1、 整式的乘法 第4讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.单项式的乘法法则； 2.单项式与多项式相乘的运算法则； 3.多项式与多项式相乘的运算法则； 4.定义新运算与规律探究。 教学目标 经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算。 教学重点 整式的乘法运算。 教学难点 探究理解整式乘法的运算法则。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生通过自主探究理解应用单项式与单项式乘法、单项式与多项式乘法及多项式 与多项式乘法的运算，结合七年级上册所学整式加减法进行区别记忆，让学生能够理解区分不同的运算法 则，并能
2、够利用所学运算方法解决一些实际应用问题。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 单项式乘以单项式中系数与指数的变化； 2. 单项式与多项式相乘时的运算方法； 3.多项式与多项式相乘的运算问题。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关整式乘法的计算，要先带领学生复习回顾整式的相关概念，如次数、系数的判断及整式的加减；然后 通过探索使学生能够充分理解运算法则，并能区分不同的运算再应采用相应的运算方法解决问题。特别要 注意引导学生观察各类运算中系数与次数的不同变化，注意典型问题的着重练习，最终达到能够灵活运用 各种运算法则进行计算并解决实际问题的程度。 1.整式
3、：单项式和多项式统称为整式； 2.单项式的次数、系数的确定； 3.单项式乘以单项式的运算法则： 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 整式的乘法 单项式与单项式乘法 单项式与多项式乘法 多项式与多项式乘法 知识点 1 单项式与单项式相乘 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1.多项式的次数与系数的确定； 2.单项式乘以多项式的运算法则： 根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 1. 运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 等式的图形验证。 【题干】计算 32 32xx 的结果是（ ） A、 5
4、 5x B、 5 6x C、 6 6x D、 9 6x 【答案】【答案】B 【解析】【解析】单项式与单项式相乘，系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因 式。 3x3 2x2= 6x5 故选 B。 【题干】【题干】 2 523xxx的计算结果为（ ） A、 32 10515xxx B、 32 10515xxx C、 32 10515xxx D、 32 1053xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 5x（2x2 x + 3） = 5x 2x2 (5x) x + (5x) 3 = 10 x3+ 5x2 15x 故选 A。
5、例题 2 例题 1 三、例题精析 n 知识点 3 多项式与多项式相乘 n 知识点 2 单项式与多项式相乘 【题干】【题干】如图，矩形 ABCD 的面积为 （用含 x 的代数式表示） 。 【答案】【答案】x2+ 5x + 6。 【解析】【解析】矩形面积=长宽。 矩形 ABCD 的面积为：(x + 2)(x + 3) = x x + 2 x + x 3 + 2 3 = x2+ 2x + 3x + 6 = x2+ 5x + 6 【题干】【题干】化简求值(3x 2y)(y 3x) (2x y)(3x + y) ，其中x = 1，y = 2。 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：原式= 3xy
6、 9x2 2y2+ 6xy （6x2+ 2xy 3xy y2） = 9x2 2y2+ 9xy 6x2+ xy + y2 = 15x2+ 10 xy y2 将x = 1，y = 2代入，得： 原式= 15 12+ 10 1 (2) (2)2 = 15 20 4 = 39 【教学建议】 首先针对整式运算中容易出错的问题，比如去括号、系数指数变化问题着重讲解练习，使学生能够完全掌 握整式乘法运算的运算方法； 其次要注意整式运算在实际问题中的应用， 如面积计算问题、规律探索题等。 四 、课堂运用 例题 4 例题 3 1. 如图，已知四边形 ABCG 和四边形 CDEF 都是长方形，则它们的面积之和为（
7、 ） A、510 xy B、5.5xy C、6.5xy D、3.25xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题可得： = 1 5x 3y + x 2y = 6 5xy 故选 C。 2.已知 2 1ab ，求 253 aba babb的值。 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：原式 = 2 5 ( ) 3 ( ) = 3 6+ 2 4+ 2 = ( 2)3+ ( 2)2+ 2 将 2= 1代入得：原式= (1)3+ (1)2+ (1) = 1 + 1 1 = 1 3.已知(x + )(x2 x + )的积中不含x2和 x项，求 (x + )(x2 x + )的值。 【答案】【答案】
8、x3+ 1。 【解析】【解析】解：(x + )(x2 x + ) = x3 x2+ x + x2 x + = x3+ ( 1)x2+ ( )x + 积中不含x2和 x项 1 = 0， = 0 即 = 1， = = 1 (x + )(x2 x + ) = (x + 1)(x2 x + 1) = x3 x2+ x + x2 x + 1 = x3+ 1 基础 1. 已知两个单项式3x2y与2x3y3的积是 mx5yn，求mn的值 【答案】【答案】-3。 【解析】【解析】解：3x2y (2x3y3) = 6x5y4 m = 6，n = 4 m + n = 6 + 4 = 2 2. 如图，是变压器中的
