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第11讲 反比例函数(教师版)备战2020年中考考点讲练案

1、 1 备战 2020 中考初中数学考点导学练 30 讲 第 11 讲 反比例函数 【考点导引】 1.理解反比例函数的概念,能根据已知条件确定反比例函数的解析式 2会画反比例函数图象,根据图象和解析式探索并理解其基本性质 3能用反比例函数解决简单实际问题. 【难点突破】 1. 反比例函数0 k yk x 的性质:当 k0 时,图象分别位于第一、三象限;当 k0 时,图象分别位 于第二、四象限当 k0 时,在同一个象限内,y 随 x 的增大而减小;当 k0 时,在同一个象限,y 随 x 的增大而增大 2. 反比例函数的几何意义包括: (1)如下图,过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂

2、线 PM、PN,所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN=yx=xy.y= x k ,xy=k,S=k,即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,所得的矩 形面积为k (2)如上图,过双曲线上的任意一点 E 作 EF 垂直其中一坐标轴,垂足为 F,连接 EO,则 EOF S= 2 k ,即 过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为 2 k 3. 解答反比例函数的问题,往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现,此类问题中,由于题中没有点 的坐标,通常可通过间接设未知数的方向,表示出题目中所求的线段,利用图形旋转的特征和数形结合思 想在坐标系中求图形中关键点

3、的坐标,从而求得所求图形的面积 【解题策略】 1.反比例函数值的大小比较时,应分 x0 与 x0 两种情况讨论,而不能笼统地说成“k0 时,y 随 x 的增 大而增大” 2 2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中,要把 x 的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部 分进行答案 【典例精析】 类型一:反比例函数的图象与性质 【例 1】(2019 安徽)(4 分)已知点 A(1,3)关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y k x 的图象上,则实 数 k 的值为( ) A3 B 1 3 C3 D 1 3 【答案】A 【解答】解:点 A(1,3)关于 x 轴的对称点 A的坐标为(1,3)

4、, 把 A(1,3)代入 y k x 得 k1 33 故选:A 类型二:反比例函数解析式的确定 【例 2】 (2019,山东枣庄,3 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,ABC90 ,CAx 轴,点 C 在函数 y k x (x0)的图象上,若 AB1,则 k 的 值为( ) A1 B 2 2 C2 D2 【答案】A 【解答】解:等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,ABC90 ,CAx 轴, AB1, BACBAO45 , 3 OAOB 2 2 ,AC2, 点 C 的坐标为( 2 2 ,2

5、) , 点 C 在函数 y k x (x0)的图象上, k 2 2 2 1, 故选:A 类型三:反比例函数的比例系数 k 的几何意义 【例 3】 (2019贵州毕节5 分)如图,在平面直角坐标中,一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交 于 A.B 两点正方形 ABCD 的顶点 C.D 在第一象限,顶点 D 在反比例函数 y k x (k0)的图象上若正 方形 ABCD 向左平移 n 个单位后,顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上,则 n 的值是 【答案】3 【解答】解:过点 D 作 DEx 轴,过点 C 作 CFy 轴, ABAD, BAODAE, ABAD,BOADEA, AB

6、ODAE(AAS) , AEBO,DEOA, 易求 A(1,0) ,B(0,4) , D(5,1) , 4 顶点 D 在反比例函数 y k x 上, k5, y 5 x , 易证CBFBAO(AAS) , CF4,BF1, C(4,5) , C 向左移动 n 个单位后为(4n,5) , 5(4n)5, n3, 故答案为 3; 类型四:反比例函数的应用 【例 4】 (2019河北省10 分)长为 300m 的春游队伍,以 v(m/s)的速度向东行进,如图 1 和图 2,当队伍 排尾行进到位置 O 时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为 2v (m/s) ,当甲返

7、回排尾后,他及队伍均停止行进设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t(s) ,排头与 O 的距 离为 S头(m) (1)当 v2 时,解答: 求 S头与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) ; 当甲赶到排头位置时,求 S 的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置 O 的距离为 S甲(m) ,求 S 甲与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) 5 (2)设甲这次往返队伍的总时间为 T(s) ,求 T 与 v 的函数关系式(不写 v 的取值范围) ,并写出队伍在此 过程中行进的路程 【解答】解: (1)排尾从位置 O 开始行进的时间为 t(s) ,则排头也离开原排头 t(s) , S头

8、2t+300 甲从排尾赶到排头的时间为 300 (2vv)300 v300 2150 s,此时 S头2t+300600 m 甲返回时间为: (t150)s S甲S头S甲回2 150+3004(t150)4t+1200; 因此,S头与 t 的函数关系式为 S头2t+300,当甲赶到排头位置时,求 S 的值为 600m,在甲从排头返回到 排尾过程中,S甲与 t 的函数关系式为 S甲4t+1200 (2)Tt追及+t返回+, 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为:v (T150)v (150)400150v; 因此 T 与 v 的函数关系式为:T,此时队伍在此过程中行进的路程为(400150v)

