1、第第 24 章圆解答题精选章圆解答题精选 1 （2019 秋朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图 1，点 P 表示筒车的一个盛水桶如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5m 为 半径的圆，且圆心在水面上方若圆被水面截得的弦 AB 长为 8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的 最大深度 2 （2019 秋朝阳区期末） 在平面内， O 为线段 AB 的中点， 所有到点 O 的距离等于 OA 的点组成图形 W 取 OA 的中点 C，过点 C 作 CDAB 交图形 W 于点 D，D 在直线 AB 的上方，连接 AD，BD （1）求A
2、BD 的度数； （2）若点 E 在线段 CA 的延长线上，且ADEABD，求直线 DE 与图形 W 的公共点个数 3 （2019 秋海淀区期末）如图，在O 中， = ，CDOA 于点 D，CEOB 于点 E （1）求证：CDCE； （2）若AOB120，OA2，求四边形 DOEC 的面积 4 （2019 秋北京期末）如图，RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O 交 AC 于点 D，连接 BD （1）求证：ACBD （2）若 AB10，AD6，M 为线段 BC 上一点，请写出一个 BM 的值，使得直线 DM 与O 相切，并说 明理由 5 （2019 秋海淀区期末）如图，AB 是O 的直
3、径，直线 MC 与O 相切于点 C过点 A 作 MC 的垂线， 垂足为 D，线段 AD 与O 相交于点 E （1）求证：AC 是DAB 的平分线； （2）若 AB10，AC45，求 AE 的长 6（2019 秋平谷区期末） 如图， O 是ABC 的外接圆， 圆心 O 在ABC 的外部， ABAC4， BC43， 求 O 的半径 7 （2019 秋大兴区期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连接 AC、OC、 BC 求证：ACOBCD 8 （2019 秋房山区期末）元元同学在数学课上遇到这样一个问题： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A 经过坐标原点
4、 O，并与两坐标轴分别交于 B、C 两点，点 B 的坐 标为（2，0） ，点 D 在A 上，且ODB30，求A 的半径 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程 解：如图 2，连接 BC BOC90， BC 是A 的直径 （依据是 ） = 且ODB30 OCBODB30（依据是 ） OB= 1 2BC OB2 BC4即A 的半径为 9 （2019 秋西城区期末）如图，AB 是O 的直径，PB，PC 是O 的两条切线，切点分别为 B，C连接 PO 交O 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AC （1）求证：OE= 1 2AC； （2）若O 的半径为 5，AC6，求 PB 的长 10 （2019 秋房
5、山区期末）如图，ABC 内接于O，BAC60，高 AD 的延长线交O 于点 E，BC 6，AD5 （1）求O 的半径； （2）求 DE 的长 11 （2019 秋昌平区校级期末）如图：已知 ABAC，APC60 （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）求APB 的度数 12 （2019 秋密云区期末）已知：如图，在O 中，弦 AB、CD 交于点 E，ADCB求证：AECE 13 （2018 秋密云区期末） 如图， ABC 中， ABAC， 以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 交 AC 于点 E 过 D 作 DFAC，垂足为 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 CD3，CE
6、= 18 5 ，求O 的半径 14 （2018 秋石景山区期末）如图，AB 是O 的直径，C 为 AB 延长线上一点，过点 C 作O 的切线 CD， D 为切点，点 F 是 的中点，连接 OF 并延长交 CD 于点 E，连接 BD，BF （1）求证：BDOE； （2）若 OE310，tanC= 3 4，求O 的半径 15 （2018 秋西城区期末）如图，四边形 ABCD 内接于O，OC4，AC42 （1）求点 O 到 AC 的距离； （2）求ADC 的度数 16 （2018 秋怀柔区期末）如图，AB 是O 的直径，过点 B 作O 的切线 BM，点 A，C，D 分别为O 的三等分点，连接 AC，
7、AD，DC，延长 AD 交 BM 于点 E，CD 交 AB 于点 F （1）求证：CDBM； （2）连接 OE，若 DEm，求OBE 的周长 17 （2018 秋朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量如图，把一个直 径为 10mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为 8mm，求这个孔道的直径 AB 18 （2018 秋海淀区期末）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程 已知：如图 1，O 及O 上一点 P 求作：过点 P 的O 的切线 作法：如图 2， 作射线 OP； 在直线 OP 外任取一点 A，以点 A 为圆心，AP 为半径作A
