1、 特殊角（30，45，60）的三角函数值 第2讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.特殊角（30，45，60）的三角函数值 2.由特殊三角函数值求角 3.三角函数值计算 教学目标 1.掌握特殊角（30，45，60）的三角函数值 2.掌握三角函数的计算 教学重点 能熟练掌握三角函数的计算 教学难点 能熟练掌握锐角三角函数的计算 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角（30，45，60）的三角函数值并能进行相关的 运算，能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要
2、帮助 学生积累一些基本的直角三角形模型，为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 特殊三角函数值的记忆。 2. 特殊三角函数值的混合运算。 3.实际问题中的三角函数值的运用。 【知识导图】【知识导图】 特殊角的三角函数值 由特殊角求三角函数值 由特殊三角函数值求角 三角函数值计算 概述 【教学建议】【教学建议】 有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容，常见的考法有两种：一种是直接考特殊角三角函数值的相关 运算；一种是在解直角三角形的综合题中，与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。 在教学中， 一要抓好学生的记忆关； 二是要
3、给学生储备典型的直角三角形模型 （如： 背靠背型和母子型等） 。 三角函数 30 45 60 记忆方法 asin 2 1 2 2 2 3 一二三 acos 2 3 2 2 2 1 三二一 atan 3 3 1 3 三九二十七 示意图 正弦与余弦的分 母都是 2,正切的 分母是 3,分子 是 根 号 对 应 的 数. 注意：注意：对于正弦值，分母都是 2，分子按角度增加分别为1，2与3对于余弦值，分母都是 2，分子 按角度增加分别为3，2与1对于正切，60 度的正切值为3，当角度递减时，分别将上一个正切 值除以3，即是下一个角的正切值 三角函数 30 45 60 教学过程 一、导入 二、知识讲解
4、 知识点 1 特殊角的三角函数值 知识点 2 由特殊三角函数值求角 asin 2 1 2 2 2 3 acos 2 3 2 2 2 1 atan 3 3 1 3 1. 运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行. 2. 强调：（sin60） 2用 sin260表示，即为（sin60）（sin60） 【题干】下列各式正确的是（ ） A. cos60 0sin450tan450 B. sin450cos600tan450 C. cos60 0tan450sin450 D. tan450cos600sin450 【答案】【答案】A 【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即
5、可作出判断. 2 1 60cos， 2 2 45sin，145tan 60cos45sin45tan 故选 A. 【题干】【题干】已知为锐角，sin（20）= 3 2 ，则=（ ） A20 B40 C60 D80 【答案】【答案】D 知识点 3 三角函数值的计算 三、例题精析 例题 1 例题 2 【解析】【解析】为锐角，sin（20）= 3 2 ， 20=60， =80， 故选 D 【题干】【题干】计算 5sin30+2cos 245-tan260的值是( ) A.2 B. 1 2 C.- 1 2 D.1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果. 5si
6、n30+2cos 245-tan260 2 1 3 2 1 2 2 5 )3() 2 2 (2 2 1 5 22 故选 B. 【题干】【题干】当锐角 a60时，cosa 的值（ ） A小于 1 2 B大于 1 2 C大于 3 2 D大于 1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】解：当角为锐角时，角越大，则其余弦值越小. 故选 A 【题干】【题干】在ABC 中，若 13 |sin|cos| 0 22 AB，则C_. 【答案】【答案】120 例题 3 例题 4 例题 5 【解析】【解析】因为| 0a ，且 13 |sin|cos| 0 22 AB，所以 11 sin0sin 22 33 cos0c
7、os 22 AA BB ，又因为 13 sin30,cos3030120 22 ABC 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重难点放在特殊角的三角函数值及其运算上，先把例题讲解清 晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的积累。 1. 计算sin45的结果等于( ) A. B.1 C. D. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】原式=2 2 2 =1故选 B 2.若 090，且 4sin 23=0，则等于（ ） A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据 090可知为锐角，再根据 sin60=即可求解 解：090，4sin 23
8、=0，sin= =60 故选 C 3.计算：tan60+2sin452cos30的结果是（ ） A2 B C D1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】原式=+= 2 2 2 2 1 2 四 、课堂运用 基础 故选：C 1.sin60的相反数是（ ）。 A 2 1 B 3 3 C 2 3 D 2 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及相反数的定义求解即可. 2 3 60sin，相反数为 2 3 ，故选 C. 2.若 090，且 4sin 23=0，则等于（ ） A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据 090可知为锐角，再根
