1、 1 第第 0303 讲讲 整式及其因式分解整式及其因式分解 1代数式及求值 (1)概念： 用基本运算符号(加、 减、 乘、 除、 乘方、 开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式 单 独的一个数或一个字母也是代数式； (2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程； (3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值 2整式及有关概念 (1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次 数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数单独的数、字母也是单项式； (2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做
2、多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一 个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_； (3)整式：单项式和多项式统称为整式； (4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类 项 4整式的运算 (1)整式的加减 整式加减的实质是合并同类项把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是： 几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的_指数_不变 (2)整式的乘法 单项式单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的 指数一起作为积的一个因
3、式； 单项式多项式：m(ab)mamb； 多项式多项式：(ab)(cd)acadbcbd； 乘法公式 平方差公式：(ab)(ab)_a 2b2_； 完全平方公式：(ab) 2a22abb2 (3)整式的除法 2 单项式单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式； 多项式单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 5因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形 (2)因式分解的方法 提取公因式法： mambmcm(abc) 公因式的确定： 系数：取各项系数的最
4、大公约数 字母：取各项相同的字母 指数：取各相同字母的最低次数 (3)因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式； 如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公 式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式 写成幂的形式，这样才算分解彻底； 注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时 x 44(x22)(x22)在实数范围内分解因 式时 x 44(x22)(x 2)(x 2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式 考点考
5、点 1 1： 整式的运算整式的运算 【例题 1】（2019湖北武汉8 分）计算： （2x 2）3x2x4 【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可 【解答】解： （2x 2）3x2x4 8x 6x6 7x 6 归纳：整式的运算中需注意以下几点： (1)幂的乘方转化为指数乘法运算即(a 2)3a23. 3 (2)同底数幂的乘法转化为指数的加法运算即 a 2a3a23. (3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方 (4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： a 2b2(ab)22ab； a 2b2(ab)22ab； (ab) 2(ab)24ab； (ab) 2(a
6、b)24ab. 考点考点 2 2： 因式分解因式分解 【例题 2】把 4a 2添上 1 项或 2 项，使它能够进行因式分解 (1)写出 3 个且要用三种不同的分解方法； (2)若要求能进行 2 步或 2 步以上分解，如何添加？请写出一个即可 【解答】解：(1)答案不唯一，例如：4a 22a2a(2a1)； 4a 24a1(2a1)2；4a21(2a1)(2a1) (2)答案不唯一，例如： 4a 24b24(a2b2)4(ab)(ab)； 4a 2a4a2(4a2)a2(2a)(2a)； 4a 28ab4b24(a22abb2)4(ab)2. 归纳：公式法分解因式需注意以下几点： (1)公式中的
7、“a”和“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项； (2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分 解到不能再分解为止 考点考点 3 3： 整式的综合运用整式的综合运用 【例题 3】)嘉淇准备完成题目：化简：( x 26x8)(6x5x22)发现系数“ ”印刷不清楚 (1)他把“ ”猜成 3，请你化简：(3x 26x8)(6x5x22)； (2)他妈妈说： “你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数 ”通过计算说明原题中“ ”是几？ 【解析】 ：(1)(3x 26x8)(6x5x22) 3x 26x86x5x22
8、2x 26. 4 (2)设“ ”是 a，则 原式(ax 26x8)(6x5x22) ax 26x86x5x22 (a5)x 26. 标准答案的结果是常数， a50. 解得 a5. 归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式 一、选择题：一、选择题： 1. （2019湖南株洲3 分）下列各式中，与 3x 2y3是同类项的是（ ） A2x 5 B3x 3y2 Cx 2y3 Dy 5 【答案】C 【解答】解：A.2x 5与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； B.3x 3y2与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； C.x 2y3与 3x2y3是同类项，故本选项正确； D.y
9、 5与 3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C 2. （ 四川乐山，4，3 分）下列等式一定成立的是( ) A2m+3n=5mn B(m3)2=m6 Cm2m3=m6 D(m-n)2=m2-n2 【答案】B 【解答】解：选项 A 中的两项不是同类项，不能合并；选项 B 是幂的乘方运，根据法则可知是正确的；选 项 C m2m3=m5，错误；选项 D，(m-n)2=m2-2mn+n2，错误，故选择 B 3. （2019湖南株洲3 分）下列各选项中因式分解正确的是（ ） Ax 21（x1）2 Ba 32a2+aa2（a2） C2y 2+4y2y（y+2） Dm 2n2mn+nn（m1）2 【答案
