1、 概率初步 第17讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、确定事件与随机事件 2、事件发生的可能性大小 3、频率的稳定性 4、频率与概率 5、等可能事件概率的定义 6、等可能事件概率的应用 教学目标 1、通过具体问题，感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不确定事件，知道事 件发生的可能性是有大小的； 2、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能 力； 3、通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法. 4、了解计算一类事件发生可能性的方法，会求等可能事件的概率，体会概率的意义； 教学重点
2、1、体会事件发生的确定性与不确定性. 2、通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳定性，并据此能初步估计 出某一事件发生的可能性大小. 3、应用 P（A）=解决一些实际问题. 教学难点 1、理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，树立一定的随机观念. 2、大量重复试验得到频率的稳定值的分析. 3、应用 P（A）=解决一些实际问题. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能通过具体的事例明白什么是确定事件和随机事件，理解频率与概率的区别 和联系，并能利用统计的数据估算概率发生的大小。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.事件发生可能性大小的判定
3、； 2.频率与概率； 概述 3.等可能事件概率的计算、应用。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 教师要通过具体的问题让学生切实感受到各种不同的事件发生的可能性，并可通过分组实验，让学生 通过具体的游戏过程感受频率的计算方法。 在引入概率的概念时，要让学生注意与频率的区分和联系，并要让学生掌握等可能事件发生的概率的 计算方法。 1 1、必然事件、不可能事件、确定事件：、必然事件、不可能事件、确定事件： 有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件必然事件. 有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件不可能事件. 必然事件与不可能事件统称为确定事件确定
4、事件. 2 2、随机事件：、随机事件： 概率初步 事件发生的可能性 确定事件 必然事件 不可能事件 随机事件 频率的计算 等可能事件发生的概率 知识点 1 事件发生的可能性 二、知识讲解 一、导入 教学过程 有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件不确定事件，也称为随机事件随机事件. 一般地，不确定事件发生的可能性是有大有小的. 1. 在n次重复试验中，不确定事件 A 发生了m次，则比值 m n 称为事件 A 发生的频率频率. 在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性频率的稳定性. 2. 我们把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事
5、件 A 发生的概率概率，记为 p A. 一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率. 3.必然事件发生的概率为必然事件发生的概率为 1,1,；不可能事件发生的概率为；不可能事件发生的概率为 0 0；不确定事件；不确定事件 A A 发生的概率发生的概率 p A是是 0 0 与与 1 1 之间之间 的一个常数的一个常数. . 4.设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能 性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的等可能的. 一般地，如果有一个试验有一般地，如果有一个试验有n种等可能的结果，事件种等可能
6、的结果，事件 A A 包含其中的包含其中的m种结果，那么事件种结果，那么事件 A A 发生的概率为：发生的概率为： . m p A n 【题干】【题干】下列事件是不可能事件是（ ） A.明天会下雨 B.小明数学成绩是 99 分 C.一个数与它的相反数的和是 0 D.明年一年共有 367 天 【答案】【答案】D 【解析】【解析】明天会下雨，可能发生也可能不发生，故 A 是随机事件； 小明数学成绩是 99 分，B 为随机事件； 一个数与它的相反数的和是 0，正确，所以 C 为必然事件； 明年一年共有 367 天，一定不会发生，为不可能事件. 故选 D 例题 1 三、例题精析 知识点 2 频率与概率
7、 【题干】【题干】初一(8)班共有学生 54 人，其中男生有 30 人，女生 24 人，若在此班上 任意找一名学生，找到男 生的可能性比找到女生 的可能性_(填“大”或“小”). 【答案】【答案】大 【解析】【解析】男生有 30 人，女生 24 人，男生所占的比例较大，因而若在此班上任意找一名学生，找到男生的 可能性比找到女生的可能性大. 【题干】【题干】如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得 1 分； 抛出其他结果，甲得 1 分.谁先累积到 10 分，谁就获胜.你认为_获胜的可能性更大. 【答案】【答案】甲 【解析】【解析】同时抛掷两枚硬币有以下情况
8、：(1)同时抛出两个正面；(2)一正一反；(3)一反一正；(4)同时掷 出两个反面.乙得 1 分的可能性为 1 4 ；甲得 1 分的可能性为 3 4 .故甲获胜的可能性更大. 【题干】【题干】色盲是伴 X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检 表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 n 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0
