1、 1 第第 2121 讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 1圆的基本概念及性质 (1)基本概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以 O 为圆心的 圆记作O. 弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径 是最长的弦 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角 圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 (2)性质： 对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图
2、形重合 2垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3弦、弧、圆心角的关系定理及推论 弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等 4圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 圆周角定理的推论
3、： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应 一个圆心角，对应无数圆周角 5四边形和圆 圆内接四边形的对角互补，如图，DB180，AC180. 考点 1：垂径定理 【例题 1】 （2018浙江衢州3 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（ ） A3cm B cm C2.5cm D cm 【答案】D 【考点
4、】垂径定理 【分析】根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解 答即可 【解答】解：连接 OB， AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，BD=8cm，AE=2cm在 RtOEB 中，OE 2+BE2=OB2，即 OE2+42=（OE+2）2 3 解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8在 RtEBC 中，BC= OFBC，OFC=CEB=90 C=C，OFCBEC，即，解得：OF= 故选 D 归纳：1 1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧 2 2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距
5、，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中 一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解 3 3事实上，过点 E 任作一条弦，只要确定弦与 AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条 弦长 考点 2：圆周角定理及其推论 【例题 2】 (2017临沂)如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E. (1)求证：DEDB； (2)若BAC90，BD4，求ABC 外接圆的半径 【解析】 ：(1)证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC， BAECAD，ABECBE. BD CD. DBCBAE. DBECBEDBC
6、，DEBABEBAE, DBEDEB. DEDB. (2)连接 CD. BD CD，CDBD4. BAC90，BC 是直径 BDC90. BC BD 2CD24 2. 4 ABC 外接圆的半径为 2 2. 归纳：利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角 度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知 90圆周角作其所对弦，即直径同 圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形， 再根据等腰三角形等边对等角以及三线合一来进行证明和计算. 考点 3：圆内接四边形 【例题 3】如图，PQR 是O 的内接正三角形，四边形 ABCD
7、是O 的内接正方形，BCQR，则DOR 的度 数是（ ） A60 B65 C72 D75 【答案】D 【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质 【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角POR 和POD，二者的差就是所求 【解答】解：连结 OD，如图， PQR 是O 的内接正三角形， PQ=PR=QR， POR=360=120， 四边形 ABCD 是O 的内接正方形， AOD=90， DOP=90=45， AOQ=PORDOP=75 故选 D 5 归纳：1 1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内， 另一边在圆外)的数量关
8、系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质 2 2在同圆或等圆中， 如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍 一、选择题： 1. （20172017 四川眉山四川眉山）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB=8cm，DC=2cm，则 OC= 5 cm A6 B4 C3 D5 【答案】D 【解答】解：连接 OA， OCAB， AD=AB=4cm， 设O 的半径为 R， 由勾股定理得，OA 2=AD2+OD2， R 2=42+（R2）2， 解得 R=5 OC=5cm 故答案为 5 6 2. （2018山东青岛3 分）如图，点 A、
9、B、C、D 在O 上，AOC=140，点 B 是的中点，则D 的 度数是（ ） A70 B55 C35.5 D35 【答案】D 【解答】解：连接 OB， 点 B 是的中点， AOB=AOC=70， 由圆周角定理得，D=AOB=35， 故选：D 3. （2018浙江临安3 分）如图，O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交O 于 B、C 点，则 BC=（ ） A63 B62 C33 D32 【答案】A 【解答】解：设 OA 与 BC 相交于 D 点 7 AB=OA=OB=6 OAB 是等边三角形 又根据垂径定理可得，OA 平分 BC， 利用勾股定理可得 BD= 22 63=33
