1、 一次函数的应用 第 11 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 确定正比例函数的表达式 用待定系数法确定一次函数的表达式 一次函数与一元一次方程的关系 单个一次函数图像的应用 两个一次函数图像的应用 一次函数的几何应用（求点的坐标和面积问题）以及实际应用 教学目标 1、了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待 定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题 2、进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 3、在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结
2、合意识，发展形象思维； 4、在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意 识 5、在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学 习数学的兴趣 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息 【教学建议教学建议】 概 述 本节课主要从函数图象中正确的获取信息，从而解决实际问题，因此应注重训练学生的识图能力,培养 学生的数形结合意识，发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识 【知识导图】【知识导图】 六一儿童节，某学习用品销售商店推出两种优惠方法：购 1 个书包，赠送 1 支水性笔；购书包和 水性笔一律按 9 折
3、优惠。其中，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元。小丽和同学需买 4 个书包，水 性笔若干支（不少于 4 支）。 （1）分别写出两种优惠方法购买费用 21,y y （元）与所买水性笔支数x（支）的函数解析式（请化简函数 解析式）； （2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜。 问题：类似这样的实际问题我们该如何解答？本节课我们将共同研究此类问题。 一次函数一次函数的应用的应用 待定系数法确定一次函数的表达式待定系数法确定一次函数的表达式 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程的关系 一次函数图像的应用一次函数图像的应用 二、知识讲解 一、导入 考点 1
4、待定系数法求一次函数解析式 教学过程 内容 1： 提供两个问题情境，供老师选用 实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的 关系如图所示 (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑 3 秒时物体的速度是多少？ 分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据 函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可 实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x 的关系如图所示 （1）这是一次多少米的赛跑？ （2）甲、乙二人谁先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人y与x的函数关系式 目的
5、：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学 生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实 践感受到确定正比例函数只需一个条件情景一、二可根据学生情况进行选 取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式 教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先 求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并 突出待定系数法 内容 2： 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？ 目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念基本量由于一 次函数有两个基本量k
6、、b，所以需要两个条件来确定 求函数表达式的步骤有：求函数表达式的步骤有： 1设一次函数表达式 2根据已知条件列出有关方程 3解方程 4把求出的k，b值代回到表达式中即可 目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字 母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法待定系数法 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零 钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持 有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 y 与 之间
7、的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是 26 元,试问他一共带了多少 千克土豆? 处理方式：处理方式：让学生通过上节课的知识来解决问题，先让学生根据图像回答第一问。然后通过计算解决剩下 的问题。让学生进行口头回答问题的答案。教师指出在同一坐标系的两个图像，怎样识别，怎样读取信息， 从而引新课。 设计意图设计意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 一元一次方程 0.5x+1=0 与一次函数 y=0.5x+1 有什么联系？（当一次函数 y=0.5x+1 的函数值为 0 时， 相
