1、 全等图形的认识 第12讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、三角形及三角形的内角和 2、三角形的三边关系 3、三角形的三线 4、全等三角形的概念及表示方法 5、全等三角形的性质 6、全等三角形的性质的应用 教学目标 1、理解三角形的相关概念. 2、能够按三角形的边和角对三角形进行分类，判断三角形的形状. 3、了解全等图形、全等多边形、全等三角形 4、掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质. 教学重点 1、三角形边角的基础知识. 2、全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用. 教学难点 1、理解三角形的角平分线
2、、中线、高线都是线段而不是直线或线段. 2、平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响. 【教学建议】【教学建议】 本节课要让学生能够熟悉三角形的概念，并对三角形的边、角关系及其中的重要线段有初步认识，为 全等图形的学习打下良好的基础；然后可以结合实际生活中的例子让学生对全等图形有基本的概念，理解 全等图形的边角关系，并利用全等图形的性质解决相关问题。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.三角形的内角和及三边关系的计算； 2.三角形中的重要线段； 3.全等图形的认识及基本应用。 概述 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 由三角形的定义入手，引导学生探索三角形的
3、边角关系，并且利用三角形的内角和与三边关系进行相关 计算；然后通过作图让学生理解三角形中的三种重要线段：中线、高线、角平分线的概念及性质，最后引 入全等图形的概念，让学生有层次地逐步深入地理解所学知识。 1.三角形的定义； 三角形 边角关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 内角和为180 三角形中的特殊线段 中线 高线 角平分线 全等图形 全等三角形的性质及应用 全等图形的定义 知识点 1 三角形的边角关系 二、知识讲解 一、导入 教学过程 2.三角形的三边关系： （1）两边之和大于第三边； （2）两边之差小于第三边； 3.三角形的内角和。 1.三角形的中线； 2.三角形的角平分线；
4、3.三角形的高。 1.全等图形的性质； 2.全等三角形的概念及性质。 【题干】下面是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( ) A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】三条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形角三角形。 故选 C 【题干】【题干】已知 a3cm，b6cm，则下列长度的线段中，能与 a，b 组成三角形的是 ( ) A. 2cm B. 6cm C. 9cm D. 11cm 【答案】【答案】B 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 3 全等图形 知识点 2 三角形中的线段 【解析】【解析】考查三角形的三边关系。 第三边应
5、满足小于两边之和大于两边之差。故选 B。 【题干】【题干】下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对 应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】考查全等图形的性质。 【题干】【题干】如图，按规定，一块横板中 AB、CD 的延长线相交成 85角，因交点不在板上，不便测量，工人师 傅连接 AC，测得BAC=32，DCA=65，此时 AB、CD 的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？ 【答案】【答案】不符合规定，理由见解析。 【解析】【解析】解：不符合规定如图，延长 AB、CD 交于
6、点 O， AOC 中，BAC=32，DCA=65， AOC=180-BAC-DCA=180-32-65=8385 不符合规定 【题干】【题干】如图所示， （1）在图 a 中把正方形分成四个全等的三角形； （2）在图 b 中把正五边形分成五个全 例题 5 例题 4 例题 3 等的三角形； （3）在图 c 中把正六边形分成六个全等的三角形？（4）通过（1） （2） （3）的解答，你发现 了什么? 【答案】【答案】过正 n 边形中心的对角线，就能得到 n 个全等三角形 【解析】【解析】解： （1）连接相对的两角，让两条对角线交叉，分成四个三角形； （2）连接正五边形的所有相对的角的对角线就有 5 个
7、全等三角形； （3）连接过正六边形的中心的对角线，就能得到六 个全等三角形 （4）过正 n 边形中心的对角线，就能得到 n 个全等三角形 【教学建议】【教学建议】 在学习过程中注意几类问题之间的联系与综合应用，要让学生认识到各个知识点并不是独立存在的， 要能够将所学的内容融会贯通进行应用解题。 1. 在ABC 中，ABC=123，则C=_ 【答案】【答案】90 【解析】【解析】解：设A=x，则B=2x，C=3x， 由三角形内角和可知：x+2x+3x=180 解得：x=30 C=3x=90 2. 下面四个图形中，线段 BD 是ABC 的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】【答案】A 【
