 如图， 已知AB8cm，BD3cm，C为AB的中点， 则线段CD的长为 cm 【答案】5 【分析】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长 【解答】解：C为AB的中点，AB8cm， BCAB84（cm） ， BD3cm， CDBCBD431（cm） ， 则CD的长为 1cm； 故答案为：1 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 河南开封中考模拟）如图，点C在线段AB上，AC：BC3：2，点M是AB的中点，
9、 点N是BC的中点，若MN3cm，求线段AB的长 【分析】设AC3x，BC2x，得到AB5x，根据点M是AB的中点，点N是BC的中点，列方程即可得到结 论 5 【解答】解：AC：BC3：2， 设AC3x，BC2x， AB5x， 点M是AB的中点，点N是BC的中点， BM2.5x，BNx， MNBMBN1.5x3， x2， AB10cm 【考点【考点 2 2 角及角平分线】角及角平分线】 【解题技巧】1.度、分、秒的加减运算：在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减， 分秒相加，逢 60 要进位，相减时，要借 1 化 60 2.度、分、秒的乘除运算乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢
10、60 要进位除法：度、分、秒分别去 除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除 3.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它 们就具备相应的关系 【例 2】 （2019 浙江宁波中考模拟）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置( ABC30)，其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若120，则2 的度数为( ) A20 B30 C45 D50 【答案】D 【分析】由平行线的性质得2ABC1，再用角的和差计算即可 【解析】mn 2ABC1 23020 25
11、0 故选：50 6 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 河北石家庄中考模拟） （改成选择题）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的 一边上，若130，求2 的度数 【分析】先根据补角的定义求出BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解：130，BAC90， BAD180901 1809030 60， EFAD， 2BAD60 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 河北沧州中考模拟）一个角的余角的 3 倍比这个角的补角少 24，那么这个角是 多少度？ 【分析】先根据余角的定义列出一个方程，然后求解 【解答】设这个角为 x. 由题意，得 180 x243(90 x)， 解得
12、x57. 答：这个角的度数为 57. 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 山东青岛中考模拟） 如图， BD 是ABC 的平分线， EDBC， FEDBDE， 试说明： EF 是AED 的平分线 【分析】结合角的平分线定义，运用平行线的判定证明 EFBD，从而有AEFABD，根据平行线的性质 及等量代换可得AEFDEF，即 EF 是AED 的平分线 【解答】证明：BD 是ABC 的平分线， ABDDBC. EDBC，BDEDBC. ABDBDE. 7 FEDBDE， EFBD，ABDFED. AEFABD. AEFFED. EF 是AED 的平分线 【考点【考点 3 3 相交、垂线及其性质
13、】相交、垂线及其性质】 【解题技巧】1.垂线段的性质：垂线段最短 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短它是相对于这点与直 线上其他各点的连线而言 2.实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中 去选择 3.点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段它只能量出或求 出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形 【例 3】 （2019 河北唐山中考模拟）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若130，则 2 的度数（ ） A45 B60 C50 D30 【答案】 【分析】先根据补
14、角的定义求出BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解：130，BAC90， BAD180901 1809030 60， EFAD， 2BAD60 故选：B 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 山东淄博中考模拟） （填空题） 如图， 将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起 （1）若DCB35，求ACB的度数； 8 （2）若ACB140，求DCE的度数 【分析】 （1）根据角的和差关系可直接得到ACB90+35125； （2）首先计算出BCD的度数，然后再根据ABCE90可得ECD的度数 【解答】解： （1）ACD90，DCB35， ACBACD+DCB 90+35 125，
15、（2）ACB140，ACD90， DCBACBACD 14090 50， 又ECB90 ECDECBDCB 9050 40 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 河北沧州中考模拟） （1）如图 1，ABCD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧 平面区域内一点，连结BE、DE求证：EABE+CDE （2）如图 2，在（1）的条件下，作出EBD和EDB的平分线，两线交于点F，猜想F、ABE、CDE之 间的关系，并证明你的猜想 （3）如图 3，在（1）的条件下，作出EBD的平分线和EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想G、 ABE、CDE之间的关系，并证明你的猜想 9 【分析】 （1）利用平