10、】D 【解答】解：A.x 21（x+1） （x1） ，故此选项错误； 5 B.a 32a2+aa2（a1） ，故此选项错误； C.2y 2+4y2y（y2） ，故此选项错误； D.m 2n2mn+nn（m1）2，正确 故选：D 4. （2018宁波）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式 放置 （图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠） ， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示， 设图 1 中阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2当 ADAB=2 时，S2S1的值为（ ） A2a B2b C2a2b
11、D2b 【答案】B 【解答】S1=（ABa）a+（CDb）（ADa）=（ABa）a+（ABb）（ADa）， S2=AB（ADa）+（ab）（ABa）， S2S1=AB（ADa）+（ab）（ABa）（ABa）a（ABb）（ADa）=（ADa）（ABAB+b）+ （ABa）（aba）=bADabbAB+ab=b（ADAB）=2b 故选：B 5. （2018绍兴） 下面是一位同学做的四道题： （a+b） 2=a2+b2， （2a2）2=4a4， a5a3=a2， a3a4=a12 其 中做对的一道题的序号是（ ） A B C D 【答案】C 【解答】（a+b） 2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
12、 （2a 2）2=4a4，故此选项错误； a 5a3=a2，正确； a 3a4=a7，故此选项错误 故选：C 二、填空题：二、填空题： 6. （2019湖南怀化4 分）当 a1，b3 时，代数式 2ab 的值等于 【答案】-5 6 【解答】解：当 a1，b3 时，2ab2（1）35， 故答案为：5 7. （2018 湖北荆州） （3.00 分）如图所示，是一个运算程序示意图若第一次输入 k 的值为 125，则第 2018 次输出的结果是 5 【答案】5 【解析】 ：第 1 次输出的结果是 25，第 2 次输出的结果是 5，第 3 次输出的结果是 1，第 4 次输出的结果 是 5，第 5 次输出
13、的结果是 5， 第 2n 次输出的结果是 5，第 2n+1 次输出的结果是 1（n 为正整数） ， 第 2018 次输出的结果是 5 故答案为：5 8. （2019湖北十堰3 分）对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b） 2（ab）2若（m+2） （m3）24，则 m 【答案】3 或 4 【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3） 2（m+2）（m3）224， （2m1） 2490， （2m1+7） （2m17）0， 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 故答案为3 或 4 9. 2019河北4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数 示例：即
14、 4+37 则（1）用含 x 的式子表示 m ； （2）当 y2 时，n 的值为 7 【答案】1 【解答】解： （1）根据约定的方法可得： mx+2x3x； 故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3m+ny 当 y2 时，5x+32 解得 x1 n2x+32+31 故答案为：1 三、解答题：三、解答题： 10. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图： (1)求所捂的二次三项式； (2)若 x 61，求所捂二次三项式的值 解：(1)设所捂的二次三项式为 A，根据题意，得 Ax 25x13xx22x1. (2)当 x
15、 61 时，A(x1) 2( 6)26. 11. （2018邵阳）先化简，再求值：（a2b）（a+2b）（a2b）2+8b2，其中 a=2，b= 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计 算即可求出值 【解答】：原式=a24b2a2+4ab4b2+8b2=4ab， 当 a=2，b=时，原式=4 12. 在一次数学课上，李老师对大家说： “你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运 算的最后结果 ” 8 (1)若小明同学心里想的是数 5，请帮他计算出最后结果； (2)老师说： “同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以
16、上步骤进行操作，得到的最后结果都相等 ” 小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是 a(a0)，请你帮小明完成这个验证过程 解：(1)第一步：(51) 2(51)220； 第二步：2025500； 第三步：5005100. 小明计算出最后结果为 100. (2)(a1) 2(a1)225a (a1a1)(a1a1)25a 4a25a 100， 结论成立 13. 如图，已知大正方形的边长为 abc，利用图形的面积关系可得：(abc) 2a2b2c22ab2bc 2ac.当大正方形的边长为 abcd 时， 利用图形的面积关系可得： (abcd) 2a2b2c2d22ab 2ac2ad2bc2b
17、d2cd.一般地，n 个数的和的平方等于这 n 个数的平方和加上它们两两乘积的 2 倍 根据以上结论解决下列问题： (1)若 abc6，a 2b2c214，则 abbcac11； (2)从4，2，1，3，5 这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为 m，求 m 的值 解：421351， 两边平方后得(42135) 2(4)2(2)2(1)232522m552m1. m(155)254227. 14. 如图，已知大正方形的边长为 abc，利用图形的面积关系可得：(abc) 2a2b2c22ab2bc 9 2ac.当大正方形的边长为 abcd 时， 利用图形的面积关系可得： (abcd) 2a2b2c2d22ab 2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n 个数的和的平方等于这 n 个数的平方和加上它们两两乘积的 2 倍 根据以上结论解决下列问题： (1)若 abc6，a 2b2c214，则 abbcac11； (2)从4，2，1，3，5 这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为 m，求 m 的值 解：421351， 两边平方后得(42135) 2(4)2(2)2(1)232522m552m1. m(155)254227.