【BSD版秋季课程初三数学】第11讲:相似多边形模型的应用_教案

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1、 相似多边形模型的应用相似多边形模型的应用 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 A 型相似 X 型相似 母子型相似 一线三等角型相似 一线三垂直 教学目标 1、掌握相似模型的应用. 2、掌握相似的解题方法. 教学重点 能熟练掌握相似模型的应用. 教学难点 能熟练掌握相似模型的应用. 【教学建议教学建议】 相似这一部分知识是整个初中阶段难度较高的一部分,同时也是中考中的热门考点,在本讲教学过程 中建议结合相应题目来学习,以求达到对形似模型有一个更好的理解和应用. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一讲

2、知识的学习中,可以结合对应题型来帮助学生更好的理解三角形模型的知识. 三角形相似的判定我们已经练习了许多的习题,今天这节课我们要讲解三角形相似中的几个比较经典 的模型,来更好的理解和应用三角形相似的知识. 1、A 型相似(常考题型,注意反 A 型的应用) 2、X 型相似(角关系模型,一般由平行线产生) 3、母子型相似(常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似) 4、一线三等角型(角关系模型) 5、一线三垂直型(一线三等角性的特殊情况) 类型一 A A 型相似型相似 如图,ABC,是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下 一

3、个长HG是宽HE的 2 倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的 交点为M. (1)求证: BC (2)求这个矩形EFGH的周长; 【解析】(1)证明:四边形HEFG为矩形, HGEF, 教学过程 考点 1 相似三角形的模型 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 而ADBC, AMBC, AHGABC, BC (2)设HE=x,HG=2x, 则 -x 40 302x x ,解得x=12, 这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72(cm); 【总结与反思】通过 A 字型相似,即可轻松理解本题的相似模型. 类型二 X X 型相似型相似

4、如图,在中,的平分线分别与、交于点、 (1)求证:; (2)当时,求的值 【解析】(1)如图,在中, 是的平分线, (2) , , 【总结与反思】 此题考察了 X 字型相似模型的应用. ABCDABCBFACADEF ABAF 35ABBC, AE AC ABCD/ADBC 23 BFABC 12 13 ABAF 23AEFCEB , AEFCEB 3 5 AEAF ECBC 3 8 AE AC 例题 1 类型三:母子型相似母子型相似 在直角三角形 ABC 中,ACB=90 0,CDAB,则图中相似三角形 CD= AC= ,BC= . 【解析】ADCACB,ADCCDB,BDCBCA CD=A

5、DBD,AC=ADAB,BC=BDBA 【总结与反思】 通母子型相似模型即可得出相似三角形. 类型四:一线三等角型相似:一线三等角型相似 在ABC中,5 ACAB,8BC,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合) , 且保持ABCAPQ. 若点P在线段CB上(如图) ,且6BP,求线段CQ的长; 若xBP ,yCQ ,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域; 【解析】AB=AC B=C APC=B+BAP=APQ+QPC 例题 1 例题 1 A B C 备用图 A B C P Q A B C 备用图 APQ=B BAP=QPC B=C BPACQP ABBP CPCQ 5

6、6 8 6CQ CQ=12 5 AEPPCQ 2 5x = 8xy x8 y=x 85 ABBP CPCQ 【总结与反思】此类型考察的一线三等角相似模型的使用. 类型五:一线三垂直型相似:一线三垂直型相似 已知:如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,EFEC 交 AB 于点 F,连接 FC(ABAE) (1)AEF 与ECF 是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,说明理由 (2)设 AB =k BC ,是否存在这样的 k 值,使得AEF 与BFC 相似?若存在,证明你的结论并求出 k 的值; 若不存在,说明理由 例题 1 【解析】(1)相似,理由如下: EFEC AEF+DEC

7、=90 AEF+AFE=90 DEC=AFE A=D AEFDCE AE=DE A=FEC AEFECF (2)存在如果AEF 与BFC 相似,则ECF 与BFC 相似 假设EFC=BCF,则 EFBC,明显不符合题意 只可能是ECFBCF,即AEFBCF BFC=EFC 由上问:AFE=EFC AFE=EFC=BFC=60 设 AE=a,则 BC=2a,AF= 3 a 2 ,BF= 3 a 2 AB= AB3 = BC2 ,即:k= 3 2 【总结与反思】本题考查了三角形一线三垂直相似模型的综合使用能力. 1如图所示,给出下列条件: BACD ;ADCACB; ACAB CDBC ; 2 A

8、CAD AB 其中单独能够判定ABCACD的个数为( ) A1 B2 C3 D4 2.如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 2,DE 是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)CDECAB,(3)CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1:4. 其中正确的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 3.如图,ABCD,AD,BC 相交于点 E,过 E 作 EFAB,交 BD 于点 F,若 AB=2,CD=3,则 EF 的长为( ) A.1.2 B.2.5 C.1.5 D.不确定 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A,C 分

