1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 5 讲：基本不等式及应用讲：基本不等式及应用 一、课程标准 1.探索并了解基本不等式的证明过程 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、基础知识回顾 1、基本不等式 ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab. 2、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ab 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数 3、利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最
2、小值是 2 p (2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 q2 4 4、基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab ab 2 2(a，bR，当且仅当 ab 时取等号) (2)ab2 ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号) 5、几个重要的结论 (1) a2b2 2 ab 2 2. (2) b a a b2(ab0) (3) ab ab 2 a2b2 2 (a0，b0) 三、自主热身、归纳总结 1、若 x0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为( ) A9 B18 第 2 页 / 共 17 页 C36 D81 【答案】A 【解析】因为 xy18，所以 xy xy
3、 2 9，当且仅当 xy9 时，等号成立 2设 a0，则 9a 1 a的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 【答案】C 【解析】因为 a0，所以 9a 1 a2 9a 1 a 6，当且仅当 9a 1 a，即 a 1 3时，9a 1 a取得最小值 6.故选 C. 3、设 a，b 为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 a，b 为正数，且 ，当且仅当时取等号，故选 C。 4、已知正实数 a，b 满足 3 2 abab ，则 ab 的最小值为（ ） A1 B 2 C2 D4 【答案】C 【解析】 1 2 22ababab ,当且仅当 2ab 时取等号， 31 22
4、2ababab ， 2ab， 故 ab 的最小值为 2，故选 C。 5、若正数 ,m n满足2 1mn，则 11 mn 的最小值为（ ） A.3 2 2 B.3 2 C.2 2 2 D.3 【答案】A 第 3 页 / 共 17 页 【解析】由题意，因为21mn， 则 111122 () (2)33232 2 nmnm mn mnmnmnmn ， 当且仅当 2nm mn ，即 2nm 时等号成立， 所以 11 mn 的最小值为3 2 2 ，故选 A。 6、下列不等式的证明过程正确的是（ ） A若 a0，b0，则 + 2 = 2 B若 x，yR*，则 + 2 C若 x 为负实数，则 + 4 2 4
5、 = 4 D若 x 为负实数，则2+ 2 22 2 2 【答案】AD 【解析】由 a0，b0 可得 0， 0，则由基本不等式可得， + 2 =2，故 A 正确； x，yR 时，lg x，lg y有可能为 0 或负数，不符合基本不等式的条件，B 错误； 若 x0，则 x+ 4 0，C 错误； x0 时，2x0，由基本不等式可得，2x+2x2，故 D 正确 7、设 a1，b1，且 ab（a+b）1，那么（ ） Aa+b 有最小值 2（2 +1） Ba+b 有最大值（2 +1） 2 Cab 有最大值 3+2 2 Dab 有最小值 3+2 2 【答案】AD 【解析】根据 a1，b1，即可得出 + 2，
6、从而得出 2 1，进而得出 2 + 1，从 而得出 ab 有最小值3 + 22；同样的方法可得出 (+ 2 )2，从而得出（a+b）24（a+b）4，进而解出 + 2(2 + 1)，即得出 a+b 的最小值为2(2+ 1) a1，b1， + 2，当 ab 时取等号， 1 = ( + ) 2，解得 2 + 1， (2 + 1)2= 3 + 22， ab 有最小值3 + 22； 第 4 页 / 共 17 页 (+ 2 )2，当 ab 时取等号， 1 = ( + ) (+ 2 )2 ( + )， （a+b）24（a+b）4， （a+b）228，解得 + 2 22，即 + 2(2+ 1)， a+b 有
7、最小值2(2 + 1) 8、已知 a0, b0，且 2 a 3 b ab，则 ab 的最小值是_ 【答案答案】 2 6 【解析】 、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式 因为 ab 2 a 3 b2 2 a 3 b，所以 ab2 6，当且仅当 2 a 3 b 6时，取等号 9、一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为 _m 时菜园面积最大 【答案答案】15 15 2 【解析】设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x2y30，所以 Sxy 1 2x(2y) 1 2 x2y 2 2 225 2，当且仅当 x 2y，即 x15，y