9、.071 0.070 0.069 根据上表，估计在男性中，男性患色盲的频率为 （结果精确到 0.01） 【答案】【答案】0.07 【解析】【解析】观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数 0.07 左右， 故男性中，男性患色盲的概率为 0.07 【题干】【题干】在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、白 例题 5 例题 4 例题 3 例题 2 色小球的数目相同小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后 随机摸出一球，记下颜 色；如此 大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的
10、黑色小 球有 个 【答案】【答案】3 【解析】【解析】设黑色的数目为 x，则黑、白色小球一共有 2x 个，多次试验发现摸到红球的频率是 20%， 则得出摸到红球的概率为 20%， 4 42x =40%，解得：x=3， 黑色小球的数目是 3 个 故答案为：3 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以从实际事例着手，让学生对各种事件发生的可能性大小有所了解，并且通过具 体的实验感受事件发生的频率大小，掌握频率与概率的联系及等可能事件发生的概率大小的计算方法。 1. 指出下列事件中，哪些是必然事件， 哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）两直线平行，内错角相等； （2）将油滴入水中，油会
11、浮在水面上； （3）任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数比座位号是 5 的倍数可能性大； （4）任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数； （5）13 个人中，至少有两个人出生的月份相同； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； （7）在装有 3 个球的布袋里摸出 4 个球 （8）抛出的篮球会下落。 （9）打开电视机，它正在播放动画。 【答案】【答案】随机事件：(4)(6)(9)； 必然事件：(1)(2)(3)(5)(8)； 基础 四 、课堂运用 不可能事件： (7)； 【解析】【解析】根据事件发生的可能性大小判断。 2. 不确定事件发生的可能性未必是 50，可能大些，也可能小些，试按发生
12、的可能性由大到小的顺序，把 下列事件排列起来. 事件一：我的书包里共有 12 本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚). 事件二：我花 2 元钱买了一张彩票，中了大奖，得 500 万元奖金. 事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上. 事件四：这天早晨，我第一个来到教室. 【答案】【答案】事件三，事件一，事件四，事件二 【解析】【解析】这几个事件发生的可能性都可以用数表示出来或估计其大小. (1)摸到数学书这一事件发生的可能性为 1 12. (2)事件二发生的可能性非常小，是发生的可能性最小的. (3)两次抛硬币，有“正正、正反、反正、反反”四种可能，每一种情况发生的可能性均
13、为 1 4 . ( 4)最早到教室的可能性等于班级人数的倒数. 答 ：事件可能性由大到小的顺序为：事件三，事件一，事件四，事件二. 3. 一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球， 记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，甲同学反复大量实验后，根据白球 出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ） A.袋子一定有三个白球 B.袋子中白球占小球总数的十分之三 C.再摸三次球，一定有一次是白球 D.再摸 1000 次，摸出白球的次数会接近 330 次 【答案】【答案】D 【解析】【解析】观察折线统计图发现随着摸球次数的
14、增多白球出现的频率逐渐稳定在某一 33%附近， 白球出现的概率为 33%， 再摸 1000 次，摸出白球的次数会接近 330 次，正确，其他错误， 故选 D 4.王老师对本班 40 名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班 A 型血的人数是（ ） 组别 A 型 B 型 AB 型 O 型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 A.16 人 B.14 人 C.4 人 D.6 人 【答案】【答案】A 【解析】【解析】本班 A 型血的人数为：400.4=16 故选 A 1. 在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验 后发现，摸到黄球的频率
15、稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有（ ） A.15 个 B.20 个 C.30 个 D.35 个 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设袋中有黄球 x 个，由题意得 =0.3， 解得 x=15，则白球可能有 5015=35 个 故选 D 2. 研究 “掷一枚图钉， 钉尖朝上” 的概率， 两个小组用同一个图钉做试验进行比较， 他们的统计数据如下： (1)请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？ (2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？ 【答案】【答案】见解析。 巩 固 【解析】【解析】(1)根据题意，因为次数越多，就越精确， 所以选取试验次数最多的进行计算可得：第一小组所得的概
16、率是 160 400 0.4； 第二小组所得的概率是 164 400 0.41. (2)不知道哪一个更准确.因为试验数据可能有误差，不能准确说明偏向 3.在不透明的袋子中有黑棋子 10 枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同） ，现随机从中摸出 10 枚记下颜色 后放回，这样连续做了 10 次，记录了如下的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 黑棋数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ） A.60 枚 B.50 枚 C.40 枚 D.30 枚 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据试验提供的数据得出： 黑棋子的比例为： （1+3+0
