1、 1 第第 1414 讲讲 线段、角、相交线和平行线线段、角、相交线和平行线 1线段与直线 (1)两个基本事实： 直线的基本事实：两点确定一条直线； 线段的基本事实：两点之间线段最短 (2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离 (3)线段的中点： 如图， 点 C 把线段 AB 分成相等的两段 AC 与 BC， 点 C 叫做线段 AB 的中点， 即 ACBC1 2AB. (4)线段的和与差：如图，点 C 是线段 AB 上一点，则 ACBCAB，ACABBC，BCABAC. 2角及角平分线 (1)1 周角_2_平角_4_直角 360 ， 1_60，160_. (2)小于直角的角叫做_锐角
2、_；大于直角而小于平角的角叫做钝角； 度数是 90的角叫做直角 (3)余角：两个角的和等于 90时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_ 补角：两个角的和等于 180时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等 (4)角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平 分线；角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 3相交线(如图) (1)邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：1 与4，1 与2，6 与7 等 性质：邻补角和为 180. 对顶角：相交线中相对的一组角，如：1 与3，2 与4，5 与
3、7，6 与8. 性质：对顶角相等 (2)三线八角： 同位角有4 与8，1 与5，3 与7，2 与6； 内错角有3 与5，2 与8； 2 同旁内角有3 与8，2 与5. (3)垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条 直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足； 垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短； 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离； 垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平
4、分线上的 点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4平行线 (1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线； (2)平行线公理：经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； (3)平行线判定与性质： 判定定理 同位角相等两直线平行 内错角相等两直线平行 同旁内角 互补 两直线平行 性质定理 考点 1： 几何图形基本知识 【例题 1】若 C、D 是线段 AB 上两点，D 是线段 AC 的中点，AB=10cm，BC=4cm，则 AD 的长是_ cm 【分析】由 AB=10cm，BC=4cm，可求出
5、 AC=ABBC=6cm，再由点 D 是 AC 的中点，则可求得 AD 的长 解析：如图：AB=10cm，BC=4cm，AC=ABBC=6cm，又点 D 是 AC 的中点，AD=AC=3cm，故答案为：3 【同步练】已知线段 AB=10cm，线段 BC=4cm，则线段 AC 的长是_ cm 3 解： （1）如图 1，点 B 在点 A、C 的中间时， ， AC=AB+BC=10+4=14（cm） （2）如图 2，点 C 在点 A、B 的中间时， ， AC=ABBC=104=6（cm） 线段 AC 的长是 14 或 6cm 故答案为：14 或 6 考点 2： 平行线的判定 【例题 2】一副直角三角
6、板叠放如图所示，现将含 45角的三角板 ADE 固定不动，把含 30角的三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转(BAD 且 0180)，使两块三角板至少有一组边平行 (1)如图 1，15时，DEBC； (2)请你在图 2、图 3 中各画一种符合要求的图形，并写出对应的的度数和平行线段 图 1 图 2 图 3 【解答】解：当60时，BCDA. BAC30，60，DACC90. DACC180.BCDA. 当105时，BCEA. 105，DAE45，EAB60. B60，EABB. 4 BCEA. 归纳：已知角的大小，判断两直线平行时：(1)先看已知角是哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什 么
