【BSD版春季课程初三数学】第12讲:二次函数综合学案(教师版)

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1、 二次函数综合 第12讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 教学目标 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型 教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题 教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合,是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、 归纳并反思这些问题的常用处理方法,学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的,形成有效的解题策略。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难: 1

2、. 二次函数中平行四边形的存在性问题; 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题; 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数综合 二次函数与平行四边形 二次函数与等腰三角形 二次函数与相似三角形 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一,对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容,函 数可与几何图形很好地综合,可以全面考察学生多方面的知识和能力,在中考数学试卷中,二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要,在教学中,教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。 平行四边形动点问题一

3、般分为三个定点一个动点(简称三定一动)和两个定点两个动点(两定两动)这两 种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论;求解的方法主要有代数方法(利用解析式,两点间距 离公式,中点坐标),几何方法(构造全等三角形,相似三角形)等。 处理二次函数中的等腰三角形,常用的模型有两种:一种是“两圆一线”,另一种是“暴力法”(用两点 间距离公式硬算) 常需要分类讨论,一般是固定一个三角形,让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种: 1.导边处理(“SAS”法) 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽; 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理(“AA”法) 第

4、一步:先找到一组关键的等角; 第二步,另两个内角分两类对应相等. 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与平行四边形 知识点 2 二次函数与等腰三角形 知识点 3 二次函数与相似三角形 三、例题精析 【题干】如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 yax 22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),经过点 A 的直线 l:ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD 4AC (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示); (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点,若ACE

5、 的面积的最大值为 5 4 ,求 a 的值; (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点,点 Q 在抛物线上,以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成 为矩形?若能,求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由 图 1 备用图 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)由 yax 22ax3aa(x1)(x3),得 A(1, 0) 由 CD4AC,得 xD4所以 D(4, 5a) 由 A(1, 0)、D(4, 5a),得直线 l 的函数表达式为 yaxa (2)如图 1,过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F 设 E(x, ax 22ax3a),F(x, axa),那么 EFy EyFax 2

6、3ax4a 由 SACESAEFSCEF , 得ACE 的面积的最大值为解方程,得 (3)已知 A(1, 0)、D(4, 5a),xP1,以 AD 为分类标准,分两种情况讨论: 如图 2,如果 AD 为矩形的边,那么 AD/QP,ADQP,对角线 APQD 由 xDxAxPxQ,得 xQ4 11 ()() 22 EAEC EF xxEF xx 1 () 2 CA EF xx 2 1 (34 ) 2 axaxa 2 1325 () 228 a xa 25 8 a 255 84 a 2 5 a 例题 1 当 x4 时,ya(x1)(x3)21a所以 Q(4, 21a) 由 yDyAyPyQ,得 y

7、P26a所以 P(1, 26a) 由 AP 2QD2,得 22(26a)282(16a)2 整理,得 7a 21所以 此时 P 如图 3,如果 AD 为矩形的对角线,那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xDxAxPxQ,得 xQ2所以 Q(2,3a) 由 yDyAyPyQ,得 yP8a所以 P(1, 8a) 由 AD 2PQ2,得 52(5a)212(11a)2 整理,得 4a 21所以 此时 P 图 1 图 2 图 3 【题干】【题干】如图 1,抛物线 yax 2bxc(a、b、c 是常数,a0)的对称轴为 y 轴,且经过(0,0)和 两点,点 P 在该抛物线上运动,以点 P 为圆心的

8、P 总经过定点 A(0, 2) (1)求 a、b、c 的值; (2)求证:在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交; (3)设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当AMN 为等腰三角形时,求圆心 P 的纵坐标 7 7 a 26 7 (1) 7 , 1 2 a (14), 1 (,) 16 a 例题 2 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以 yax 2所以 b0,c0 将代入 yax 2,得 解得(舍去了负值) (2)抛物线的解析式为,设点 P 的坐标为 已知 A(0, 2),所以 而圆心 P 到 x 轴的距离为

9、,所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交 (3)如图 2,设 MN 的中点为 H,那么 PH 垂直平分 MN 在 RtPMH 中,所以 MH 24 所以 MH2因此 MN4,为定值 等腰AMN 存在三种情况: 如图 3,当 AMAN 时,点 P 为原点 O 重合,此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4,当 MAMN 时,在 RtAOM 中,OA2,AM4,所以 OM2 1 (,) 16 a 2 1 16 a 1 4 a 2 1 4 yx 2 1 ( ,) 4 xx 2224 11 (2)4 416 PAxxx 2 1 4 x

