1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 21 讲：弧度制及任意角的三角函数讲：弧度制及任意角的三角函数 一、课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 角的概念的推广 (1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所 形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角 (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终 边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐
2、标轴上的角(轴线角)不属于任何象限 (3)终边相同的角：与角 的终边相同的角的集合为|k 360 ，kZ 2. 弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|_l r_，l 是以角 作为 圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：360 _2_rad；180 _rad；1 _ 180_rad；1 rad_ 180 _度 弧长公式：_l|r_ 扇形面积公式：S扇形_1 2lr_ 1 2|r 2_ 3. 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 s
3、in_y_，cos_x_，tan y x( )x0 (2)特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 180 270 弧 度数 _0_ _ 6_ _ 4_ _ 3_ _ 2_ _ _3 2 _ 第 2 页 / 共 11 页 sin _0_ _1 2_ _ 2 2 _ _ 3 2 _ _1_ _0_ _1_ cos _1_ _ 3 2 _ _ 2 2 _ _1 2_ _0_ _1_ _0_ tan _0_ _ 3 3 _ _1_ _ 3_ _0_ （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起 点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向
4、线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正 切线 三、自主热身、归纳总结 1、已知 sin20，且|cos|cos，则点 P(tan，sin)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 由|cos|cos 可知 cos0， 由 sin22sincos0 可知 sin0， tan0.点 P(tan， sin) 在第二象限故选 B. 2、已知角 终边上一点 P 的坐标是(2sin2，2cos2)，则 sin 等于( ) A. sin2 B. sin2 C. cos2 D. cos2 【答案】D 【解析】r （2sin2）2（2cos
5、2）22，由任意三角函数的定义，得 siny rcos2.故选 D. 3、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) 第 3 页 / 共 11 页 A. 6 B 3 C3 D. 3 【答案】D 【解析】 如图， 等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形， 则线段 AB 所对的圆心角AOB2 3 ， 作 OMAB，垂足为 M， 在 RtAOM 中，AOr，AOM 3， AM 3 2 r，AB 3r， l 3r， 由弧长公式得 l r 3r r 3. 4、(多选)下列与角2 3 的终边不相同的角是( ) A.11 3 B2k2 3 (kZ) C2k2 3 (kZ
6、) D(2k1)2 3 (kZ) 【答案】ABD 【解析】与角2 3 的终边相同的角为 2k2 3 (kZ)，其余三个角的终边与角2 3 的终边不同 5、已知一扇形的弧长为2 9 ，面积为2 9 ，则其半径 r _，圆心角 _. 【答案】2 9 【解析】因为扇形的弧长为2 9 ，所以面积2 9 1 2 2 9 r，解得 r2.由扇形的弧长为2 9 r2，解得 9. 6、(一题两空)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边交单 位圆 O 于点 P(a，b)，且 ab7 5，则 ab_，cos 2 2 _. 【答案】12 25 24 25 【解析】由题
7、知 sin b，cos a.ab7 5，sin cos 7 5.两边平方可得 sin 2cos22sin cos 第 4 页 / 共 11 页 49 25，12sin cos 49 25，2sin cos 24 25.sin cos ab 12 25，cos 2 2 sin 22sin cos 24 25. 四、例题选讲 考点一 角的表示及象限角 例 1（1）集合 kk 4 ，kZ 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) （2）若角 是第二象限角，则 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第三象限角 D第二或第四象限角 【答案】 （1）B （2）C. 【解析】 （1）当 k2n(nZ
8、)时，2n2n 4(nZ)，此时 的终边和 0 4的终边一样，当 k2n1(n Z)时，2n2n 4(nZ)，此时 的终边和 4的终边一样 （2） 是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 2 2k，kZ. 当 k 为偶数时， 2是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2是第三象限角故选 C. 变式 1、(1)已知 2 020 ，则与角 终边相同的最小正角为_，最大负角为_ (2)如果角 是第三象限角，那么， 角的终边落在第几象限？ 2是第几象限的角？ 【答案】 （1）140、220 （2） 角终边落在第二象限； 是第四象限角； 是第一象限角 2为第 二或第四象限 【解析】 (1) 可以写成6 3
9、60 140 的形式，则与 终边相同的角可以写成 k 360 140 (kZ)的形 第 5 页 / 共 11 页 式当 k0 时，可得与角 终边相同的最小正角为 140 ，当 k1 时，可得最大负角为220 . (2) 2k3 2 2k(kZ)，3 2 2k2k(kZ)，即 22k2k(k Z) 角终边落在第二象限又由各边都加上 ，得3 2 2k22k(kZ) 是第 四象限角同理可知， 是第一象限角由 2k3 2 2k(kZ)，可知 2k 2 3 4 k(kZ)， 24k234k(kZ)， 2为第二或第四象限 变式 2、(1)设集合 M x|xk 2 180 45 ，kZ ，N x|xk 4
10、180 45 ，kZ ，那么( ) A.MN B.MN C.NM D.MN (2)若角 是第二象限角，则 2是第_象限角. (3)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角 的集合为_. 【答案】(1)B (2)一或三 (3) 5 3， 2 3， 3， 4 3 【解析】(1)由于 M 中，xk 2 180 45 k 90 45 (2k1) 45 ，2k1 是奇数；而 N 中，x k 4 180 45 k 45 45 (k1) 45 ，k1 是整数，因此必有 MN. (2) 是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 2 2k，kZ. 当 k 为偶数时， 2是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2