7、角；(2)再看是否满足两直线平行的判定条件，若满足，则平行；否则不平行 考点 3：平行线性质 【例题 3】（2018重庆）如图，ABCD，EFG 的顶点 F，G 分别落在直线 AB，CD 上，GE 交 AB 于点 H，GE 平分FGD若EFG=90，E=35，求EFB 的度数 【分析】依据三角形内角和定理可得FGH=55，再根据 GE 平分FGD，ABCD，即可得到FHG=HGD= FGH=55，再根据FHG 是EFH 的外角，即可得出EFB=5535=20 【解答】解：EFG=90，E=35， FGH=55， GE 平分FGD，ABCD， FHG=HGD=FGH=55， FHG 是EFH 的
8、外角， EFB=5535=20 归纳：对于利用平行线性质求角度的问题：(1)通过观察题图和已知条件得出已知和所求的角是否可以直接 通过平行线的哪些性质得出；(2)结合两角互余、两角互补、三角形内角和定理、三角形的内外角关系进行 求解；(3)若题中提到角平分线，则在解题过程中注意角之间的等量代换最后根据角之间的等量关系即可 求解 一、选择题： 1. （2018邵阳）如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，已知AOD=160，则BOC 的大小为（ ） A20 B60 C70 D160 5 【答案】D 【解答】AOD=160， BOC=AOD=160， 故选：D 2. （2019湖北十堰3 分）如
9、图，直线ab，直线ABAC，若150，则2（ ） A50 B45 C40 D30 【答案】C 【解答】解：直线ABAC， 2+390 150， 390140， 直线ab， 1340， 故选：C 3. （2018孝感）如图，直线 ADBC，若1=42，BAC=78，则2 的度数为（ ） A42 B50 C60 D68 【答案】C 【解答】解：1=42，BAC=78， 6 ABC=60， 又ADBC， 2=ABC=60， 故选：C 4. （2018铜仁市）在同一平面内，设 a、b、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm，则 a 与 c 的距离为（
10、 ） A1cm B3cm C5cm 或 3cm D1cm 或 3cm 【答案】C 【解答】解：当直线 c 在 a、b 之间时， a、b、c 是三条平行直线， 而 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm， a 与 c 的距离=41=3（cm）； 当直线 c 不在 a、b 之间时， a、b、c 是三条平行直线， 而 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm， a 与 c 的距离=4+1=5（cm）， 综上所述，a 与 c 的距离为 3cm 或 3cm 故选：C 5. （2019河北省3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的
11、是（ ） A代表FEC B代表同位角 C代表EFC D代表AB 【答案】C 证明：延长BE交CD于点F， 7 则BECEFC+C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和） 又BECB+C，得BEFC 故ABCD（内错角相等，两直线平行） 二、填空题： 6. （2019广西贵港3 分）如图，直线ab，直线m与a，b均相交，若138，则2 【答案】 142 【解答】解：如图， ab， 23， 1+3180， 218038142 故答案为 142 7. （2018通辽）如图，AOB 的一边 OA 为平面镜，AOB=3745，在 OB 边上有一点 E，从点 E 射出一 束光线经平面镜反射后，反射光线
12、DC 恰好与 OB 平行，则DEB 的度数是 【答案】7530（或 75.5） 【解答】解：CDOB， ADC=AOB， 8 EDO=CDA， EDO=AOB=3745， EDB=AOB+EDO=23745=7530（或 75.5）， 故答案为 7530（或 75.5） 8. （2019甘肃3 分）如图，将一块含有 30的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148，那 么2 的度数是（ ） A48 B78 C92 D102 【答案】D 【解答】解：将一块含有 30的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，148， 231804830102 故选：D 9. 如图，已知点 A、点 B 是直线上的两点，A