16、行线的性质即可得出结论； （2）先判断出EBD+EDB180（ABE+CDE） ，进而得出DBF+BDF90（ABE+CDE） ， 最后用三角形的内角和即可得出结论； （3）先由（1）知，BEDABE+CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论 【解答】解： （1）如图， 过点E作EHAB， BEHABE， EHAB，CDAB， EHCD， DEHCDE， BEDBEH+DEHABE+CDE； （2）2F（ABE+CDE）180， 理由：由（1）知，BEDABE+CDE， EDB+EBD+BED180， EBD+EDB180BED180（ABE+CDE） ， BF，DF分别是D
17、BE，BDE的平分线， EBD2DBF，EDB2BDF， 2DBF+2BDF180（ABE+CDE） ， DBF+BDF90（ABE+CDE） ， 在BDF中， F180 （DBF+BDF） 18090 （ABE+CDE） 90+ （ABE+CDE） ， 即：2F（ABE+CDE）180； （3）2GABE+CDE，理由：如图 3， 由（1）知，BEDABE+CDE， BG是EBD的平分线， DBE2DBG， DG是EDP的平分线， EDP2GDP， BEDEDPDBE2GDP2DBG2（GDPDBG） ， 10 GDPDBGBED（ABE+CDE） GGDPDBG（ABE+CDE） ， 2G
18、ABE+CDE 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 河南郑州中考模拟）如图，直线ab，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC AB，AC交直线b于点C （1）若160，求2 的度数； （2）若AC3，AB4，BC5，求a与b的距离 【分析】 （1）依据直线ab，ACAB，即可得到290330； （2）过A作ADBC于D，依据ABACBCAD，即可得到AD 【解答】解： （1）直线ab， 3160， 又ACAB， 290330； （2）如图，过A作ADBC于D，则AD的长即为a与b之间的距离 ACAB， ABACBCAD， 11 AD， a与b的距离为 【考点【考点 4 4 平行线的判定
19、及性质】平行线的判定及性质】 【解题技巧】利用平行线性质和判定求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行 等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质和判定另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三 角形内外角关系等知识的运用 【例 4】 （2019 海南中考）如图，直线l1l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分 别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC若ABC70，则1 的大小为（ ） A20 B35 C40 D70 【答案】C 【分析】根据平行线的性质解答即可 【解答】解：点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2 于B、C， ACAB
20、， CBABCA70， l1l2， CBA+BCA+1180， 1180707040， 故选：C 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 河南中考）如图，ABCD，B75，E27，则D的度数为（ ） 12 A45 B48 C50 D58 【答案】B 【分析】根据平行线的性质解答即可 【解答】解：ABCD， B1， 1D+E， DBE752748， 故选：B 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 广东中考）如图，已知ab，175，则2 【答案】105 【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可 【解答】解：直线L直线a，b相交，且ab，175， 3175， 13 218031807510
21、5 故答案为：105 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 湖北孝感中考）如图，直线l1l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BCl3交 l1于点B，若170，则2 的度数为（ ） A10 B20 C30 D40 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可 【解答】解：l1l2， 1CAB70， BCl3交l1于点B， ACB90， 2180907020， 故选：B 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 河北中考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（ ） A代表FEC B代表同位角 C代表EFC D代表AB 【答案】C 【分析】
22、根据图形可知代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得代表EFC，即可判断A；利 用等量代换得出代表EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知代表内错角 14 【解答】证明：延长BE交CD于点F， 则BECEFC+C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和） 又BECB+C，得BEFC 故ABCD（内错角相等，两直线平行） 故选：C 【考点【考点 5 5 命题与定理】命题与定理】 【解题技巧】掌握命题的概念.知道命题由“条件”和“结论”两部分组成，能够初步区分命题的条件和结 论， 能把命题改写成 “如果那么” 的形式.我们发现由观察、 实验、 归纳和类比等方法得出的命题， 可能是真命题
