1、2020 年江苏省无锡市惠山区中考数学二模试卷年江苏省无锡市惠山区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.） 1 （3 分）4 的算术平方根是（ ） A2 B C2 D2 2 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （ab）2ab2 Ba2a3a6 C （）24 D 4 （3 分）下列地方银行的标志中，既不是轴对称
2、图形，也不是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列说法正确的是（ ） A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2 B了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 131 分 D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 5 6 （3 分）如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A B C D 7（3 分） 如图， AB 为O 的直径， CD 是O 的弦， ADC35， 则CAB 的度数为 （ ） A35 B45 C55 D65 8 （3 分）
3、10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P、X、Y 是小正方形的顶点，Q 是边XY一点 若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分， 则的值为 （ ） A B C D 9 （3 分）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 的坐标是（0，6） ，C 为 OB 的中点，将 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到ABC 若反比例函数 y的图象恰好经过 A B 的中点 D，则 k 的值是（ ） A9 B12 C15 D18 10 （3 分） 已知二次函数 yx2+2x+3， 截取该函数图象在 0 x4 间的部分记为图象 G， 设经过点（0，t） 且平行于 x 轴的直线为 l，将图象 G
4、 在直线 l 下方的部分沿直线 l 翻折， 图象 G 在直线上方的部分不变， 得到一个新函数的图象 M，若函数 M 的最大值与最小值 的差不大于 5，则 t 的取值范围是（ ） A1t0 B1t C Dt1 或 t0 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，满分分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （2 分）因式分解：182x2 12（2分） 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm， 则数据0.0007用科学记数法表示为 13 （2 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是 14 （2 分）已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则这
5、个圆锥的底面圆半径为 cm 15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若 AD2，BD3，则 AC 的长 16 （2 分）某品牌瓶装饮料每箱的价格为 26 元，某商店对该瓶饮料进行“买一送三”促销 活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元，则该品牌饮料 一箱有 瓶 17 （2 分）如图，点 I 为ABC 的内心，AB4cm，AC3cm，BC2cm，将ACB 平移， 使其顶点与点 I 重合，则图中阴影部分的周长为 cm 18 （2 分） 如图， 在矩形 ABCD 中， AB4， AD3， 以点 C 为圆心作C
6、与直线 BD 相切， 点 P 是C 上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T，则的最大值是 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）+（） 1cos60 （2） （2xy）2（x+y） （xy） 20 （8 分） （1）解方程：x26x60； （2）解不等式组： 21 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 CD、AB 上，且满足 CEAF （1）求证：ADECBF； （2）连接 AC，若 AC 恰好平分EAF，试判断四边形 A
7、ECF 为何种特殊的四边形？并说 明理由 22 （6 分）某校为检测“停课不停学”期间九年级学生的复习情况，进行了中考数学模拟 测试并从中随机抽取了部分学生的测试成绩分成 5 个小组，根据每个小组的人数绘制如 图所示的尚不完整的频数分布直方图 请根据信息回答下列问题： （1）若成绩在 8090 分的频率为，请计算抽取的学生人数并补全频数分布直方图； （2）在此次测试中，抽取学生成绩的中位数在 分数段中 （3）若该校九年级共有 960 名学生，成绩在 80 分以上的（含 80 分）为优秀，请通过计 算说明，大约有多少名学生在本次测试中数学成绩为优秀 23 （8 分）甲、乙两所医院分别有一男一女共
8、 4 名医护人员支援湖北武汉抗击疫情 （1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选 1 名，则所选的 2 名医护人员性别 相同的概率是 ； （2）若从支援的 4 名医护人员中随机选 2 名，用列表或画树状图的方法求出这 2 名医护 人员来自同一所医院的概率 24 （8 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，AB （1）请利用直尺和圆规作出ABC 关于直线 AC 对称的AGC； （不要求写作法，保留 作图痕迹） （2）在 AG 边上找一点 D，使得 BD 的中点 E 满足 CEAD请利用直尺和圆规作出点 D 和点 E （不要求写作法，保留作图痕迹） 25 （8 分）某企业接到一批防护服