9、别在 x,y 轴的正半轴 上点 Q 在对角线 OB 上,且 OQ=OC,连接 CQ 并延长,交 AB 边于点 P,则点 P 的坐标为( ) 四 、课堂运用 基础 A.)222 , 4( B.)222 , 2( C.)224 , 4( D.)224 , 2( 5.已知:如图,在ABC 中,M 是 AC 的中点,E、F 是 BC 上的两点,且 BEEFFC. 求 BN:NQ:QM 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】不能判定. 2.【答案】D 【解析】根据相似三角形的模型即可判断. 3. 【答案】A 【解析】AEBDEC,DE:EC=2:3, BEFBCD,EF:DC=BE:BC=2:5

10、,DC=3,EF=1.2. 4.【答案】D 【解析】 根据 X 字型相似即可得出. 5.【答案】见解析 【解析】 连接 MF M 是 AC 的中点,EFFC MFAE 且 MF 2 1 AE BENBFM BN:BMBE:BFNE:MF BEEF BN:BMNE:MF1:2 BN:NM1:1 设 NEx,则 MF2x,AE4x AN3x MFAE NAQMFQ NQ:QMAN:MF3:2 BN:NM1:1,NQ:QM3:2 BN:NM:QM=5:3:2 1.如图, 在ABC中,C9060BD , ,是AC上一点,DEAB于E, 且21CDDE, 则BC的长为( ) A2 B 4 3 3 C2

11、3 D4 3 2.在ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 边上,AED=B,如果 AE=2,ADE 的面积为 4,四边形 BCED 的面 积为 5,那么 AB 的长为( ) A.3 B. 9 2 C. 4 3 D. 5 2 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,F 为 AD 上一点,EF 交 AC 于点 G, AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,则 AC 的长为( ) A.9cm B.14cm 巩固 C.15cm D.18cm 4.在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 作 OEBC,垂足为 E,连接 DE 交 AC 于点 P,过 P

12、 作 PFBC,垂足为 F,则 CF CB 的值为( ) A.B. C.D. 答案与解析答案与解析 1. 【答案】B 【解析】根据 A 字型相似,即可得出ADEACB. 2.【答案】A 【解析】面积之比等于对应边之比的平方. 3.【答案】C 【解析】延长 FE 交 CB 延长线于一点 N,根据FABNBE 得出 AF:NB=1:1,NB=2; 根据AFGCNG 得出 AG:CG=AF:CN=2:8=1:4; 因为 AG=3,CG=12,AG=15 4. 【答案】B 【解析】根据 X 字型相似:ADPCEP,得到 AP:CP=2:1, 根据 A 字型相似:ABCPFC,得到 CF:CB=CP:C

13、A=1:3 拔高 1.如图:ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F. 求证: 2.类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整. 原题:如图 1,在ABCD 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 是线段 AE 上一点,BF 的延长线交射线 CD 于 点 G,若,求的值. (1)尝试探究 在图 1 中,过点 E 作交 BG 于点 H,则 AB 和 EH 的数量关系是 ,CG 和 EH 的数量关系是 ,的值是 (2)类比延伸 如图 2,在原题的条件下,若)0(mm EF AF , 则的值是 (用含的代

14、数式表示) ,试写 出解答过程. (3)拓展迁移 如图 3,梯形 ABCD 中,DCAB,点 E 是 BC 延长线上一点,AE 和 BD 相交于点 F,若 ,则的值是 (用含的代数式表示). 3 EF AFCD CG EHAB CD CG CD CG m ,(0,0) ABBC ab ab CDBE AF EF , a b 3.等腰ABC,AB=AC=8,BAC=120,P为BC的中点,小慧拿着含 30角的透明三角板,使 30角的顶 点落在点P,三角板绕P点旋转 (1)如图 1,三角板两边分别交AB,AC于点E,F时,求证:BPECFP; (2)操作:将三角板绕点P旋转到图 2 的情形时,三角

15、板的两边分别交BA 的延长线、边AC于点E,F 探究 1:BPE与CFP还相似吗?(只需写出结论) 探究 2:连接EF,BPE与PFE是否相似?请说明理由 设EF=m,EPF的面积为S,试用含m的代数式表示S 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】 证明:(方法一)如图 图2图1 A BC E F PP F E CB A 延长 AE 到 M 使得 EM=AE,连接 CM BE=CE,AEB=MEC BEACEM CM=AB,1=B ABCM M=MAD,MCF=ADF MCFADF CM=AB,AD=AC (方法二) 过 D 作 DGBC 交 AE 于 G 则ABEADG,CEFD