8、15 2时取等号 10(一题两空)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_， 1 a 2 b的最小值为_ 【答案答案】2 9 4 【解析】a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab 1 2a 2b 1 2 a2b 2 22，当且仅当 a2b，即 a 2，b1 时等号成立，ab 的最大值为 2. 1 a 2 b 1 a 2 b a2b 4 1 4 5 2b a 2a b 1 4 52 2b a 2a b 9 4， 当且仅当 ab 时等号成立， 1 a 2 b的最小值为 9 4. 四、例题选讲 考点一、运用基本不等式求函数的最值 例 1、 (1)已知 0x1，则 x(43x)取得最大
9、值时 x 的值为_ (2)已知 x1)的最小值为_ 【答案】(1) 2 3 (2)1 (3)2 32 【解析】 (1)x(43x) 1 3 (3x) (43x) 1 3 3x43x 2 24 3， 当且仅当 3x43x，即 x 2 3时，取等号 故所求 x 的值为 2 3. (2)因为 x0， 则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231. 当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，取等号 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. (3)y x22 x1 x 22x12x23 x1 x122x13 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x
10、31 时，取等号 变式 1、已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解：(1)由 2x8yxy0，得 8 x 2 y1. 又 x0，y0， 则 1 8 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy，得 xy64， 当且仅当 8 x 2 y，即 x16 且 y4 时等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0，得 8 x 2 y1， 则 xy 8 x 2 y(xy) 第 6 页 / 共 17 页 10 2x y 8y x102 2x y 8y x18. 当且仅当 2x y 8y x，即 x12 且 y6 时等号成立， 所以 xy
11、的最小值为 18. 变式 2、已知 2 36 ( )(0) 1 xx f xx x ，则 ( )f x的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】D 【解析】由题意知， 2 2 11 4364 11 111 xxxx f xx xxx ， 因为0 x，所以10 x ， 则 4 112 415 1 x x ， （当且仅当 4 1 1 x x ，即1x 时取“=”） 故 f x的最小值是 5，故选 D。 变式 3、已知 x 5 4，则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为_ 【答案】1 【解析】因为 x 5 4，所以 54x0， 则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231.
12、当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，取等号 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. 变式 4、已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_ 【答案】6 【解析】由已知得 x3y9xy， 因为 x0，y0，所以 x3y2 3xy， 所以 3xy x3y 2 2，当且仅当 x3y，即 x3，y1 时取等号，即(x3y)212(x3y)1080. 令 x3yt，则 t0 且 t212t1080， 得 t6，即 x3y 的最小值为 6. 方法总结：运用不等式求函数的最值要满足三个条件，一正，二定，三相等；有时不满足几定要 通过拼凑法；拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通
13、过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值 第 7 页 / 共 17 页 的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关 键 考点二、基本不等式中 1 的运用 例 2、已知 a0，b0，ab1，则 1 a 1 b的最小值为_ 【答案】 4 【解析】因为 ab1， 所以 1 a 1 b 1 a 1 b(ab)2 b a a b22 b a a b224.当且仅当 ab 1 2时，取等号 变式 1、若正实数x y ，满足 1xy ，则 4 y xy 的最小值是 【答案】 、8 【解析】 、因为正实数x y ，满足 1xy ， 所以 4() 44 4 yyx
14、yy x xyxyxy 4 24448 yx xy ，当且仅当 4yx xy ，即2yx，又 1xy ，即 12 , 33 xy，等号成立，即 4 y xy 取得最小值8. 变式 2、 已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b 的最小值为_ 【答案】25 【解析】 、由于直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，所以 a(b3)2b，即 2 a 3 b1(a，b 均为正数)，所以 2a3b(2a3b) 2 a 3 b 136 b a a b136 2 b a a b25(当 且仅当 b a a b即 ab5 时取等号) 变式