8、应的自变量的值即为方程 0.5x+1=0 的解。函数 y=0.5x+1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5x+1=0 的解。 探究学习。感悟新知探究学习。感悟新知 如图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2反映了该公司产品的销售量的关系，根据 图象填空。 x/ x/ 吨吨 y/y/元元 O O1 12 23 34 45 56 6 10001000 40004000 50005000 20002000 30003000 60006000 l l2 2 l l1 1 当销售量为 2 吨时，销售收入=_元，销售成本=_元； 当销售量为 6 吨时，销售收入=_元，销售成本=_元；
9、 当销售量等于_时，销售收入等于销售成本； 当销售量_时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_时，该公亏损（收入小于成 本）； 考点 2 一次函数与一元一次的关系 考点 3 一次函数的应用 L1对应的函数表达式是_；L2对应的函数表达式是_ 解解：（1）当销售量为 2 吨时，销售收入=2000 元，销售成本为 3000 元； （2）当销售量为 6 吨时，销售收入=6000 元，销售成本=5000 元； （3）当销售量等于 4 吨时，销售收入等于销售成本； （4）当销售量大于 4 号时，该公司赢利，当销售量小于 4 吨时，该公司亏损。 （5）L1经过原点和（4，4000），设表达式为 y=kx
10、，把（4，4000）代入，得 4000=4k，所以 k=1000 所以 L1的表达式为 y=1000 x，L2经过点（0，2000）和（4，4000），设表达式为 y=kx+b。 根据题意，得 b=2000 4k+b=4000 把代入，得 4k+2000=4000，所以 k=500 所以 L2的表达式为 y=500 x+2000 处理方式：处理方式：让学生根据图像回答。回答不出来的教师适当点拨，特别是第五问，教师要适当讲解。但要根 据上课情况而确定。可以引导学生这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？来解决问题。 设计意图设计意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意
11、识通过问题串的 精心设计，引导学 生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题在此过程中渗透数形结合的 思想方法，发展学生的数学应用能力 想一想：想一想： 上图中 1 l对应的一次函数 y=k1x+b1中， k1 和 b1的实际意义各是什么？ 2 l对应的一次函数 y=k2x+b2 中，k2和 b2的实际意义各是什么？ 处理方式：处理方式：让学生对照图形说出实际意义。不能解决时要加强讨论。教师要适当点拨。 例题解析、深入探究例题解析、深入探究 例例 我边防局接到情报， 近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶 边防局迅速派出快艇 B追赶 （如图） ， 下图中 1 l， 2 l
12、分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系 根据图 象回答下列问题：(见多媒体课件) （1）哪条线表示B到海岸的距离与时 间之间的关系？ 解：观察图象，得当0t时，B距海岸 0 n mile，即0S，故 1 l表 示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系； （2 ）A，B哪个速度快？ 解： 从 0 增加到 10 时，2l的纵坐标增加了 2， 而 1 l的纵坐标增加了 5， 即 10 min 内，A行驶了 2 海里，B行驶了 5 n mile，所以B的速度快 （3）15 min 内B能否追上A？ 解：可以看出，当15t时， 1 l上对应点在 2 l 上对应点的下方， （4）如
13、果一直追下去，那么B能否追上A？ 解：如图 1 l ， 2 l相交于点 P因此，如果一直追下去，那么B一定能追上 A （5）当A逃到离海岸 2 l海里的公海时，B将无法对其进行检查照此速 度，B能否在A逃到公海前将其拦截？ 解：从图中可以看出， 1 l与 2 l交点 P 的纵坐标小于 2 l，这说明在A逃入公 海前，我边防快艇B能够追上Aw （6） 1 l与 2 l对应的两个一次函数 y=k1x+b1与 y=k2x+b2中， k1,k2的实际意义 各是什么？可疑船只 A 与快艇 B 的速度各是多少? 解：k1表示快艇 B 的速度，k2表示可疑船只的速度。可疑船只 A 的速度是 0.2n mil
14、e/min.快艇 B 的速 0.5n mile/min 处理方式：处理方式： 引导学生学生回答， 主要让学生能够学会如何用图像来回答问题。 学生不能回答的要小组讨论。 然后让学生回答小组讨论的结果，教师指出正确的答案。 教师要引导学生部不同的方法解决问题。 设计意图设计意图：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系 回顾反思。提炼升华回顾反思。提炼升华 内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上 获取信息解决问题， 当然也可以设法得出各自对应的函数关系式， 然后借助关系式完全通过计算解决问题。 通过列出关系式解决问题时
15、，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定 是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果 类型一 待定系数法求一次函数解析式 1.已知正比例函数0ykx k的图象经过（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ） A.2yx B. 2yx C. 1 2 yx D. 1 2 yx 【解析】B 三 、例题精析 -2-1 3 2 0 4 21 1 x y 【总结与反思】待定系数法求一次函数解析式 2.如图，直线l是一次函数bkxy的图象，填空： （1）b ，k ； （2）当30 x时，y ； （3）当30y时，x 【解析】（1）