16、GF , AD=AC,BE=CE 2.【答案】见解析 【解析】 (1)如图 1,利用得EHFABF,对应边成比例得 AB=3EH,然后利用中位线定理得 CG=2EH,又CD=AB,得出 CD 与 CG 的关系; (2)与(1)方法道理都相同; ( 3 ) 此 问 是( 1 ) 、 (2 ) 类 比 、 拓展 延 伸,根 据 前 面 问题 研 究方法 , 要 利 用所 给 条件 EHAB , 所以添加如图 3, 过点 E 作 EHAB 交 BD 的延长线于点 H, 则有, ,两式相比就可得出 (1) (2) 作 EHAB 交 BG 于点 H,则EHFABF AB=CD, EHABCD,BEHBC

17、G ,CG=2EH (3) 3.【答案】见解析 【解析】 (1)证明:AB=AC,BAC=120 B=C=30 EPF=30 BPE+CPF=150 BPE+BEP=150 CPF=BEP ,(0,0) ABBC ab ab CDBE EH CD BE BC EH AB EF AF ab EF AF 3 3;2; 2 ABEH CGEH 2 m , ABAF m ABmEH EHEF CDmEH 2 CGBC EHBE . 22 CDmEHm CGEH ab BPECFP (2)解:相似 相似,理由如下: BPECFP BEPE CPFP BP=CP BEPE BPFP B=EPF BPEPF

18、E 连接AP,过P作PMAB、PNEF,分别交AB,EF的延长线于点M,N AB=AC,P为BC的中点 APBC 由(1)得:B=30 BP=4 3 PMAB PM=2 3 由上问知:BPEPFE BEP=PEF EP是BEF的平分线 PM=PN=2 3 SEPF= 1 2 EF PN= 1 2 3 2 m= 3m N M CP F E B A 图2 本节的重要内容:相似三角形模型: 1、A 型相似(常考题型,注意反 A 型的应用) 2、X 型相似(角关系模型,一般由平行线产生) 3、母子型相似(常见的是通过做直角三角形斜边上的高产生的三个三角形的相似) 4、一线三等角型(角关系模型) 5、一

19、线三垂直型(一线三等角性的特殊情况) 1.如图,在 RtABC 中,ACBC,CDAB 于点 D,若 AC=8,AD=6,则 BD 的长为( ) A.B. C.D. 2.如图,在ABC 中,CDAB 于点 D下列条件:; 其中能证明ABC 是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 3、如图,直线,若 AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则 AE:EC=( ) A.5:2 B.4:1 C.2:1 D.3:2 4、如图,ABCD,线段BC,AD相交于点F,点E是线段AF上一点且满足BEF=C,其中AF=6,DF=3, CF=2,则AE=_ 答案与解析

20、答案与解析 1.【答案】B 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 2.【答案】D 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 3.【答案】C 【解析】通过题意可得到AGFBDF,AGECDE.代换即可得出. 4.【答案】10 3 【解析】通过题意可得到ABFDCF,BEFDCF.代换即可得出. 1. 如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 E 在 AC 边上,且 AE:EC=1:2,BE 交 AD 于点 P,则 AP:PD 的 值为( ) A.1 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 4 B CD EF A 巩固 DBC A 2.如图,在ABC 中,M 为 AC 的中点,E 为 AB

21、 上一点,且 AB=4AE,连接 EM 并延长,交 BC 的延长线于点 D, 则 BC:CD=( ) A.4:1 B.2:1 C.7:3 D.5:2 3.如图, 在 RtABC中, BAC=90,ADBC于点D, 若BD:CD=3:2,则 AC:AB=( ) A 3 2 B 2 3 C 6 2 D 6 3 4.如图,小明在A时刻测得某树的影长为 2 m,B时刻又测得该树的影长为 8 m,若两次日照的光线互相垂 直,则树的高度为_ 5.如图,P为ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD,BC,CD的延长线、AB的延长线分别交于点E, F,G,H 求证:PE PGPF PH 6.如图 1 所示

22、,ABBD,CDBD,垂足分别为B,DAD,BC交于点E,过E作EFBD于点F,则可以得到 A时 B时 A B D CE F G H P G F E DC BA 111 ABCDEF 若将图 1 中的垂直改为斜交,如图 2 所示,ABCD,AD,BC交于点E,过E作EFAB 交BD于点F,试问: 111 ABCDEF 还成立吗?请说明理由 答案与解析答案与解析 1. 【答案】A 【解析】过 D 点作 DNBE,得到CBECDN,APEADN.代换即可得出. 2. 【答案】B 【解析】过 C 点作 CNBD,得到BCNBDE,AEMANC.代换即可得出. 3.【答案】D 【解析】根据母子型相似的

