1、 1 第第 0303 讲讲 整式及其因式分解整式及其因式分解 1代数式及求值 (1)概念: 用基本运算符号(加、 减、 乘、 除、 乘方、 开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式 单 独的一个数或一个字母也是代数式; (2)列代数式:找出数量关系,用表示已知量的字母表示出所求量的过程; (3)代数式求值:把已知字母的值代入代数式中,并按原来的运算顺序计算求值 2整式及有关概念 (1)单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的_次 数,单项式中的数字因数叫做单项式的系数单独的数、字母也是单项式; (2)多项式:由几个单项式相加组成的代数式叫做
2、多项式,多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数,一 个多项式中的每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项_; (3)整式:单项式和多项式统称为整式; (4)同类项:多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项;所有的常数项都是同类 项 4整式的运算 (1)整式的加减 整式加减的实质是合并同类项把多项式中同类项的系数相加,合并为一项,叫做合并同类项,其法则是: 几个同类项相加,把它们的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的_指数_不变 (2)整式的乘法 单项式单项式:把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,连同它的 指数一起作为积的一个因
3、式; 单项式多项式:m(ab)mamb; 多项式多项式:(ab)(cd)acadbcbd; 乘法公式 平方差公式:(ab)(ab)_a 2b2_; 完全平方公式:(ab) 2a22abb2 (3)整式的除法 2 单项式单项式:将系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式; 多项式单项式:先把多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加 5因式分解 (1)定义:把一个多项式化成几个_整式乘积的形式,叫做因式分解,因式分解与整式乘法互为逆变形 (2)因式分解的方法 提取公因式法: mambmcm(abc) 公因式的确定: 系数:取各项系数的最
4、大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各相同字母的最低次数 (3)因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式,那么必须先提取公因式; 如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时,考虑完全平方公 式;为四项时,考虑利用分组的方法进行分解; 分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不再有括号,且同类项合并完毕,若有相同因式 写成幂的形式,这样才算分解彻底; 注意因式分解中的范围:如在有理数范围内分析解因式时 x 44(x22)(x22)在实数范围内分解因 式时 x 44(x22)(x 2)(x 2),题目不作说明的,表明是在有理数范围内分解因式 考点考
5、点 1 1: 整式的运算整式的运算 【例题 1】(2019湖北武汉8 分)计算: (2x 2)3x2x4 【分析】先算乘方与乘法,再合并同类项即可 【解答】解: (2x 2)3x2x4 8x 6x6 7x 6 归纳:整式的运算中需注意以下几点: (1)幂的乘方转化为指数乘法运算即(a 2)3a23. 3 (2)同底数幂的乘法转化为指数的加法运算即 a 2a3a23. (3)在算积的乘方时,若底数中含有数字,要记住对数字也要进行乘方 (4)在利用完全平方公式求值时,通常用到以下几种变形: a 2b2(ab)22ab; a 2b2(ab)22ab; (ab) 2(ab)24ab; (ab) 2(a
