1、 二次函数综合 第12讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 教学目标 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型 教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题 教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、 归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1
2、. 二次函数中平行四边形的存在性问题； 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题； 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数综合 二次函数与平行四边形 二次函数与等腰三角形 二次函数与相似三角形 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。 平行四边形动点问题一
3、般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两 种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距 离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。 处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点 间距离公式硬算） 常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第
4、一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等. 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与平行四边形 知识点 2 二次函数与等腰三角形 知识点 3 二次函数与相似三角形 三、例题精析 【题干】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD 4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE
5、 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成 为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 图 1 备用图 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由 yax 22ax3aa(x1)(x3)，得 A(1, 0) 由 CD4AC，得 xD4所以 D(4, 5a) 由 A(1, 0)、D(4, 5a)，得直线 l 的函数表达式为 yaxa （2）如图 1，过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F 设 E(x, ax 22ax3a)，F(x, axa)，那么 EFy EyFax 2
6、3ax4a 由 SACESAEFSCEF ， 得ACE 的面积的最大值为解方程，得 （3）已知 A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论： 如图 2，如果 AD 为矩形的边，那么 AD/QP，ADQP，对角线 APQD 由 xDxAxPxQ，得 xQ4 11 ()() 22 EAEC EF xxEF xx 1 () 2 CA EF xx 2 1 (34 ) 2 axaxa 2 1325 () 228 a xa 25 8 a 255 84 a 2 5 a 例题 1 当 x4 时，ya(x1)(x3)21a所以 Q(4, 21a) 由 yDyAyPyQ，得 y
7、P26a所以 P(1, 26a) 由 AP 2QD2，得 22(26a)282(16a)2 整理，得 7a 21所以 此时 P 如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xDxAxPxQ，得 xQ2所以 Q(2,3a) 由 yDyAyPyQ，得 yP8a所以 P(1, 8a) 由 AD 2PQ2，得 52(5a)212(11a)2 整理，得 4a 21所以 此时 P 图 1 图 2 图 3 【题干】【题干】如图 1，抛物线 yax 2bxc（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的
8、P 总经过定点 A(0, 2) （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交； （3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标 7 7 a 26 7 (1) 7 ， 1 2 a (14)， 1 (,) 16 a 例题 2 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 yax 2所以 b0，c0 将代入 yax 2，得 解得（舍去了负值） （2）抛物线的解析式为，设点 P 的坐标为 已知 A(0, 2)，所以 而圆心 P 到 x 轴的距离为
9、，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交 （3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN 在 RtPMH 中，所以 MH 24 所以 MH2因此 MN4，为定值 等腰AMN 存在三种情况： 如图 3，当 AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM2 1 (,) 16 a 2 1 16 a 1 4 a 2 1 4 yx 2 1 ( ,) 4 xx 2224 11 (2)4 416 PAxxx 2 1 4 x
10、2 1 4 x 224 1 4 16 PMPAx 224 11 () 416 PHxx 3 此时 xOH2所以点 P 的纵坐标为 如图 5，当 NANM 时，点 P 的纵坐标为也为 图 4 图 5 【题干】【题干】如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC， 求ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形
11、与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）将点 A(2, m)代入 yx2，得 m4所以点 A 的坐标为(2, 4) 将点 A(2, 4)代入，得 k8 32 222 11 (2 32)( 31)42 3 44 x 42 3 k y x 例题 3 （2）将点 B(n, 2)，代入，得 n4 所以点 B 的坐标为(4, 2) 设直线 BC 为 yxb，代入点 B(4, 2)，得 b2 所以点 C 的坐标为(0,2) 由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知 A、B 两点间的水平距离和竖直距离都是 2，B、C 两点
