1、 1 备战 2020 中考初中数学考点导学练 30 讲 第 11 讲 反比例函数 【考点导引】 1.理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式 2会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质 3能用反比例函数解决简单实际问题. 【难点突破】 1. 反比例函数0 k yk x 的性质：当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位 于第二、四象限当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大 2. 反比例函数的几何意义包括： （1）如下图，过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂
2、线 PM、PN，所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN=yx=xy.y= x k ，xy=k，S=k，即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得的矩 形面积为k （2）如上图，过双曲线上的任意一点 E 作 EF 垂直其中一坐标轴，垂足为 F，连接 EO，则 EOF S= 2 k ，即 过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为 2 k 3. 解答反比例函数的问题，往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现，此类问题中，由于题中没有点 的坐标，通常可通过间接设未知数的方向，表示出题目中所求的线段，利用图形旋转的特征和数形结合思 想在坐标系中求图形中关键点
3、的坐标，从而求得所求图形的面积 【解题策略】 1.反比例函数值的大小比较时，应分 x0 与 x0 两种情况讨论，而不能笼统地说成“k0 时，y 随 x 的增 大而增大” 2 2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把 x 的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部 分进行答案 【典例精析】 类型一：反比例函数的图象与性质 【例 1】(2019 安徽)（4 分）已知点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y k x 的图象上，则实 数 k 的值为（ ） A3 B 1 3 C3 D 1 3 【答案】A 【解答】解：点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A的坐标为（1，3）
4、， 把 A（1，3）代入 y k x 得 k1 33 故选：A 类型二：反比例函数解析式的确定 【例 2】 （2019，山东枣庄，3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC90 ，CAx 轴，点 C 在函数 y k x （x0）的图象上，若 AB1，则 k 的 值为（ ） A1 B 2 2 C2 D2 【答案】A 【解答】解：等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC90 ，CAx 轴， AB1， BACBAO45 ， 3 OAOB 2 2 ，AC2， 点 C 的坐标为（ 2 2 ，2
5、） ， 点 C 在函数 y k x （x0）的图象上， k 2 2 2 1， 故选：A 类型三：反比例函数的比例系数 k 的几何意义 【例 3】 （2019贵州毕节5 分）如图，在平面直角坐标中，一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交 于 A.B 两点正方形 ABCD 的顶点 C.D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y k x （k0）的图象上若正 方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是 【答案】3 【解答】解：过点 D 作 DEx 轴，过点 C 作 CFy 轴， ABAD， BAODAE， ABAD，BOADEA， AB
6、ODAE（AAS） ， AEBO，DEOA， 易求 A（1，0） ，B（0，4） ， D（5，1） ， 4 顶点 D 在反比例函数 y k x 上， k5， y 5 x ， 易证CBFBAO（AAS） ， CF4，BF1， C（4，5） ， C 向左移动 n 个单位后为（4n，5） ， 5（4n）5， n3， 故答案为 3； 类型四：反比例函数的应用 【例 4】 （2019河北省10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍 排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v （m/s） ，当甲返
7、回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s） ，排头与 O 的距 离为 S头（m） （1）当 v2 时，解答： 求 S头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） ； 当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S甲（m） ，求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） 5 （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s） ，求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围） ，并写出队伍在此 过程中行进的路程 【解答】解： （1）排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s） ，则排头也离开原排头 t（s） ， S头