8、解析】【解析】考查三角形高的定义。 3. 如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成 4 块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给 基础 四 、课堂运用 出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】 1. 如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则1+3= 【答案】【答案】90。 【解析】【解析】由图可知，两个三角形全等。 故1+3=180- 90=90 2. 把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 巩固 3. 如图，ABDEBC，AB3cm，BC6cm， （1）求 DE 的长。 （2
9、）若 A、B、C 在一条直线上，则 DB 与 AC 垂直吗？为什么？ 【答案】【答案】 （1）3cm； （2）垂直，理由见解析。 【解析】【解析】解：(1)ABDEBC DB=BC=6cm，BE=AB=3cm DE=BD-BE=6-3=3cm （2）ABDEBC ABD=EBC 又A、B、C 在一条直线上 ABD+EBC=180 ABD=EBC=90 DB 与 AC 垂直 1 如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB=20cm，BC=16cm，点 E 在边 AB 上，AE=6cm，如果点 P 从点 B 出发在线 段 BC 上以 2cm/s 的速度向点 C 向运动，同时，点 Q 在线段 CD 上
10、从点 C 到点 D 运动则当BPE 与CQP 全 等时，时间 t 为 s. 【答案】【答案】1 或 4 【解析】【解析】解：当BPECQP 时，BP=CQ=2t， 拔高 C B A D E BC=16cm，PC=BE=16-2t， 又AE=6cm，AB=20cm， PC=BE=16-2t=14， 故 t=1； 当BPECPQ 时，BP=CP=2t， BC=16cm，4t=16，故 t=4. 所以 t=1 或 4. 2. 野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把 饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中小丽有四张三角形的铁皮（如图所示） ，她想选择其中的
11、一张铁皮代 替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能 正好落在“锅”中她的选择最多有（ ） A4 种 B3 种 C2 种 D1 种 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据翻身后饼也正好能落入锅中，考虑将原三角形分成两个三角形即可.如图，第一个三角形沿直 角三角形作斜边上的中线切， 第二个三角形在钝角处沿20角的另一边切， 第三个三角形在60角处沿20角 的另一边切，而第四个无法分成两个等腰三角形，故她的选择最多有 3 种. 3. 已知：如图 A，ABC 各角的平分线 AD，BE，CF 交于点 O （1）试说明BOC=90+ 1 2 BAC；
12、 （2）如图 B，过点 O 作 OGBC 于 G，试判断BOD 与COG 的大小关系（大于，小于或等于） ，并说明理由 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】（1）证明：OB、OC 分别平分ABC，ACB， OBC= 1 2 ABC，OCB= 1 2 ACB， BOC=180OBCOCB =180 1 2 （ABC+ACB） =180 1 2 （180BAC） =18090+ 1 2 BAC=90+ 1 2 BAC； （2）解：BOD=COG理由如下： ABC 各角的平分线 AD，BE，CF 交于点 O， ABO= 1 2 ABC，BAO= 1 2 BAC，OCG= 1 2 ACB， BO
13、D=ABO+BAO= 1 2 （ABC+BAC）= 1 2 （180ACB）=90OCG， OGBC 于 G，OGC=90， COG=90OCG， BOD=COG 1 三角形的定义； 2 三角形的三边关系； 3 三角形的内角和； 4 三角形中的特殊线段； 5 全等图形的定义和性质； 6 全等三角形的性质及应用。 1. 不一定在三角形内部的线段是( ) 基础 扩展延伸 课堂小结 A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.三角形的中位线 【答案】【答案】C 【解析】【解析】钝角三角形的高有两条在三角形外部； 直角三角形的高有两条是三角形的直角边。 故选 C 2. 如图，在ABC
14、中，B67，C33，AD 是BAC 的角平分线，则CAD 的度数为( ) A.40 B.45 C.50 D.55 【答案答案】A 【解析解析】解：BAC=180- 67- 33=80 AD 是BAC 的角平分线 CAD=40 3. 图中所示的是两个全等的五边形，=115，d=5，指出它们的对应顶点对应边与对应角，并说出图 中标的 a，b，c，e， 各字母所表示的值 【答案答案】见解析。 【解析解析】解：对应顶点：A 和 G，E 和 F，D 和 J，C 和 I，B 和 H， 对应边：AB 和 GH，AE 和 GF，ED 和 FJ，CD 和 JI，BC 和 HI； 对应角：A 和G，B 和H，C
