1、 相似多边形模型的应用相似多边形模型的应用 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 A 型相似 X 型相似 母子型相似 一线三等角型相似 一线三垂直 教学目标 1、掌握相似模型的应用. 2、掌握相似的解题方法. 教学重点 能熟练掌握相似模型的应用. 教学难点 能熟练掌握相似模型的应用. 【教学建议教学建议】 相似这一部分知识是整个初中阶段难度较高的一部分，同时也是中考中的热门考点，在本讲教学过程 中建议结合相应题目来学习，以求达到对形似模型有一个更好的理解和应用. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一讲
2、知识的学习中，可以结合对应题型来帮助学生更好的理解三角形模型的知识. 三角形相似的判定我们已经练习了许多的习题，今天这节课我们要讲解三角形相似中的几个比较经典 的模型，来更好的理解和应用三角形相似的知识. 1、A 型相似（常考题型，注意反 A 型的应用） 2、X 型相似（角关系模型，一般由平行线产生） 3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似） 4、一线三等角型（角关系模型） 5、一线三垂直型（一线三等角性的特殊情况） 类型一 A A 型相似型相似 如图，ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下 一
3、个长HG是宽HE的 2 倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的 交点为M. (1)求证： BC (2)求这个矩形EFGH的周长； 【解析】(1)证明：四边形HEFG为矩形， HGEF， 教学过程 考点 1 相似三角形的模型 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 而ADBC， AMBC， AHGABC， BC (2)设HE=x，HG=2x， 则 -x 40 302x x ，解得x=12， 这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72(cm)； 【总结与反思】通过 A 字型相似，即可轻松理解本题的相似模型. 类型二 X X 型相似型相似
4、如图，在中，的平分线分别与、交于点、 （1）求证：； （2）当时，求的值 【解析】（1）如图，在中， 是的平分线， （2） ， ， 【总结与反思】 此题考察了 X 字型相似模型的应用. ABCDABCBFACADEF ABAF 35ABBC， AE AC ABCD/ADBC 23 BFABC 12 13 ABAF 23AEFCEB ， AEFCEB 3 5 AEAF ECBC 3 8 AE AC 例题 1 类型三：母子型相似母子型相似 在直角三角形 ABC 中，ACB=90 0，CDAB，则图中相似三角形 CD= AC= ，BC= . 【解析】ADCACB，ADCCDB，BDCBCA CD=A
5、DBD，AC=ADAB，BC=BDBA 【总结与反思】 通母子型相似模型即可得出相似三角形. 类型四：一线三等角型相似：一线三等角型相似 在ABC中，5 ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合） ， 且保持ABCAPQ. 若点P在线段CB上（如图） ，且6BP，求线段CQ的长； 若xBP ，yCQ ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； 【解析】AB=AC B=C APC=B+BAP=APQ+QPC 例题 1 例题 1 A B C 备用图 A B C P Q A B C 备用图 APQ=B BAP=QPC B=C BPACQP ABBP CPCQ 5
6、6 8 6CQ CQ=12 5 AEPPCQ 2 5x = 8xy x8 y=x 85 ABBP CPCQ 【总结与反思】此类型考察的一线三等角相似模型的使用. 类型五：一线三垂直型相似：一线三垂直型相似 已知：如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于点 F，连接 FC（ABAE） （1）AEF 与ECF 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由 （2）设 AB =k BC ，是否存在这样的 k 值，使得AEF 与BFC 相似？若存在，证明你的结论并求出 k 的值； 若不存在，说明理由 例题 1 【解析】（1）相似，理由如下： EFEC AEF+DEC
7、=90 AEF+AFE=90 DEC=AFE A=D AEFDCE AE=DE A=FEC AEFECF （2）存在如果AEF 与BFC 相似，则ECF 与BFC 相似 假设EFC=BCF，则 EFBC，明显不符合题意 只可能是ECFBCF，即AEFBCF BFC=EFC 由上问：AFE=EFC AFE=EFC=BFC=60 设 AE=a，则 BC=2a，AF= 3 a 2 ，BF= 3 a 2 AB= AB3 = BC2 ，即：k= 3 2 【总结与反思】本题考查了三角形一线三垂直相似模型的综合使用能力. 1如图所示，给出下列条件： BACD ；ADCACB； ACAB CDBC ； 2 A