9、m 【真题检测】 1. (2019湖北天门3 分)反比例函数 y,下列说法不正确的是( ) A图象经过点(1,3) B图象位于第二、四象限 C图象关于直线 yx 对称 Dy 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解答】解:由点(1,3)的坐标满足反比例函数 y 3 x ,故 A 是正确的; 由 k30,双曲线位于二、四象限,故 B 也是正确的; 由反比例函数的对称性,可知反比例函数 y 3 x 关于 yx 对称是正确的,故 C 也是正确的,由反比例函 数的性质,k0,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大,不在同一象限,不具有此性质,故 D 是不正确的, 故选:D 6 2. (2019湖北武汉3

10、 分)已知反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限,A(x1,y1) 、B(x2, y2)两点在该图象上,下列命题:过点 A 作 ACx 轴,C 为垂足,连接 OA若ACO 的面积为 3,则 k 6;若 x10 x2,则 y1y2;若 x1+x20,则 y1+y20,其中真命题个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】D 【解答】解:过点 A 作 ACx 轴,C 为垂足,连接 OA ACO 的面积为 3, |k|6, 反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限, k0, k6,正确,是真命题; 反比例函数 y k x 的图象分别位于第二、第四象限, 在所在的每一个象限

11、 y 随着 x 的增大而增大, 若 x10 x2,则 y10y2,正确,是真命题; 当 A.B 两点关于原点对称时,x1+x20,则 y1+y20,正确,是真命题,真命题有 3 个, 故选:D 3. (2019贵州毕节3 分)若点 A(4,y1) 、B(2,y2) 、C(2,y3)都在反比例函数 y 1 x 的图象上, 则 y1.y2.y3的大小关系是( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy1y3y2 【答案】C 【解答】解:点 A(4,y1) 、B(2,y2) 、C(2,y3)都在反比例函数 y 1 x 的图象上, y1 1 4 1 4 ,y2 1 2 1 2 ,y3 1

12、 2 , 又 1 2 1 4 1 2 , y3y1y2 故选:C 4. (2019湖南衡阳3 分)如图,一次函数 y1kx+b(k0)的图象与反比例函数 y2 m x (m 为常数且 m0) 7 的图象都经过 A(1,2) ,B(2,1) ,结合图象,则不等式 kx+b m x 的解集是( ) Ax1 B1x0 Cx1 或 0 x2 D1x0 或 x2 【答案】C 【解答】 解: 由函数图象可知, 当一次函数 y1kx+b (k0) 的图象在反比例函数 y2 m x (m 为常数且 m0) 的图象上方时,x 的取值范围是:x1 或 0 x2, 不等式 kx+b m x 的解集是 x1 或 0

13、x2 故选:C 5. (2019湖北孝感3 分)公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠 杆原理”,即:阻力 阻力臂动力 动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m,则动力 F(单位:N)关于动力臂 l(单位:m)的函数解析式正确的是( ) AF 1200 1 BF 600 1 CF 500 1 DF 0.5 1 【答案】B 【解答】根据关系可直接得到答案。故选:B 6. (贵州省毕节市,10,3 分)如图,点 A 为反比例函数 x y 4 图象上一点,过 A 作 ABx轴于点 B, 链接 OA,则ABO 的面积为( )

14、 A4 B4 C2 D2 【答案】D 【解析】解:设点 A 的坐标为(m,n) ,因为点 A 在 x y 4 的图象上,所以,有 mn4,ABO 的面积 8 为1 | 2 mn 2,故选择 D. 7. (2019,山西,3 分)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半 轴上,点 A 坐标为(-4,0) ,点 D 的坐标为(-1,4) ,反比例函数 )0( x x k y 的图象恰好经过点 C,则 k 的值为 . 【答案】16 【解析】过点 D 作 DEAB 于点 E,则 AD=5,四边形 ABCD 为菱形,CD=5 C(4,4) ,将 C 代入

15、 x k y 得: 4 4 k ,16k 8. (2019浙江绍兴5 分)如图,矩形 ABCD 的顶点 A,C 都在曲线 y(常数是0,x0)上,若顶 点 D 的坐标为(5,3) ,则直线 BD 的函数表达式是 yx 【答案】y 3 5 x 【解答】解:D(5,3) , 9 A( 3 k ,3) ,C(5, 5 k ) , B( 3 k , 5 k ) , 设直线 BD 的解析式为 ymx+n, 把 D(5,3) ,B( 3 k , 5 k )代入得,解得, 直线 BD 的解析式为 y 3 5 x 故答案为 y 3 5 x 9.(2019湖南长沙3 分)如图,函数 y k x (k 为常数,k