12、间 的水平距离和竖直距离都是 4 所以 AB，BC，ABC90 所以 SABC8 （3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD，AC 由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE 所以ACE 与ACD 相似，分两种情况： 如图 3，当时，CEAD 此时ACDCAE，相似比为 1 如图 4，当时，解得 CE此时 C、E 两点间的水平距离和竖直 距离都是 10，所以 E(10, 8) 图 2 图 3 图 4 【教学建议】【教学建议】 8 y x 2 24 2 1 2 BA BC 1 2 24 2 2 2 22 10 CEAD CAAC 2 2 CEAC CAA
13、D 2 10 2 102 2 CE 10 2 四 、课堂运用 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生 做针对性的练习。 1.如图 1，已知抛物线 yx 2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式； （2）求 tanABO 的值； （3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物 线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2b
14、xc，得 解得，c1 所以抛物线的解析式是 （2）在 RtBOC 中，OC4，BC3，所以 OB5 如图 2，过点 A 作 AHOB，垂足为 H 在 RtAOH 中，OA1， 所以 图 2 所以， 在 RtABH 中， （3）直线 AB 的解析式为 1, 1643. c bc 9 2 b 2 9 1 2 yxx 4 sinsin 5 AOHOBC 4 sin 5 AHOAAOH 3 5 OH 22 5 BHOBOH 4222 tan 5511 AH ABO BH 1 1 2 yx 基础 设点 M 的坐标为，点 N 的坐标为， 那么 当四边形 MNCB 是平行四边形时，MNBC3 解方程x 24
15、x3，得 x1 或 x3 因为 x3 在对称轴的右侧（如图 4），所以符合题意的点 M 的坐标为（如图 3） 图 3 图 4 2.如图 1，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,
16、0)两点，设 ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x 22x3 （2）如右图，抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时， PAPC 最小， PAC 的周长最小 2 9 ( ,1) 2 xxx 1 ( ,1) 2 xx 22 91 (1)(1)4 22 MNxxxxx 9 (1, ) 2 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由，BOCO，得 PHBH2 所以点 P 的坐标为(1, 2) 3.如图 1，已知抛物线（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），
17、与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角 形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, ) （2）如图
18、 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP 所以 S四边形PCOBSPCOSPBO2b 解得所以点 P 的坐标为() BHPH BOCO 2 11 (1) 444 b yxbx 4 b 115 2428 b xb xbx 16 5 x 16 16 , 55 图 2 图 3 （3）由，得 A(1, 0)，OA1 如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA 当，即时，BQAQOA 所以解得所以符合题意的点 Q 为() 如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点
19、 Q，那么OQC90。 因此OCQQOA 当时，BQAQOA此时OQB90 所以 C、Q、B 三点共线因此，即解得此时 Q(1,4) 图 4 图 5 1.如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以 A 为 顶点的抛物线 yax 2bxc 过点 C 动点 P 从点 A 出发， 沿线段 AB 向点 B 运动， 同时动点 Q 从点 C 出发， 沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2
20、）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值 2 111 (1)(1)() 4444 b yxbxxxb BAQA QAOA 2 QABA OA 2 ( )1 4 b b84 3b 1,23 BAQA QAOA BOQA COOA 1 4 bQA b 4QA 巩固 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式
21、为 ya(x1) 24， 代入点 C(3, 0)，可得 a1 所以抛物线的解析式为 y(x1) 24x22x3 （2）因为 PE/BC，所以因此 所以点 E 的横坐标为 将代入抛物线的解析式，y(x1) 24 所以点 G 的纵坐标为于是得到 因此 所以当 t=1 时，ACG 面积的最大值为 1 （3）或 2.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，求点 P 的坐
22、标；若不存在，请说明理由 2 APAB PEBC 11 22 PEAPt 1 1 2 t 1 1 2 xt 2 1 4 4 t 2 1 4 4 t 22 11 (4)(4) 44 GEtttt 22 111 ()(2)1 244 ACGAGECGE SSSGE AFDFttt 20 13 t 208 5t 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C 在 RtOBC 中，BOC30，OB4，所以 BC2， 所以点 B 的坐标为 （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax(x4)， 代入点 B，解得 所以
23、抛物线的解析式为 （3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y) 当 OPOB4 时，OP 216所以 4+y216解得 当 P 在时，B、O、P 三点共线（如图 2） 当 BPBO4 时，BP 216所以 解得 当 PBPO 时，PB 2PO2所以 解得 综合、，点 P 的坐标为，如图 2 所示 2 3OC ( 2, 2 3) ( 2, 2 3)2 32( 6)a 3 6 a 2 332 3 (4) 663 yx xxx 2 3y (2,2 3) 22 4(2 3)16y 12 2 3yy 2222 4(2 3)2yy2 3y (2, 2 3) 图 2 图 3 3.如图 1
24、，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E， 且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）将 M(2, 2)代入，得解得 m4 （2）当 m4 时，所以 C(4, 0)，
25、E(0, 2) 所以 SBCE （3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 因此解得所以点 H 的坐标为 （4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F 由于BCEFBC，所以当，即时，BCEFBC 设点 F 的坐标为，由，得 解得 xm2所以 F(m2, 0) 由，得所以 1 (2)()yxxm m 1 (2)()yxxm m 1 24(2)m m 2 111 (2)(4)2 442 yxxxx 11 6 26 22 BC OE HPEO CPCO 2 34 HP