17、+2+3+4+2+1+1+3）100=20%， 所以白棋子比例为：120%=80%， 设白棋子有 x 枚，由题意， 得 =80%， 所以 x=40， 即袋中的白棋子数量约 40 颗 故选 C 4. 端午节吃粽子时，吃到包有红枣的粽子就象征吉祥如意，今年外婆、外公、舅舅来我家与爸爸妈妈、我 一起过端午节，外婆在 12 个粽子中的一个里包了红枣。 （1）我吃了一个粽子能吃到红枣的概率是_； （2）吃粽子时妈妈给每人各分 2 个，如果把这 2 个粽子都吃掉，我能吃到红枣的概率是_，那天他们 都没有吃到红枣，因为外婆和妈妈做了手脚，使我吃到了，在此前提下，我吃第一个粽子就有红枣的概率 是_。 【答案】
18、【答案】 （1） 12 1 （2） 6 1 ， 2 1 【解析】【解析】根据概率公式计算即可。 1. 在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随 机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，右表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（ ） 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 【答案】【答案】C 【解析】【解析】观察表格得：通过
19、多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在 0.6 左右， 则 P白球=0.6 故选：C 2. 某超市为了促销一批新品牌的商品,设立了一个不透明的纸箱,装有 1 个红球、2 个白球和 12 个黄球。并 规定:顾客每购买 50 元的新品牌商品,就能获得一次摸球的机会,如果摸到红球、白球或黄球,顾客就可以分 别获得一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔。甲顾客购此新商品 80 元。 他获得奖品的概率是 ;他得到一把雨伞概率是 ; 得到一个文具盒概率是 ;得到一支铅笔的概率分别是 。 【答案】【答案】1； 1 15 ； 2 15 ； 4 5 ； 【解析】【解析】根据等可能事件发生的概率大小进行计算。 3.
20、如图， 有一个均匀的正二十面体形状的骰子， 其中的 1 个面标有 “1” ， 2 个面标有 “2” ， 3 个面标有 “3” ， 4 个面标有“4” ， 5 个面标有“5” ，其余的面标有“6” 。将这个骰子掷出后， （1） “6”朝上的概率是 。 （2）数字 朝上的概率最大。 拔高 【答案】【答案】 （1） 1 4 （2）5 或 6 【解析】【解析】观察图形计算即可。 4. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共 100 个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个 数的 2 倍少 5 个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 3 10 . （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个
21、球是白球的概率； （3）取走 10 个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）根据题意得：100 3 10 30，则红球有 30 个. （2）设白球有 x 个，则黄球有（2x5）个， 根据题意得 x2x510030，解得 x25. 所以摸出一个球是白球的概率 P 25 100 1 4 ； （3）因为取走 10 个球后，还剩 90 个球，其中红球的个数没有变化，所以从剩余的球中摸出一 个球是红球的概率 30 90 1 3 . 1. 确定事件与随机事件； 2. 事件发生的可能性大小； 课堂小结 2 2 2 2 6 6 1 1 3
22、3 3 3 4 4 4 4 3 3 5 5 3. 频率的计算； 4. 概率的计算 1. 桌上倒扣着背面相同的 5 张扑克牌，其中 3 张黑桃、2 张红桃从中随机抽取一张，则（ ） A.能够事先确定抽取的扑克牌的花色 B.抽到黑桃的可能性更大 C.抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大 D.抽到红桃的可能性更大 【答案】【答案】B 【解析】【解析】A、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本选项错误； B、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确； C、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项错误； D、因为红桃的数量小于黑桃，
23、所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误 故选 B 2. 一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球， 记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，甲同学反复大量实验后，根据白球 出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ） A.袋子一定有三个白球 B.袋子中白球占小球总数的十分之三 C.再摸三次球，一定有一次是白球 D.再摸 1000 次，摸出白球的次数会接近 330 次 【答案答案】D 基础 扩展延伸 【解析解析】观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一 33%附近， 白球出现的概率为 33%，
24、再摸 1000 次，摸出白球的次数会接近 330 次，正确，其他错误， 故选 D 3. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 则绿豆发芽的概率估计值是( ) (A)0.96 (B)0.95 (C)0.94 (D)0.90 【答案答案】B 【解析解析】x=(0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950)70.95， 当 n 足够大时，发芽的频率逐渐稳定于 0.95， 故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是 0.95. 4. 任意掷一枚均匀的骰子。 P(掷出的点数小于 4）= 。 P(掷出的点数是奇数）= 。 P(掷出的点数是 7）= 。 P(掷出的