15、和I，D 和J，E 和F； 两个五边形全等， a=12，c=8，b=10，e=11，=90 1.如图，已知ABC 中，AB=2，BC=4 （1）画出ABC 的高 AD 和 CE； （2）若 AD= 2 3 ，求 CE 的长 【答案答案】 （1）详见解析； （2）CE=3 【解析解析】 （1）如图： （2）SABC= 2 1 ADBC= 2 1 ABCE， 2 1 2 3 4= 2 1 2CE，CE=3 2. 如图，在 ABC 中， ABC、 ACB 的平分线交于点 O。 (1)若ABC=40， ACB=50，则BOC=_ (2)若ABC+ ACB=lO0，则BOC=_ (3)若A=70，则BO
16、C=_ (4)若BOC=140，则A=_ (5)你能发现 BOC 与 A 之间有什么数量关系吗?写出并说明理由。 【答案答案】(1)、135；(2)、130；(3)、125；(4)、100；(5)、BOC=90+0.5A 【解析解析】解：考查角平分线的计算。 3. 如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，若1232853， （1）求1，2，3 的度数， （2）求的度数。 巩固 【答案答案】(1) 1140，225，315； （2）80 【解析解析】 （1）由1，2，3 之间的比例关系及利用三角形内角和可求出1，2，3 的度数； （2）由 全等三角形的性质求E
17、BC，BCD 的度数； （3）运用外角求的度数. 1232853，设128，25，33， 285336180，5 即1140，225，315 ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的， ABEADCABC 2ABE，3ACD EBCBCD2223503080 1. 用 12 根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的 个数是 个 【答案答案】3 【解析解析】考查三角形的三边关系。 2. 已知：如图 1，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形 如图 1 的图形称之为“8 字形” 试解 答下列问题： （1）在
18、图 1 中，请直接写出A、B、C、D 之间的数量关 ； （2）在图 2 中，若D=40，B=36，DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分 别相交于 M、N利用（1）的结论，试求P 的度数； 拔高 （3）如果图 2 中D 和B 为任意角时，其他条件不变，试问P 与D、B 之间存在着怎样的数量关系？ 并说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）A+D+AOD=C+B+BOC=180，AOD=BOC，A+D=C+B； （2）DAP+D=P+DCP， PCB+B=PAB+P， DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，DAP=PAB
19、，DCP=PCB，+得： DAP+D+PCB+B=P+DCP+PAB+P， 即 2P=D+B， 又D=40 度， B=36 度， 2P=400 +36，P=38； （4）关系：2P=D+B 由D+1+2=B+3+4；由ONC=B+4=P+2， +得：D+2B+21+23=B+23+2P+21，D+2B=2P+B，即 2P=D+B 3. （1）如图（1） ，已知，在ABC 中，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若B=30，C=50求 DAE 的度数； （2）如图（2） ，已知 AF 平分BAC，交边 BC 于点 E，过 F 作 FDBC，若B=x，C=（x+36）， CAE= （含 x
20、的代数式表示） 求F 的度数 【答案答案】(1)DAE=10； （2）72x，F=18 【解析解析】考查三角形中的角度计算。 4.如图， 用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小， 其中相邻两螺丝的距离依次为 2、 3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两个螺丝间的距离的最 大值为 【答案答案】见解析 【解析解析】7，若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种 三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可已知 4 条木棍的四边长为 2、3、4、6； 选 2+3、4、6 作为三角形，则三边长为 5、4、6；6-546+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距 离为 6； 选 3+4、6、2 作为三角形，则三边长为 2、7、6；6-276+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距 离为 7； 选 4+6、2、3 作为三角形，则三边长为 10、2、3；2+310，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为 7 教学反思