26、3 2 HP 3 (1, ) 2 CEBC CBBF 2 BCCE BF 1 ( ,(2)()xxxm m FFEO BFCO 1 (2)() 2 2 xxm m xm COBF CEBF 2 4 4 mm BF m 2 (4)4mm BF m 由，得 整理，得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F， 由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC 在 RtBFF中，由 FFBF，得 解得 x2m所以 F所以 BF2m2， 由，得解得 综合、，符合题意的 m 为 1.将抛物线 c1：沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1
27、 所示 （1）请直接写出抛物线 c2的表达式； （2）现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右 依次为 A、B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左 到右依次为 D、E 当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值； 在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 2 BCCE BF 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m BEBC BCBF 2 BCBE BF 1 (2)()2xxmx m
28、 (2 ,0)m2(22)BFm 2 BCBE BF 2 (2)2 22(22)mm22 2m 22 2 2 33yx 拔高 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）抛物线 c2的表达式为 （2）抛物线 c1：与 x 轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为 抛物线 c2：与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为 抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为，与 x 轴的两个交点为、 ，AB2 抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为，与 x 轴的两个交点为、 所以 AE(1m)(1m)2(1m) B、D 是线段 AE 的三等分点
29、，存在两种情况： 情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时，AE6所以 2(1m)6解得 m2 情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时，AE3所以 2(1m)3解得 图 2 图 3 图 4 如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么 AEMN2OM而 OM 2m23，所以 4(1 2 33yx 2 33yx (0, 3) 2 33yx(0,3) (, 3)m( 1,0)Am (1,0)Bm ( ,3)m ( 1,0)Dm (1,0)Em 1 2 3 ABAE 2 2 3 ABAE 1 2 m m) 24(m23)解得 m1（如图 4） 2.如下图,抛物线 2 1 2 yxmxn
30、 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.已 知 A（-1,0）,C(0,2). （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出 P 点的 坐标；如果不存在,请说明理由； 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:（1） 2 13 2 22 yxx . (2)如图,在抛物线的对称轴上存在点 P,使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形. 123 33535 , 4 , 22222 PPP . 3.如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）
31、求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶 点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标 , 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为， 代入点 C 的 坐标 （0， 2） ， 解得 所以抛物线的解析式为 （2）设点 P 的坐标为 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4， 如果，
32、那么解得不合题意 如果，那么解得 此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， 解方程，得此时点 P 的坐标为 解方程，得不合题意 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， )4)(1(xxay 2 1 a2 2 5 2 1 )4)(1( 2 1 2 xxxxy )4)(1( 2 1 ,(xxx )4)(1( 2 1 xxPMxAM 4 2 CO AO PM AM 2 4 )4)(1( 2 1 x xx 5x 2 1 CO AO PM AM 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 2x )4)(1( 2 1 xxPM4 xAM 2 4 )4)(1(
33、2 1 x xx 5x)2, 5( 2 1 4 )4)(1( 2 1 x xx 2x )4)(1( 2 1 xxPMxAM 4 解方程，得此时点 P 的坐标为 解方程，得此时点 P 与点 O 重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或或 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 设点 D 的横坐标为 m，那么点 D 的坐标为，点 E 的坐标为 所以 因此 当时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6 2 4 )4)(1( 2 1 x xx 3x)14, 3( 2 1 4 )4)(
34、1( 2 1 x xx 0 x )14, 3()2, 5( 2 2 1 xy )41 ( m)2 2 5 2 1 ,( 2 mmm )2 2 1 ,(mm)2 2 1 ()2 2 5 2 1 ( 2 mmmDEmm2 2 1 2 4)2 2 1 ( 2 1 2 mmS DAC mm4 2 4)2( 2 m 2m 课堂小结 1.二次函数与平行四边形的处理方法 2.二次函数与等腰三角形的处理方法 3.二次函数与相似三角形的处理方法 1. 如图，抛物线 yax 2bx3 过点 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为 2，点 P(m，n)是线段 AD 上的动点.
