1、 1 第 15 讲 等腰三角形 【考点导引】 1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定 2了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定 3掌握线段垂直平分线的性质及判定 4掌握角平分线的性质及判定. 【难点突破】 1. 在解有关等腰三角形边长问题时，通常要进行讨论，注意分类讨论后一定要运用三边关系检验，所求的 结果若能够组成三角形后，才能继续进行有关的计算. 2.当等腰三角形中只确定两个点，第三个点的位置不确定时，这时需要分类讨论解决在讨论时，一般按等 腰三角形的顶角的顶点是哪个点来分类，比如：ABC 是等腰三角形，则有三种可能： （1）以 A 为顶角的 顶点，则 AB=AC； （2）以
2、B 为顶角的顶点，则 BA=BC； （3）以 C 为顶角的顶点，则 CA=CB 3. 等边三角形的判方法有：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形； 有两个角都等于 60 的三角形是等边三角形；有一个等于 60 的等腰三角形是等边三角形 4. 常见的证明两条线段相等的方法有：全等、特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质、等量代换等； 本题考查了一个常见的几何模型：角平分线+平行线等腰三角形 【解题策略】 1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角 为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高
3、在三角形外部 【典例精析】 类型一：等腰三角形的性质与判定 【例 1】 （2019浙江衢州3 分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。 借助如图所示的“三 等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75 ，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】 D 【解析】：OC=CD=DE， 2 O=ODC，DCE=DEC， 设O=ODC=x， DCE=DEC=2x， CDE=180 -DCE-DEC=180 -4
4、x， BDE=75 ， ODC+CDE+BDE=180 ， 即 x+180 -4x+75 =180 ， 解得：x=25 ， CDE=180 -4x=80 . 故答案为：D. 类型二：等边三角形的性质与判定 【例 2】 （2019湖南邵阳3 分）如图，将等边AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 在第一象限，将等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180 得到AOB，则点 B的坐标是 【答案】作 BHy 轴于 H，如图，利用等边三角形的性质得到 OHAH2，BOA60 ，再计算出 BH， 从而得到 B 点坐标为（2，23） ，然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点 B的
5、坐标 【解答】解：作 BHy 轴于 H，如图， OAB 为等边三角形， OHAH2，BOA60 ， BH3OH23， B 点坐标为（2，23） ， 等边AOB 绕点 O 顺时针旋转 180 得到AOB， 点 B的坐标是（2，23） 故答案为（2，23） 3 类型三：线段的垂直平分线 【例 3】 如图， 在ABC 中， AB=AC， A=30 ， AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D， 则CBD 的度数为 （ ） A30 B45 C50 D75 【答案】B 【解答】解：AB=AC，A=30 ， ABC=ACB=75 ， AB 的垂直平分线交 AC 于 D， AD=BD， A=ABD=30
6、， BDC=60 ， CBD=180 75 60 =45 故选 B 类型四：角的平分线 【例 4】如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD= 【答案】30 4 【解答】解：ABC 是等边三角形， BAC=60 ，AB=AC 又点 D 是边 BC 的中点， BAD=BAC=30 故答案是：30 类型五：等腰三角形的综合探究 【例 5】 （2019湖北武汉3 分）问题背景：如图 1，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到ADE，DE 与 BC 交于点 P，可推出结论：PA+PCPE 问题解决： 如图 2， 在MNG 中， MN6， M75 ， MG4 2 点 O 是
7、MNG 内一点， 则点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值是 2 29 图 1 图 2 【答案】 （1）PA+PCPE； （2）2 29 【解答】 （1）证明：如图 1，在 BC 上截取 BGPD， 在ABG 和ADP 中 ， ABGADP（SAS） ， AGAP，BAGDAP， GAPBAD60 ， AGP 是等边三角形， AGC60 APG， APE60 ， 5 EPC60 ， 连接 EC，延长 BC 到 F，使 CFPA，连接 EF， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到ADE， EAC60 ，EPC60 ， AEAC， ACE 是等边三角形， AEECAC， PAE+APE+
8、AEP180 ，ECF+ACE+ACB180 ，ACEAPE60 ，AEDACB， PAEECF， 在APE 和ECF 中APEECF（SAS） ， PEPF， PA+PCPE； （2）解：如图 2：以 MG 为边作等边三角形MGD，以 OM 为边作等边OME连接 ND，作 DFNM， 交 NM 的延长线于 F MGD 和OME 是等边三角形 OEOMME，DMGOME60 ，MGMD， GMODME 在GMO 和DME 中 GMODME（SAS） ， OGDE NO+GO+MODE+OE+NO 当 D.E.O、M 四点共线时，NO+GO+MO 值最小， NMG75 ，GMD60 ， NMD1
9、35 ， DMF45 ， MG4 2 6 MFDF4， NFMN+MF6+410， ND2 29， MO+NO+GO 最小值为2 29， 故答案为2 29， 【真题检测】 1. 如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB 【答案】A 【解析】解：AC=AD，BC=BD， 点 A，B 在线段 CD 的垂直平分线上 AB 垂直平分 CD 故选 A 2.如图所示，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，若 AE=4，则 BE 两点间的距离是（ ） 7 A B C 4 D 【答案】C 【解析】