16、0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B 两点,点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧) ,直线 AM 分别交 x 轴,y 轴于 C,D 两 点,连接 BM 分别交 x 轴,y 轴于点 E,F现有以下四个结论: ODM 与OCA 的面积相等;若 BMAM 于点 M,则MBA30 ;若 M 点的横坐标为 1,OAM 为等边三角形,则 k2+3;若 MF 2 5 MB,则 MD2MA 其中正确的结论的序号是 (只填序号) 【答案】 【解答】解:设点 A(m, k m ) ,M(n,) , 则直线 AC 的解析式为 yx+ k m , C(m+n,0) ,D(0,) ,

17、SODMn,SOCA(m+n) , 10 ODM 与OCA 的面积相等,故正确; 反比例函数与正比例函数关于原点对称, O 是 AB 的中点, BMAM, OMOA, kmn, A(m,n) ,M(n,m) , AM(nm) ,OM, AM 不一定等于 OM, BAM 不一定是 60 , MBA 不一定是 30 故错误, M 点的横坐标为 1, 可以假设 M(1,k) , OAM 为等边三角形, OAOMAM, 1+k2m2+, mk, OMAM, (1m)2+ () k k m 1+k2, k24k+10, k23, m1, k2+3,故正确, 如图,作 MKOD 交 OA 于 K OFMK

18、, , 11 , OAOB, , , KMOD, 2, DM2AM,故正确 故答案为 10. (2019,四川巴中,8 分)如图,一次函数 y1k1x+b(k1.b 为常数,k10)的图象与反比例函数 y2 (k20,x0)的图象交于点 A(m,8)与点 B(4,2) 求一次函数与反比例函数的解析式 根据图象说明,当 x 为何值时,k1x+b0 【答案】一次函数的解析式为 y12x+10; 当 0 x1 或 x4 时,y1y2,即 k1x+b0 【解答】解:把点 B(4,2)代入反比例函数 y2(k20,x0)得,k24 28, 12 反比例函数的解析式为 y2, 将点 A(m,8)代入 y2

19、得,8,解得 m1, A(1,8) , 将 A.B 的坐标代入 y1k1x+b(k1.b 为常数,k10)得, 解得, 一次函数的解析式为 y12x+10; 由图象可知:当 0 x1 或 x4 时,y1y2,即 k1x+b0 11. (2019湖南湘西州8 分)如图,一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y m x 的图象在第一象限交于 点 A(3,2) ,与 y 轴的负半轴交于点 B,且 OB4 (1)求函数 y m x 和 ykx+b 的解析式; (2)结合图象直接写出不等式组 0 m x kx+b 的解集 【答案】 (1)一次函数解析式为 y2x4; (2) :x3 【解答】解: (

20、1)把点 A(3,2)代入反比例函数 y m x ,可得 m3 26, 反比例函数解析式为 y 6 x , OB4, B(0,4) , 13 把点 A(3,2) ,B(0,4)代入一次函数 ykx+b,可得, 解得, 一次函数解析式为 y2x4; (2)不等式组 0kx+b 的解集为:x3 12. (2019广西河池12 分)在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的顶点坐标为 A(0,0) ,B(6,0) ,C(6, 8) ,D(0,8) ,AC,BD 交于点 E (1)如图(1) ,双曲线 y过点 E,直接写出点 E 的坐标和双曲线的解析式; (2)如图(2) ,双曲线 y与 BC,CD 分别

21、交于点 M,N,点 C 关于 MN 的对称点 C在 y 轴上求证 CMNCBD,并求点 C的坐标; (3)如图(3) ,将矩形 ABCD 向右平移 m(m0)个单位长度,使过点 E 的双曲线 y与 AD 交于点 P当AEP 为等腰三角形时,求 m 的值 【答案】 (1)y 12 x (2)C(0, 7 2 ) (3)m 的值为 3 或 12 【解答】解: (1)如图 1 中, 14 四边形 ABCD 是矩形, DEEB, B(6,0) ,D(0,8) , E(3,4) , 双曲线 y过点 E, k112 反比例函数的解析式为 y 12 x (2)如图 2 中, 点 M,N 在反比例函数的图象上

22、, DNADBMAB, BCAD,ABCD, DNBCBMCD, , MNBD, CMNCBD B(6,0) ,D(0,8) , 直线 BD 的解析式为 y 4 3 x+8, C,C关于 BD 对称, CCBD, C(6,8) , 直线 CC的解析式为 y 3 4 x+ 7 2 , C(0, 7 2 ) 15 (3)如图 3 中, 当 APAE5 时,P(m,5) ,E(m+3,4) ,P,E 在反比例函数图象上, 5m4(m+3) ,m12 当 EPAE 时,点 P 与点 D 重合,P(m,8) ,E(m+3,4) ,P,E 在反比例函数图象上, 8m4(m+3) , m3 综上所述,满足条件的 m 的值为 3 或 12