10、2 1 4 x 224 1 4 16 PMPAx 224 11 () 416 PHxx 3 此时 xOH2所以点 P 的纵坐标为 如图 5,当 NANM 时,点 P 的纵坐标为也为 图 4 图 5 【题干】【题干】如图 1,在平面直角坐标系中,双曲线(k0)与直线 yx2 都经过点 A(2, m) (1)求 k 与 m 的值; (2)此双曲线又经过点 B(n, 2),过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C,联结 AB、AC, 求ABC 的面积; (3)在(2)的条件下,设直线 yx2 与 y 轴交于点 D,在射线 CB 上有一点 E,如果以点 A、C、E 所组成的三角形

11、与ACD 相似,且相似比不为 1,求点 E 的坐标 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)将点 A(2, m)代入 yx2,得 m4所以点 A 的坐标为(2, 4) 将点 A(2, 4)代入,得 k8 32 222 11 (2 32)( 31)42 3 44 x 42 3 k y x 例题 3 (2)将点 B(n, 2),代入,得 n4 所以点 B 的坐标为(4, 2) 设直线 BC 为 yxb,代入点 B(4, 2),得 b2 所以点 C 的坐标为(0,2) 由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2),可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是 2,B、C 两点

12、间 的水平距离和竖直距离都是 4 所以 AB,BC,ABC90 所以 SABC8 (3)由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2),得 AD,AC 由于DACACD45,ACEACD45,所以DACACE 所以ACE 与ACD 相似,分两种情况: 如图 3,当时,CEAD 此时ACDCAE,相似比为 1 如图 4,当时,解得 CE此时 C、E 两点间的水平距离和竖直 距离都是 10,所以 E(10, 8) 图 2 图 3 图 4 【教学建议】【教学建议】 8 y x 2 24 2 1 2 BA BC 1 2 24 2 2 2 22 10 CEAD CAAC 2 2 CEAC CAA

13、D 2 10 2 102 2 CE 10 2 四 、课堂运用 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,先把例题讲解清晰,和学生一起归纳总结处理方法,再给学生 做针对性的练习。 1.如图 1,已知抛物线 yx 2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 (1)求抛物线的解析式; (2)求 tanABO 的值; (3)过点 B 作 BCx 轴,垂足为 C,在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N,交抛物 线于点 M,若四边形 MNCB 为平行四边形,求点 M 的坐标 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2b

14、xc,得 解得,c1 所以抛物线的解析式是 (2)在 RtBOC 中,OC4,BC3,所以 OB5 如图 2,过点 A 作 AHOB,垂足为 H 在 RtAOH 中,OA1, 所以 图 2 所以, 在 RtABH 中, (3)直线 AB 的解析式为 1, 1643. c bc 9 2 b 2 9 1 2 yxx 4 sinsin 5 AOHOBC 4 sin 5 AHOAAOH 3 5 OH 22 5 BHOBOH 4222 tan 5511 AH ABO BH 1 1 2 yx 基础 设点 M 的坐标为,点 N 的坐标为, 那么 当四边形 MNCB 是平行四边形时,MNBC3 解方程x 24

15、x3,得 x1 或 x3 因为 x3 在对称轴的右侧(如图 4),所以符合题意的点 M 的坐标为(如图 3) 图 3 图 4 2.如图 1,抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,

16、0)两点,设 ya(x1)(x3), 代入点 C(0 ,3),得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x 22x3 (2)如右图,抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时, PAPC 最小, PAC 的周长最小 2 9 ( ,1) 2 xxx 1 ( ,1) 2 xx 22 91 (1)(1)4 22 MNxxxxx 9 (1, ) 2 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由,BOCO,得 PHBH2 所以点 P 的坐标为(1, 2) 3.如图 1,已知抛物线(b 是实数且 b2)与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧),

17、与 y 轴的正半轴交于点 C (1)点 B 的坐标为_,点 C 的坐标为_(用含 b 的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b,且PBC 是以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角 形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)B 的坐标为(b, 0),点 C 的坐标为(0, ) (2)如图