10、连接 BE， DE 垂直平分线 AB BE=AE=4 故选 C 3. 如图，已知在 RtABC 中，ABC=90 ，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B、C 为圆心，大于线段 BC 长 度一半的长为半径圆弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论： EDBC；A=EBA；EB 平分AED；ED=12AB 中，一定正确的是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】解：根据作图过程可知：PB=CP，D 为 BC 的中点， PD 垂直平分 BC，EDBC 正确；ABC=90 ，PDAB， E 为 AC 的中点，EC=EA，EB=EC， A=EB
11、A 正确；EB 平分AED 错误；ED=12AB 正确， 故正确的有，故选 B 4. 如图所示，在正五边形的对称轴直线 l 上找点 P，使得PCD、PDE 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有（ ） 8 A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 【答案】B 【解析】解：P 点在直线 L 上， 此时 PC=PD， 即PCD 是等腰三角形， 分为三种情况：作 DE 的垂直平分线，交直线 l 于一点 P，此时 PE=PD； 以 D 为圆心，以 DE 为半径，交直线 l 于两点，此时 DP=DE； 以 E 为圆心，以 DE 为半径，交直线 l 于两点，此时 EP=DE； 共 1+2+2=5 点
12、故选 B 5. （2019湖南邵阳3 分） 如图， 在 RtABC 中， BAC90 ， B36 ， AD 是斜边 BC 上的中线， 将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处，线段 DF 与 AB 相交于点 E，则BED 等于（ ） A120 B108 C72 D36 【答案】B 【解答】解：在 RtABC 中，BAC90 ，B36 ， C90 B54 AD 是斜边 BC 上的中线， ADBDCD， BADB36 ，DACC54 ， ADC180 DACC72 将ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在点 F 处， ADFADC72 ， 9 BEDBAD+ADF36 +72 108 故
13、选：B 6. （2019湖南怀化4 分）若等腰三角形的一个底角为 72 ，则这个等腰三角形的顶角为 36 【答案】36 【解答】解：等腰三角形的一个底角为 72 ， 等腰三角形的顶角180 72 72 36 ， 故答案为：36 7. （2019贵州毕节5 分） 如图， 以ABC 的顶点 B 为圆心， BA 长为半径画弧， 交 BC 边于点 D， 连接 AD 若 B40 ，C36 ，则DAC 的大小为 【答案】34 【解答】解：B40 ，C36 ， BAC180 BC104 ABBD BADADB（180 B） 270 ， DACBACBAD34 故答案为：34 8. （2019 湖南常德 3
14、分） 如图， 已知ABC 是等腰三角形， ABAC， BAC45 ， 点在 AC 边上， 将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45 得到ACD，且点 D、D、B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是 22.5 【答案】22.5 【解答】解：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45 得到ACD， BACCAD45 ，ADAD 10 ADD67.5 ，DAB90 ABD22.5 故答案为：22.5 9. （2019甘肃庆阳4 分） 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特 征值”若等腰ABC 中，A80 ，则它的特征值 k 8 5 或 1 4 【答案】 8 5 或
15、1 4 【解答】解： 当A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180 80 2 50 特征值 k 80 50 8 5 当A 为底角时，顶角的度数为：180 80 80 20 特征值 k 20 80 1 4 综上所述，特征值 k 为 8 5 或 1 4 故答案为 8 5 或 1 4 10.（2019黑龙江哈尔滨3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60 ，点 E 为 AD 边 上一点，连接 BD.CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 27 【答案】2 7 【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于点 O 11 ABAD，BC
16、DC，A60 ， AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形 BAODAO30 ，ABADBD8， BOOD4 CEAB BAOACE30 ，CEDBAD60 DAOACE30 AECE6 DEADAE2 CEDADB60 EDF 是等边三角形 DEEFDF2 CFCEEF4，OFODDF2 OC2 3 BC2 7 11. （2019广西贵港10 分）已知：ABC 是等腰直角三角形，BAC90 ，将ABC 绕点 C 顺时针方向 旋转得到ABC，记旋转角为 ，当 90 180 时，作 ADAC，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E 12 （1）如图 1，当CAD15 时，作AEC 的平分线 E
17、F 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数； 求证：EA+ECEF； （2）如图 2，在（1）的条件下，设 P 是直线 AD 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB2，求线段 PA+PF 的最小值 （结果保留根号） 【答案】 （1）105 EA+ECEF； （2）62 6 【解答】 （1）解：旋转角为 105 理由：如图 1 中， ADAC， ADC90 ， CAD15 ， ACD75 ， ACA105 ， 旋转角为 105 证明：连接 AF，设 EF 交 CA于点 O在 EF 时截取 EMEC，连接 CM CEDACE+CAE45 +15 60 ， CEA120 ， FE 平分CEA， C
18、EFFEA60 ， FCO180 45 75 60 ， FCOAEO，FOCAOE， FOCAOE， 13 OFOC A OOE ， OFA C COOE ， COEFOA， COEFOA， FAOOEC60 ， AOF 是等边三角形， CFCAAF， EMEC，CEM60 ， CEM 是等边三角形， ECM60 ，CMCE， FCAMCE60 ， FCMACE， FCMACE（SAS） ， FMAE， CE+AEEM+FMEF （2）解：如图 2 中，连接 AF，PB，AB，作 BMAC 交 AC 的延长线于 M 由可知，EAFEAB75 ，AEAE，AFAB， AEFAEB， EFEB， B，F 关于 AE 对称， PFPB， PA+PFPA+PBAB， 14 在 RtCBM 中，CBBC2AB2，MCB30 ， BM 1 2 CB1，CM3， AB62 6 PA+PF 的最小值为62 6