11、是第三象限角. (3)终边在直线 y 3x 上的角 的集合为 | 3k ， 又由 2，2)，即2 3k0 且 a1)的图象过定点 P，且角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴 重合，终边过点 P，则 sin cos 的值为( ) A.7 5 B6 5 C. 5 5 D.3 5 5 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，则 1 sin 1 tan _. 【答案】 （1）D （2）2 3 【解析】(1)因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点 P(4,2)，且角 的终边过点 P，所以 x4，y2，r 2 5，所以 sin 5 5 ，cos 2 5 5 ，所以 sin
12、 cos 5 5 2 5 5 3 5 5.故选 D. 第 8 页 / 共 11 页 (2)因为角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，所以 cos x x236 5 13，即 x 5 2或 x 5 2(舍)所以 P 5 2，6 ，r 13 2 ，所以 sin 12 13.所以 tan sin cos 12 5 ，则 1 sin 1 tan 13 12 5 12 2 3. 变式 2、(2020 江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案 D 解析 1cos x1，且 sin(cos x)0，0cos x1，又 s
13、in x0)，则下列各式的 值一定为负的是( ) Asin cos Bsin cos Csin cos D.sin tan 【答案】CD 【解析】由已知得 r|OP| m21，则 sin m m21 0，cos 1 m210，tan m0，sin cos 0，sin tan cos 0.故选 C、D. 方法总结：三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三 角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再
14、根据正、余弦函数值在各象限 的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 五、优化提升与真题演练 1、 在平面直角坐标系中， 角的顶点在原点， 始边在x轴的正半轴上， 角的终边经过点M cos 8，sin 8 ， 且 02，则 ( ) A. 8 B.3 8 C.5 8 D.7 8 【答案】D 第 9 页 / 共 11 页 【解析】(1)因为角 的终边经过点 M cos 8，sin 8 ，且 00，解得 m1 2. 3、(2019 黑龙江哈尔滨六中质量检测)已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心 角的弧度数为( ) A. 2 4 B 2 2 C. 2
15、 D2 2 【答案】C 【解析】设圆的半径为 r，则该圆内接正方形的边长为 2r，即这段圆弧长为 2r，则该圆弧所对的圆心角的 弧度数为 2r r 2.故选 C. 4、若角 与 的终边关于 x 轴对称，则有( ) A90 B90 k 360 ，kZ C2k 180 ，kZ D180 k 360 ，kZ 【答案】C 【解析】因为 与 的终边关于 x 轴对称，所以 2k 180 ，kZ.所以 2k 180 ，kZ. 5、.(2018 全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2， b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5
16、 5 C.2 5 5 D.1 【答案】B 第 10 页 / 共 11 页 【解析】 由题意可知 tan ba 21ba， 又 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1（ba）2 1（ba）2 2 3， 5(ba)21，得(ba)21 5，则|ba| 5 5 . 6、.(多选题)如图，A，B 是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1，0)，BOA60 ，质点 A 以 1 rad/s 的 角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 B 以 2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ) A.经过 1 s 后，BOA 的弧度数为 33 B
17、.经过 12 s 后，扇形 AOB 的弧长为 7 12 C.经过 6 s 后，扇形 AOB 的面积为 3 D.经过5 9 s 后，A，B 在单位圆上第一次相遇 【答案】 ABD 【解析】经过 1 s 后，质点 A 运动 1 rad，质点 B 运动 2 rad，此时BOA 的弧度数为 33，故 A 正确； 经过 12 s 后，AOB 12 32 12 7 12，故扇形 AOB 的弧长为 7 12 1 7 12，故 B 正确； 经过 6 s 后，AOB 6 32 6 5 6 ，故扇形 AOB 的面积为 S1 2 5 6 125 12，故 C 不正确； 设经过 t s 后，A，B 在单位圆上第一次相
18、遇，则 t(12) 32，解得 t 5 9 s，故 D 正确. 7、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 14，则这两个扇形的周长之比为_ 【答案】12 【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为 ，半径分别为 r，R(其中 rR)，则 1 2r 2 1 2R 2 1 4， 所以 rR12，两个扇形的周长之比为 2rr 2RR12. 8、 如图， 在 RtPBO 中， PBO90 ， 以 O 为圆心、 OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点 若圆弧 AB 等分POB 的面积，且AOB，则 tan _. 第 11 页 / 共 11 页 【答案】1 2 【解析】 设扇形的半径为 r， 则扇形的面积为1 2
19、r 2， 在 RtPOB 中， PBrtan ， 则POB 的面积为1 2r rtan ， 由题意得1 2r rtan 2 1 2r 2，tan 2， tan 1 2. 9、在一块顶角为 120 、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种 方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则方案_最优 【答案】一 【解析】因为AOB 是顶角为 120 即为2 3、腰长为 2 的等腰三角形， 所以 AB 6，AMBN1，AD2， 所以方案一中扇形的弧长2 6 3；方案二中扇形的弧长1 2 3 2 3 ； 方案一中扇形的面积1 2 2 2 6 3，方案二中扇形的面积 1 2 1 1 2 3 3. 由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优