6、b)24ab. 考点考点 2 2: 因式分解因式分解 【例题 2】把 4a 2添上 1 项或 2 项,使它能够进行因式分解 (1)写出 3 个且要用三种不同的分解方法; (2)若要求能进行 2 步或 2 步以上分解,如何添加?请写出一个即可 【解答】解:(1)答案不唯一,例如:4a 22a2a(2a1); 4a 24a1(2a1)2;4a21(2a1)(2a1) (2)答案不唯一,例如: 4a 24b24(a2b2)4(ab)(ab); 4a 2a4a2(4a2)a2(2a)(2a); 4a 28ab4b24(a22abb2)4(ab)2. 归纳:公式法分解因式需注意以下几点: (1)公式中的
7、“a”和“b”也可以是多项式,可将这个多项式看作一个整体,分解后注意合并同类项; (2)灵活运用多种方法分解因式,其一般顺序是:首先提取公因式,然后再考虑用公式,最后结果一定要分 解到不能再分解为止 考点考点 3 3: 整式的综合运用整式的综合运用 【例题 3】)嘉淇准备完成题目:化简:( x 26x8)(6x5x22)发现系数“ ”印刷不清楚 (1)他把“ ”猜成 3,请你化简:(3x 26x8)(6x5x22); (2)他妈妈说: “你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数 ”通过计算说明原题中“ ”是几? 【解析】 :(1)(3x 26x8)(6x5x22) 3x 26x86x5x22
8、2x 26. 4 (2)设“ ”是 a,则 原式(ax 26x8)(6x5x22) ax 26x86x5x22 (a5)x 26. 标准答案的结果是常数, a50. 解得 a5. 归纳:整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式 一、选择题:一、选择题: 1. (2019湖南株洲3 分)下列各式中,与 3x 2y3是同类项的是( ) A2x 5 B3x 3y2 Cx 2y3 Dy 5 【答案】C 【解答】解:A.2x 5与 3x2y3不是同类项,故本选项错误; B.3x 3y2与 3x2y3不是同类项,故本选项错误; C.x 2y3与 3x2y3是同类项,故本选项正确; D.y
9、 5与 3x2y3是同类项,故本选项错误;故选:C 2. ( 四川乐山,4,3 分)下列等式一定成立的是( ) A2m+3n=5mn B(m3)2=m6 Cm2m3=m6 D(m-n)2=m2-n2 【答案】B 【解答】解:选项 A 中的两项不是同类项,不能合并;选项 B 是幂的乘方运,根据法则可知是正确的;选 项 C m2m3=m5,错误;选项 D,(m-n)2=m2-2mn+n2,错误,故选择 B 3. (2019湖南株洲3 分)下列各选项中因式分解正确的是( ) Ax 21(x1)2 Ba 32a2+aa2(a2) C2y 2+4y2y(y+2) Dm 2n2mn+nn(m1)2 【答案
10、】D 【解答】解:A.x 21(x+1) (x1) ,故此选项错误; 5 B.a 32a2+aa2(a1) ,故此选项错误; C.2y 2+4y2y(y2) ,故此选项错误; D.m 2n2mn+nn(m1)2,正确 故选:D 4. (2018宁波)在矩形 ABCD 内,将两张边长分别为 a 和 b(ab)的正方形纸片按图 1,图 2 两种方式 放置 (图 1, 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠) , 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示, 设图 1 中阴影部分的面积为 S1,图 2 中阴影部分的面积为 S2当 ADAB=2 时,S2S1的值为( ) A2a B2b C2a2b
11、D2b 【答案】B 【解答】S1=(ABa)a+(CDb)(ADa)=(ABa)a+(ABb)(ADa), S2=AB(ADa)+(ab)(ABa), S2S1=AB(ADa)+(ab)(ABa)(ABa)a(ABb)(ADa)=(ADa)(ABAB+b)+ (ABa)(aba)=bADabbAB+ab=b(ADAB)=2b 故选:B 5. (2018绍兴) 下面是一位同学做的四道题: (a+b) 2=a2+b2, (2a2)2=4a4, a5a3=a2, a3a4=a12 其 中做对的一道题的序号是( ) A B C D 【答案】C 【解答】(a+b) 2=a2+2ab+b2,故此选项错误;
12、 (2a 2)2=4a4,故此选项错误; a 5a3=a2,正确; a 3a4=a7,故此选项错误 故选:C 二、填空题:二、填空题: 6. (2019湖南怀化4 分)当 a1,b3 时,代数式 2ab 的值等于 【答案】-5 6 【解答】解:当 a1,b3 时,2ab2(1)35, 故答案为:5 7. (2018 湖北荆州) (3.00 分)如图所示,是一个运算程序示意图若第一次输入 k 的值为 125,则第 2018 次输出的结果是 5 【答案】5 【解析】 :第 1 次输出的结果是 25,第 2 次输出的结果是 5,第 3 次输出的结果是 1,第 4 次输出的结果 是 5,第 5 次输出
