1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 41 讲:直线与平面、平面与平面垂直讲:直线与平面、平面与平面垂直 一、课程标准 1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理; 2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 互相垂直,记作 l,直线 l 叫做平 面 的垂线,平面 叫做直线 l 的垂面 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直
2、,则 该直线与此平面垂直 a,b abO la lb l 性质 定理 垂直于同一个平面的两条 直线平行 a b ab 2. 直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂 直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是_0 的角 (2)范围: 0, 2 . 3. 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 第 2 页 / 共 12 页 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; 二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条
3、射线所构成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直 l l 续表 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直 l l l 三、自主热身、归纳总结 1、 已知直线 a,b 和平面 ,且 ab,a,则 b 与 的位置关系为( ) A. b B. b C. b 或 b D. b 与 相交 2、设 m,n 表示两条不同的直线, 表示
4、两个不同的平面,下列命题为真命题的是( ) A. 若 m,则 m B. 若 m,m,则 C. 若 mn,m,则 n D. 若 m,n,则 mn 第 3 页 / 共 12 页 3、若平面 , 满足 ,l,P,Pl,下列命题为假命题的是( ) A. 过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B. 过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 C. 过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D. 过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 4、如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE,AF 及 EF 将这 个正方形折成一个空间图形,使
5、B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H,则在这个空间图形中必有( ) A. AG平面 EFH B. AH平面 EFH C. HF平面 AEF D. HG平面 AEF 5、已知平面 平面 ,直线 l平面 ,则直线 l 与平面 的位置关系为_ 6、如图,在 RtABC 中,ABC90 ,P 为ABC 所在平面外一点,PA平面 ABC,则四面体 PABC 中 直角三角形的个数为_ 7、 如图,在三棱锥 PABC 中,请找出一组能证明 APBC 的条件_ 8、 (2020山东模拟)如图所示,在四个正方体中,l是正方体的一条体对角线,点M,N,P分别为其所 在棱的中点,能得出l 平面MNP的图形为(
6、) A B 第 4 页 / 共 12 页 C D 四、例题选讲 考点一 线面垂直的判定与性质 例 1、如图所示,在四棱锥 PABCD 中,AB平面 PAD,ABCD,PDAD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点,且 DF1 2AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高求证: (1) PH平面 ABCD; (2) EF平面 PAB. 变式 1、如图,S 是 RtABC 所在平面外一点,且 SASBSC,D 为斜边 AC 的中点 (1)求证:SD平面 ABC; (2)若 ABBC,求证:BD平面 SAC. 第 5 页 / 共 12 页 变式 1、如图所示,在四棱锥 P- ABCD 中,AB平
7、面 PAD,ABDC,PDAD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF1 2AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高求证: (1)PH平面 ABCD; (2)EF平面 PAB. 变式 3、如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,已知 ACBC,BCCC1.设 AB1的中点为 D,B1CBC1 E,连结 DE.求证: (1) DE平面 AA1C1C; (2) BC1AB1. 方法总结;1.证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(ab,ab);(3)面面平行的性质(a,a);(4) 第 6 页 / 共 12 页 面面垂直的性质(,a,la,ll).
8、2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性 质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 考点二 面面垂直的判定与性质 例 1、 (江苏省南通市西亭高级中学 2019- 2020 学年高三下学期学情调研)如图,四棱锥 PABCD 的底面为 矩形,AB 2,BC1,E,F 分别是 AB,PC 的中点,DEPA. (1)求证:EF平面 PAD; (2)求证:平面 PAC平面 PDE. 变式 1、 (天津实验中学 2019 届高三模拟)如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,ABAD,CD2AB, 平面 PAD底面 ABCD,PAAD,E 和 F 分
9、别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA底面 ABCD; (2)BE平面 PAD; (3)平面 BEF平面 PCD. 第 7 页 / 共 12 页 变式 2、如图,在四棱锥 PABCD 中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点求证: (1) CE平面 PAD; (2) 平面 EFG平面 EMN. 变式 3、 (2019 无锡期末)四棱锥 PABCD 中,锐角三角形 PAD 所在平面垂直于 平面 PAB,ABAD,ABBC. 求证:(1)BC平面 PAD; (2)平面 PAD平面 ABCD. 方法总结:(1)判定两个平
10、面垂直的方法:利用定义:证明二面角是直二面角;利用判定定理:a,a .(2)面面垂直的证明,一般转化为证线面垂直,而线面垂直的证明,往往需多次利用线面垂直判定 与性质定理,而线线垂直的证明有时需要利用平面解析几何条件 第 8 页 / 共 12 页 考点三 平行与垂直的探索性问题 例 3 如图所示,平面 ABCD平面 BCE,四边形 ABCD 为矩形,BCCE,点 F 为 CE 的中点 (1)证明:AE平面 BDF; (2)点 M 为 CD 上任意一点,在线段 AE 上是否存在点 P,使得 PMBE?若存在,确定点 P 的位置, 并加以证明;若不存在,请说明理由 变式 1、如图,在三棱台 ABC
11、- DEF 中,CF平面 DEF,ABBC. (1)设平面 ACE平面 DEFa,求证:DFa; (2)若 EFCF2BC,试问在线段 BE 上是否存在点 G,使得平面 DFG平面 CDE?若存在,请确定 G 点的位置;若不存在,请说明理由 变式 2、如图,直三棱柱 ABC- A1B1C1中,ACBC1,ACB90 ,D 是 A1B1的中点,F 在 BB1上 (1)求证:C1D平面 AA1B1B; 第 9 页 / 共 12 页 (2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使 AB1平面 C1DF?并证明你的结论 F 为 BB1的中点;AB1 3;AA1 2. 方法总结:平行与垂直中探索性问题的主
12、要途径:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;先通 过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据 条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识 建点 五、优化提升与真题演练 1、(2019 年高考北京卷理数)已知 l,m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断: lm; m; l 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_ 2、如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体, 使 B,C,D 三点重合,
13、重合后的点记为 P,P 点在AEF 内的射影为 O,则下列结论正确的是( ) A. O 是AEF 的垂心 B. O 是AEF 的内心 C. O 是AEF 的外心 D. O 是AEF 的重心 第 10 页 / 共 12 页 3、 (2020 年江苏卷).在三棱柱 ABC- A1B1C1中,ABAC,B1C平面 ABC,E,F 分别是 AC,B1C 的中点 (1)求证:EF平面 AB1C1; (2)求证:平面 AB1C平面 ABB1 4、(2019 年高考江苏卷)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC 求证:(1)A1B1平面 DEC1; (2)BE
14、C1E 第 11 页 / 共 12 页 5、(2018 年高考江苏卷)在平行六面体 1111 ABCDABC D中, 1111 ,AAAB ABBC 求证: (1)AB平面 11 A B C; (2)平面 11 ABB A 平面 1 ABC 6、(2018 全国卷)如图,在三棱锥 PABC 中,ABBC2 2,PAPBPCAC4,O 为 AC 的中 点. 第 12 页 / 共 12 页 (1)证明:PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC2MB,求点 C 到平面 POM 的距离. 7、(2018 浙江卷)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面 ABC,ABC120 ,A1A 4,C1C1,ABBCB1B2. (1)证明:AB1平面 A1B1C1; (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值