8、2t+300 甲从排尾赶到排头的时间为 300 （2vv）300 v300 2150 s，此时 S头2t+300600 m 甲返回时间为： （t150）s S甲S头S甲回2 150+3004（t150）4t+1200； 因此，S头与 t 的函数关系式为 S头2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m，在甲从排头返回到 排尾过程中，S甲与 t 的函数关系式为 S甲4t+1200 （2）Tt追及+t返回+， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v （T150）v （150）400150v； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为（400150v）
9、m 【真题检测】 1. （2019湖北天门3 分）反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A图象经过点（1，3） B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 Dy 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解答】解：由点（1，3）的坐标满足反比例函数 y 3 x ，故 A 是正确的； 由 k30，双曲线位于二、四象限，故 B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数 y 3 x 关于 yx 对称是正确的，故 C 也是正确的，由反比例函 数的性质，k0，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故 D 是不正确的， 故选：D 6 2. （2019湖北武汉3
10、 分）已知反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1） 、B（x2， y2）两点在该图象上，下列命题：过点 A 作 ACx 轴，C 为垂足，连接 OA若ACO 的面积为 3，则 k 6；若 x10 x2，则 y1y2；若 x1+x20，则 y1+y20，其中真命题个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【解答】解：过点 A 作 ACx 轴，C 为垂足，连接 OA ACO 的面积为 3， |k|6， 反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限， k0， k6，正确，是真命题； 反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限， 在所在的每一个象限
11、 y 随着 x 的增大而增大， 若 x10 x2，则 y10y2，正确，是真命题； 当 A.B 两点关于原点对称时，x1+x20，则 y1+y20，正确，是真命题，真命题有 3 个， 故选：D 3. （2019贵州毕节3 分）若点 A（4，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）都在反比例函数 y 1 x 的图象上， 则 y1.y2.y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy1y3y2 【答案】C 【解答】解：点 A（4，y1） 、B（2，y2） 、C（2，y3）都在反比例函数 y 1 x 的图象上， y1 1 4 1 4 ，y2 1 2 1 2 ，y3 1
12、 2 ， 又 1 2 1 4 1 2 ， y3y1y2 故选：C 4. （2019湖南衡阳3 分）如图，一次函数 y1kx+b（k0）的图象与反比例函数 y2 m x （m 为常数且 m0） 7 的图象都经过 A（1，2） ，B（2，1） ，结合图象，则不等式 kx+b m x 的解集是（ ） Ax1 B1x0 Cx1 或 0 x2 D1x0 或 x2 【答案】C 【解答】 解： 由函数图象可知， 当一次函数 y1kx+b （k0） 的图象在反比例函数 y2 m x （m 为常数且 m0） 的图象上方时，x 的取值范围是：x1 或 0 x2， 不等式 kx+b m x 的解集是 x1 或 0
13、x2 故选：C 5. （2019湖北孝感3 分）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠 杆原理”，即：阻力 阻力臂动力 动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ） AF 1200 1 BF 600 1 CF 500 1 DF 0.5 1 【答案】B 【解答】根据关系可直接得到答案。故选：B 6. （贵州省毕节市，10，3 分）如图，点 A 为反比例函数 x y 4 图象上一点，过 A 作 ABx轴于点 B， 链接 OA，则ABO 的面积为（ ）
14、 A4 B4 C2 D2 【答案】D 【解析】解：设点 A 的坐标为（m，n） ，因为点 A 在 x y 4 的图象上，所以，有 mn4，ABO 的面积 8 为1 | 2 mn 2，故选择 D. 7. (2019，山西，3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半 轴上，点 A 坐标为（-4，0） ，点 D 的坐标为（-1，4） ，反比例函数 )0( x x k y 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 . 【答案】16 【解析】过点 D 作 DEAB 于点 E，则 AD=5，四边形 ABCD 为菱形，CD=5 C（4，4） ，将 C 代入