23、性质即可得出. 4.【答案】4m 【解析】根据母子型相似的性质即可得出. 5.【答案】见解析 【解析】证明:在ABCD中 ADBC,DCAB GCPHAP PHPA GPPC ADBC APECPF PAPE PCPF PHPE GPPF PE PG PF PH F E D C B A 图1 F E D C B A 图2 6.见解析 【解析】成立 EFHB EFDF ABBD EFAB,ABCD EFCD EFBF CDBD EFEFDFBF ABCDBDBD EFEFDFBF ABCDBD 1 EFEF ABCD 111 ABCDEF 1.如图,正三角形 ABC 的边长为 3+ (1)如图,

24、正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上,顶点 N 在边 AC 上,在正三角形 ABC 及其内部,以点 A 为位似中心,作正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN,且使正方形 EFPN的面积最大(不要求 写作法) ; (2)求(1)中作出的正方形 EFPN的边长; (3)如图,在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH,使得 DE、EF 在边 AB 上,点 P、N 分别在 边 CB、CA 上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由 拔高 2.(2012 宜宾)如图,在ABC 中,已知 AB=AC=5,BC=6,且ABCDEF,将DEF 与ABC 重合在一起

25、, ABC 不动, ABC 不动, DEF 运动, 并满足: 点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动, 且 DE、 始终经过点 A, EF 与 AC 交于 M 点 (1)求证:ABEECM; (2)探究:在DEF 运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出 BE 的长;若不能,请说明理 由; (3)当线段 AM 最短时,求重叠部分的面积 3.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是 45,求 这个正比例函数的表达式 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】(1)如图,正方形即为所求 (2)设正方形的边长为 为正三角

26、形, A x y O EFPN EFPNx ABC ,即 (3)如图,连接,则 设正方形、正方形的边长分别为, 它们的面积和为,则, 延长交于点,则 在中, ,即 )当时,即时,最小 )当最大时,最大 即当最大且最小时,最大 ,由(2)知, 3 = 3 AE BFx 2 3 +=3+ 3 3 xx 9+3 3 = 2 3+3 x=3 3-3x NEEP PN,=90NEP DEMNEFPHmn、mn S= 2NEm= 2PEn 2222222 =+=2+2=2+PNNEPEmnmn 222 1 = 2 SmnPN PHNDGPGND Rt PGN 22 222 =+=+-PNPGGNm nm

27、n 33 + + += 3+3 33 m m nn+ =3m n 22191 =3 222 Smnmn 2 -=0m n=m nS 2 19 =3 = 22 S 最小 2 -m nS mnS + =3m n=3 3-3m最大 =3-=3- 3 3-3 =6-3 3nm 最小最大 21 =9+- 2 Smn 最大最大最小 2 1 =9+ 3 3-3-6+3 3=99-54 3 2 2.【答案】见解析 【解析】(1)证明:AB=AC, B=C, ABCDEF, AEF=B, 又AEF+CEM=AEC=B+BAE, CEM=BAE, ABEECM; (2)解:AEF=B=C,且AMEC, AMEAE

28、F, AEAM; 当 AE=EM 时,则ABEECM, CE=AB=5, BE=BCEC=65=1, 当 AM=EM 时,则MAE=MEA, MAE+BAE=MEA+CEM, 即CAB=CEA, 又C=C, CAECBA, , CE=, BE=6=; (3)解:设 BE=x, 又ABEECM, , 即:, CM=+ x= (x3) 2+ , AM=5CM (x3) 2+ , 当 x=3 时,AM 最短为, 又当 BE=x=3= BC 时, 点 E 为 BC 的中点, AEBC, AE=4, 此时,EFAC, EM=, SAEM= 3.【答案】见解析 【解析】分两种情况 第一种情况,图象经过第一

29、、三象限 过点A作ABOA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BDAC 则由上可知:OAB= OCA= D=90 由三等角模型知:OCAADB OC ACOA ADBDAB A(2,1),AOB=45 OC=2,AC=1,AO=AB AD=OC=2,BD=AC=1 D C B O y x A D点坐标为(2,3) B点坐标为(1,3) 此时正比例函数表达式为:y3x 第二种情况,图象经过第二、四象限 过点A作ABOA,交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BDAC 则由上可知:OAB= OCA= D=90 由三等角模型知:OCAADB OC ACOA ADBDAB A(2,1),AOB=45 OC=1,AC=2,AO=AB AD=OC=1,BD=AC=2 D点坐标为(3,1) B点坐标为(3,-1) 此时正比例函数表达式为:y= 1 3 -x A x y O B C D 七 、教学反思

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