8、，与射线 OP 交于另一点 B； 连接并延长 BA 与A 交于点 C； 作直线 PC； 则直线 PC 即为所求 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：BC 是A 的直径， BPC90（ ） （填推理的依据） OPPC 又OP 是O 的半径， PC 是O 的切线（ ） （填推理的依据） 19 （2018 秋淮安区期末）已知 AB 是半圆 O 的直径，OD弦 AC 于 D，过点 O 作 OEAC 交半圆 O 于 点 E，过点 E 作 EFAB 于 F若 AC2，求 OF 的长 20 （2018 秋顺义区期末）已知，AB 是O
9、 的直径，弦 CDAB，E 是 上的一点，AE，DC 的延长线相 交于点 F，求证：AEDCEF 21 （2019 秋北京期末）如图，AB 是O 的直径，点 P 是 AB 上一点，且点 P 是弦 CD 的中点 （1）依题意画出弦 CD，并说明画图的依据； （不写画法，保留画图痕迹） （2）若 AP2，CD8，求O 的半径 22 （2019 秋东城区期末）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，A30，CD23，求O 的半径的长 23 （2017 秋密云县期末）如图，AB 是O 的弦，O 的半径 ODAB 垂足为 C若 AB23，CD1， 求O 的半径长 24 （2017 秋顺义区期末
10、）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度” ，再备料下图是一段管 道，其中直管道部分 AB 的长为 3 000mm，弯形管道部分 BC，CD 弧的半径都是 1 000mm，OO 90，计算图中中心虚线的长度 （ 取 3.14） 25 （2017 秋朝阳区期末）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，对角线 AC 是O 的直径，AB2， ADB45求O 半径的长 26 （2017 秋大兴区期末）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合） ，CADB （1）求证：AC 是半圆 O 的切线； （2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC
11、于点 E，交 AD 于点 F，且 EF4，AD6，求 BD 的长 27 （2017 秋北京期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，它与竹文化、佛 教文化有着密切关系历来中国被誉为制扇王国扇子主要材料是：竹、木、纸、象牙、玳瑁、翡翠、 飞禽翎毛、其它棕榈叶、槟榔叶、麦秆、蒲草等也能编制成各种千姿百态的日用工艺扇，造型优美，构 造精制，经能工巧匠精心镂、雕、烫、钻或名人挥毫题诗作画，使扇子艺术身价倍增折扇，古称“聚 头扇“，或称为撒扇，或折叠扇，以其收拢时能够二头合并归一而得名如图，折扇的骨柄 OA 的长为 5a，扇面的宽 CA 的长为 3a，折扇张开的角度为 n，求出扇面的
12、面积（用代数式表示） 28 （2017 秋通州区期末）如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，AB8，A22.5，求 CD 的长 29 （2017 秋门头沟区期末）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D， CEAD，交 AD 的延长线于点 E （1）求证：BDCA； （2）若 CE4，DE2，求O 的直径 30 （2017 秋海淀区期末）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，AM 是ACD 的外角DAF 的平 分线 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）若D60，AD2，射线 CO 与 AM 交于 N 点，请写出求 ON 长的思路
13、 31 （2017 秋昌平区期末）如图，ABC 内接于O，若O 的半径为 6，B60，求 AC 的长 第第 24 章圆解答题精选章圆解答题精选 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 31 小题）小题） 1 【解答】解：过 O 点作半径 ODAB 于 E，如图， AEBE= 1 2AB= 1 2 84， 在 RtAEO 中，OE=2 2=52 42=3， EDODOE532， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2m 2 【解答】解： （1）根据题意，图形 W 为以 O 为圆心，OA 为直径的圆 如图 1，连接 OD， OAOD 点 C 为 OA 的中点，CD