35、（1）求直线 AD 及抛物线的解析式； （2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ （3）在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以 P、Q、D、R 四点为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由于抛物线经过 x 轴上的点 A(1，0)，B(3，0)， 所以抛物线解析式 2 3yaxbx (1)(3)a xx 2 23axaxa，a1，b2， 抛物线的解析式为： 2 23yxx. 当 x2 时，y3，D 点的坐标为
36、(2，3) 设直线 AD 的解析式为：ykxc， 代入点 A(1，0)，D(2，3)，有 32 0ck ck 解得：k1，c1， 直线 AD 的解析式为：yx1. 拓展延伸 基础 （2）由于 P(m，n)的直线 AD 上，nm1， P 点的坐标为(m，m1)， Q 点的坐标为(m， 2 23mm)， lm1( 2 23mm) 2 2mm， 10，当 x 11 2 ( 1)2 ，l 有最大值，最大值为： 9 4 （3）点 D 确定的，P、Q 是有限制条件的不定点，点 R 是自由的整点，因此 P、Q、D、R 四点为顶点的四 边形要是平行四边形，可从 P、Q、D 三点入手，画图尝试寻找！当 PQ 为
37、整数 1 时，有 R 点的坐标为(2， 2)，(2，4)，如图 1，图 2， 图 1 图 2 当 PQ2 时，如图 3 和图 4，利用平移的知识可得 R 点的坐标为：(2，1)，(2，5)，(0，3).(2， 1) 图 3 图 4 x y R4 R2 R1 Q D C B O P x y R4 R2 R1 Q D C B O P x y R3 R2 R1 Q D C B O P 2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C （0，6），在 y 轴上有一点 E（0，2），连接 AE （1）求二次函数的表达式； （
38、2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不 存在请说明理由 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）二次函数 y=ax 2+bx+c 经过点 A（4，0）、B（2，0），C（0，6）， ，解得， 所以二次函数的解析式为：y= ； （2）由 A（4，0），E（0，2），可求 AE 所在直线解析式为 y=， 过点 D 作 DNx 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EHDF，垂足为 H，如图 设 D（m，），则点 F（m，）， DF=（）=
39、， SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =， 当 m=时，ADE 的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为 x=1， 设 P（1，n），又 E（0，2），A（4，0）， 可求 PA=，PE=，AE=， 当 PA=PE 时，=， 解得，n=1，此时 P（1，1）； 当 PA=AE 时，=， 解得，n=，此时点 P 坐标为（1，）； 当 PE=AE 时，=， 解得，n=2，此时点 P 坐标为：（1，2） 综上所述，P 点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2） 3.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=1 4x 2+bx+c 经过点 A
40、(2，0)，B(8，0) 求抛物线的解析式； 点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连接 BC，设点 P 是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点 D 是否存在点 P ，使线段 PD 的长度最大，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 当PDC 与 COA 相似时，求点 P 的坐标 【答案答案】见解析 【解析解析】(1) 将 A(2，0)，B(8，0) 代入 y=1 4x 2+bx+c，得 -1-2b+c=0 -16+8b+c=0，解得 b=3 2 c=4 抛物线解析式为：y=1 4x 2+3 2x+4 由知 C(0，4)，又 B(8，0) ，易知直线 BC 的方程为 y=1