23、，也可能是假命题. 凡是我们学过的定理、定义、性质等都是真命题。 【例 5】 （2019 北京中考）用三个不等式ab，ab0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等 式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【分析】由题意得出 3 个命题，由不等式的性质再判断真假即可 【解答】解：若ab，ab0，则，真命题； 若ab0，则ab，真命题； 若ab，则ab0，真命题； 组成真命题的个数为 3 个； 故选：D 【举一反三举一反三 5-1】 （2019 上海中考）下列命题中，假命题是（ ） A矩形的对角线相等 B矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C矩形的对
24、角线互相平分 D矩形对角线交点到四条边的距离相等 【答案】D 【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题； B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题； 15 C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题； D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题， 故选：D 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 重庆中考）下列命题正确的是（ ） A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法判断即
25、可 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题； B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； 故选：A 【举一反三举一反三 5-3】 （2019呼和浩特）下面三个命题：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；两边 及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等， 其中正确的命题的序号为 【答案】 【分析】由全等三角形的判定方法得出正确，不正确 【解答】解：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确； 理由：已知：如图 1，2，在ABC和AB
26、C中，ABAC，ABAC，BCBC，AA， 求证：ABCABC， 证明：在ABC中，ABAC， BC B（180A）90A， 同理：B90A， AA， 16 BB， BCBC， ABCABC（AAS） 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确； 理由：已知：如图 3，4 在ABC和ABC中，AD，AD是ABC和ABC的中线，且ADAD，ABAB，BCBC， 求证：ABCABC 证明：AD，AD是ABC和ABC的中线， BDBC，BDBC， BCBC， BDBD， ABAB，ADAD， ABCABC（SSS） 斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确； 例如：两直角三角
27、形的斜边都是 10，斜边的中线都是 5，而其中一个直角三角形的两锐角是 30和 60， 另一个直角三角形的两锐角是 40和 50 故答案为： 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 江苏南京中考）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ，ab 17 【答案】1+3180 【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 【解答】解：1+3180， ab（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：1+3180 2.（2019 山西中考）如图，在ABC中，ABAC，A30，直线ab，顶点C在直线b上，直线a交 AB于点D，交AC与
28、点E，若1145，则2 的度数是（ ） A30 B35 C40 D45 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得ACB75，由三角形外角的性质可得AED的 度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论 【解答】解：ABAC，且A30， ACB75， 在ADE中，1A+AED145， AED14530115， ab， AED2+ACB， 21157540， 故选：C 3.（2019 陕西中考）如图，OC是AOB的角平分线，lOB，若152，则2 的度数为（ ） 18 A52 B54 C64 D69 【答案】C 【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到BOC64，
29、再根据平行线的性质，即可得出 2 的度数 【解答】解：lOB， 1+AOB180， AOB128， OC平分AOB， BOC64， 又lOB，且2 与BOC为同位角， 264， 故选：C 4.（2019济南）如图，DEBC，BE平分ABC，若170，则CBE的度数为（ ） A20 B35 C55 D70 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得1ABC70，再根据角平分线的定义可得答案 【解答】解：DEBC， 1ABC70， BE平分ABC， CBEABC35， 故选：B 19 5. （2019日照） 如图， 将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， 当135时， 2 的度数为 （ ） A35
30、 B45 C55 D65 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由余角的定义即可得出结论 【解答】解：直尺的两边互相平行，135， 335 2+390， 255 故选：C 6. （2019青海） 如图， 将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放： 两个三角板的一直角边重合， 含 30角的三角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1 的度 数是（ ） A15 B22.5 C30 D45 【答案】A 【分析】过A点作ABa，利用平行线的性质得ABb，所以12，3430，加上2+3 45，易得115 【解答】解：如图，过A点作ABa， 12，
