1、 1 第第 1 讲讲 实数实数 【考点导引】 1.理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数 2借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值 3理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根 4理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一 个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数 5熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小. 【难点突破】 求一个数的绝对值通常有代数方法和几何方法，其中代数方法就是直接依据定义，即“正数的绝对值等于它 本身，零的绝对值是零，负数的绝对值
2、等于它的相反数”；几何方法就是通过数轴，直接根据绝对值的定义 在数轴上表示这个数的点到原点的距离，结合图形，求出长度，即可求得答案 【解题策略】 1. 本题考查了相反数的概念，解析的关键是理解相反数的意义.根据相反数的意义“只有符号不同的两 个数是互为相反数”求解，方法一：数 a 的相反数是a；方法二：在数轴上分别在原点左右两侧且到原点的 距离相等的点对应的两个数是互为相反数 2. 比较有理数的大小，可以按实数大小的法则进行比较，也可以在数轴上画出对应的点，然后按“左边的点 表示的数比右边的点表示的数要小”来进行比较 3. 实数大小比较的一般方法：定义法：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大
3、于一切负数；两个负数绝 对值大的反而小；在数轴上表示的数，右边的总比左边的大两个无理数的大小比较，具体因数据的 特征而定，常用的方法有平方法、倒数法、作差法、估算法等此类问题容易出错的地方是：没有掌握 无理数的大小比较方法导致无法求解；不能确定被开方数在哪两个完全平方数之间或计算错误 4. 有理数的减法，首先根据有理数的减法法则把减法转化为加法，然后按有理数加法法则进行计算；同号 两数相加取相同的符号，并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并 用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0;一个数同 0 相加，仍得这个数. 【典例精析】 类型一：与
4、实数相关的概念 【例 1】 （2019湖南岳阳3 分）2019 的绝对值是（ ） 2 A2019 B2019 C 1 2019 D 1 2019 【答案】A 【解析】2019 的绝对值是：2019 故选：A 类型二：科学记数法与近似值 【例 2】 （2019湖南怀化4 分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为 27600 平方公里，将 27600 用科学记数 法表示为（ ） A27.6 103 B2.76 103 C2.76 104 D2.76 105 【答案】D 【解析】将 27600 用科学记数法表示为：2.76 105故选：D 类型三：实数的运算 【例 3】 （2019广西池河3 分）计算
5、34，结果是（ ） A1 B7 C1 D7 【答案】A 【解析】解：341 故选：A 类型四：实数的大小比较 【例 4】 （2019湖南长沙3 分）下列各数中，比3 小的数是（ ）. A5 B1 C0 D1 【答案】A 【解析】解：53101， 所以比3 小的数是5， 故选：A 类型五：关于实数的新热点问题 【例 5】 （2019河北省）有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入+， ， 中的某一 个（可重复使用） ，然后计算结果 （1）计算：1+269； （2）若 12696，请推算内的符号； （3）在“1269”的内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数 3 【解析】
6、 （1）1+2693693912； （2）12696，11 2 696， 396，内的符号是“”； （3）这个最小数是20， 理由：在“1269”的内填入符号后，使计算所得数最小， 126 的结果是负数即可， 126 的最小值是 12 611， 1269 的最小值是11920， 这个最小数是20 【真题检测答案】 1. （2019湖南衡阳3 分） 3 4 的绝对值是（ ） A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 【答案】B 【解析】解：| 3 4 | 3 4 ，故选：B 2. (2019 安徽)在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ） A2 B1 C0 D1 【答案】A 【解析】
7、解：根据有理数比较大小的方法，可得 2101， 在2，1，0，1 这四个数中，最小的数是2 故选：A 3. (2019 甘肃省陇南市)（3 分）如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是1，那么点 B 表示的数 是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【解析】解：数轴的单位长度为 1，如果点 A 表示的数是1， 4 点 B 表示的数是：3 故选：D 4. （2019贵州毕节3 分）举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界 上最长的跨海大桥，全长约 55000 米55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A5.5 103 B55 1
8、03 C0.55 105 D5.5 104 【答案】D 【解析】解：55000 这个数用科学记数法可表示为 5.5 104，故选：D 5. (2019 甘肃省天水市甘肃省天水市)已知|a|=1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 1 或 【答案】C 【解析】|a|=1，b 是 2 的相反数， a=1 或 a=-1，b=-2， 当 a=1 时，a+b=1-2=-1； 当 a=-1 时，a+b=-1-2=-3； 综上，a+b 的值为-1 或-3， 故选：C 6. （2019，山东枣庄，3 分）点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC1，O
9、AOB若 点 C 所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为（ ） A（a+1） B（a1） Ca+1 Da1 【答案】B 【解析】解：O 为原点，AC1，OAOB，点 C 所表示的数为 a， 点 A 表示的数为 a1， 点 B 表示的数为：（a1） ， 故选：B 6. （2019浙江嘉兴4 分）数轴上有两个实数 a，b，且 a0，b0，a+b0，则四个数 a，b，a，b 的 大小关系为 （用“”号连接） 【答案】baab 【解析】解：a0，b0，a+b0， 5 |b|a， ba，ba， 四个数 a，b，a，b 的大小关系为 baab 故答案为：baab 7. （2019 湖南常德 3 分）数轴
10、上表示3 的点到原点的距离是 【答案】3 【解析】解：在数轴上表示3 的点与原点的距离是|3|3 故答案为：3 8. (2019湖南常德3 分)数轴上表示3 的点到原点的距离是 【答案】3 【解析】解：在数轴上表示3 的点与原点的距离是|3|3故答案为 3 8. (2019云南3 分)若零上 8记作8，则零下 6记作 【答案】-6 【解析】解：若零上 8记作8，则零下 6记作6，故答案为6 9. （2019山东省聊城市3 分）计算： （） 【答案】 【解析】解：原式（） ， 故答案为： 10. (2019云南6 分)计算： 102 1453 ）（）（ 【答案】7 【解析】解：原式91217 1
11、1. （2019江苏连云港6 分）计算（1） 2+4+（ 1 3 ） 1 【答案】3 【解析】解：原式2+2+33 12. 动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，3 秒后，两点相 距 15 个单位长度。已知动点 AB 的速度比是 1：4 (速度单位：单位长度/秒)。 （1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出 AB 两点从原点出发运动 3 秒时的位置； 6 （2）若 AB 两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，AB 两点到原点的距离恰好相 等？ 【解析】 （1）设 A 点的运动速度为 x,则 B 的速度为 4x. 3x+3x 4=15;3x+12x=15;15x=15;x=1. 答：A 的速度是 1 单位长度/秒,B 的速度是 4 个单位长度/秒； （2）已知 A 的运动速度是 1 单位长度/秒,B 的运动速度是 4 个单位长度/秒 现在他们分别在-3,12 点时以各自的速度同时向数轴负方向运动,设 y 秒后原点在这两个点. 所以：|-3|+y 1=12-y 4 得：3+y=12-4y 5y=9 解得：y=1.8. 答：1.8 秒时,原点恰好在两个动点的正中间；