9、生产任务，按要求 15 天完成，已知这批防护服的出厂价 为每件 80 元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制该企业 第 x 天生产的防护服数量为 y 件，y 与 x 之间的关系可以用图中的函数图象来刻画 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式 ； （2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前 5 天为每件 50 元，从第 6 天起每件服 装的成本比前一天增加 2 元，设第 x 天创造的利润为 w 元，直接利用（1）的结论，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润出厂 价成本） 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABBC10，
10、tanABC，点 P 是边 BC 上的一点， 在线段 AP 上取点 M，将线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PN设 BPt （1）如图 1，当点 P 在点 B，点 M 是 AP 中点时，试求 AN 的长； （2）如图 2，当时 求点 N 到 BC 边的距离（用含 t 的代数式表示） ； 当点 P 从点 B 运动至点 C 时，试求点 N 运动路径的长 27 （10 分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 ymx2+2mx4（m0）的图象 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，ABC 的面积为 12 （1）求这个二次函数的解析式； （2
11、）点 D 的坐标为（2，1） ，点 P 在二次函数的图象上，ADP 为锐角，且 tanADP 2，求出点 P 的横坐标 28 （10 分） 【操作体验】 如图， 已知线段 AB 和直线 l， 用直尺和圆规在 l 上作出所有的点 P， 使得APB30， 如图，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 AB 上方交于点 O； 第二步：连接 OA，OB； 第三步：以 O 为圆心，OA 长为半径作O，交 l 于 P1，P2； 所以图中 P1，P2即为所求的点 （1）在图中，连接 P1A，P1B，说明AP1B30； 【方法迁移】 （2）如图，用直尺和圆规在矩形
12、ABCD 内作出所有的点 P，使得BPC45， （不 写做法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （3）已知矩形 ABCD，BC2ABm，P 为 AD 边上的点，若满足BPC45的点 P 恰有两个，则 m 的取值范围为 （4）已知矩形 ABCD，AB3，BC2，P 为矩形 ABCD 内一点，且BPC135，若 点 P 绕点 A 逆时针旋转 90到点 Q，则 PQ 的最小值为 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目
13、要求的有一项是符合题目要求的.） 1 （3 分）4 的算术平方根是（ ） A2 B C2 D2 【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案 【解答】解：4 的算术平方根是 2， 故选：C 2 （3 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，4x0， 解得 x4 故选：B 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （ab）2ab2 Ba2a3a6 C （）24 D 【分析】 根据同底数幂的乘法， 积的乘方， 二次根式的乘法法则分别求出每个式子的值， 再判断即可 【解答】解：A、结果是 a2b2，
14、故本选项不符合题意； B、结果是 a5，故本选项不符合题意； C、结果是 2，故本选项不符合题意； D、结果是，故本选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 5 （3 分）下列说法正确的是（
15、） A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2 B了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 131 分 D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 5 【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别 分析得出答案 【解答】解：A、一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2.5，故此选项错误； B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确； C、小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 130 分，故