18、 2,过点 P 作 PDx 轴,PEy 轴,垂足分别为 D、E,那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3,联结 OP 所以 S四边形PCOBSPCOSPBO2b 解得所以点 P 的坐标为() BHPH BOCO 2 11 (1) 444 b yxbx 4 b 115 2428 b xb xbx 16 5 x 16 16 , 55 图 2 图 3 (3)由,得 A(1, 0),OA1 如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么OQCQOA 当,即时,BQAQOA 所以解得所以符合题意的点 Q 为() 如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点

19、 Q,那么OQC90。 因此OCQQOA 当时,BQAQOA此时OQB90 所以 C、Q、B 三点共线因此,即解得此时 Q(1,4) 图 4 图 5 1.如图 1,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以 A 为 顶点的抛物线 yax 2bxc 过点 C 动点 P 从点 A 出发, 沿线段 AB 向点 B 运动, 同时动点 Q 从点 C 出发, 沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位,运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2

20、)过点 E 作 EFAD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,ACG 的面积最大?最大值为多少? (3)在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点 H,使以 C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值 2 111 (1)(1)() 4444 b yxbxxxb BAQA QAOA 2 QABA OA 2 ( )1 4 b b84 3b 1,23 BAQA QAOA BOQA COOA 1 4 bQA b 4QA 巩固 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)A(1, 4)因为抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式

21、为 ya(x1) 24, 代入点 C(3, 0),可得 a1 所以抛物线的解析式为 y(x1) 24x22x3 (2)因为 PE/BC,所以因此 所以点 E 的横坐标为 将代入抛物线的解析式,y(x1) 24 所以点 G 的纵坐标为于是得到 因此 所以当 t=1 时,ACG 面积的最大值为 1 (3)或 2.如图 1,点 A 在 x 轴上,OA4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存 在,求点 P 的坐

22、标;若不存在,请说明理由 2 APAB PEBC 11 22 PEAPt 1 1 2 t 1 1 2 xt 2 1 4 4 t 2 1 4 4 t 22 11 (4)(4) 44 GEtttt 22 111 ()(2)1 244 ACGAGECGE SSSGE AFDFttt 20 13 t 208 5t 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)如图 2,过点 B 作 BCy 轴,垂足为 C 在 RtOBC 中,BOC30,OB4,所以 BC2, 所以点 B 的坐标为 (2)因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0),设抛物线的解析式为 yax(x4), 代入点 B,解得 所以

23、抛物线的解析式为 (3)抛物线的对称轴是直线 x2,设点 P 的坐标为(2, y) 当 OPOB4 时,OP 216所以 4+y216解得 当 P 在时,B、O、P 三点共线(如图 2) 当 BPBO4 时,BP 216所以 解得 当 PBPO 时,PB 2PO2所以 解得 综合、,点 P 的坐标为,如图 2 所示 2 3OC ( 2, 2 3) ( 2, 2 3)2 32( 6)a 3 6 a 2 332 3 (4) 663 yx xxx 2 3y (2,2 3) 22 4(2 3)16y 12 2 3yy 2222 4(2 3)2yy2 3y (2, 2 3) 图 2 图 3 3.如图 1

24、,已知抛物线的方程 C1: (m0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧 (1)若抛物线 C1过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BHEH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)将 M(2, 2)代入,得解得 m4 (2)当 m4 时,所以 C(4, 0),

25、E(0, 2) 所以 SBCE (3)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x1,当 H 落在线段 EC 上时,BHEH 最小 设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 因此解得所以点 H 的坐标为 (4)如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F 由于BCEFBC,所以当,即时,BCEFBC 设点 F 的坐标为,由,得 解得 xm2所以 F(m2, 0) 由,得所以 1 (2)()yxxm m 1 (2)()yxxm m 1 24(2)m m 2 111 (2)(4)2 442 yxxxx 11 6 26 22 BC OE HPEO CPCO 2 34 HP