10、所以 BC=63 故选：A 4. （2018山东菏泽3 分）如图，在O 中，OCAB，ADC=32，则OBA 的度数是（ ） A64 B58 C32 D26 【答案】D 【解答】解：如图， 由 OCAB，得 =，OEB=90 2=3 2=21=232=64 3=64， 在 RtOBE 中，OEB=90， B=903=9064=26， 故选：D 5. 已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC 的长为（ ） 8 A25cm B45cm C25cm 或 45cm D23cm 或 43cm 【答案】C 【解答】解：连接 AC，AO， O 的直径
11、 CD=10cm，ABCD，AB=8cm， AM= 2 1 AB= 2 1 8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， OA=5cm，AM=4cm，CDAB， OM= 22 AMOA = 22 45 =3cm， CM=OC+OM=5+3=8cm， AC= 22 CMAM = 22 84 =45cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， OC=5cm， MC=53=2cm， 在 RtAMC 中，AC= 22 CMAM = 22 24 =25cm 故选：C 二、填空题： 6. 如图，在O 中，弦 ABCD，若ABC=40，则BOD= 80 【答案】80
12、 【解答】解：ABCD， 9 C=ABC=40， BOD=2C=80 故答案为 80 7. （2018济宁）如图，点 B，C，D 在O 上，若BCD=130，则BOD 的度数是 . 【答案】100 【解答】解：圆上取一点 A，连接 AB，AD， 点 A、B，C，D 在O 上，BCD=130， BAD=50， BOD=100， 8. （2018南通模拟）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若 BC=3，AB=5，ODBC 于点 D，则 OD 的长为 【答案】2 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB=90， AC=4， ODBC， BD=CD， 10 而 OB=OA， OD 为A
13、BC 的中位线， OD=AC=4=2 故答案为 2 9. 已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距 离是 cm 【答案】2 或 14 【解答】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图， AB=16cm，CD=12cm， AE=8cm，CF=6cm， OA=OC=10cm， EO=6cm，OF=8cm， EF=OFOE=2cm； 当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图， AB=16cm，CD=12cm， AF=8cm，CE=6cm， OA=OC=10cm， OF=6cm，OE=8cm， EF=OF+OE
14、=14cm AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm 故答案为：2 或 14 三、解答题： 10. 如图，AB 和 CD 分别是O 上的两条弦，过点 O 分别作 ONCD 于点 N，OMAB 于点 M，若 ON=AB，证 明：OM=CD 11 【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质 【分析】设圆的半径是 r，ON=x，则 AB=2x，在直角CON 中利用勾股定理即可求得 CN 的长，然后根据垂径 定理求得 CD 的长，然后在直角OAM 中，利用勾股定理求得 OM 的长，即可证得 【解答】证明：设圆的半径是 r，ON=x，则 AB=2x， 在直角CON 中，CN=， ONCD， CD
15、=2CN=2， OMAB， AM=AB=x， 在AOM 中，OM=， OM=CD 11. 已知O 是ABC 的外接圆，且半径为 4. (1)如图 1，若A30，求 BC 的长； (2)如图 2，若A45： 求 BC 的长； 若点 C 是AB 的中点，求 AB 的长； 12 (3)如图 3，若A135，求 BC 的长 图 1 图 2 图 3 【点拨】 连接 OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，构建可解的等腰三角形求解 【解答】 解：(1)连接 OB，OC. BOC2A60，OBOC，OBC 是等边三角形 BCOB4. (2)连接 OB，OC. BOC2A90，OBOC，OBC
16、是等腰直角三角形 OBOC4，BC4 2. 点 C 是AB 的中点，ABCA45. ACB90.AB 是O 的直径AB8. (3)在优弧BC 上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO. A135，D45.BOC2D90. OBOC4，BC4 2. 12. （20172017 山东临沂）山东临沂）如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E， （1）求证：DE=DB； （2）若BAC=90，BD=4，求ABC 外接圆的半径 【分析】 （1）由角平分线得出ABE=CBE，BAE=CAD，得出，由圆周角定理得出DBC=CAD， 证出DBC=BAE，再
17、由三角形的外角性质得出DBE=DEB，即可得出 DE=DB； （2）由（1）得：，得出 CD=BD=4，由圆周角定理得出 BC 是直径，BDC=90，由勾股定理求出 BC= 13 22 BDCD=42，即可得出ABC 外接圆的半径 【解答】 （1）证明：BE 平分BAC，AD 平分ABC， ABE=CBE，BAE=CAD， ， DBC=CAD， DBC=BAE， DBE=CBE+DBC，DEB=ABE+BAE， DBE=DEB， DE=DB； （2）解：连接 CD，如图所示： 由（1）得：， CD=BD=4， BAC=90， BC 是直径， BDC=90， BC= 22 BDCD=42， AB
18、C 外接圆的半径=42=22 13. 如图所示，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H. (1)如果O 的半径为 4，CD4 3，求BAC 的度数； (2)若点 E 为ADB 的中点，连接 OE，CE.求证：CE 平分OCD； (3)在(1)的条件下，圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个？并说明理由 14 【解析】 ：(1)AB 为O 的直径，CDAB，CH1 2CD2 3. 在RtCOH 中，sinCOHCH OC 3 2 ，COH60. BAC1 2COH30. (2)证明：点 E 是ADB 的中点，OEAB. 又CDAB，OECD.ECDOEC. 又OEOC，OECOCE. OCEDCE，即 CE 平分OCD. (3)圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个 因为AC 上的点到直线 AC 的最大距离为 2，ADC 上的点到直线 AC 的最大距离为 6，236，根据圆的轴对称 性，ADC 到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个