41、2x+4 如图，过点 P 作 PG x 轴于点 G ，PG 交 CB 于点 E， 在 Rt PDE 中，PD=PEsinPED=PEsinOCB=2 5 5 PE 当线段 PE 最长时，PD 的长度最大设 P(t，1 4t 2+3 2t+4) ，则 E(t， 1 2t+4) ， PE=(1 4t 2+3 2t+4) ( 1 2t+4)= 1 4t 2+2t=1 4(t4) 2+4，（0t8） 当 t=4 时，PE 有最大值 4，此时 P 点坐标为(4，6)， 即当 P 点坐标为(4，6)，PD 的长度最大，最大值为8 5 5 由 A(2，0)，B(8，0) ，C(0，4) ，易知 ACB=90
42、， COABOC，当 Rt PDC 与 Rt COA 相似时，就有 Rt PDC 与 RtBOC 相似， 相似三角形对应角相等，PCD=CBO，或PCD =BCO （）若PCD=CBO（Rt PDCRt COB），此时有 CPOB C(0，4) ，1 4x 2+3 2x+4=4，解得 x= 6，或 x= 0 （舍） 即 Rt PDCRt COB 时， P(6，4) （）若PCD =BCO（RtPDCRt BOC）， 过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 BC 交于 F ，PF OC ，PFC=BCO ， PCD=PFC，PF= PC 设 P(n，1 4n 2+3 2n+4) ，依题意，易知 n0
43、，同，可知 PF= 1 4n 2+2n， 过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 N ，在 RtPNC 中， PC 2=PN2+NC2=n2+(1 4n 2+3 2n+4)-4 2=1 16n 43 4n 3+13 4 n 2 PF= PC， PF 2= PC2 ，可解得 n=3， 即 RtPDCRt BOC 时，P(3，25 4 ) 当PDC 与 COA 相似时，点 P 的坐标为 (6，4) ，或(3，25 4 ) 1.如图，已知抛物线 y= 2 1 x 2- 2 3 x-n(n0)与 x 轴交于点 A,B 两点（A 点在 B 点的左边），与 y 轴交于点 C. （1）如图 1，若ABC 为直角
44、三角形，求 n 的值； （2）如图 1，在（1）的条件下，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的对称轴上，若以 BC 为边，以点 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点的坐标； x y BA C O 巩固 【答案答案】见解析 【解析】 （1）设点 A 坐标为（x1,0）,设点 B 坐标为（x2,0）,则 x1,x2是一元二次方程 2 1 x 2- 2 3 x-n=0 的两根， x1x2=-2n.当 x=0 时，y=-n,点 C 坐标为（0，-n），ABC 为直角三角形，COAB,AOC COB,OC 2=OAOB,n2=-x 1x2=-(-2n)，解得 n=0(舍去）或 n=2
45、； （2）由（1）得 y= 2 1 x 2- 2 3 x-2，该抛物线的对称轴为直线 x= 2 3 ,x=0 时，y=-2,点 C 坐标为（0，-2）.y=0 时， 2 1 x 2- 2 3 x-2=0，解得 x1=-1，x2=4,点 B 坐标为（4，0）.分两种情况：如答案图 1，设点 P 坐标为 （a, 2 1 a 2- 2 3 a-2）,过点 P 作 PM对称轴于点 M,四边形 BCPQ 是平行四边形，PM=OB,-a+ 2 3 =4,a=- 2 5 , 2 1 a 2- 2 3 a-2= 8 39 ,点 P 坐标为（- 2 5 ， 8 39 ）；如答案图 2，设点 P 坐标为（b, 2
46、 1 b 2- 2 3 b-2）,过点 P 作 PN对称轴于点 N,四边形 BCPQ 是平行四边形，PN=OB,b- 2 3 =4,b= 2 11 , 2 1 b 2- 2 3 b-2= 8 39 ,点 P 坐 标为（ 2 11 ， 8 39 ）； 综上所述：点 P 坐标为（- 2 5 ， 8 39 ）或（ 2 11 ， 8 39 ）. 图 1 图 2 2.如图，抛物线 2 11 4 33 yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为 点M，PM交BC于点Q，过点P作/PEAC交x轴于点E，交BC于点F. x y x 3 2 M Q P BA C D O x y x 3 2 N Q P BA C O （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角 形.若存在，请直接 写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）
