1、 1 第第 1818 讲讲 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用 1锐角三角函数：如图，在 RtABC 中，设C90， A、B、C 对应的边分别为 a，b，c，则：a 的正弦 sinAa c； a 的余弦 cosA_b c_；a 的正切 tanA a b. 2特殊角的三角函数值 30，45，60的三角函数值，如下表： 正弦 余弦 正切 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 3.解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 图形 解法 一直角边和一锐角(a， A) B90A，c a sinA，b a tanA 2 已知斜边和一个锐角(c， A) B90A
2、，acsinA, b ccosA 已知两直角边(a，b) c a2b2，由 tanAa b求A，B 90A 已知斜边和一条直角边 (c，a) b c2a2，由 sinAa c求A，B 90A 4锐角三角函数的实际应用中的常见概念 (1)铅垂线：重力线方向的直线； (2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度， 用 l 表示坡的水平
3、宽度，用 i 表示坡度，即 ih ltan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的锐角叫做方向角 注意：东北方向指北偏东 45方向，东南方向指南偏东 45方向，西北方向指北偏西 45方向，西南方向 指南偏西 45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东. 3 考点 1：直角三角形的边角关系 【例题 1】如图，AD 是ABC 的中线，tanB1 3，cosC 2 2 ，AC 2.求： (1)BC 的长； (2)sinADC 的值 【解析】 ：(1)过点 A 作 AEBC 于点 E. cosC 2 2 ，C45. 在 RtACE
4、 中，CEACcosC1， AECE1. 在 RtABE 中，tanB1 3，即 AE BE 1 3， BE3AE3. BCBECE4. (2)AD 是ABC 的中线，CD1 2BC2. DECDCE1. AEBC，DEAE，ADC45. sinADC 2 2 . 归纳： 1解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角 2在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾 股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解 3若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角 形
5、求解 4解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具 考点 2：锐角三角函数的实际应用 4 【例题 2】 （2019甘肃省庆阳市8 分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高 度忽略不计） ，其中灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60CD 可以绕点 C 上下调 节一定的角度使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30时，台灯光线最佳现测得点 D 到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取 1.73） 【分析】如图，作 CEAB 于 E，DHAB 于 H，CFDH 于 F解直角三角形求出DCF 即可判断
6、 【解答】解：如图，作 CEAB 于 E，DHAB 于 H，CFDH 于 F CEHCFHFHE90， 四边形 CEHF 是矩形， CEFH， 在 RtACE 中，AC40cm，A60， CEACsin6034.6（cm） ， FHCE34.6（cm） DH49.6cm， DFDHFH49.634.615（cm） ， 在 RtCDF 中，sinDCF DF CD 15 30 1 2 ， DCF30， 此时台灯光线为最佳 5 归纳： 解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形” ，进而利用直角 三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示： (1)构造一
7、个直角三角形： (2)构造两个直角三角形： 不同地点测量： 同一地点测量： 一、选择题： 1. （2018宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，PCA=35，则小河宽 PA 等于（ ） A100sin35米 B100sin55米 C100tan35米 D100tan55米 【答案】C 【解答】解：PAPB，PC=100 米，PCA=35， 小河宽 PA=PCtanPCA=100tan35米 故选：C 2. (2019 湖北宜昌 3 分）如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的
8、顶点都在 这些小正方形的顶点上，则 sinBAC 的值为（ ） 6 A 4 3 B 3 4 C 3 5 D 4 5 【答案】D 【解答】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，则ADC90， AC 22 ADCD 22 345 sinBAC 4 5 故选：D 3. 如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tanB的值为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 2 4 【答案】 ：B 【解析】 ：解答：过 C 点作 CDAB，垂足为 D根据旋转性质可知，B=B 在 RtBCD 中，tanB= 1 3 CD BD tanB=ta
9、nB= 1 3 故选 B 4. （2019广东省广州市3 分） 如图， 有一斜坡 AB， 坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m， 斜坡的倾斜角是BAC， 7 若 tanBAC 2 5 ，则此斜坡的水平距离 AC 为（ ） A75m B50m C30m D12m 【答案】 ：A 【解答】解：BCA90，tanBAC 2 5 ，BC30m， tanBAC 2 5 = BC AC = 30 AC ， 解得，AC75， 故选：A 5. 已知ABC 中，C=90，tanA= 1 2 ，D 是 AC 上一点，CBD=A，则 sinABD=（ ） A. 3 5 B. 10 5 C. 3 10 D. 10
10、 10 【答案】 ：A 【解析】 ：解答：作 DEAB 于点 E CBD=A， tanA=tanCBD= BCCDDE ACBCAE = 1 2 ， 设 CD=1，则 BC=2，AC=4， AD=AC-CD=3， 在直角ABC 中，AB= 22 4 162 5ACBC， 在直角ADE 中，设 DE=x，则 AE=2x， AE 2+DE2=AD2， x 2+（2x）2=9， 8 解得：x= 3 5 5 ， 则 DE= 3 5 5 ，AE= 6 5 5 BE=AB-AE=2 5 6 5 5 = 4 5 5 ， tanDBA= 3 4 DE BE ， sinDBA= 3 5 故选 A 二、填空题：