16、此选项错误； D、某日最高气温是 7，最低气温是2，该日气温的极差是 7（2）9，故此 选项错误； 故选：B 6 （3 分）如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从左面看易得第一层有 1 个正方形，第二层有 2 个正方形，如图所示： 故选：B 7（3 分） 如图， AB 为O 的直径， CD 是O 的弦， ADC35， 则CAB 的度数为 （ ） A35 B45 C55 D65 【分析】根据圆周角定理得到ABCADC35，ACB90，根据三角形内角 和定理计算
17、即可 【解答】解：由圆周角定理得，ABCADC35， AB 为O 的直径， ACB90， CAB90ABC55， 故选：C 8 （3 分）10 个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点 P、X、Y 是小正方形的顶点，Q 是边XY一点 若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分， 则的值为 （ ） A B C D 【分析】 首先设 QYx， 根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S+S正方形5 （1+x） +15，解方程即可求得 QY 的长，即可解决问题 【解答】 解： 设 QYx， 根据题意得到 PQ 下面的部分的面积为： S+S正方形5 （1+x） +15， 解得 x， XQ1， ，
18、故选：B 9 （3 分）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，点 B 的坐标是（0，6） ，C 为 OB 的中点，将 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后得到ABC 若反比例函数 y的图象恰好经过 A B 的中点 D，则 k 的值是（ ） A9 B12 C15 D18 【分析】作 AHy 轴于 H证明AOBBHA（AAS） ，推出 OABH，OBA H，求出点 A坐标，再利用中点坐标公式求出点 D 坐标即可解决问题 【解答】解：作 AHy 轴于 H AOBAHBABA90， ABO+ABH90，ABO+BAO90， BAOABH， BABA， AOBBHA（AAS） ， OABH，OBAH， 点
19、 A 的坐标是（2，0） ，点 B 的坐标是（0，6） ， OA2，OB6， BHOA2，AHOB6， OH4， A（6，4） ， BDAD， D（3，5） ， 反比例函数 y的图象经过点 D， k15 故选：C 10 （3 分） 已知二次函数 yx2+2x+3， 截取该函数图象在 0 x4 间的部分记为图象 G， 设经过点（0，t） 且平行于 x 轴的直线为 l，将图象 G 在直线 l 下方的部分沿直线 l 翻折， 图象 G 在直线上方的部分不变， 得到一个新函数的图象 M，若函数 M 的最大值与最小值 的差不大于 5，则 t 的取值范围是（ ） A1t0 B1t C Dt1 或 t0 【分
20、析】找到最大值和最小值差刚好等于 5 的时刻，则 t 的范围可知 【解答】解：如图 1 所示，当 t 等于 0 时， y（x1）2+4， 顶点坐标为（1，4） ， 当 x0 时，y3， A（0，3） ， 当 x4 时，y5， C（4，5） ， 当 t0 时， D（4，5） ， 此时最大值为 5，最小值为 0； 如图 2 所示，当 t1 时， 此时最小值为1，最大值为 4 综上所述：1t0， 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，满分分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （2 分）因式分解：182x2 2（x+3） （3x） 【分析】原式提取 2，
21、再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式2（9x2）2（x+3） （3x） ， 故答案为：2（x+3） （3x） 12 （2 分）肥皂泡沫的泡壁厚度大约是 0.0007mm，则数据 0.0007 用科学记数法表示为 7 10 4 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0007710 4， 故答案为：710 4 13 （2 分）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是 6 【分析】根据内角和定理 180 （n2）即可
22、求得 【解答】解：多边形的内角和公式为（n2） 180， （n2）180720， 解得 n6， 这个多边形的边数是 6 故答案为：6 14 （2 分）已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则这个圆锥的底面圆半径为 3 cm 【分析】利用圆锥侧面积rl，代入可求解 【解答】解：圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 15cm2， 15r5 r3 故答案为：3 15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若 AD2，BD3，则 AC 的长 【分析】证出ACDDCBB，证明ACDABC，得出，即可得出结 果 【解答】解：BC 的垂直平分线
23、MN 交 AB 于点 D， CDBD3， BDCB，ABAD+BD5， CD 平分ACB， ACDDCBB， AA， ACDABC， ， AC2ADAB2510， AC 故答案为： 16 （2 分）某品牌瓶装饮料每箱的价格为 26 元，某商店对该瓶饮料进行“买一送三”促销 活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元，则该品牌饮料 一箱有 10 瓶 【分析】首先设该品牌饮料一箱有 x 瓶，根据题意可得不搞活动时饮料每瓶元，搞活 动时每瓶元，根据“相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元”可得方程0.6，再 解方程即可 【解答】解：设该品牌饮料一箱有 x 瓶，由题意得： 0.