9、L 型硅钢片，其面积为（ ） A B C4ab D 22 44aabb 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将不规则的图形面积转化为规则图形的面积和。 原图形面积= (2 ) + (2 + ) = 2 2+ 2 = 4 2 故选 B。 3.已知：若m2+ m 1 = 0，求m3+ 2m2+ 2017的值。 【答案】【答案】2018。 【解析】【解析】解：m3+ 2m2+ 2017 = m3+ m2+ m2+ 2017 = m(m2+ m) + m2+ 2017 m2+ m 1 = 0 m2+ m = 1 m(m2+ m) + m2+ 2017 = m + m2+ 2017 = 1 + 2017
10、 = 2018 22 4ab 2 4abb 巩固 1. 为了交通方便，在一块长为 am，宽为 bm 的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平 行 四 边 形 ， 道 路 的 宽 均 为 1m( 如 图 ) ， 则 余 下 可 耕 种 土 地 的 面 积 是 _m 2. 【答案】【答案】abab1 【解析】【解析】解：剩余图形面积为：( 1)( 1) = （ + 1）m 2。 2已知 22 116xayxbyxxyy，求整式32abab的值 【答案】【答案】-45 【解析】【解析】解：(x + y)(x+ y) = x2+ xy + xy + y2 + = 11 = 6 3( +
11、) 2 = 3 (11) 2 6 = 45 3. 请看杨辉三角（1） ，并观察下列等式（2） ： 根据前面各式的规律，则（a+b） 6= 。 【答案】【答案】 6+ 6 5 + 15 4 2+ 20 3 3+ 15 2 4+ 6 5+ 6 【解析】【解析】运算结果为多项式，计算多项式的各项系数和次数。 观察杨辉三角可知：( + )6运算结果应为 7 项的多项式，且各项系数分别为： 1 6 15 20 15 6 1 ( + )6= 6+ 6 5 + 15 4 2+ 20 3 3+ 15 2 4+ 6 5+ 6 课堂小结 拔高 1 单项式与多项式相乘； 2 单项式与多项式相乘； 3 多项式与多项式
12、相乘； 4 整式乘法运算中实际问题中的应用。 1. 计算 22 35aba b的结果的是（ ） A、 22 8a b B、 33 8a b C、 33 15a b D、 22 15a b 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：3 2 5 2 = 15 3 3 故选 C 2. 计算： 3 2222 22aaba b 【答案答案】4 7 8 【解析解析】解：(2 2) ( 2)3 (2 2 2) = 2 2 3 6 2 2 2= 4 7 8 3.先化简，再求值：，其中， 【答案答案】见解析。 【解析解析】解：原式= 15 2 5 2 5 2 3 2 + 5 = 12 2 6 2 将 = 1 2，
13、 = 1 3代入得， 原式= 12 2 6 2= 1 4 1. 已知 + = 3， = 2，则代数式（ 2） （ 2）的值是 。 【答案答案】3 【解析解析】解：( 2)( 2) = + 4 = 2 3 + 4 = 3 2. 已知：若 2 10mm ，求 32 22014mm的值 )53() 13(5 2222 baababba 2 1 a 3 1 b 巩固 基础 扩展延伸 【答案答案】见解析 【解析解析】解： m2+ m 1 = 0 m2+ m = 1 m3+ 2m2+ 2014 = m(m2+ m) + m2+ 2014 = m2+ m + 2014 = 2015 3. 对于任何实数，我们
14、规定符号 c a d b =bcad ，例如： 3 1 4 2 =3241=2 （1）按照这个规律请你计算 3 2 5 4 的值； （2）按照这个规定请你计算，当013 2 aa时， 2 1 a a 1 3 a a 的值. 【答案答案】22；1 【解析解析】解： （1）|2 4 35| = 2 5 3 4 = 22； （2）| + 1 3 2 1| = ( + 1)( 1) 3 ( 2) = 2 1 3 2+ 6 = 2 2+ 6 1 2 3 + 1 = 0 2 3 = 1 2 2+ 6 1 = 2( 2 3 ) 1 = 2 1 = 1 1. 若实数 a、b 满足 + = 5， 2 + 2=
15、10，则 的值是（ ） A-2 B2 C-50 D50 【答案答案】A 【解析解析】解: 2 + 2= ( + ) = 10 + = 5 = 10 5 = 2 故选 A 拔高 2. 当 m、n 为何值时，1 2xx(x + m) + nx(x + 1) + m的展开式中，不含有 2 x 和 3 x 的项？ 【答案答案】n = 1 m = 1 【解析解析】解：1 2xx(x + m) + nx(x + 1) + m = 1 2xx 2 + xm + nx2+ nx + m = 1 2x(n + 1)x 2 + (m + n)x + m = 1 2 (n + 1)x3+1 2 (m + n)x2+
16、1 2mx 展开式不含x3和x2 n + 1 = 0，m + n = 0 n = 1 m = 1 当n = 1 m = 1时展开式中不含x3和x2项。 3. 定义一种新运算：观察下列式： 13=14+3=7 3（-1）=34-1=11 54=54+4=24 4（-3）=44-3=13 （1）请你想一想：ab= ； （2）若 ab，那么 ab ba（填入“=”或“” ） （3）若 a（-2b）=4，请计算 （a-b）（2a+b）的值 【答案】【答案】（1）4 + ； （2） ； （3）6。 【解析】解：【解析】解：（1） = 4 + ; （2） = 4 + ; = 4 + 4 + 4 + 即 （3） （ 2 ） = 4 + （ 2 ） = 4 2 = 2 （ ） （2 + ） = 4（ ） + (2 + ) = 4 4 + 2 + = 6 3 = 3(2 ) = 3 2 = 6 教学反思