14、AB， ADOD OAODAD OAD 是等边三角形 AOD60 ABD30 （2）如图 2， ADEABD， ADE30 ADO60 ODE90 ODDE DE 是O 的切线 直线 DE 与图形 W 的公共点个数为 1 3 【解答】 （1）证明：连接 OC， = ， AOCBOC，又 CDOA，CEOB， CDCE； （2）解：AOB120， AOCBOC60， CDO90， OCD30， OD= 1 2OC1， CD=2 2=22 12= 3， OCD 的面积= 1 2 ODCD= 3 2 ， 同理可得，OCE 的面积= 1 2 OECE= 3 2 ， 四边形 DOEC 的面积= 3 2
15、+ 3 2 = 3 4 【解答】 （1）证明：AB 为O 直径， ADB90， A+ABD90 ABC90， CBD+ABD90， ACBD； （2）BM= 20 3 理由如下： 如图，连接 OD，DM， ADB90，AB10，AD6， BD=102 62=8，OA5， ACBD， RtCBDRtBAD， = ，即 10 = 8 6，解得 BC= 40 3 取 BC 的中点 M，连接 DM、OD，如图， DM 为 RtBCD 斜边 BC 的中线， DMBM， 24， OBOD， 13， 1+23+490，即ODM90， ODDM， DM 为O 的切线， 此时 BM= 1 2BC= 20 3 5
16、 【解答】 （1）证明：连接 OC， 直线 MC 与O 相切于点 C， OCM90， ADCD， ADM90， OCMADM， OCAD， DACACO， OAOC， ACOCAO， DACCAB，即 AC 是DAB 的平分线； （2）解：连接 BC，连接 BE 交 OC 于点 F， AB 是O 的直径， ACBAEB90， AB10，AC45， BC=2 2=102 (45)2=25， OCAD， BFOAEB90， CFB90，F 为线段 BE 中点， CBEEACCAB，CFBACB， CFBBCA = ，即 25 = 25 10 ， 解得，CF2， OFOCCF3 O 为直径 AB 中
17、点，F 为线段 BE 中点， AE2OF6 6 【解答】解：连结 AO，交 BC 于点 D，练结 BO ABAC， = 1 又AO 是半径， AOBC，BDCD2 = 43， = 233 在 RtABD 中，ADB90， BD2+AD2AB2，AB4， AD2.4 设O 半径为 r 在 RtBDO 中， BD2+DO2BO2， (23)2+ ( 2)2= 2， r4 O 的半径为 4 7 【解答】证明：AB 是O 的直径，CDAB， = ， ABCD， 又OAOC， ACOA ACOBCD 8 【解答】解：如图 2，连接 BC BOC90， BC 是A 的直径 （依据是 90的圆周角所对的弦是
18、直径） = 且ODB30 OCBODB30（依据是同弧或等弧所对的圆周角相等） OB= 1 2BC OB2 BC4即A 的半径为 2 故答案为 90的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等；2 9 【解答】证明： （1）PB，PC 是O 的两条切线，切点分别为 B，C PBPC，BPOCPO POBC，BECE OBOA， OE= 1 2AC； （2）PB 是O 的切线， OBP90 由（1）可得BEO90，OE= 1 2AC3 OBPBEO90 tanBOE= = ， 在 RtBEO 中，OE3，OB5， BE4 PB= 20 3 10 【解答】解： （1）如图，作直径 BF，连接
19、 CF， BCF90， FBAC60， BF= = 6 3 2 =43， O 的半径为23； （2）如图，过 O 作 OGAD 于 G，OHBC 于 H， GEGA，四边形 OHDG 是矩形， OHDG， OB= 23，FBC30， OH= 3， DG= 3， AGADGD53， EG53， DEEGGD= 5 3 3 = 5 23 11 【解答】 （1）证明：ABAC，ABCAPC60， ABC 是等边三角形； （2）解：ABC 是等边三角形， ACB60， APB180ACB120 12 【解答】解：由圆周角定理可得：ADECBE， 在ADE 和CBE 中， = = = ， ADECBE（
20、AAS） ， AECE 13 【解答】 （1）证明：连接 AD AB 是O 的直径， ADB90， ADBC 又 ABAC13，BC10，D 是 BC 的中点， BD5 连接 OD； 由中位线定理，知 DOAC， 又 DFAC， DFOD DF 是O 的切线； （2）解：连接 DE，则 BEAC， DFAC，BEAC， DFBE， BDCD， EFCF， CE= 18 5 ， CF= 9 5， ADCDFC90， DCFDCA， DCFACD， = ， CD3，CF= 9 5， AC5， ABAC， AB5， O 的半径= 5 2 14 【解答】 （1）证明：OBOF， 13， 点 F 是 的
21、中点， 12 23， BDOE； （2）解：连接 OD，如图， 直线 CD 是O 的切线， ODCD， 在 RtOCD 中，tanC= = 3 4， 设 OD3k，CD4k OC5k，BO3k， BC2k BDOE， = 即 2 3 = 4 DE6k， 在 RtODE 中，OE2OD2+DE2， （310）2（3k）2+（6k）2，解得 k= 2 OB32， 即O 的半径的长32 15 【解答】解： （1）作 OMAC 于 M， AC42， AMCM22， OC4， OM=2 2=22； （2）连接 OA， OMMC，OMC90， MOCMCO45， OAOC， OAM45， AOC90， B