16、3 2 , 2kb ；（2）18；（3）42 【总结与反思】待定系数法求一次函数解析式 类型二 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，看图填空： （1）当 x=0 时，y=_，当 x=_时，y=0； （2）k=_，b=_； （3）当 x=5 时，y=_，当 y=30 时，x=_. 【解析】（）2, 4xy;（）4, 2bk;（）13, 6xy. 【总结与反思】一次函数与一元一次方程的关系及待定系数法求一次函数解析式 类型三 一次函数的应用 1.某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程 盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系如图所
17、示观察图象回答下列问题： （1）盒内原来有多少元？2 个月后盒内有多少元？ （2）该同学经过几个月能存够 200 元？ （3）该同学至少存几个月存款才能超过 140 元？ 【解析】（1）40，80 （2）当时，200y 8x ,所以该同学经过 8 个月能存够 200 元 （3）观察图象可知，该同学经过 5 个月能超过 140 元 【总结与反思】从图象中获取有用信息从而应用一次函数解决实际问题. S （千米） t（时） O 10 22.5 7.5 0.50.5 3 3 1.51.5 lB lA 2.如图， A l与 B l分别表示A步行与B骑车同一路上行驶的路程S与时间t的关系 （1）B出发时与
18、A相距多少千米？ （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？ （3）B出发后经过多少小时与A相遇？ 【解析】（1）10km（2）1 h（3）3h 【总结与反思】从图象中获取有用信息从而应用一次函数解决实际问题. 如图，直线l是一次函数bkxy的图象，求它的表达式 2、若一次函数bxy 2的图象经过 A（1，1），则b ，该函数图象经过点 B（1， ）和 点 C（ ，0） 3.一次函数ykxb的图象如图，则方程0kxb的解为（ ） A.2x B. 2y C. 1x D. 1y 4.某公司市场营销部管理人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图， 由图中所
19、给的信息可知，营销人员没有销售时的月收入是_元. 答案与解析答案与解析 四 、课堂运用 基础 1.【答案】xy3 【解析】待定系数法求一次函数解析式. 2. 【答案】 )0 , 2 3 (),5 , 1 (, 3CBb 【解析】待定系数法求一次函数解析式. 3. 【答案】C 【解析】一次函数与一元一次方程的关系. 4. 【答案】300 【解析】待定系数法求一次函数解析式. 1.已知直线l与直线xy2平行，且与 y 轴交于点（0，2），求直线l的表达式 2.直线2yxb与 x 轴的交点坐标是（2,0），则关于 x 的方程20 xb的解是（ ） A2x B. 4x C. 8x D. 10 x 3.
20、 汽车工作时油箱中的燃油量 y（L）与汽车工作时间 t（h）之间的函数关系如 图，汽车开始工作时油箱中有_L 燃油，经过_h 耗尽燃油， 平均每小时耗油_L，y （L） 与 t （h） 之间的函数表达式为_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】22 xy 【解析】直线平行及待定系数法求一次函数解析式. 2. 【答案】A 【解析】一次函数与一元一次方程. 3. 【答案】50；5；10；50 10 05ytt 【解析】由函数图象获取正确信息从而解决问题. 1.根据下表中一次函数的自变量 x 与函数值 y 的对应值，可得 p 的值为（ ） x -2 0 1 y 3 p 0 A.1 B.-1 C.3
21、D.-3 巩固 拔高 2.一元一次方程0axb 的解是3x ，则函数yaxb的图象与 x 轴的交点坐标是（ ） A. （-3,0） B. （3,0） C. （a,0） D. （-b,0） 3.某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药 量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服药后， （1）服药后 时，血液中含药量最高，达每毫升 微克，接着逐步衰减； （2）服药 5 时，血液中含药量为每毫升 微克； （3）当x2 时，y与x之间的函数关系式是 ； （4）当x2 时，y与x之间的函数关系式是 ； （5）如果每毫升血液中含药量
22、3 微克或 3 微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个 有效时间范围是 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】设一次函数的表达式为y=kx+b（k0）,把 3 2 y x 和 0 1 y x 分别代入上式，得 0 32- bk bk 解 得 1 1 b k 2. 【答案】B 【解析】一元一次方程与一次函数的关系. 3. 【答案】（1）2；6（2）3（3）3yx（4）6yx（5）15t 【解析】结合一次函数图象解决问题. 本节讲了 3 个重要内容： 1 待定系数法求一次函数解析式 2 一次函数与一元一次方程的关系 3 一次函数的应用 五 、课堂小结 六 、课后作业 2 6 5 4 3 2