24、6， 解得：x113（不合题意舍去） ，x210， 经检验：x10 是原分式方程的解 故答案为：10 17 （2 分）如图，点 I 为ABC 的内心，AB4cm，AC3cm，BC2cm，将ACB 平移， 使其顶点与点 I 重合，则图中阴影部分的周长为 4 cm 【分析】 连接 AI、 BI， 因为三角形的内心是角平分线的交点， 所以 AI 是CAB 的平分线， 由平行的性质和等角对等边可得：ADDI，同理 BEEI，所以图中阴影部分的周长就 是边 AB 的长 【解答】解：连接 AI、BI， 点 I 为ABC 的内心， AI 平分CAB， CAIBAI， 由平移得：ACDI， CAIAID， B
25、AIAID， ADDI， 同理可得：BEEI， DIE 的周长DE+DI+EIDE+AD+BEAB4， 即图中阴影部分的周长为 4， 故答案为 4 18 （2 分） 如图， 在矩形 ABCD 中， AB4， AD3， 以点 C 为圆心作C 与直线 BD 相切， 点 P 是C 上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T，则的最大值是 3 【分析】方法 1、先判断出 AP 的最大值为 3R，即可得出结论； 方法 2、过点 A 作 BD 的垂线 AG，AG 为定值；过点 P 作 BD 的垂线 PE，只要 PE 最大 即可，进而求出 PE 最大，即可得出结论； 方法 3、先判断出最大时，BE 最大，再
26、用相似三角形的性质求出 BG，HG，CH，进 而判断出 HM 最大时，BE 最大，而点 M 在C 上时，HM 最大，即可 HP，即可得出结 论 【解答】方法 1、解：设C 的半径为 R， 如图，作 BD 的平行线 PE，使 PE 切C 于 P， 则 PE 与 BD 的最大距离为 2R， BD 与C 相切， 点 C 到 BD 的距离为 R， 四边形 ABCD 是矩形， 点 A 到 BD 的距离为 R， 点 A 到 PE 的最大距离为 3R， 的最大值为3； 方法 2、解：如图，过点 A 作 AGBD 于 G， BD 是矩形的对角线， BAD90， BD5， ABADBDAG， AG， BD 是C
27、的切线， C 的半径为 过点 P 作 PEBD 于 E， AGTPET， ATGPTE， AGTPET， ， PE 1+， 要最大，则 PE 最大， 点 P 是C 上的动点，BD 是C 的切线， PE 最大为C 的直径，即：PE最大， 最大值为 1+3， 故答案为 3 方法 3、解：如图， 过点 P 作 PEBD 交 AB 的延长线于 E， AEPABD，APEATB， ， AB4， AEAB+BE4+BE， ， BE 最大时，最大， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD3，CDAB4， 过点 C 作 CHBD 于 H，交 PE 于 M，并延长交 AB 于 G， BD 是C 的切线， GME9
28、0， 在 RtBCD 中，BD5， BHCBCD90，CBHDBC， BHCBCD， ， ， BH，CH， BHGBAD90，GBHDBA， BHGBAD， ， ， HG，BG， 在 RtGME 中，GMEGsinAEPEGEG， 而 BEGEBGGE， GE 最大时，BE 最大， GM 最大时，BE 最大， GMHG+HM+HM， 即：HM 最大时，BE 最大， 延长 MC 交C 于 P，此时，HM 最大HP2CH， GPHP+HG， 过点 P作 PFBD 交 AB 的延长线于 F， BE 最大时，点 E 落在点 F 处， 即：BE 最大BF， 在 RtGPF 中，FG， BFFGBG8，
29、最大值为 1+3， 故答案为：3 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）+（） 1cos60 （2） （2xy）2（x+y） （xy） 【分析】 （1）原式利用算术平方根定义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值 计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果 【解答】解： （1）原式2+23； （2）原式4x24xy+y2x2+y23x24xy+2y2 20 （8 分） （1）解方程：x26x
