1、 1 第第 0101 讲讲 实数及其有关概念实数及其有关概念 1实数分类 (1)按实数的定义分类 实 数 有理数 整数 正整数 0 自然数 负整数 分数 正分数 负分数 有限小数或无 限循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 (2)按正负分类 实数 正实数 正有理数 正分数 正整数 正无理数 0 负实数 负有理数 负分数 负整数 负无理数 2实数的有关概念 (1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 其中实数和数轴上的点一一对应 (2)相反数： 只有符号不相同的两个数互为相反数， 即实数 a 的相反数是_a_， 0 的相反数是 0； a 与 b 互 为相反数ab
2、_0_ (3)绝对值 定义：数轴上表示数 a 的点与原点的_距离_叫做数 a 的绝对值，记作|a|； 性质： 2 |a| a（a0） 0（a0）； a （a0. (4)倒数：实数 a 的倒数是_1 a_，其中 a0，a，b 互为倒数ab_1_ 3科学记数法，近似数 (1)科学记数法 定义：把数 x 写成 a10 n(1|a|10，且 n 为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法； 其中 a 是整数位数只有一位的数，即 1|a|10； 当|x|1 时，n 为正整数，等于数 x 的整数部分的位数减 1； 当|x|1 时，n 为负整数，其绝对值等于数 x 中非 0 数字前面所有 0 的个数(包含小
3、数点前的 0)或将原数 变为 a 时小数点向右平移的位数 (2)近似数 一个近似数_四舍五入_到哪一位，就说这个数精确到哪一位 4. 有理数的运算 (1)有理数的加法 法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大 的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为 0；一个数加 0，仍得这个 数 运算律：加法交换律：abba； 加法结合律：(ab)ca(bc) (2)有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，即 aba(b) (3)有理数的乘法 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘，都得
4、0. 运算律： a乘法交换律：ab_ba _ b乘法结合律：(ab)ca(ac) 3 c乘法分配律：a(bc)abac. (4)有理数的除法 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 aba1 b. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. (5)有理数运算的顺序 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算. 考点考点 1 1：实数的分类：实数的分类 【例题 1】 （ 甘肃省天水市，1，4 分）四个数3，0，1，中的负数是（ ） A3 B0 C1 D 【答案】
5、A 【解答】解：3 是负数；0 既不是正数，也不是负数；1 和都是正数故选择A 归纳：判断无理数的关键是看其化简后是否可以写成无限不循环小数，掌握常见无理数的四种类型有助于 解决此类题目 考点考点 2 2：科学记数法：科学记数法 【例题 2】 （2019湖南怀化4 分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为 27600 平方公里，将 27600 用科学 记数法表示为（ ） A27.610 3 B2.7610 3 C2.7610 4 D2.7610 5 【答案】C 【解析】将 27600 用科学记数法表示为：2.7610 4故选：C 考点考点 3 3： 关于实数的概念考查关于实数的概念考查 【例题 3
6、】(2019 甘肃省天水市)已知|a|=1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1 或 【答案】C 【解析】|a|=1，b 是 2 的相反数， 4 a=1 或 a=-1，b=-2， 当 a=1 时，a+b=1-2=-1； 当 a=-1 时，a+b=-1-2=-3； 综上，a+b 的值为-1 或-3， 故选：C 一、选择题：一、选择题： 1. 2019湖南衡阳3 分） 3 4 的绝对值是（ ） A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 【答案】B 【解析】解：| 3 4 | 3 4 ，故选：B 2. （2018 古呼和浩特）3（2）的值是（ ） A1
7、 B1 C5 D5 【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案 解析：3（2）=3+2=1故选：A 3. （2019贵州毕节3 分）举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界 上最长的跨海大桥，全长约 55000 米55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A5.510 3 B5510 3 C0.5510 5 D5.510 4 【答案】D 【解析】解：55000 这个数用科学记数法可表示为 5.510 4，故选：D 4. （2019，山东枣庄，3 分）点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC1，OAOB若点 C 所表示的
8、数为 a，则点 B 所表示的数为（ ） A（a+1） B（a1） Ca+1 Da1 【答案】D 【解析】解：O 为原点，AC1，OAOB，点 C 所表示的数为 a， 点 A 表示的数为 a1， 5 点 B 表示的数为：（a1） ， 故选：B 5. （ 河北省，11，2 分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论： 甲：b-a0； 丙：|a|b|； 丁：0 b a . 其中正确的是（ ） A甲乙 B丙丁 C甲丙 D乙丁 【答案】C 【解答】解：根据点 A，B 在数轴上的位置，可假设 a=2，b=4，ba=4-2=60，a+b=2+(4)=2 0，故结论甲正确，结论乙