9、据 sin60=即可求解 解：090，4sin 23=0，sin= =60 故选 C 3.RtABC 中,C=900,sinA 和 cosB 是关于 x 的方程 kx 2kx+1=0 的两个根,求B 的度数. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】sinA 和 cosB 是关于 x 的方程 kx 2kx+1=0 的两个根，由根与系数的关系有 sincos1 k AB k 因90C，所以90AB ，所以90AB，于是 sinsin 90cosABB 所以有2cos1B ，即 1 cos 2 B 因为090b，所以60B 1.如图，POQ=90，边长为 2cm 的正方形 ABCD 的顶点 B 在
10、 OP 上，C 为 CQ上，且OBC=30，分 别求点 A，D 到 OP 的距离 巩固 拔高 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】过点 A、D 分别作 AEOP，DFOP，DGOQ，垂足分别为 E、F、G 在正方形 ABCD 中，ABC=BCD=90OBC=30，ABE=60 在 RtAEB 中，AE=ABsin60=2 3 2 =3（cm）四边形 DFOG 是矩形，DF=GO OBC=30，BCO=60，DCG=30 在 RtDCG 中，CG=CDcos30=2 3 2 =3（cm）在 RtBOC 中，OC= 1 2 BC=1 2.先化简，再求值： ) 2 52 2( 4 2 2 x x
11、 x x x ，其中 x2sin601 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】原式) 2 52 2 4 ( )2)(2( 2 2 x x x x xx x 2 ) 1( 1 x 。 当 x2sin60 131 时，原式 3 1 113 1 2 ）（ 3.在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，B=30，C=45，BD=10，求 AC 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】AD 是 BC 边上的高，ABD 和ACD 都是直角三角形 AD BD =tan30，BD=10， AD=10 3 3 AD AC =sinC， AC= 10 3 10 6 3 sin32 2 AD C 30 Q P O
12、D C B A 课堂小结 1特殊角的三角函数值：（填表并画出相应的示意图） 三角函数 30 45 60 asin 2 1 2 2 2 3 acos 2 2 2 1 atan 3 3 1 示意图 2特殊角的三角函数值得运算： 注意：（sin60） 2用 sin260表示，即为（sin60）（sin60） 1. 2sin60的值等于（ ） A1 B C D 2 3 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】2sin60=2 3 2 =3，故答案选 C 2. 计算：tan60+2sin452cos30的结果是（ ） A2 B C D1 【答案答案】C 【解析解析】原式=+= 故选：C 拓展延伸 基础
13、3在ABC 中，若|cosA 1 2 |(1tanB)20，则C 的度数是( ) A45 B60 C75 D105 【答案答案】C 【解析解析】根据三角函数值倒推角，易得A 和B 的度数，从而求得C 的度数. 1.在ABC 中，A30， sinB 3 2 ，AC23，则 AB 【答案答案】4 【解析解析】据三角函数值倒推角，B 的度数,从而确定C 的度数，然后根据三角函数易得 AB=4. 2.计算：( 1 2 )14cos60 |3|9 【答案答案】4 【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可. 3.已知 sinA，sinB 是方程 4x 2-2mx+m-1=0 的两个实根，且A，B 是直角三
14、角形的两个锐角，求： （1）m 的值；（2）A 与B 的度数 【答案答案】 见解析 【解析解析】 根据根与系数的关系以及直角三角形中两个锐角三角函数之间的关系， 易得： m=22+1， A=45 ， B=45. 1.如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N，求 tanANE 的值 巩固 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】设正方形的边长为 2a， DHx，则 CH 2ax，由翻折的性质，DE 1 2 AD 1 2 2aaEH CH2ax，在
15、 RtDEH 中，DE 2 DH2EH2，即 a2x2(2ax)2，解得 x3 4 a，MEHC 90， AENDEH90ANEAEN90ANEDEH， tanANEtanDEH DH DE 3 4 a a 3 4 2.先化简，再求值：（1 1 1 a ） 12 2 aa a ，其中a=sin60. 【答案答案】 见解析 【解析解析】先通分，然后进行四则运算，最后将 a=sin60=1/2 代入即可求得答案 解：原式=（ 1 1 a a 1 1 a ） a a 2 ) 1( = 1a a a a 2 ) 1( =a+1 把a=sin60= 2 3 代入 原式=1 2 3 = 2 23 3.如图
16、，由于水资源缺乏，B、C 两地不得不从黄河上的扬水站 A 处引水，这就需要在 A、B、C 之间铺设 地下输水管道有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在 图（2）中，ADBC 于 D；在图（3）中，OA=OB=OC为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺 设线路应尽量缩短已知ABC恰好是一个边长是 a 的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案 最好 【答案答案】 见解析 【解析解析】（1）所示方案的线路总长为 AB+BC=2a （2）在 RtABD 中，AD=ABsin60= 3 2 a， （2）所示方案的线路总长为 AD+BC=（ 3 2 +1）a （3）延长 AO 交 BC 于 E，AB=AC，OB=OC，OEBC，BE=EC= 2 a 在 RtOBE 中，OBE=30，OB= cos30 BE = 3 3 a （3）所示方案的线路总长为 OA+OB+OC=3OB=3a 比较可知，3a（ 3 2 +1）a2a，图（3）所示方案最好 教学反思
