1、 第 1 页 / 共 14 页 第第 4 讲：一元二次不等式及简单不等式讲：一元二次不等式及简单不等式 一、课程标准 1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 3、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式 二、基础知识回顾 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bx c(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实数
2、根 x1， x2(x1x2) 有两相等实数根 x1 x2 b 2a 没有实数根 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx1或 xx2 x| x b 2a R 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 （1）.一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. （2）一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. 3、 简单分式不等式 第 2 页 / 共 14 页 (1) fx gx0 fxgx0， gx0. (2) fx gx
3、0f(x)g(x)0. 三、自主热身、归纳总结 1、不等式 2 560 xx 的解集是（ ） A 23x xx 或 B23xx C 61x xx 或 D61xx 【答案】C 【解析】因为 2 560 xx，所以( 1)(6)01xxx 或6x ，故选 C。 2、若集合 2 |0 ,| 12 1 x AxBxx x ，则AB=（ ） A. 2,2) B.(1,1 C.11 ， D.12 ， 【答案】C 【解析】由题意， 2 |0| 21 1 x Axxx x ， | 12Bxx ，则 | 11ABxx ， 故答案为 C。 3、对于给定的实数 a，关于实数 x 的一元二次不等式 a（xa） （x+
4、1）0 的解集可能为（ ） A B （1，a） C （a，1） D （，1） （a，+） 【答案】ABCD 【解析】对于 a（xa） （x+1）0， 当 a0 时，ya（xa） （x+1）开口向上，与 x 轴的交点为 a，1， 故不等式的解集为 x（，1， ）（a，+） ； 当 a0 时，ya（xa） （x+1）开口向下， 若 a1，不等式解集为； 若1a0，不等式的解集为（1，a） ， 第 3 页 / 共 14 页 若 a1，不等式的解集为（a，1） ， 综上，ABCD 都成立， 4、若不等式 ax2bx20 的解为 1 2x 1 3，则不等式 2x 2bxa0 的解集是_. 【答案】(2,
5、3) 【解析】 由题意，知 1 2和 1 3是一元二次方程 ax 2bx20 的两根且 a0， 所以 1 2 1 3 b a 1 2 1 3 2 a ，解得 a12 b2 . 则不等式 2x2bxa0 即 2x22x120，其解集为x|2x3. 5、不等式 x1 2x10 的解集为_. 【答案】( 1 2，1 【解析】原不等式等价于 x12x10 2x10 (*) 由(*)解得 1 2x1. 6、若关于 x 的不等式 ax26xa20 的解集是(1，m)，则 m_. 【答案】 2 【解析】 根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax26xa20 的一个根，即 a2a60，解得 a2 或 a
6、3，当 a2 时，不等式 ax26xa20 的解集是(1,2)，符合要求；当 a3 时，不等式 ax26x a20 的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去.故 m2. 7、.设函数 f(x) x21， x0 1， xf(2x)的 x 的取值范围是_. 【答案】 (1， 21) 【解析】 x0 时，f(x)x21，易知其在0，)上单调递增，又 f(0)1，xf(2x)可得， 2x1 ， 2x0 ， 1 2x1 2 1x1 ， 即1x1 2.所以 x 的取值范围是(1， 21). 第 4 页 / 共 14 页 8、已知集合 A x 1 2x10 ，B x| x2x60 ，则 AB( ) A(2
7、,3) B(2,2) C(2,2 D2,2 【答案】 ：选 C 【解析】因为 A x|x2 ，B x|2x3 ，所以 AB x|2x2 ( 2，2 . 9、对于任意实数 x，不等式 mx2mx10 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】(4,0 【解析】 ： 当 m0 时， mx2mx110，不等式恒成立；当 m0 时，由 m0， m24m0， 解得4m0；(2) -1 2+10 【答案】 （1）(- 1 2,1（2）(- 1 2,1. 【解析】(1)因为 824 (1) (3)520， 所以方程x28x30 有两个不相等的实根 x14 13，x24 13. 又二次函数 yx28x3 的