8、CAD AB 其中单独能够判定ABCACD的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 2.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4. 其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 3.如图，ABCD，AD，BC 相交于点 E，过 E 作 EFAB，交 BD 于点 F，若 AB=2，CD=3，则 EF 的长为( ) A.1.2 B.2.5 C.1.5 D.不确定 4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A，C 分
9、别在 x，y 轴的正半轴 上点 Q 在对角线 OB 上，且 OQ=OC，连接 CQ 并延长，交 AB 边于点 P，则点 P 的坐标为( ) 四 、课堂运用 基础 A.)222 , 4( B.)222 , 2( C.)224 , 4( D.)224 , 2( 5.已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BEEFFC. 求 BN：NQ：QM 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】不能判定. 2.【答案】D 【解析】根据相似三角形的模型即可判断. 3. 【答案】A 【解析】AEBDEC，DE：EC=2:3， BEFBCD，EF：DC=BE：BC=2:5
10、，DC=3，EF=1.2. 4.【答案】D 【解析】 根据 X 字型相似即可得出. 5.【答案】见解析 【解析】 连接 MF M 是 AC 的中点，EFFC MFAE 且 MF 2 1 AE BENBFM BN：BMBE：BFNE：MF BEEF BN：BMNE：MF1:2 BN：NM1:1 设 NEx，则 MF2x，AE4x AN3x MFAE NAQMFQ NQ：QMAN：MF3:2 BN：NM1:1，NQ：QM3:2 BN：NM：QM=5:3:2 1.如图， 在ABC中，C9060BD ， ，是AC上一点，DEAB于E， 且21CDDE， 则BC的长为（ ） A2 B 4 3 3 C2
11、3 D4 3 2.在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，AED=B，如果 AE=2，ADE 的面积为 4，四边形 BCED 的面 积为 5，那么 AB 的长为( ) A.3 B. 9 2 C. 4 3 D. 5 2 3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 交 AC 于点 G， AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则 AC 的长为( ) A.9cm B.14cm 巩固 C.15cm D.18cm 4.在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 E，连接 DE 交 AC 于点 P，过 P
12、 作 PFBC，垂足为 F，则 CF CB 的值为( ) A.B. C.D. 答案与解析答案与解析 1. 【答案】B 【解析】根据 A 字型相似，即可得出ADEACB. 2.【答案】A 【解析】面积之比等于对应边之比的平方. 3.【答案】C 【解析】延长 FE 交 CB 延长线于一点 N，根据FABNBE 得出 AF：NB=1:1，NB=2； 根据AFGCNG 得出 AG：CG=AF：CN=2:8=1:4； 因为 AG=3，CG=12，AG=15 4. 【答案】B 【解析】根据 X 字型相似：ADPCEP，得到 AP：CP=2：1， 根据 A 字型相似：ABCPFC，得到 CF：CB=CP:C
13、A=1:3 拔高 1.如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F. 求证： 2.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图 1，在ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于 点 G，若，求的值. （1）尝试探究 在图 1 中，过点 E 作交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸 如图 2，在原题的条件下，若)0(mm EF AF , 则的值是 （用含的代
14、数式表示） ，试写 出解答过程. （3）拓展迁移 如图 3，梯形 ABCD 中，DCAB，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F，若 ，则的值是 （用含的代数式表示）. 3 EF AFCD CG EHAB CD CG CD CG m ,(0,0) ABBC ab ab CDBE AF EF , a b 3.等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使 30角的顶 点落在点P，三角板绕P点旋转 （1）如图 1，三角板两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点P旋转到图 2 的情形时，三角
15、板的两边分别交BA 的延长线、边AC于点E，F 探究 1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连接EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由 设EF=m，EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】 证明：（方法一）如图 图2图1 A BC E F PP F E CB A 延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM BE=CE，AEB=MEC BEACEM CM=AB，1=B ABCM M=MAD，MCF=ADF MCFADF CM=AB，AD=AC （方法二） 过 D 作 DGBC 交 AE 于 G 则ABEADG，CEFD