26、3 2 HP 3 (1, ) 2 CEBC CBBF 2 BCCE BF 1 ( ,(2)()xxxm m FFEO BFCO 1 (2)() 2 2 xxm m xm COBF CEBF 2 4 4 mm BF m 2 (4)4mm BF m 由,得 整理,得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4,作CBF45交抛物线于 F,过点 F 作 FFx 轴于 F, 由于EBCCBF,所以,即时,BCEBFC 在 RtBFF中,由 FFBF,得 解得 x2m所以 F所以 BF2m2, 由,得解得 综合、,符合题意的 m 为 1.将抛物线 c1:沿 x 轴翻折,得到抛物线 c2,如图 1

27、 所示 (1)请直接写出抛物线 c2的表达式; (2)现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点从左到右 依次为 A、B;将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 N,与 x 轴的交点从左 到右依次为 D、E 当 B、D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值; 在平移过程中,是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时 m 的值;若不存在,请说明理由 2 BCCE BF 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m BEBC BCBF 2 BCBE BF 1 (2)()2xxmx m

28、 (2 ,0)m2(22)BFm 2 BCBE BF 2 (2)2 22(22)mm22 2m 22 2 2 33yx 拔高 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)抛物线 c2的表达式为 (2)抛物线 c1:与 x 轴的两个交点为(1,0)、(1,0),顶点为 抛物线 c2:与 x 轴的两个交点也为(1,0)、(1,0),顶点为 抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为,与 x 轴的两个交点为、 ,AB2 抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后,顶点 N 的坐标为,与 x 轴的两个交点为、 所以 AE(1m)(1m)2(1m) B、D 是线段 AE 的三等分点

29、,存在两种情况: 情形一,如图 2,B 在 D 的左侧,此时,AE6所以 2(1m)6解得 m2 情形二,如图 3,B 在 D 的右侧,此时,AE3所以 2(1m)3解得 图 2 图 3 图 4 如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,那么 AEMN2OM而 OM 2m23,所以 4(1 2 33yx 2 33yx (0, 3) 2 33yx(0,3) (, 3)m( 1,0)Am (1,0)Bm ( ,3)m ( 1,0)Dm (1,0)Em 1 2 3 ABAE 2 2 3 ABAE 1 2 m m) 24(m23)解得 m1(如图 4) 2.如下图,抛物线 2 1 2 yxmxn

30、 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.已 知 A(-1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出 P 点的 坐标;如果不存在,请说明理由; 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:(1) 2 13 2 22 yxx . (2)如图,在抛物线的对称轴上存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形. 123 33535 , 4 , 22222 PPP . 3.如图 1,抛物线经过点 A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三点 (1)

31、求此抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上的一个动点,过 P 作 PMx 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A、P、M 为顶 点的三角形与OAC 相似?若存在,请求出符合条件的 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D,使得DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标 , 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为, 代入点 C 的 坐标 (0, 2) , 解得 所以抛物线的解析式为 (2)设点 P 的坐标为 如图 2,当点 P 在 x 轴上方时,1x4, 如果,

32、那么解得不合题意 如果,那么解得 此时点 P 的坐标为(2,1) 如图 3,当点 P 在点 A 的右侧时,x4, 解方程,得此时点 P 的坐标为 解方程,得不合题意 如图 4,当点 P 在点 B 的左侧时,x1, )4)(1(xxay 2 1 a2 2 5 2 1 )4)(1( 2 1 2 xxxxy )4)(1( 2 1 ,(xxx )4)(1( 2 1 xxPMxAM 4 2 CO AO PM AM 2 4 )4)(1( 2 1 x xx 5x 2 1 CO AO PM AM 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 2x )4)(1( 2 1 xxPM4 xAM 2 4 )4)(1(

33、2 1 x xx 5x)2, 5( 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 2x )4)(1( 2 1 xxPMxAM 4 解方程,得此时点 P 的坐标为 解方程,得此时点 P 与点 O 重合,不合题意 综上所述,符合条件的 点 P 的坐标为(2,1)或或 图 2 图 3 图 4 (3)如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 设点 D 的横坐标为 m,那么点 D 的坐标为,点 E 的坐标为 所以 因此 当时,DCA 的面积最大,此时点 D 的坐标为(2,1) 图 5 图 6 2 4 )4)(1( 2 1 x xx 3x)14, 3( 2 1 4 )4)(

34、1( 2 1 x xx 0 x )14, 3()2, 5( 2 2 1 xy )41 ( m)2 2 5 2 1 ,( 2 mmm )2 2 1 ,(mm)2 2 1 ()2 2 5 2 1 ( 2 mmmDEmm2 2 1 2 4)2 2 1 ( 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4)2( 2 m 2m 课堂小结 1.二次函数与平行四边形的处理方法 2.二次函数与等腰三角形的处理方法 3.二次函数与相似三角形的处理方法 1. 如图,抛物线 yax 2bx3 过点 A(1,0),B(3,0),直线 AD 交抛物线于点 D,点 D 的横坐标为 2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点.