13、的结果是 5, 第 2n 次输出的结果是 5,第 2n+1 次输出的结果是 1(n 为正整数) , 第 2018 次输出的结果是 5 故答案为:5 8. (2019湖北十堰3 分)对于实数 a,b,定义运算“”如下:ab(a+b) 2(ab)2若(m+2) (m3)24,则 m 【答案】3 或 4 【解答】解:根据题意得(m+2)+(m3) 2(m+2)(m3)224, (2m1) 2490, (2m1+7) (2m17)0, 2m1+70 或 2m170, 所以 m13,m24 故答案为3 或 4 9. 2019河北4 分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数 示例:即
14、 4+37 则(1)用含 x 的式子表示 m ; (2)当 y2 时,n 的值为 7 【答案】1 【解答】解: (1)根据约定的方法可得: mx+2x3x; 故答案为:3x; (2)根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3m+ny 当 y2 时,5x+32 解得 x1 n2x+32+31 故答案为:1 三、解答题:三、解答题: 10. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式,形式如图: (1)求所捂的二次三项式; (2)若 x 61,求所捂二次三项式的值 解:(1)设所捂的二次三项式为 A,根据题意,得 Ax 25x13xx22x1. (2)当 x
15、 61 时,A(x1) 2( 6)26. 11. (2018邵阳)先化简,再求值:(a2b)(a+2b)(a2b)2+8b2,其中 a=2,b= 【分析】原式利用平方差公式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把 a 与 b 的值代入计 算即可求出值 【解答】:原式=a24b2a2+4ab4b2+8b2=4ab, 当 a=2,b=时,原式=4 12. 在一次数学课上,李老师对大家说: “你任意想一个非零数,然后按下列步骤操作,我会直接说出你运 算的最后结果 ” 8 (1)若小明同学心里想的是数 5,请帮他计算出最后结果; (2)老师说: “同学们,无论你们心里想的是什么非零数,按照以
16、上步骤进行操作,得到的最后结果都相等 ” 小明同学想验证这个结论,于是,设心里想的数是 a(a0),请你帮小明完成这个验证过程 解:(1)第一步:(51) 2(51)220; 第二步:2025500; 第三步:5005100. 小明计算出最后结果为 100. (2)(a1) 2(a1)225a (a1a1)(a1a1)25a 4a25a 100, 结论成立 13. 如图,已知大正方形的边长为 abc,利用图形的面积关系可得:(abc) 2a2b2c22ab2bc 2ac.当大正方形的边长为 abcd 时, 利用图形的面积关系可得: (abcd) 2a2b2c2d22ab 2ac2ad2bc2b
17、d2cd.一般地,n 个数的和的平方等于这 n 个数的平方和加上它们两两乘积的 2 倍 根据以上结论解决下列问题: (1)若 abc6,a 2b2c214,则 abbcac11; (2)从4,2,1,3,5 这五个数中任取两个数相乘,再把所有的积相加,若和为 m,求 m 的值 解:421351, 两边平方后得(42135) 2(4)2(2)2(1)232522m552m1. m(155)254227. 14. 如图,已知大正方形的边长为 abc,利用图形的面积关系可得:(abc) 2a2b2c22ab2bc 9 2ac.当大正方形的边长为 abcd 时, 利用图形的面积关系可得: (abcd) 2a2b2c2d22ab 2ac2ad2bc2bd2cd.一般地,n 个数的和的平方等于这 n 个数的平方和加上它们两两乘积的 2 倍 根据以上结论解决下列问题: (1)若 abc6,a 2b2c214,则 abbcac11; (2)从4,2,1,3,5 这五个数中任取两个数相乘,再把所有的积相加,若和为 m,求 m 的值 解:421351, 两边平方后得(42135) 2(4)2(2)2(1)232522m552m1. m(155)254227.