9、不正确；|a|=|2|=2，|b|=|4|=4，24，|a|b|，故结论丙正确； 4 2 2 b a 0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项 C. 二、填二、填空题：空题： 6. （2018邵阳）点 A 在数轴上的位置如图所示，则点 A 表示的数的相反数是 2 【答案】-2 【解答】解：点 A 在数轴上表示的数是 2， 点 A 表示的数的相反数是2 故答案为：2 7. （2018云南）某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员 3451 人，将 3451 用科学记数法表示为 【答案】3.45110 3 【解答】解：3451=3.45110 3， 故答案为：3.45110 3
10、 8. (2019 甘肃省陇南市)如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是1，那么点 B 表示的数 是 . 【答案】3 6 【解答】解：数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是1，zzstep&.com*% 点 B 表示的数是：3 三、计算题：三、计算题： 9. 已知 2a1 的算术平方根是 5，a+b2 的平方根是3，c+1 的立方根是 2，求 a+b+c 的值 【解答】：2a1 的算术平方根是 5， 2a1=5 2=25，解得 a=13， a+b2 的平方根是3 a+b2=（3） 2=9， b=2， 又c+1 的立方根是 2， c+1=2 3，解得 c=7， a+b+c=18
11、 10. 在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中 AB2，BC1，如图所示设点 A，B，C 所对应 数的和是 P. (1)若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 P 的值；若以 C 为原点，P 又是多少？ (2)若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO28，求 P. 解：(1)以 B 为原点，点 A，C 分别对应2，1.2 分 P2011；4 分 以 C 为原点，P(12)(1)04.6 分 (2)P(2812)(281)(28) 88.8 分 11.利用运算律有时能进行简便计算 请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999(15)； (2)99
12、91184 5999( 1 5)99918 3 5. 7 解：(1)原式(1 0001)(15) 15 00015 14 985. (2)原式9991184 5( 1 5)18 3 5 999100 99 900. 四、解答题：四、解答题： 12. (2018河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到 与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字 2 对应的点 (1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点 A 表示； (2)(1)中所取点 A 表示的数字是 2 2，相反数是2 2，绝对值是 2 2，倒数是 2 4 ，其到点 5 的距离是 5
13、2 2； (3)取原点为 O，表示数字 1 的点为 B，将(1)中点 A 向左平移 2 个单位长度，再取其关于点 B 的对称点 C， 求 CO 的长 【解答】 解：(1)如图所示(答案不唯一) (3)将点 A 向左平移 2 个单位长度，得到点 A，则点 A表示的数字为 2 22，其关于点 B 的对称点为 C， 点 B 表示的数字为 1， 点 C 表示的数字为 21(2 22)42 2. 2 221.4142.8284， CO42 2. 13. (2017石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了 2 km 到达小彬家，继续向 东跑了 1.5 km 到达小红家，然后又向西跑了
14、4.5 km 到达学校，最后又向东跑回到自己家 (1)以小明家为原点，以向东为正方向，用 1 个单位长度表示 1 km，在如图所示的数轴上，分别用点 A 表示 出小彬家、用点 B 表示出小红家、用点 C 表示出学校的位置； 8 (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是 250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？ 解：(1)如图 (2)小彬家与学校的距离是 2(1)3(km) (3)小明一共跑了 21.54.519(km) 答：小明跑步一共用的时间是 9 00025036(min) 14. 已知 a 是最大的负整数，b 是多项式 2m 2nm3n2m2 的次数，c 是
15、单项式2xy2的系数，且 a、b、c 分别是点 A、B、C 在数轴上对应的数 （1）求 a、b、c 的值，并在数轴上标出点 A、B、C （2）若动点 P、Q 同时从 A、B 出发沿数轴负方向运动，点 P 的速度是每秒个单位长度，点 Q 的速度是每 秒 2 个单位长度，求运动几秒后，点 Q 可以追上点 P？ （3）在数轴上找一点 M，使点 M 到 A、B、C 三点的距离之和等于 10，请直接写出所有点 M 对应的数 （不 必说明理由） 【解答】解： （1）a 是最大的负整数， a=1， b 是多项式 2m 2nm3n2m2 的次数， b=3+2=5， c 是单项式2xy 2的系数， c= 2， （2）动点 P、Q 同时从 A、B 出发沿数轴负方向运动，点 P 的速度是每秒个单位长度，点 Q 的速度是每 秒 2 个单位长度， AB=6，两点速度差为：2， =4， 答：运动 4 秒后，点 Q 可以追上点 P （3）存在点 M，使 P 到 A、B、C 的距离和等于 10， 当 M 在 AB 之间，则 M 对应的数是 2， 9 当 M 在 C 点左侧，则 M 对应的数是： .