16、GF ， AD=AC，BE=CE 2.【答案】见解析 【解析】 （1）如图 1，利用得EHFABF，对应边成比例得 AB=3EH，然后利用中位线定理得 CG=2EH，又CD=AB，得出 CD 与 CG 的关系； （2）与（1）方法道理都相同； （ 3 ） 此 问 是（ 1 ） 、 （2 ） 类 比 、 拓展 延 伸，根 据 前 面 问题 研 究方法 ， 要 利 用所 给 条件 EHAB ， 所以添加如图 3， 过点 E 作 EHAB 交 BD 的延长线于点 H， 则有, ,两式相比就可得出 （1） (2) 作 EHAB 交 BG 于点 H，则EHFABF AB=CD， EHABCD，BEHBC
17、G ，CG=2EH （3） 3.【答案】见解析 【解析】 （1）证明：AB=AC，BAC=120 B=C=30 EPF=30 BPE+CPF=150 BPE+BEP=150 CPF=BEP ,(0,0) ABBC ab ab CDBE EH CD BE BC EH AB EF AF ab EF AF 3 3;2; 2 ABEH CGEH 2 m , ABAF m ABmEH EHEF CDmEH 2 CGBC EHBE . 22 CDmEHm CGEH ab BPECFP （2）解：相似 相似，理由如下： BPECFP BEPE CPFP BP=CP BEPE BPFP B=EPF BPEPF
18、E 连接AP，过P作PMAB、PNEF，分别交AB，EF的延长线于点M，N AB=AC，P为BC的中点 APBC 由（1）得：B=30 BP=4 3 PMAB PM=2 3 由上问知：BPEPFE BEP=PEF EP是BEF的平分线 PM=PN=2 3 SEPF= 1 2 EF PN= 1 2 3 2 m= 3m N M CP F E B A 图2 本节的重要内容：相似三角形模型： 1、A 型相似（常考题型，注意反 A 型的应用） 2、X 型相似（角关系模型，一般由平行线产生） 3、母子型相似（常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似） 4、一线三等角型（角关系模型） 5、一
19、线三垂直型（一线三等角性的特殊情况） 1.如图，在 RtABC 中，ACBC，CDAB 于点 D，若 AC=8，AD=6，则 BD 的长为( ) A.B. C.D. 2.如图，在ABC 中，CDAB 于点 D下列条件：； 其中能证明ABC 是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 3、如图，直线，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则 AE:EC=( ) A.5:2 B.4:1 C.2:1 D.3:2 4、如图，ABCD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足BEF=C，其中AF=6，DF=3， CF=2，则AE=_ 答案与解析
20、答案与解析 1.【答案】B 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 2.【答案】D 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 3.【答案】C 【解析】通过题意可得到AGFBDF，AGECDE.代换即可得出. 4.【答案】10 3 【解析】通过题意可得到ABFDCF，BEFDCF.代换即可得出. 1. 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AC 边上，且 AE:EC=1:2，BE 交 AD 于点 P，则 AP:PD 的 值为( ) A.1 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 4 B CD EF A 巩固 DBC A 2.如图，在ABC 中，M 为 AC 的中点，E 为 AB
21、 上一点，且 AB=4AE，连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于点 D， 则 BC:CD=( ) A.4:1 B.2:1 C.7:3 D.5:2 3.如图， 在 RtABC中， BAC=90，ADBC于点D， 若BD:CD=3:2，则 AC:AB=（ ） A 3 2 B 2 3 C 6 2 D 6 3 4.如图，小明在A时刻测得某树的影长为 2 m，B时刻又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂 直，则树的高度为_ 5.如图，P为ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD，BC，CD的延长线、AB的延长线分别交于点E， F，G，H 求证：PE PGPF PH 6.如图 1 所示
22、，ABBD，CDBD，垂足分别为B，DAD，BC交于点E，过E作EFBD于点F，则可以得到 A时 B时 A B D CE F G H P G F E DC BA 111 ABCDEF 若将图 1 中的垂直改为斜交，如图 2 所示，ABCD，AD，BC交于点E，过E作EFAB 交BD于点F，试问： 111 ABCDEF 还成立吗？请说明理由 答案与解析答案与解析 1. 【答案】A 【解析】过 D 点作 DNBE，得到CBECDN，APEADN.代换即可得出. 2. 【答案】B 【解析】过 C 点作 CNBD，得到BCNBDE，AEMANC.代换即可得出. 3.【答案】D 【解析】根据母子型相似的