23、y/微克 x/时 O 1.已知一次函数ykxb的图象与yx平行，且过点（1,2），那么它必过点（ ） A（-1,0） B.（2，-1） C.（2,1） D.（0，-1） 2.已知一次函数2yx与一次函数ymxn的图象交于点 P （a,2） ,则关于 x 的方程2xmxn的 解是 . 3.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金 1 号”玉米种子，如果一次购买 10kg 以上（不含 10kg）的种子，超 过 l0 千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额 y(单位：元)与一次购买种子数量 x（单位： 千克)之间的函数关系如图所示下列四种说法： 一次购买种子数量不超过 l0 千克时，销售价格为 5
24、 元/千克； 一次购买 30 千克种子时，付款金额为 100 元； 一次购买 10 千克以上种子时，超过 l0 千克的那部分种子的价格打五折： 一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱 其中正确的个数是( ) A1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 第 3 题图 第 4 题图 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】待定系数法救济一次函数解析式 2. 【答案】x=0 【解析】一次函数与一元一次方程的关系. 3. 【答案】D 【解析】解：由图可知，一次购买种子数量不超过 10 千克时，销售价格为：5010=5 元/千克，正确； 由图可知，超过
25、10 千克的那部分种子的价格为：（150-50）（50-10）=2.5 元/千克，所以，一次购买 30 千克种子时，付款金额为：50+2.5（30-10）=100 元，正确；由于一次购买 10 千克以上种子时，超 过 10 千克的那部分种子的价格为 2.5 元/千克，而 2.55=0.5，所以打五折，正确；由于一次购买 40 千 克种子需要： 50+2.5 （40-10） =125元， 分两次购买且每次购买20千克种子需要： 250+2.5 （20-10） =150 元，而 150-125=25 元，所以一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱，正 确故选
26、：D 基础 1.如图， 过A点的一次函数的图象与正比例函数2yx的图象相交于点B， 则这个一次函数的解析式是 （ ） A23yx B.3yx C. 23yx D.3yx 2.若一次函数yaxb的图象经过点（2,3），则方程3axb的解为 . 3.如图，一次函数 2 2 3 yx 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 直角三角形 ABC，BAC=90.求过 B，C 两点的直线的解析式. 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】待定系数法求一次函数解析式. 2. 【答案】x=2 【解析】一次函数与一元一次方程的关系. 3. 【答案】y= 5 1 x
27、+2 1、 【解析】 解： 在一次函数 2 2 3 yx 中， 令 x=0 得： y=2； 令 y=0， 解得 x=3， 则 B 的坐标是（0，2），A 的坐标是（3，0） 如图，作 CDx 轴于点 DBAC=90，OAB+CAD=90， 又CAD+ACD=90，ACD=BAO 巩固 在ABO 与CAD 中， CAAB ADCBOA ACDBAO 90， ABOCAD（AAS），OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5则 C 的坐标是（5，3） 设直线 BC 的解析式是 y=kx+b， 根据题意得： 2 35 b bk ，解得： 2 5 1 b k ， 直线 BC 的解析是 y=
28、5 1 x+2 1.已知一次函数0ykxb k的图象经过（2，-1）、（0,1）两点，则它的图象不经过（ ） A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知一次函数yaxb（a，b是常数），x与y的部分对应值如下表： x 2 1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 2 4 那么方程0axb的解是 . 3.（1）点（0,1）向下平移 2 个单位后所得点的坐标是_，直线21yx向下平移 2 个单位后 所得直线的解析式是_； （2）直线21yx向右平移 2 个单位后所得直线的解析式是_； （3）如图，已知点 C 为直线yx上在第一象限内一点，直线21yx交 y 轴于点 A，交 x 轴
29、于 B，将直 线 AB 沿射线 OC 方向平移3 2个单位，求平移后的直线的解析式. 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】待定系数法求函数解析式，由 k,b 判定所过象限. 2. 【答案】x=2 【解析】一次函数与一元一次方程的关系. 3. 【答案】（1）（0，-1），y=2x+1-2=2x-1； （2）y=2（x-2）+1=2x-3；（3）y=2x-2 【解析】分析： （1） （2）直接利用平移中点的变化规律求解即可 （3）将直线 AB 沿射线 OC 方向平移3 2 个单位，其实是先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 解答：解：（1）（0，-1），y=2x+1-2=2x-1； （2）y=2（x-2）+1=2x-3； （3）点 C 为直线 y=x 上在第一象限内一点，则直线上所有点的坐标横纵坐标相等， 将直线 AB 沿射线 OC 方向平移3 2个单位， 其实是先向右平移 3 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度 y=2（x-3）+1+3，即 y=2x-2 点评：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某 点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减平移后解析式 有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 七 、教学反思