35、(1)求直线 AD 及抛物线的解析式; (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长? (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使以 P、Q、D、R 四点为顶点的四边形是平行四边 形?若存在,直接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)由于抛物线经过 x 轴上的点 A(1,0),B(3,0), 所以抛物线解析式 2 3yaxbx (1)(3)a xx 2 23axaxa,a1,b2, 抛物线的解析式为: 2 23yxx. 当 x2 时,y3,D 点的坐标为

36、(2,3) 设直线 AD 的解析式为:ykxc, 代入点 A(1,0),D(2,3),有 32 0ck ck 解得:k1,c1, 直线 AD 的解析式为:yx1. 拓展延伸 基础 (2)由于 P(m,n)的直线 AD 上,nm1, P 点的坐标为(m,m1), Q 点的坐标为(m, 2 23mm), lm1( 2 23mm) 2 2mm, 10,当 x 11 2 ( 1)2 ,l 有最大值,最大值为: 9 4 (3)点 D 确定的,P、Q 是有限制条件的不定点,点 R 是自由的整点,因此 P、Q、D、R 四点为顶点的四 边形要是平行四边形,可从 P、Q、D 三点入手,画图尝试寻找!当 PQ 为

37、整数 1 时,有 R 点的坐标为(2, 2),(2,4),如图 1,图 2, 图 1 图 2 当 PQ2 时,如图 3 和图 4,利用平移的知识可得 R 点的坐标为:(2,1),(2,5),(0,3).(2, 1) 图 3 图 4 x y R4 R2 R1 Q D C B O P x y R4 R2 R1 Q D C B O P x y R3 R2 R1 Q D C B O P 2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A(4,0)、B(2,0),交 y 轴于点 C (0,6),在 y 轴上有一点 E(0,2),连接 AE (1)求二次函数的表达式; (

38、2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点,求ADE 面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有 P 点的坐标,若不 存在请说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】(1)二次函数 y=ax 2+bx+c 经过点 A(4,0)、B(2,0),C(0,6), ,解得, 所以二次函数的解析式为:y= ; (2)由 A(4,0),E(0,2),可求 AE 所在直线解析式为 y=, 过点 D 作 DNx 轴,交 AE 于点 F,交 x 轴于点 G,过点 E 作 EHDF,垂足为 H,如图 设 D(m,),则点 F(m,), DF=()=

39、, SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2() =, 当 m=时,ADE 的面积取得最大值为 (3)y=的对称轴为 x=1, 设 P(1,n),又 E(0,2),A(4,0), 可求 PA=,PE=,AE=, 当 PA=PE 时,=, 解得,n=1,此时 P(1,1); 当 PA=AE 时,=, 解得,n=,此时点 P 坐标为(1,); 当 PE=AE 时,=, 解得,n=2,此时点 P 坐标为:(1,2) 综上所述,P 点的坐标为:(1,1),(1,),(1,2) 3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=1 4x 2+bx+c 经过点 A

40、(2,0),B(8,0) 求抛物线的解析式; 点 C 是抛物线与 y 轴的交点,连接 BC,设点 P 是抛物线上在第一象限内的点,PDBC,垂足为点 D 是否存在点 P ,使线段 PD 的长度最大,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; 当PDC 与 COA 相似时,求点 P 的坐标 【答案答案】见解析 【解析解析】(1) 将 A(2,0),B(8,0) 代入 y=1 4x 2+bx+c,得 -1-2b+c=0 -16+8b+c=0,解得 b=3 2 c=4 抛物线解析式为:y=1 4x 2+3 2x+4 由知 C(0,4),又 B(8,0) ,易知直线 BC 的方程为 y=1