30、60； （2）解不等式组： 【分析】 （1）利用求根公式即可直接求解； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解： （1）a1，b6，c6， 则b24ac36+24600， 则 x， 则 x13+，x23； （2）， 解得：x1， 解得：x2， 则不等式组的解集是：2x1 21 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 CD、AB 上，且满足 CEAF （1）求证：ADECBF； （2）连接 AC，若 AC 恰好平分EAF，试判断四边形 AECF 为何种特殊的四边形？并说 明理由 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得 ADBC，ABDC，
31、BD，又 CEAF， 可得 DEBF，根据“SAS”即可得出ADECBF； （2）根据平行四边形的性质可得DCACAB，根据角平分线的定义可得EAC CAB，进而得出DCAEAC，可得 AEEC，然后证明四边形 AECF 为平行四边形， 再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形 AECF 为菱形 【解答】解： （1）证明：在ABCD 中，ADBC，ABDC，BD CEAF， DCCEABAF，即 DEBF， ADECBF（SAS） （2）四边形 AECF 是菱形 在ABCD 中，ABDC， DCACAB， AC 恰好平分EAF， EACCAB， DCAEAC， AEEC ABDC，CEA
32、F， 四边形 AECF 为平行四边形， 四边形 AECF 为菱形 22 （6 分）某校为检测“停课不停学”期间九年级学生的复习情况，进行了中考数学模拟 测试并从中随机抽取了部分学生的测试成绩分成 5 个小组，根据每个小组的人数绘制如 图所示的尚不完整的频数分布直方图 请根据信息回答下列问题： （1）若成绩在 8090 分的频率为，请计算抽取的学生人数并补全频数分布直方图； （2）在此次测试中，抽取学生成绩的中位数在 7080 分数段中 （3）若该校九年级共有 960 名学生，成绩在 80 分以上的（含 80 分）为优秀，请通过计 算说明，大约有多少名学生在本次测试中数学成绩为优秀 【分析】 （
33、1）首先利用已知小组的频数和频率求得总人数，然后求得 6070 分数段的人 数，从而补全统计图即可； （2）根据总人数确定中位数的位置即可； （3）用总人数乘以成绩优秀的频率即可求得人数 【解答】解： （1）8090 分的有 9 人，频率为， 抽取的学生人数为 948 人， 6070 分的人数为 48（3+6+9+18）12 人， 补全统计图如图所示： ； （2）共 48 人， 中位数是第 24 和第 25 人的平均数， 抽取学生成绩的中位数在 7080 分数段中； 故答案为：7080； （3）960300 名， 答：约有 300 名学生在本次测试中数学成绩为优秀 23 （8 分）甲、乙两所医
34、院分别有一男一女共 4 名医护人员支援湖北武汉抗击疫情 （1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选 1 名，则所选的 2 名医护人员性别 相同的概率是 ； （2）若从支援的 4 名医护人员中随机选 2 名，用列表或画树状图的方法求出这 2 名医护 人员来自同一所医院的概率 【分析】 （1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据 概率公式即可得出答案； （2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）根据题意画图如下： 共有 4 种等可能的情况数，其中所选的 2 名医护人员性别相同的有 2 种， 则所选的 2 名医护人员
35、性别相同的概率是； 故答案为：； （2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2（注：1 表示男医护 人员，2 表示女医护人员） ，树状图如图所示： 共有 12 种等可能的结果，满足要求的有 4 种 则 P（2 名医生来自同一所医院的概率） 24 （8 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，AB （1）请利用直尺和圆规作出ABC 关于直线 AC 对称的AGC； （不要求写作法，保留 作图痕迹） （2）在 AG 边上找一点 D，使得 BD 的中点 E 满足 CEAD请利用直尺和圆规作出点 D 和点 E （不要求写作法，保留作图痕迹） 【分析】 （1）延长 BC 到