13、B=12 厘米，点 C 在线段 AB 上，且 BC=4 厘米点 P、点 Q 是直 线上的两个动点，点 P 的速度为 1 厘米/秒，点 Q 的速度为 2 厘米/秒点 P、Q 分别从点 C、点 B 同时出发 在直线上运动，则经过 秒时线段 PQ 的长为 5 厘米 【答案】或 1 或 3 或 9 【解答】解：设运动时间为 t 秒 如果点 P 向左、点 Q 向右运动， 由题意，得：t+2t=54， 解得 t=； 点 P、Q 都向右运动， 由题意，得：2tt=54， 解得 t=1； 9 点 P、Q 都向左运动， 由题意，得：2tt=5+4， 解得 t=9 点 P 向右、点 Q 向左运动， 由题意，得：2
14、t4+t=5， 解得 t=3 综上所述，经过或 1 或 3 秒时线段 PQ 的长为 5 厘米 故答案为或 1 或 3 或 9 三、解答题： 10. 已知=76，=4131，求： （1） 的余角； （2） 的 2 倍与 的的差 【分析】 （1）根据互为余角的两个角的和为 90 度可得 的余角=90，将=4131代入计算 即可； （2）将=76，=4131代入 2，然后计算即可 解析： （1） 的余角=90 =904131 =4829； （2）=76，=4131， 2=2764131 =152204530 11. 已知线段 AB=6，在直线 AB 上取一点 P，恰好使 AP=2PB，点 Q 为 P
15、B 的中点，求线段 AQ 的长 【解答】解：如图 1 所示，AP=2PB，AB=6， PB=AB=6=2，AP=AB=6=4； 点 Q 为 PB 的中点， PQ=QB=PB=2=1； AQ=AP+PQ=4+1=5 10 如图 2 所示，AP=2PB，AB=6， AB=BP=6， 点 Q 为 PB 的中点， BQ=3， AQ=AB+BQ=6+3=9 故 AQ 的长度为 5 或 9 12. 有三个海岛 A，B，C，其中 C 岛在 A 岛的北偏东 60方向 (1)如图 1，若 C 岛在 B 岛的南偏东 25方向，求BCA 的度数； (2)如图 2，若 C 岛在 B 岛北偏西 50方向上，求 C 岛看
16、 A，B 两岛的视角ACB 的度数 图 1图 2 【解答】解：(1)根据题意，得DAC60，MBC25. EGAD，ACGDAC60. BMAD，BMEG. ECBCBM25. BCA180ACGECB95. (2)过点 C 作 CMAD，ACMDAC60. ADBE，BECM. BCMCBE50. ACBACMBCM110. 13. 如图，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，将一直角三角板如图摆放(MON90) (1)将图中的三角板绕点 O 旋转一定的角度得图，使边 OM 恰好平分BOC，问：ON 是否平分AOC?请说 明理由； (2)将图中的三角板绕点 O 旋转一定的角度
17、得图，使边 ON 在BOC 的内部，如果BOC60，则BOM 与NOC 之间存在怎样的数量关系? 请说明理由 11 【解析】解：(1)ON 平分AOC理由如下： MON90 BOM+AON90 MOC+NOC90 又 OM 平分BOC BOMMOC AONNOC ON 平分AOC (2) CON+NOB60 又 BOM+NOB90 BOMNOC+30 14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） ，现同时将点 A，B 分别向上平 移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点 A，B 的对应点 C，D，连接 AC，BD，CD （1）求点 C，D 的坐
18、标； （2）若在 y 轴上存在点 M，连接 MA，MB，使 SMAB=S平行四边形 ABDC，求出点 M 的坐标 （3）若点 P 在直线 BD 上运动，连接 PC，PO 若 P 在线段 BD 之间时（不与 B，D 重合） ，求 SCDP+SBOP的取值范围； 若 P 在直线 BD 上运动，请直接写出CPO、DCP、BOP 的数量关系 【解答】 （1）由平移可知：C（0，2） ，D（4，2） ； 12 （2）AB=4，CO=2， S平行四边形 ABOC=ABCO=42=8， 设 M 坐标为（0，m） ， 4|m|=8，解得 m=4 M 点的坐标为（0，4）或（0，4） ； （3）S梯形 OCDB
19、=（3+4）2=7， 当点 P 运动到点 B 时，SPOC最小，SPOC的最小值=32=3，SCDP+SBOP4， 当点 P 运动到点 D 时，SPOC最大，SPOC的最大值=42=4，SCDP+SBOP3， 所以 3SCDP+SBOP4； 当点 P 在 BD 上，如图 1，作 PECD， CDAB， CDPEAB， DCP=EPC，BOP=EPO， DCP+BOP=EPC+EPO=CPO； 当点 P 在线段 BD 的延长线上时，如图 2，作 PECD， CDAB， CDPEAB， DCP=EPC，BOP=EPO， EPOEPC=BOPDCP， BOPDCP=CPO； 同理可得当点 P 在线段 DB 的延长线上时，DCPBOP=CPO