8、图象开口向下， 所以原不等式的解集为x|4 13x 0,或 -10, 2 + 1 0. 解得-1 2x1,解得 x, 所以原不等式的解集为(- 1 2,1. 方法二:不等式 -1 2+10 (-1)(2 + 1) 0, 2 + 1 0, 所以由二次不等式知- 1 2 1, 1 2, 所以-1 2x1. 所以原不等式的解集为(- 1 2,1. 变式 1、解下列不等式：(1)3x22x80； (2)0 x2x24. 解 (1)原不等式可化为 3x22x80， 即(3x4)(x2)0，解得2x 4 3， 所以原不等式的解集为 x 2x 4 3 . (2)原不等式等价于 x2x20， x2x24 x2
9、x20， x2x60 x2x10， x3x20 x2或x1， 2x3. 借助于数轴，如图所示， 第 6 页 / 共 14 页 原不等式的解集为 x|2x1或2x3 . 方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式， 根据判别式判断方程有没有实根(无实根时， 不等式解集为 R 或).求出对应的一 元二次方程的根. (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 考点 2、含参不等式的讨论 例 2、求不等式 12x2axa2(aR)的解集 【解析】原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令
10、(4xa)(3xa)0， 解得 x1 a 4，x2 a 3. 当 a0 时，不等式的解集为 ， a 4 a 3， ； 当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)； 当 a0 时，不等式的解集为 ， a 3 a 4， . 变式 1、ax2(a1)x10. 解题过程：若 a0，原不等式等价于x11. 若 a0，解得 x1. 若 a0，原不等式等价于(x 1 a)(x1)0. 当 a1 时， 1 a1，(x 1 a)(x1)1 时， 1 a1，解(x 1 a)(x1)0 得 1 ax1； 当 0a1， 解(x 1 a)(x1)0 得 1x 1 a. 综上所述：当 a0 时，解集为x|x1； 当 a
11、0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x| 1 a 第 7 页 / 共 14 页 x1. 变式 2、解关于 x 的不等式 ax222xax(aR)。 【解析】原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x 2 a(x1)0， 解得 x 2 a或 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x 2 a(x1)0. 当 2 a1，即 a2 时，解得1x 2 a； 当 2 a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当 2 a1，即2a0 时，解得 2 ax1. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|
12、x1； 当 a0 时，不等式的解集为 x|x 2 a或x1 ； 当2a0 时，不等式的解集为 x 2 ax1 ； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为 x|1x 2 a. 变式 3、 关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 （aZ） 的解集中有且仅有 3 个整数， 则 a 的取值可以是 （ ） A6 B7 C8 D9 【答案】ABC 【解析】设 f（x）x26x+a，其图象是开口向上，对称轴是 x3 的抛物线，如图所示； 第 8 页 / 共 14 页 若关于 x 的一元二次不等式 x26x+a0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 (2) 0 (1)0 ，即4 12
13、 + 0 1 6 + 0 ， 解得 5a8，又 aZ， 所以 a6，7，8 故选：ABC 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不 易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二 次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； 考点三、恒成立问题 例 3、若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) 答案
14、C 解析 当 a20，即 a2 时，不等式为40 对一切 xR 恒成立 第 9 页 / 共 14 页 当 a2 时，则 a20， 4a2216a20， 即 a20， a24， 解得2a0， a 20， a 22， g27a0. 解得6a2， 解得 a， 解得7a0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义 求解参数的值(或范围) (4)转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为m，n，则 f(x)a 恒成立f(x)mina，即 ma；f(x)a 恒成 立f(x)maxa，即 na. 五、优化提升与真题演练 1、设全集 2 1,2,