22、45， D+B180， D135 16 【解答】 （1）证明：点 A、C、D 为O 的三等分点， = = ， ADDCAC ACD 为等边三角形， 而点 O 为ACD 的外心， ABCD BM 为O 的切线， BEAB CDBM； （2）解：连接 DB，如图， ACD 为等边三角形， C60， ABDC60， DBE30， 在 RtDBE 中，BE2DE2m，DB= 3DE= 3m 在 RtADB 中，AB2BD23m，则 OB= 3m， 在 RtOBE 中，OE=2+ 2= 7m， OBE 周长为 2m+3m+7m（2+3 + 7）m 17 【解答】解：连接 OA，过点 O 作 ODAB 于
23、点 D， 则 AB2AD， 钢球的直径是 10mm， 钢球的半径是 5mm， 钢球顶端离零件表面的距离为 8mm， OD3mm， 在 RtAOD 中， AD=2 2=52 32=4mm， AB2AD248mm 18 【解答】解： （1）补全图形如图所示，则直线 PC 即为所求； （2）证明：BC 是A 的直径， BPC90（直径所对的圆周角是直角） ， OPPC 又OP 是O 的半径， PC 是O 的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 19 【解答】解：ODAC，AC2， ADCD1， O
24、DAC，EFAB， ADOOFE90， OEAC， DOEADO90， DAO+DOA90，DOA+EOF90， DAOEOF， 在ADO 和OFE 中， = = = ， ADOOFE（AAS） ， OFAD1， 20 【解答】证明：连结 AD，如图， CDAB， 弧 AC弧 AD， ADCAED， CEFADC， AEDCEF 21 【解答】解： （1）画出弦 CD，如图 依据：垂直于弦的直径平分弦 （2）如图，连接 OD， OACD 于点 P，AB 是O 的直径， OPD90，PD= 1 2CD， CD8， PD4 设O 的半径为 r，则 ODr，OPOAAPr2， 在 RtODP 中，O
25、PD90， OD2OP2+PD2， 即 r2（r2）2+42， 解得 r5， 即O 的半径为 5 22 【解答】解：连接 BC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H， ACB90，CHDH= 1 2CD= 3， A30， AC2CH23， 在 RtABC 中，A30， AC= 3BC23，AB2BC， BC2，AB4， OA2， 即O 的半径是 2； 23 【解答】解：O 的弦 AB8，半径 ODAB， AC= 1 2AB= 1 2 23 = 3， 设O 的半径为 r，则 OCrCDr1，连接 OA， 在 RtOAC 中， OA2OC2+AC2，即 r2（r1）2+（3）2，解
26、得 r2 24 【解答】解： = 180 = 901000 180 = 500， 中心虚线的长度为 3000+50023000+10003000+10003.146140 25 【解答】解：AC 是O 的直径， ABC90， ADB45， ACBADB45， AB2， BCAB2， AC=2+ 2= 22， O 半径的长为2 26 【解答】解： （1）AB 是半圆直径， BDA90， B+DAB90， 又DACB， DAC+DAB90， 即CAB90， AC 是半圆 O 的切线 （2）由题意知，OEBD，D90， DAFOAFE90， OEAD， AFEDAFO90，AF= 1 2AD3， 又
27、AD6 AF3 又BDAE， AEFBAD， = ，而 EF4， 4 6 = 3 ， 解得 BD= 9 2 27 【解答】解：OA5a，AC3a， OC2a， 扇面的面积 S= ()2 360 ()2 360 = (5)2 360 (2)2 360 = (25242) 360 = 212 360 = 72 120 28 【解答】解：AB8， OCOA4， A22.5， COE2A45， 直径 AB 垂直弦 CD 于 E， = 45= 22， = 42 29 【解答】 （1）证明： 连接 OD， CD 是O 切线， ODC90，即ODB+BDC90， AB 为O 的直径， ADB90，即ODB+
28、ADO90， BDCADO， OAOD， ADOA， BDCA； （2）解： CEAE， EADB90， DBEC， DCEBDC， DCEA， CE4，DE2， tanAtanDCE= 1 2， 在 RtACE 中，可得 AE8， AD6， 在在 RtADB 中 可得 BD3， 根据勾股定理可得 AB35 30 【解答】解： （1）AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， AB 垂直平分 CD， ACAD， BAD= 1 2CAD， AM 是ACD 的外角DAF 的平分线， DAM= 1 2FAD， BAM= 1 2（CAD+FAD）90， ABAM， AM 是O 的切线； （2）思路：
29、由 ABCD，AB 是O 的直径，可得 BCBD，ACAD， 13= 1 2CAD，ACAD； 由D60，AD2，可得ACD 为边长为 2 的等边三角形，1330； 由 OAOC，可得3430； 由CAN3+OAN120，可得5430，ANAC2； 由OAN 为含有 30的直角三角形，可求 ON 的长 附解答：ACAD，D60， ACD 是等边三角形， CDAD2， CGDG1， OCOA= 23 3 ， 3430， ON2OA= 43 3 31 【解答】解：如图，作直径 AD，连接 CD ACD90 B60， DB60 O 的半径为 6， AD12 在 RtACD 中，CAD30， CD6 AC= 63