31、 ab， ABb， 20 3430， 而2+345， 215， 115 故选：A 7.（2019宁夏）如图，在ABC中ACBC，点D和E分别在AB和AC上，且ADAE连接DE，过点A的 直线GH与DE平行，若C40，则GAD的度数为（ ） A40 B45 C55 D70 【答案】C 【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论 【解答】解：ACCB，C40， BACB（18040）70， ADAE， ADEAED（18070）55， GHDE， GADADE55， 故选：C 8.（2019新疆）如图，ABCD，A50，则1 的度数是（ ） 21 A40 B50 C130 D150 【答案】
32、C 【分析】根据平行线的性质解答即可 【解答】解：ABCD， 2A50， 1180218050130， 故选：C （二）（二）填空题填空题 1. （2019 吉林中考） 如图，E为ABC边CA延长线上一点， 过点E作EDBC 若BAC70， CED50， 则B 【答案】C 【分析】 利用平行线的性质， 即可得到CEDC50， 再根据三角形内角和定理， 即可得到B的度数 【解答】解：EDBC， CEDC50， 又BAC70， ABC中，B180507060， 故答案为：60 2.（2019 辽宁大连中考） ）如图ABCD，CBDE，B50，则D 22 【答案】130 【分析】首先根据平行线的性质
33、可得BC50，再根据BCDE可根据两直线平行，同旁内角互补可 得答案 【解答】解：ABCD， BC50， BCDE， C+D180， D18050130， 故答案为：130 3.（2019 云南中考）如图，若ABCD，140 度，则2 度 【答案】140 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出3，再根据邻补角的定义列式计算即可得解 【解答】解：ABCD，140， 3140， 2180318040140 故答案为：140 4.（2019长春）如图，直线MNPQ，点A、B分别在MN、PQ上，MAB33过线段AB上的点C作CD AB交PQ于点D，则CDB的大小为 57 度 23 【答案】57 【分析
34、】直接利用平行线的性质得出ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案 【解答】解：直线MNPQ， MABABD33， CDAB， BCD90， CDB903357 故答案为：57 5.（2019威海）把一块含有 45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条 长边上） 若123，则2 【答案】68 【分析】由等腰直角三角形的性质得出AC45，由三角形的外角性质得出AGB68，再由平行 线的性质即可得出2 的度数 【解答】解：ABC是含有 45角的直角三角板， AC45， 123， AGBC+168， EFBD， 2AGB68； 故答案为：68 24 6.（2019 河北
35、衡水中考模拟） （填空题）已知：如图所示，ABCD，AE交CD于点C，DEAE，垂足为E， A+170，求：D的度数是 【答案】55 【分析】 根据平行线的性质得出A1， 求出1， 即可求出ECD， 根据垂直求出DEC， 即可求出答案 【解答】解：ABCD， A1， A+170， 1A35， ECD135， DEAE， DEC90， D180DECECD55 故答案为：55 7.（2019 山东德州中考模拟） （填空题）如图，点C在线段AB上，AC：BC3：2，点M是AB的中点，点N 是BC的中点，若MN3cm，则线段AB的长是 【答案】10cm 【分析】设AC3x，BC2x，得到AB5x，根
36、据点M是AB的中点，点N是BC的中点，列方程即可得到结 论 【解答】解：AC：BC3：2， 设AC3x，BC2x， 25 AB5x， 点M是AB的中点，点N是BC的中点， BM2.5x，BNx， MNBMBN1.5x3， x2， AB10cm 故答案为：10cm 8.（2019 湖北中考黄石模拟） （填空题）已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB1：2：3，M、N也 在线段AB上，且M是AC的中点，DN，AB48，则MN的长是 【答案】10cm 【分析】先作出图形，根据线段之间的关系求出MC4，DN6，然后求出MN的长度即可 【解答】解：线段AB48，AC：CD：DB1：2：3， A
37、C8，CD16，DB24， 点M是AC的中点，DN， MC4，DN6， 如图 1， MNMC+CD+DN4+16+626 如图 2， MNMC+CDDN4+16614 故MN的长为 26 或 14 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 浙江温州中考）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB交 ED的延长线于点F （1）求证：BDECDF （2）当ADBC，AE1，CF2 时，求AC的长 26 【分析】 （1）根据平行线的性质得到BFCD，BEDF，由AD是BC边上的中线，得到BDCD，于 是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BECF2，求得ABAE
38、+BE1+23，于是得到结论 【解答】 （1）证明：CFAB， BFCD，BEDF， AD是BC边上的中线， BDCD， BDECDF（AAS） ； （2）解：BDECDF， BECF2， ABAE+BE1+23， ADBC，BDCD， ACAB3 2.（2019 重庆中考）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点 E，过点E作EFBC交AB于点F （1）若C36，求BAD的度数； （2）求证：FBFE 【分析】 （1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明ADB90，再利用等腰三角形的性质求出ABC即 可解决问题 （2）只要证明FBEFEB即可解决问题