36、G，使 CGBG，然后连接 AG 即可； （2）作 AC 的垂直平分线，交 AC 于 F，连接 BF 并延长交 AG 于点 D，再作 BD 的垂直 平分线交 BD 于点 E，连接 CE，根据三角形的中位线定理，CECD，然后根据两直线 平行，内错角相等可得DACECF，ADFCEF，然后利用“角角边”可以证明 ADF 和CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可知 CEAD 【解答】解： （1）所画AGC 见图 （2）所画图形见图 作图简要步骤如下： 作 AC 的垂直平分线，交 AC 于 F 点； 连接 BF 并延长，交 AG 于 D 点； 作 BD 的垂直平分线，交 BD 于 E 点，连接 C
37、E 则 D 点和 E 点为所求 25 （8 分）某企业接到一批防护服生产任务，按要求 15 天完成，已知这批防护服的出厂价 为每件 80 元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制该企业 第 x 天生产的防护服数量为 y 件，y 与 x 之间的关系可以用图中的函数图象来刻画 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式 ； （2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前 5 天为每件 50 元，从第 6 天起每件服 装的成本比前一天增加 2 元，设第 x 天创造的利润为 w 元，直接利用（1）的结论，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润
38、出厂 价成本） 【分析】 （1）根据题意即可得出 y 与 x 的函数关系式； （2）分 0 x5 和 5x15 两种情况讨论，根据题意可得到 w 与 x 的关系式，再根据 一次函数与二次函数的性质解答 【解答】解： （1）270554， （570270）（155）30， 当 5x15 时，设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b，根据题意得： ，解得， y30 x+120， y 与 x 的函数关系式为， 故答案为：； （2）当 0 x5 时，w（8050）54x1620 x， 16200， w 随 x 的增大而增大， 当 x5 时，w最大162058100； 当 5x15 时，w80502（
39、x5）（30 x+120）60 x2+960 x+4800， 对称轴， x8 时，8640 86408100， 第 8 天时利润最大，最大利润是 8640 元 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABBC10，tanABC，点 P 是边 BC 上的一点， 在线段 AP 上取点 M，将线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PN设 BPt （1）如图 1，当点 P 在点 B，点 M 是 AP 中点时，试求 AN 的长； （2）如图 2，当时 求点 N 到 BC 边的距离（用含 t 的代数式表示） ； 当点 P 从点 B 运动至点 C 时，试求点 N 运动路径的长 【分析】 （1）根据直角
40、三角形中的勾股定理进行解答即可； （2）分 0t6 和 6t10 两种情况，利用相似三角形进行解答； 利用勾股定理进行计算即可 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ABN90，AB10， BNBMAB5， AN； （2）（）当 0t6 时（如图 1） 过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 N 作 NFBC 于点 F AEPPFN90，APF+FPN90，APF+PAE90， PAEFPN， APEPNF， ， ， FN； （）当 6t10 时， 同理可得：DN； （如图 2）点 N 的运动路径是一条线段， 当 P 与 B 重合时，FN0， 当 P 与 O 重合时，PF2， 当 P 与 C