23、性质即可得出. 4.【答案】4m 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 5.【答案】见解析 【解析】证明：在ABCD中 ADBC,DCAB GCPHAP PHPA GPPC ADBC APECPF PAPE PCPF PHPE GPPF PE PG PF PH F E D C B A 图1 F E D C B A 图2 6.见解析 【解析】成立 EFHB EFDF ABBD EFAB，ABCD EFCD EFBF CDBD EFEFDFBF ABCDBDBD EFEFDFBF ABCDBD 1 EFEF ABCD 111 ABCDEF 1.如图，正三角形 ABC 的边长为 3+ （1）如图，
24、正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以点 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN，且使正方形 EFPN的面积最大（不要求 写作法） ； （2）求（1）中作出的正方形 EFPN的边长； （3）如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在 边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由 拔高 2.（2012 宜宾）如图，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF 与ABC 重合在一起
25、， ABC 不动， ABC 不动， DEF 运动， 并满足： 点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动， 且 DE、 始终经过点 A， EF 与 AC 交于 M 点 （1）求证：ABEECM； （2）探究：在DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理 由； （3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积 3.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是 45，求 这个正比例函数的表达式 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）如图，正方形即为所求 （2）设正方形的边长为 为正三角
26、形， A x y O EFPN EFPNx ABC ，即 （3）如图，连接，则 设正方形、正方形的边长分别为， 它们的面积和为，则， 延长交于点，则 在中， ，即 ）当时，即时，最小 ）当最大时，最大 即当最大且最小时，最大 ，由（2）知， 3 = 3 AE BFx 2 3 +=3+ 3 3 xx 9+3 3 = 2 3+3 x=3 3-3x NEEP PN，=90NEP DEMNEFPHmn、mn S= 2NEm= 2PEn 2222222 =+=2+2=2+PNNEPEmnmn 222 1 = 2 SmnPN PHNDGPGND Rt PGN 22 222 =+=+-PNPGGNm nm
27、n 33 + + += 3+3 33 m m nn+ =3m n 22191 =3 222 Smnmn 2 -=0m n=m nS 2 19 =3 = 22 S 最小 2 -m nS mnS + =3m n=3 3-3m最大 =3-=3- 3 3-3 =6-3 3nm 最小最大 21 =9+- 2 Smn 最大最大最小 2 1 =9+ 3 3-3-6+3 3=99-54 3 2 2.【答案】见解析 【解析】（1）证明：AB=AC， B=C， ABCDEF， AEF=B， 又AEF+CEM=AEC=B+BAE， CEM=BAE， ABEECM； （2）解：AEF=B=C，且AMEC， AMEAE
28、F， AEAM； 当 AE=EM 时，则ABEECM， CE=AB=5， BE=BCEC=65=1， 当 AM=EM 时，则MAE=MEA， MAE+BAE=MEA+CEM， 即CAB=CEA， 又C=C， CAECBA， ， CE=， BE=6=； （3）解：设 BE=x， 又ABEECM， ， 即：， CM=+ x= （x3） 2+ ， AM=5CM （x3） 2+ ， 当 x=3 时，AM 最短为， 又当 BE=x=3= BC 时， 点 E 为 BC 的中点， AEBC， AE=4， 此时，EFAC， EM=， SAEM= 3.【答案】见解析 【解析】分两种情况 第一种情况，图象经过第一
29、、三象限 过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：OAB= OCA= D=90 由三等角模型知：OCAADB OC ACOA ADBDAB A(2，1)，AOB=45 OC=2，AC=1，AO=AB AD=OC=2，BD=AC=1 D C B O y x A D点坐标为(2，3) B点坐标为(1，3) 此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BDAC 则由上可知：OAB= OCA= D=90 由三等角模型知：OCAADB OC ACOA ADBDAB A(2，1)，AOB=45 OC=1，AC=2，AO=AB AD=OC=1，BD=AC=2 D点坐标为(3，1) B点坐标为(3，-1) 此时正比例函数表达式为：y= 1 3 -x A x y O B C D 七 、教学反思