25、点数小于 7）= 。 【答案答案】 1 2 1 2 01 【解析解析】根据概率公式计算即可。 5. 一只小猫在如图所示的地板砖上随意跑动（每个小正方形除颜色外完全相同） ，那么小猫停在黑色砖上 的概率是_。 【答案答案】 25 7 【解析解析】由图可知，共有 25 块地砖，其中黑色的有 7 块。 故 P（小猫停在黑色砖上）= 25 7 1. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了右边的折线图，那么符合 这一结果的实验最有可能的是（ ） A在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B袋子中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出
26、一个球是黄球 C掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 6 【答案答案】D 【解析解析】解：A、应该在 016 附近波动，故错误； B、黄球的概率是 3 2 0667，故错误； C、应该在 05 附近，故错误 D、正确； 故选 D 2. 一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其它完全相同的小球，其中有 6 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么可以推算出 n 大约是（ ） A.6 B.10 C.18 D.20 【答案答案】见解析 【解析解
27、析】解：由题意可得，6 n100%=30%， 巩固 解得，n=20（个） 故估计 n 大约有 20 个 故选：D 3. 将表示下列事件发生的概率的字母标在下图中： （1）投掷一枚骰子，掷出 7 点的概率 1 P； （2）在数学测验中做一道四个选项的选择题（单选题） ，由于不知道那个是正确选项，现任选一个，做对 的概率 2 P； （3）袋子中有两个红球，一个黄球，从袋子中任取一球是红球的概率 3 P； （4）太阳每天东升西落 4 P； （5）在 1-100 之间，随机抽出一个整数是偶数的概率 5 P. 【答案答案】见解析 【解析解析】(1）根据骰子没有 7 点，所以这种情况不可能发生，可知概率为
28、 0； （2）选择题的答案是 4 选 1，因此其概率为 1 4 ； （3）袋子中摸到红球的概率为 2 3 ； （4）太阳的东升西落是必然事件，因此其概率为 1； （5）由 1-100 之间有 50 个偶数可知随机抽取一个数为偶数的概率为 501 1002 . 试题解析： 1. 在一个不透明的袋子里装有 3 个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同在不允许将球倒出来数的前提 下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再 拔高 随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程小明共摸 100 次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据， 小明估计口袋中白球大约有（
29、） A.10 个 B.12 个 C.15 个 D.18 个 【答案答案】B 【解析解析】小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球， 有 80 次摸到白球， 摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1：4， 口袋中黑球和白球个数之比为 1：4， 3 =12（个） 故选 B 2.下图是甲、乙两个可以自由旋转的转盘，转盘被等分成若干个扇形，并将其涂成红、白两种颜色，转动 转盘. （1）分别计算指针指向红色区域的机会; （2）若要使它们的机会相等，则应如何改变涂色方案? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）甲为 1 2 ，乙为 2 3 ; （2）答案不唯一，只要使红色区域和白色区域的面积之和相
30、等即可 3. 如图是两个全等的含 30角的直角三角形 （1）将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意 图； （2）若将（1）中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的卡片上，洗匀后从中随机抽取一张， 求抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）如图所示： （2）由题意得：轴对称图形有（2） ， （3） ， （5） ， 抽取的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为：3 5 4.小明和妹妹做游戏：在一个不透明的箱子里放入 20 张纸条（除所标字母外其余相同） ，其中 12 张纸条上 字母为 A，8 张纸条上的
31、字母为 B，将纸条摇匀后任意摸出一张，如果摸到纸条上的字母为 A，则小明胜； 如果摸到纸条上的字母为 B，则妹妹胜。 （1）这个游戏公平吗？请说明理由； （2）若妹妹在箱子中再放入 3 张与前面相同的纸条，所标字母为 B，此时这个游戏对谁有利？ 【答案答案】(1）不公平； （2）这个游戏对小明有利 【解析解析】解： （1）游戏不公平，理由如下： P（小明胜）= 20 12 5 3 ，P（妹妹胜）= 20 8 5 2 P（小明胜）P（妹妹） 这个游戏不公平； （2）这个游戏对小明有利理由如下： P（小明胜）= 23 12 ，P（妹妹胜）= 23 11 P（小明胜）P（妹妹胜） 这个游戏对小明有利
32、. 5. 用 10 个球设计一个摸球游戏，使得： （1）摸到红球的机会是 1 2 。 （2）摸到红球的机会是 1 2 ，摸到黄球的机会是 2 5 。 （3）你还能设计一个符合下列条件的游戏吗？为什么？ 摸到红球的机会是 1 2 ，摸到黄球的机会是 2 5 ，摸到绿球的机会是 3 10 。 【答案答案】见解析。 【解析解析】 （1）红球的个数为：10 1 2 =5， 故设计的摸球游戏为：5 个红球，5 个其他颜色的球； （2）红球的个数为：10 1 2 =5，黄球的个数为：10 2 5 =4，其他颜色的球的个数为：10-5-4=1， 故设计的摸球游戏为：5 个红球，4 个黄球，1 个其他颜色的球； （3） 1 2 + 2 5 + 3 10 1， 不能设计 教学反思