15、 3、已知正实数 a，b 满足 ab1，则 b b a a4212 22 的最小值为 【答案】 ：.11 【解析解析】 、思路分析：思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本 不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解 117 4 27 4 )( 41 ()(2 4 2 1 2 4212 22 b a a b b a a b ba ba ba b b a a b b a a 当 且 第 8 页 / 共 17 页 仅当 b a a b4 ，即 3 2 3 1 b a 时取“”，所以 b b a a4212 22 的最小值为.11 变式 4、
16、22 91 sincos 的最小值为（ ） A18 B16 C8 D6 【答案】B 【解析】 22 2222 9191 sincos sincossincos 22 22 9sinsin 9 1216 sincos ， 故选 B。 方法总结：1 的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值， 凑的过程中要特别注意等价变形。基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常 数)变形为 1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式。(4)利用基 本不等式求解最值 考点三、运用消参法解决不等式问题 例
17、 3、(2017 苏北四市期末）. 若实数 x，y 满足 xy3x3 0 x 1 2，则 3 x 1 y3的最小值为_ 【答案答案】. 8 【解析解析】 、解法 1 因为实数 x，y 满足 xy3x3 0 x 1 2，所以 y 3 x3(y3)， 所以 3 x 1 y3y3 1 y3y3 1 y362 y3 1 y368，当且仅当 y3 1 y3，即 y4 时取等 号，此时 x 3 7，所以 3 x 1 y3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x，y 满足 xy3x3 0 x 1 2，所以 y 3 x3(y3)，y3 3 x60， 所以 3 x 1 y3 3 x 1 3 x6 3 x6 1
18、3 x6 62 3 x6 1 3 x6 68，当且仅当 3 x6 1 3 x6 ，即 x 3 7时取等 号，此时 y4，所以 3 x 1 y3的最小值为 8. 变式 1：（徐州、宿迁三检）若 0,0ab，且 11 1 21abb + + ，则2ab+的最小值为 第 9 页 / 共 17 页 【答案】 ： 2 31 2 + 【解析】 、由已知等式得bbaabba 2 22122，从而 b bb a 2 1 2 ， b b bb ba2 2 1 2 2 b b 2 1 2 3 2 1 2 132 4 3 2 2 1 ，故有最小值 2 31 2 + . 变式 2、设实数 x，y 满足 x22xy10
19、，则 x2y2的最小值是_ 【答案答案】 51 2 【解析】 、 思路分析注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化 为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值注意中消去 y 较易，所以消去 y. 由 x22xy10 得 y 1x2 2x ，从而 x2y2x2 1x2 2x 25x 2 4 1 4x2 1 22 5 16 1 2 51 2 ，当且仅当 x 4 1 5时等号成立 方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为 常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值 考点四、运用基本不等式解决含参问题 例 1、(
20、2019 扬州期末）已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym 恒成立，则实数 m 的取值范围为 _ 【答案】 、(，9 【解析解析】 、mxy 恒成立，m(xy)min. 解法 1(消元法) 由 x4yxy0，得 y x x4，因为 x，y 是正实数，所以 y0，x4，则 xyx x x4 x x44 x4 x 4 x41(x4) 4 x452 （x4） 4 x459，当且仅当 x6 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 2(“1”的代换) 因为 x，y 是正实数，由 x4yxy0，得 4 x 1 y1，xy(xy) 4 x 1 y 4y x x y 52 4y
21、x x y59，当且仅当 x6，y3 时，等号成立，即 xy 的最小值是 9，故 m9. 解法 3(函数法) 令 txy，则 ytx，代入 x4yxy0，得 x2(3t)x4t0.(t3)216tt2 10tq0，得 t1 或 t9.又 y x x40，且 x0，则 x4，故 t4，从而 t9.所以 m9. 第 10 页 / 共 17 页 变式 1、若对于任意的 x0，不等式 x x23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) Aa 1 5 Ba 1 5 Ca0，得 x x23x1 1 x 1 x3 1 2 x 1 x3 1 5，当且仅当 x1 时，等号成立 则 a 1 5，故选 A.