41、 重合时，FN1，PF2， 点 N 的路径长 27 （10 分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 ymx2+2mx4（m0）的图象 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，ABC 的面积为 12 （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 D 的坐标为（2，1） ，点 P 在二次函数的图象上，ADP 为锐角，且 tanADP 2，求出点 P 的横坐标 【分析】 （1）SABCAB|yC|12，则 AB6，求出 A、B 的坐标，进而求解； （2）当点 P 在直线 AD 的下方时，tanADF2，故延长 DF 与抛物线交于点 P1， 则 P1点为所求
42、； 当点 P 在直线 AD 的上方时， 延长 P1A 至点 G 使得 AGAP1， 连接 DG， 与抛物线交于点 P2，则 P2点为所求，进而求解 【解答】解： （1）由题意可得：该二次函数图象的对称轴为直线 x1； 当 x0 时，y4， 点 C 的坐标为（0，4） ， SABCAB|yC|12， AB6， 又点 A，B 关于直线 x1 对称， A 点和 B 点的坐标分别为（4，0） ， （2，0） ， 4m+4m40，解得 m， 所求二次函数的解析式为 yx2+x4； （2）作 DFx 轴于点 F分两种情况： （）当点 P 在直线 AD 的下方时， 由（1）得点 A（4，0） ，点 D（2，
43、1） ， DF1，AF2 在 RtADF 中，AFD90，得 tanADF2， 延长 DF 与抛物线交于点 P1，则 P1点为所求 点 P1的坐标为（2，4） ； （）当点 P 在直线 AD 的上方时，延长 P1A 至点 G 使得 AGAP1，连接 DG，与抛物 线交于点 P2，则 P2点为所求 又A（4，0） ，P1（2，4） ， 点 G 的坐标是（6，4） ， 由点 G、D 的坐标得，直线 GD 的表达式为：， 联立并解得：x， 综上：点 P 横坐标为2 或 28 （10 分） 【操作体验】 如图， 已知线段 AB 和直线 l， 用直尺和圆规在 l 上作出所有的点 P， 使得APB30，
44、如图，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 AB 上方交于点 O； 第二步：连接 OA，OB； 第三步：以 O 为圆心，OA 长为半径作O，交 l 于 P1，P2； 所以图中 P1，P2即为所求的点 （1）在图中，连接 P1A，P1B，说明AP1B30； 【方法迁移】 （2）如图，用直尺和圆规在矩形 ABCD 内作出所有的点 P，使得BPC45， （不 写做法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （3）已知矩形 ABCD，BC2ABm，P 为 AD 边上的点，若满足BPC45的点 P 恰有两个，则 m 的取值范围为 2m1+ （4）已知矩形 ABCD，A
45、B3，BC2，P 为矩形 ABCD 内一点，且BPC135，若 点 P 绕点 A 逆时针旋转 90到点 Q，则 PQ 的最小值为 2 【分析】 （1）先根据等边三角形得：AOB60，则根据圆周角定理可得：AP1B 30； （2） 先作等腰直角三角形 BEC、 BFC， 再作EBC 的外接圆， 可得圆心角BOC90， 则所对的圆周角都是 45； （3） 先确定O， 根据同弧所对的圆周角相等可得 AD 在四边形 GEFH 内部时符合条件； （4）先确定O，根据圆周角定理正确画出BPC135，利用勾股定理求 OF 的长， 知道 A、P、O 在同一直线上时，AP 最小，则 PQ 的值最小，求 AE 的
46、长，即是 AP 的长， 可得 PQ 的最小值 【解答】解： （1）OAOBAB， OAB 是等边三角形， AOB60， 由图得：AP1BAOB30； （2）如图，以 B、C 为圆心，以 BC 为半径作圆，交 AB、DC 于 E、F， 作 BC 的中垂线，连接 EC，交于 O， 以 O 为圆心，OE 为半径作圆， 则上所有的点（不包括 E、F 两点）即为所求； （3）如图，同理作O， BEBC2， CE2， O 的半径为，即 OEOG， OGEF， EH1， OH1， GH1， BEABMB， 2m2+1，即 2m+1， 故答案为：2m+1； （4）如图，构建O，使COB90，在优弧上取一点 H，则CHB45 CPB135， 由旋转得：APQ 是等腰直角三角形， PQAP， PQ 取最小值时，就是 AP 取最小值， 当 P 与 E 重合时，即 A、P、O 在同一直线上时，AP 最小，则 PQ 的值最小， 在 RtAFO 中，AF1，OF3+14， AO， AEAP， PQAP（）2 故答案为：2