11、6. （2018齐齐哈尔）四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13， 则线段 CD= 【答案】 ：17 【解答】解：作 AHBD 于 H，CGBD 于 G， tanABD=， =， 设 AH=3x，则 BH=4x， 由勾股定理得，（3x） 2+（4x）2=202， 解得，x=4， 则 AH=12，BH=16， 在 RtAHD 中，HD=5， BD=BH+HD=21， ABD+CBD=90，BCH+CBD=90， ABD=CBH， =，又 BC=10， BG=6，CG=8， DG=BDBG=15， 9 CD=17， 故答案为：17 7
12、. （2018眉山）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、 CD 相交于点 O，则 tanAOD= 2 【答案】 ：2 【解答】解：如图，连接 BE， 四边形 BCEK 是正方形， KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK， BF=CF， 根据题意得：ACBK， ACOBKO， KO：CO=BK：AC=1：3， KO：KF=1：2， KO=OF=CF=BF， 在 RtPBF 中，tanBOF=2， AOD=BOF， tanAOD=2 10 故答案为：2 8. （2018无锡）已知ABC 中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC
13、的面积等于 【答案】 ：15或 10 【解答】解：作 ADBC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D， 如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时， 在 RtABD 中，B=30，AB=10， AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在 RtACD 中，AC=2， CD=， 则 BC=BD+CD=6， SABC=BCAD=65=15； 如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时， 由知，BD=5，CD=， 则 BC=BDCD=4， SABC=BCAD=45=10 综上，ABC 的面积是 15或 10， 故答案为 15或 10 9. （2019浙江湖州4 分）有一种落地晾衣架如图
14、1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调 整晾衣杆的高度 图 2 是支撑杆的平面示意图， AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆， 夹角BOD 若 AO85cm，BODO65cm问：当 74时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 120 cm （参 11 考数据：sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6 ） 【答案】120 【解答】解：过 O 作 OEBD，过 A 作 AFBD，可得 OEAF， BODO， OE 平分BOD， BOE 1 2 BOD 1 2 7437， FABBOE37， 在 RtABF 中，AB85+65150cm， h
15、AFABcosFAB1500.8120cm， 故答案为：120 三、解答题： 10. （2018湖北荆州10 分）问题：已知 、 均为锐角，tan=，tan=，求 + 的度数 探究： （1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1） ，请借助这个网格图求出 + 的度数； 延伸： （2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求的弧长 12 【解答】解： （1）连结 AM、MH，则MHP= AD=MC，D=C，MD=HC， ADMMCH AM=MH，DAM=HMC AMD+DAM=90， AMD+HMC=90， AMH=90， MHA=45，即 +=45
16、（2）由勾股定理可知 MH= MHR=45， = 11. （2019湖北十堰7 分） 如图， 拦水坝的横断面为梯形 ABCD， AD3m， 坝高 AEDF6m， 坡角 45， 30，求 BC 的长 【分析】过 A 点作 AEBC 于点 E，过 D 作 DFBC 于点 F，得到四边形 AEFD 是矩形，根据矩形的性质得到 AEDF6，ADEF3，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 A 点作 AEBC 于点 E，过 D 作 DFBC 于点 F， 则四边形 AEFD 是矩形，有 AEDF6，ADEF3， 13 坡角 45，30， BEAE6，CF3DF63， BCBE+EF+CF6+3+639
17、+63， BC（9+63）m， 答：BC 的长（9+63）m 12. （2019江苏宿迁10 分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共 享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm，BCD 64，BC60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm （1）求坐垫 E 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适小明的腿长约为 80cm， 现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E，求 EE的长 （结果精确到 0.1cm，参考数据：sin640.90
18、，cos640.44，tan642.05） 【分析】 （1）作 EMCD 于点 M，由 EMECsinBCM75sin46可得答案； （2）作 EHCD 于点 H，先根据 EC sin E H ECH 求得 EC 的长度，再根据 EECECE可得答案 【解答】解： （1）如图 1，过点 E 作 EMCD 于点 M， 由题意知BCM64、ECBC+BE60+1575cm， 14 EMECsinBCM75sin6467.5（cm） ， 则单车车座 E 到地面的高度为 67.5+3299.5（cm） ； （2）如图 2 所示，过点 E作 EHCD 于点 H， 由题意知 EH800.864， 则 EC
19、 sin E H ECH 64 sin64 71，1， EECECE7571.13.9（cm） 13. 如图，已知，在ABC 中，ABAC2 5，sinB2 5 5 ，D 为边 BC 的中点，E 为边 BC 的延长线上一点， 且 CEBC.连接 AE，F 为线段 AE 的中点求： (1)线段 DE 的长； (2)CAE 的正切值 【解析】 ：(1)连接 AD. ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， 即ADB90. ABAC2 5，sinB2 5 5 ， AD AB 2 5 5 .AD4. 由勾股定理，得 BD2，DCBD2，BC4. CEBC，CE4. 15 DEDCCE246. (2)过点 C 作 CMAE 于点 M, 则CMACME90. 在 RtADE 中，由勾股定理，得 AE AD 2DE22 13. CM 2AC2AM2CE2EM2， (2 5) 2AM242(2 13AM)2， 解得 AM14 13 13 . CM AC 2AM28 13 13 . tanCAECM AM 4 7.