15、 x k y 得： 4 4 k ，16k 8. （2019浙江绍兴5 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，C 都在曲线 y（常数是0，x0）上，若顶 点 D 的坐标为（5，3） ，则直线 BD 的函数表达式是 yx 【答案】y 3 5 x 【解答】解：D（5，3） ， 9 A（ 3 k ，3） ，C（5， 5 k ） ， B（ 3 k ， 5 k ） ， 设直线 BD 的解析式为 ymx+n， 把 D（5，3） ，B（ 3 k ， 5 k ）代入得，解得， 直线 BD 的解析式为 y 3 5 x 故答案为 y 3 5 x 9.（2019湖南长沙3 分）如图，函数 y k x （k 为常数，k
16、0）的图象与过原点的 O 的直线相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点（点 M 在点 A 的左侧） ，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两 点，连接 BM 分别交 x 轴，y 轴于点 E，F现有以下四个结论： ODM 与OCA 的面积相等；若 BMAM 于点 M，则MBA30 ；若 M 点的横坐标为 1，OAM 为等边三角形，则 k2+3；若 MF 2 5 MB，则 MD2MA 其中正确的结论的序号是 （只填序号） 【答案】 【解答】解：设点 A（m， k m ） ，M（n，） ， 则直线 AC 的解析式为 yx+ k m ， C（m+n，0） ，D（0，） ，
17、SODMn，SOCA（m+n） ， 10 ODM 与OCA 的面积相等，故正确； 反比例函数与正比例函数关于原点对称， O 是 AB 的中点， BMAM， OMOA， kmn， A（m，n） ，M（n，m） ， AM（nm） ，OM， AM 不一定等于 OM， BAM 不一定是 60 ， MBA 不一定是 30 故错误， M 点的横坐标为 1， 可以假设 M（1，k） ， OAM 为等边三角形， OAOMAM， 1+k2m2+， mk， OMAM， （1m）2+ () k k m 1+k2， k24k+10， k23， m1， k2+3，故正确， 如图，作 MKOD 交 OA 于 K OFMK
18、， ， 11 ， OAOB， ， ， KMOD， 2， DM2AM，故正确 故答案为 10. （2019，四川巴中，8 分）如图，一次函数 y1k1x+b（k1.b 为常数，k10）的图象与反比例函数 y2 （k20，x0）的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2） 求一次函数与反比例函数的解析式 根据图象说明，当 x 为何值时，k1x+b0 【答案】一次函数的解析式为 y12x+10； 当 0 x1 或 x4 时，y1y2，即 k1x+b0 【解答】解：把点 B（4，2）代入反比例函数 y2（k20，x0）得，k24 28， 12 反比例函数的解析式为 y2， 将点 A（m，8）代入 y2
19、得，8，解得 m1， A（1，8） ， 将 A.B 的坐标代入 y1k1x+b（k1.b 为常数，k10）得， 解得， 一次函数的解析式为 y12x+10； 由图象可知：当 0 x1 或 x4 时，y1y2，即 k1x+b0 11. （2019湖南湘西州8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y m x 的图象在第一象限交于 点 A（3，2） ，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y m x 和 ykx+b 的解析式； （2）结合图象直接写出不等式组 0 m x kx+b 的解集 【答案】 （1）一次函数解析式为 y2x4； （2） ：x3 【解答】解： （
20、1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y m x ，可得 m3 26， 反比例函数解析式为 y 6 x ， OB4， B（0，4） ， 13 把点 A（3，2） ，B（0，4）代入一次函数 ykx+b，可得， 解得， 一次函数解析式为 y2x4； （2）不等式组 0kx+b 的解集为：x3 12. （2019广西河池12 分）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点坐标为 A（0，0） ，B（6，0） ，C（6， 8） ，D（0，8） ，AC，BD 交于点 E （1）如图（1） ，双曲线 y过点 E，直接写出点 E 的坐标和双曲线的解析式； （2）如图（2） ，双曲线 y与 BC，CD 分别
21、交于点 M，N，点 C 关于 MN 的对称点 C在 y 轴上求证 CMNCBD，并求点 C的坐标； （3）如图（3） ，将矩形 ABCD 向右平移 m（m0）个单位长度，使过点 E 的双曲线 y与 AD 交于点 P当AEP 为等腰三角形时，求 m 的值 【答案】 （1）y 12 x （2）C（0， 7 2 ） （3）m 的值为 3 或 12 【解答】解： （1）如图 1 中， 14 四边形 ABCD 是矩形， DEEB， B（6，0） ，D（0，8） ， E（3，4） ， 双曲线 y过点 E， k112 反比例函数的解析式为 y 12 x （2）如图 2 中， 点 M，N 在反比例函数的图象上
22、， DNADBMAB， BCAD，ABCD， DNBCBMCD， ， MNBD， CMNCBD B（6，0） ，D（0，8） ， 直线 BD 的解析式为 y 4 3 x+8， C，C关于 BD 对称， CCBD， C（6，8） ， 直线 CC的解析式为 y 3 4 x+ 7 2 ， C（0， 7 2 ） 15 （3）如图 3 中， 当 APAE5 时，P（m，5） ，E（m+3，4） ，P，E 在反比例函数图象上， 5m4（m+3） ，m12 当 EPAE 时，点 P 与点 D 重合，P（m，8） ，E（m+3，4） ，P，E 在反比例函数图象上， 8m4（m+3） ， m3 综上所述，满足条件的 m 的值为 3 或 12