41、2x+4 如图,过点 P 作 PG x 轴于点 G ,PG 交 CB 于点 E, 在 Rt PDE 中,PD=PEsinPED=PEsinOCB=2 5 5 PE 当线段 PE 最长时,PD 的长度最大设 P(t,1 4t 2+3 2t+4) ,则 E(t, 1 2t+4) , PE=(1 4t 2+3 2t+4) ( 1 2t+4)= 1 4t 2+2t=1 4(t4) 2+4,(0t8) 当 t=4 时,PE 有最大值 4,此时 P 点坐标为(4,6), 即当 P 点坐标为(4,6),PD 的长度最大,最大值为8 5 5 由 A(2,0),B(8,0) ,C(0,4) ,易知 ACB=90

42、, COABOC,当 Rt PDC 与 Rt COA 相似时,就有 Rt PDC 与 RtBOC 相似, 相似三角形对应角相等,PCD=CBO,或PCD =BCO ()若PCD=CBO(Rt PDCRt COB),此时有 CPOB C(0,4) ,1 4x 2+3 2x+4=4,解得 x= 6,或 x= 0 (舍) 即 Rt PDCRt COB 时, P(6,4) ()若PCD =BCO(RtPDCRt BOC), 过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 BC 交于 F ,PF OC ,PFC=BCO , PCD=PFC,PF= PC 设 P(n,1 4n 2+3 2n+4) ,依题意,易知 n0

43、,同,可知 PF= 1 4n 2+2n, 过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 N ,在 RtPNC 中, PC 2=PN2+NC2=n2+(1 4n 2+3 2n+4)-4 2=1 16n 43 4n 3+13 4 n 2 PF= PC, PF 2= PC2 ,可解得 n=3, 即 RtPDCRt BOC 时,P(3,25 4 ) 当PDC 与 COA 相似时,点 P 的坐标为 (6,4) ,或(3,25 4 ) 1.如图,已知抛物线 y= 2 1 x 2- 2 3 x-n(n0)与 x 轴交于点 A,B 两点(A 点在 B 点的左边),与 y 轴交于点 C. (1)如图 1,若ABC 为直角

44、三角形,求 n 的值; (2)如图 1,在(1)的条件下,点 P 在抛物线上,点 Q 在抛物线的对称轴上,若以 BC 为边,以点 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求 P 点的坐标; x y BA C O 巩固 【答案答案】见解析 【解析】 (1)设点 A 坐标为(x1,0),设点 B 坐标为(x2,0),则 x1,x2是一元二次方程 2 1 x 2- 2 3 x-n=0 的两根, x1x2=-2n.当 x=0 时,y=-n,点 C 坐标为(0,-n),ABC 为直角三角形,COAB,AOC COB,OC 2=OAOB,n2=-x 1x2=-(-2n),解得 n=0(舍去)或 n=2

45、; (2)由(1)得 y= 2 1 x 2- 2 3 x-2,该抛物线的对称轴为直线 x= 2 3 ,x=0 时,y=-2,点 C 坐标为(0,-2).y=0 时, 2 1 x 2- 2 3 x-2=0,解得 x1=-1,x2=4,点 B 坐标为(4,0).分两种情况:如答案图 1,设点 P 坐标为 (a, 2 1 a 2- 2 3 a-2),过点 P 作 PM对称轴于点 M,四边形 BCPQ 是平行四边形,PM=OB,-a+ 2 3 =4,a=- 2 5 , 2 1 a 2- 2 3 a-2= 8 39 ,点 P 坐标为(- 2 5 , 8 39 );如答案图 2,设点 P 坐标为(b, 2

46、 1 b 2- 2 3 b-2),过点 P 作 PN对称轴于点 N,四边形 BCPQ 是平行四边形,PN=OB,b- 2 3 =4,b= 2 11 , 2 1 b 2- 2 3 b-2= 8 39 ,点 P 坐 标为( 2 11 , 8 39 ); 综上所述:点 P 坐标为(- 2 5 , 8 39 )或( 2 11 , 8 39 ). 图 1 图 2 2.如图,抛物线 2 11 4 33 yxx与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接 AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PMx轴,垂足为 点M,PM交BC于点Q,过点P作/PEAC交x轴于点E,交BC于点F. x y x 3 2 M Q P BA C D O x y x 3 2 N Q P BA C O (1)求A,B,C三点的坐标; (2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角 形.若存在,请直接 写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)

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