22、变式 2、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足 xy42xy 的任意正实数 x，y，都有 x22xyy2 axay10，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 、 ， 17 4 【解析解析】 、思路分析 不等式 x22xyy2axay10 的构造比较特殊，可以化为关于 xy 的不等式，再 根据不等式及 xy42xy 求出 xy 的范围即可 对于正实数 x，y，由 xy42xy 得 xy42xy xy2 2 ，解得 xy4， 不等式 x22xyy2axay10 可化为(xy)2a(xy)10， 令 txy(t4)，则该不等式可化为 t2at10，即 at 1 t对于任意的 t4 恒成立，
23、 令 u(t)t 1 t(t4)，则 u (t)11 t2 t21 t2 0 对于任意的 t4 恒成立，从而函数 u(t)t 1 t(t4)为单调递增函 数，所以 u(t)minu(4)4 1 4 17 4，于是 a 17 4. 易错警示 在求函数 u(t)t1 t(t4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出 u(t)min2，没有注意到 t4 的限制，从而得到错误的答案 a2. 变式 3、(2018 南京、盐城一模）若不等式 ksin2BsinAsinC19sinBsinC 对任意ABC 都成立，则实数 k 的 最小值为_ 【答案】 、 100 【解析解析】 、 思路分析本题首先用正弦定
24、理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消 元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理 解法 1(函数的最值) 因为 ksin2BsinAsinC19sinBsinC， 所以由正弦定理可得 kb2ac19bc， 即 k 19bcac b2 . 第 11 页 / 共 17 页 因为ABC 为任意三角形，所以 a|bc|，即 19bcac b2 19bc|bc|c b2 c b 2 18 c b， 01. 当 01 时， c b 2 20 c b100， 即 19bc|bc|c b2 的最大值为 100，所以 k100，即实数 k 的最小值为 100. 解法
25、2(基本不等式) 因为 ksin2BsinAsinC19sinBsinC， 所以由正弦定理可得 kb2ac19bc， 即 k 19bcac b2 . 又 19bcac b2 c b 19 a b.因为 cab， 所以 c b1 a b， 即 c b 19 a b 1 a b 19 a b 1 a b 19 a b 2 4 100(要 求最大值，19 a b至少大于 0)当且仅当 1 a b19 a b，即 a b9 时取等号 方法总结：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题， 考点五、运用基本不等式解决实际问题 例 5、(2016 无锡期末）某公司生产的某批产品的销售
26、量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满 足 P x2 4 (其中 0 xa，a 为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 6 P 1 P万元(不含促销费用)，产品 的销售价格定为 4 20 P元/件 (1) 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 规范解答 (1) 由题意知， y 4 20 PPx6 P 1 P.(3 分) 将 P x2 4 代入化简得 y19 24 x2 3 2x(0 xa)(5 分) (2) y22 3 2 16 x2x2223 16 x2 x2 10， 当且仅当 16 x2x2，即 x
27、2 时，上式取等号(8 分) 所以当 a2 时，促销费用投入 2 万元时，厂家的利润最大；(9 分) 由 y19 24 x2 3 2x，得 y 24 x22 3 2， 当 x0，此时函数 y 在0,2上单调递增， 第 12 页 / 共 17 页 所以当 a2 时，函数 y 在0，a上单调递增，(11 分) 所以当 xa 时，函数有最大值 即促销费用投入 a 万元时，厂家的利润最大(12 分) 综上，当 a2 时，促销费用投入 2 万元，厂家的利润最大；当 a2 时，促销费用投入 a 万元，厂家的利润 最大(14 分) 变式 1、某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，
28、需另投入成本为 C(x)，当年产量不 足 80 千件时，C(x) 1 3x 210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10 000 x 1 450(万元)每件 商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.05 1 000 x 万元，依题意得： 当 0x80 时，L(x)(0.05 1 000 x) 1 3x210 x 250 1 3x240
29、x250. 当 x80 时，L(x)(0.05 1 000 x) 51x 10 000 x 1 450 2501 200 x 10 000 x . 所以 L(x) 1 3x240 x250，0x80， 1 200 x 10 000 x ，x80. (2)当 0x80 时，L(x) 1 3(x60)2950. 此时，当 x60 时，L(x)取得最大值 L(60)950 万元 当 x80 时，L(x)1 200 x 10 000 x 1 2002 x 10 000 x 1 2002001 000. 此时 x 10 000 x ， 即 x100 时，L(x)取得最大值 1 000 万元 由于 950