39、【解答】 （1）解：ABAC， CABC， 27 C36， ABC36， BDCD，ABAC， ADBC， ADB90， BAD903654 （2）证明：BE平分ABC， ABECBEABC， EFBC， FEBCBE， FBEFEB， FBFE 3.（2019武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，A1，CEDF，求证：E F 【分析】根据平行线的性质可得ACED，又A1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出 EF 【解答】解：CEDF， ACED， A1， 180ACEA180D1， 又E180ACEA，F180D1， 28 EF 4.（2016 河北中考）如图，
40、点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量） ，点A，D在l异侧，测 得ABDE，ACDF，BFEC （1）求证：ABCDEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由 【分析】 （1）先证明BCEF，再根据SSS即可证明 （2）结论ABDE，ACDF，根据全等三角形的性质即可证明 【解答】 （1）证明：BFCE， BF+FCFC+CE，即BCEF， 在ABC和DEF中， ， ABCDEF（SSS） （2）结论：ABDE，ACDF 理由：ABCDEF， ABCDEF，ACBDFE， ABDE，ACDF 5.（2019 河北张家口中考模拟）如图，ABDE，EFCACB，CAB1 2BA
41、D，试说明：ADBC. 29 【分析】本题综合考查了角平分线定义，平行线的性质与判定等知识点 【解答】证明：ABDE， BACEFC. EFCACB，ACBBAC. CAB1 2BAD，BACDAC. ACBDAC.ADBC. 6.（2019 河北秦皇岛中考模拟）将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O （1）如图，若AOB155，求AOD、BOC、DOC的度数 （2）如图，你发现AOD与BOC的大小有何关系？AOB与DOC有何关系？直接写出你发现的结论 （3）如图，当AOC与BOD没有重合部分时， （2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由 【分析】 （1）先计算出AODBOC1
42、559065，再根据DOCBODBOC9065 25即可求解； （2）根据余角的性质可得AODBOC，根据角的和差关系可得AOB+DOC180； （3）利用周角定义得AOB+COD+AOC+BOD360，而AOCBOD90，即可得到AOB+DOC 180 【解答】解： （1）AODBOC1559065， DOCBODBOC906525； （2）AODBOC， AOB+DOC180； （3）AOB+COD+AOC+BOD360， AOCBOD90， AOB+DOC180 30 7.（2019 辽宁大连中考模拟）如图，已知点C，D在线段AB上，M、N分别是AC、BD的中点，若AB20， CD4，
43、（1）求MN的长 （2）若ABa，CDb，请用含有a、b的代数式表示出MN的长 【分析】 （1）先根据线段和差的定义得出AC+DBABCD16，再由线段中点的定义，得MCAC，ND DB，则MC+DN8，然后根据MNMC+CD+ND即可求解； （2）同（1） ，先根据线段和差的定义得出AC+DBABCDab，再由线段中点的定义，得MCAC，ND DB，则MC+DN（ab） ，然后根据MNMC+CD+ND即可求解 【解答】解： （1）AB20，CD4， AC+DBABCD16 M、N分别是AC、BD的中点， MCAC，NDDB， MC+DNAC+DB（AC+DB）8， MNMC+CD+DN （M
44、C+DN）+CD 8+4 12； （2）ABa，CDb， AC+DBABCDab M、N分别是AC、BD的中点， MCAC，NDDB， MC+DNAC+DB（AC+DB）（ab） ， MNMC+CD+DN （MC+DN）+CD （ab）+b 31 8.（2019南通）定义：若实数x，y满足x 22y+t，y22x+t，且 xy，则称点M（x，y）为“线点” 例 如，点（0，2）和（2，0）是“线点” 已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n） （1）P1（3，1）和P2（3，1）两点中，点 是“线点” ； （2）若点P是“线点” ，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围； （3）若点Q（n，
45、m）是“线点” ，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|POQAOB|30时，直接 写出t的值 【分析】 （1）若x，y满足x 2+2yt，y2+2xt 且xy，t为常数，则称点M为“线点” ，由新定义即可得 出结论； （2）由新定义得出a 2+2bt，b2+2at，得出 a 2+2bb22a0，a2+2b+b2+2a2t，分解因式得出（ab） （a+b2）0，得出a+b2，ab4t，由完全平方公式得出（a+b） 24ab0，得出 ab1，即可得出 结果； （3）证出AOB是等腰直角三角形，求出POQ120或 60，得出P、Q两点关于yx对称，再分两种 情况讨论，求出t的值即可 【解答】解：
46、 （1）当M点（x，y） ，若x，y满足x 22yt，y22xt 且xy，t为常数，则称点M为 “线点” ， 又P1（3，1） ，则 3 2217， （1）2235，75， 点P1不是线点； P2（3，1） ，则（3） 2217，122（3）7，77， 点P2是线点， 故答案为：P2； （2）点P（m，n）为“线点” ， 则m 22nt，n22mt， m 22nn2+2m0，m22n+n22m2t， （mn） （m+n+2）0， ab， m+n+20， m+n2， m 22n+n22m2t， 32 （m+n） 22mn2（m+n）2t， 即： （2） 22mn+222t， mn4t， mn， （mn） 20， m 22mn+n20， （m+n） 24mn0， （2） 24mn0， mm1， mn4t， t3； （3）设PQ直线的解析式为：ykx+b， 则， 解得：k1， 直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B， AOB90， AOB是等腰直角三角形， |AOBPOQ|30， POQ120或 60， P（m，n） ，Q（n，m） ， P、Q两点关于yx对称， 若POQ120时，如图 1 所示： 作PCx轴于C，QDy轴于D，作直线MNAB 33 P、Q两点关于yx对称，PONQONPOQ60， AOB是等腰直角三角形，