15、3,4,5,3,4|0UAx xxxN，则 U C A （ ） 第 11 页 / 共 14 页 A1,2,3 B3,4,5 C4,5 D 0|3x xx或 【答案】C 【解析】解法 1： 2 |430, |13,Ax xxxNxxxN ，故 U C A 4,5，所以选 C. 解法 2：将1,2,3,4,5x 分别代入 2 430 xx检验，可得1,2,3 A，故 U C A 4,5，所以选 C. 2、若集合 | 32 Ax xa， |(1)()0Bxxaxa，A BR，则a的取值范围为（ ） A2, ) B(,2 C 4 , 3 D 4 , 3 【答案】D 【解析】因为 |32 Ax xa |
16、1Bx x ax a或厔，ABR，所以3 21a a，解得 4 3 a。 3、关于 x 的不等式 axb0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x2)0 的解集是(1，)，a0，且 b a1，关于 x 的不等式(axb)(x2)0 可化为 x b a(x2)0，即(x1)(x2)0，所以不等式的解集为x|1x2故选 C. 4、若不等式 x2ax10 对一切 x 0， 1 2恒成立，则 a 的最小值是( ) A.0 B.2 C. 5 2 D.3 【答案】C 【解析】由于 x 0， 1 2，若不等式 x 2ax10 恒成立， 则 a x 1 x，x 0， 1 2时恒成立， 令 g(x
17、)x 1 x，x 0， 1 2， 易知 g(x)在 0， 1 2上是减函数，则 yg(x)在 0， 1 2上是增函数. 第 12 页 / 共 14 页 yg(x)的最大值是 1 22 5 2. 因此 a 5 2，则 a 的最小值为 5 2. 5、对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2) B.(，2 C.(2，2) D.(2，2 【答案】D 【解析】当 a20，即 a2 时，40 恒成立； 当 a20，即 a2 时， 则有 a20， 2（a2）24 （a2） （4）0， 解得2a2. 综上，实数 a 的取值范围是(2，2. 6、已
18、知函数，如果不等式 的解集为，那么不等式的解集 为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】由的解集是，则 故有，即. 由 解得或 故不等式的解集是，故选 A。 第 13 页 / 共 14 页 7、不等式(x3)(1x)0 的解集为_ 【答案】x|3x1 【解析】(x3)(1x)0(x3)(x1)0，解得3x1，所以不等式的解集为x|3x1 8、已知不等式 ax2bx10 的解集是 1 2， 1 3，则不等式 x 2bxa0 的解集为_ 【答案】(2,3) 【解析】由题意知 1 2， 1 3是方程 ax 2bx10 的两根， 所以由根与系数的关系得 1 2 1 3 b a， 1 2 1 3
19、1 a. 解得 a6， b5， 不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解集为(2,3) 9、若不等式 2kx2kx 3 80 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为_ 【答案】(3,0 【解析】当 k0 时，显然成立； 当k0时， 即一元二次不等式2kx2kx 3 80对一切实数x都成立， 则 k0， k24 2k 3 80， 解得3k0. 综上，满足不等式 2kx2kx 3 80 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(3,0 10(一题两空)设函数 f(x)2x2bxc，若不等式 f(x)0 的解集是(1,5)，则 f(x)_；若对于任意 x 1,3，不等式 f(x)2t 有
20、解，则实数 t 的取值范围为_ 【答案】2x212x10 10，) 【解析】由题意知 1 和 5 是方程 2x2bxc0 的两个根，由根与系数的关系知， b 26， c 25，解得 b 12，c10， 所以 f(x)2x212x10.不等式 f(x)2t 在 x1,3时有解，等价于 2x212x8t 在 x1,3 时有解，只要 t(2x212x8)min即可，不妨设 g(x)2x212x8，x1,3，则 g(x)在1,3上单调递减，所 以 g(x)g(3)10，所以 t10. 11、设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围。 【解析】要使 f
21、(x)m5 在 x1,3上恒成立， 即 mx2mxm60 在 x1,3上恒成立 第 14 页 / 共 14 页 有以下两种方法： 法一：令 g(x)mx2mxm6m x 1 2 23 4m6，x1,3 当 m0 时，g(x)在1,3上是增函数， 所以 g(x)maxg(3)，即 7m60， 所以 m 6 7，所以 0m 6 7； 当 m0 时，60 恒成立； 当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数， 所以 g(x)maxg(1)，即 m60， 所以 m6，所以 m0. 综上所述，实数 m 的取值范围是 ， 6 7. 法二：因为 x2x1 x 1 2 23 40， 又因为 mx2mxm60，所以 m 6 x2x1. 因为函数 y 6 x2x1 6 x 1 2 23 4 在1,3上的最小值为 6 7，所以只需 m 6 7即可 所以实数 m 的取值范围是 ， 6 7.