30、0，8b0，所以 2a 1 8b2 2a 1 8b2 2 a3b 2 1 4，当且仅当 2 a1 8b，即 a 3，b1 时取等号.故 2a 1 8b的最小值为 1 4. 【答案】 1 4 第 15 页 / 共 17 页 5、(2018 江苏卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120 ，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_. 【答案】(1)3 (2)9 【解析】(1)a37，a919， d a9a3 93 197 6 2， ana3(n3)d72(n3)2n1， Sn n（32n1） 2 n(n2)， 因此 Sn10 an1
31、n（n2）10 2n2 1 2 （n1） 9 n1 1 2 2 （n1） 9 n13， 当且仅当 n2 时取等号.故 Sn10 an1的最小值为 3. 6、(2017 江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 _. 【解析】设总费用为 y 万元， 则 y 600 x 64x4 x 900 x 240. 当且仅当 x 900 x，即 x30 时，等号成立 7、(2018 镇江期末） 已知 a，bR，ab4，则 1 a21 1 b21的最大值为_ 【答案】 、 2 5 4
32、【解析解析】 、思路分析1 将 1 a21 1 b21通分，变形为关于(ab)和 ab 的式子，将 ab 作为一个变元，用导数作 为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出 ab 的取值范围 思路分析2 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式，若直接进行消元去处理会打乱它的对称性， 为此，应用均值换元来进行处理 解法 1(ab 作为一个变元) ab ab 2 2 4， 1 a21 1 b21 a2b22 （a21）（b21） （ab）22ab2 （ab）22aba2b21 2（9ab） 172aba2b2. 设 t 9 ab5 ， 则 2（9ab） 172aba2b2 2t t28
33、016t 2t 8 5t16t 52 4 ，当且仅当 t280 时等号成立，所以， 1 a21 1 b21的最大 第 16 页 / 共 17 页 值为 52 4 . 解法 2(均值换元) 因为 ab4， 所以， 令 a2t， b2t， 则 f(t) 1 a21 1 b21 1 t24t5 1 t24t5 2（t25） （t25）216t2， 令 ut255， 则 g(u) 2u u216u80 2 u 80 u16 2 8 516 2 5 4 ， 当且仅当 u4 5时 等号成立所以 1 a21 1 b21的最大值为 52 4 . 解后反思 “减元”是解决不等式求最值问题的重要途径，常用的减元方
34、法有代入消元、换元消元、二合一消 元、放缩消元，本题通过变形先将条件代入，所求式子就变成了 ab 的函数 2（9ab） 172aba2b2，而这样的分式常 将低次的看成一个整体进行换元，从而达到化简的目的当然，本题也可以直接进行消元，然后利用导数 的方法来求它的最大值，只不过，此法比较繁琐而应用均值换元的方法保持了它的对称性，从而运算比 较简单，比较容易操作 8、(2019 宿迁期末）已知正实数 a，b 满足 a2b2，则 14a3b ab 的最小值为_. 【答案答案】 25 2 【解析解析】解法 1(消元法) 由 a2b2 得 a22b0，所以 0b1，令 f(b) 14a3b ab 95b
35、 2b2b2， f(b) 10b236b18 （2b2b2）2 2（5b3）（b3） （2b2b2）2 . 当 b 0， 3 5时，f(b)0，f(b)递增， 所以当 b 3 5时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值 f 3 5 25 2. 解法 2(齐次化) 因为 a2b2，所以 14a3b ab 1 2ab4a3b ab 9a8b 2ab （9a8b）（a2b） 4ab 9a 4b 4b a 13 22 9a 4b 4b a 13 2 25 2，当且仅当 a 4 5，b 3 5时取等号，所以所求的最小值为 25 2. 10、 (2019 南京学情调研） 销售甲种商品所得利润是 P 万元，
36、它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 P at t1； 销售乙种商品所得利润是 Q 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Qbt，其中 a，b 为常数现将 3 万元资金全部投入甲、 乙两种商品的销售； 若全部投入甲种商品， 所得利润为 9 4万元； 若全部投入乙种商品， 所得利润为 1 万元若将 3 万元资金中的 x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所 得利润总和为 f(x)万元 第 17 页 / 共 17 页 (1) 求函数 f(x)的解析式； (2) 怎样将 3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值 规范解答 (1)由题意 P at
37、t1，Qbt， 故当 t3 时，P 3a 31 9 4，Q3b1. (3 分) 解得 a3，b 1 3. (5 分) 所以 P 3t t1，Q 1 3t. 从而 f(x) 3x x1 3x 3 ，x. (7 分) (2)由(1)可得 f(x) 3x x1 3x 3 13 3 3 x1 x1 3 . (9 分) 因为 x，所以 x1， 故 3 x1 x1 3 2，当且仅当 3 x1 x1 3 ，即 x2 时取等号从而 f(x) 13 32 7 3. (11 分) 所以 f(x)的最大值为 7 3. 答：分别投入 2 万元、1 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是 7 3万元(14 分)
