1、 勾股定理的应用 第 3 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.圆柱或长方体表面上两点间的最短距离; 2.勾股定理的其他应用（方程思想的运用）. 教学目标 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建 模的思想 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性 教学重点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课 的重点 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实
2、际问题是本节课 的难点 【教学建议教学建议】 在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性, 将实际问题抽象成数学问题, 提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想 【知识导图】【知识导图】 概 述 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 第一环节：情境引入 情景 1： 提出问题：从 A 到 D 怎样走最近？ 情景 2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向
3、 B 处，已知圆柱体高为 12cm，底面半径为 3cm， 你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图： 通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景的创设引入新课，激发学生探究热情 效果： 勾股定理的应用勾股定理的应用 圆柱或长方体表面上两点间的最短距离圆柱或长方体表面上两点间的最短距离 勾股定理的其他应用勾股定理的其他应用 二、知识讲解 一、导入 考点 1 圆柱体表面上两点间的最短距离 A B C D 教学过程 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础 第二环节：合作探究 内容： 学生分为人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在
4、全班范 围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后 展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问 题的方法 意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距 离问题并利用勾股定理求解 在活动中体验数学建摸， 培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力， 操作能力，分析能力，发展空间观念 效果： 学生可能汇总以下四种方案： （1） （2） （3） （4） 学生很容易算出：情形（1）中 AB 的路线长为： AAd ， 情形（2）中 AB 的路线长为： 所
5、以情形（1）的路线比情形（2）要短 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线 AA剪开圆柱得到矩形， 情形（3）AB 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算 比较（1）和（4）即可 如图： （1）中 AB 的路线长为： A B C D （2）中 AB 的路线长为： AB C D EF AB （3）中 AB 的路线长为：AO+OBAB （4）中 AB 的路线长为：AB 得出结论： 利用展开图中两点之间， 线段最短解决问题 在这个环节中， 可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算 AB？ 在 RtAAB 中，利
6、用勾股定理可得 222 BAAAAB ，已知圆柱 体高为 12cm， 底面半径为 3cm， 取 3， 则 222 1 2( 3 3 ),1 5A BA B 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径 A A A 的不同存在可能但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条因此教学时因该在学生在圆柱表面 感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上 方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体 步骤大致可以归纳如下： 1审题分析实际问题； 2建模建立相应的数学模型； 3求解运用勾股定理计算； 4检验是否符合
7、实际问题的真实性 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了 卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得 AD 长是 30 厘米，AB 长是 40 厘米，BD 长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？BC 边 与 AB 边呢？ 解答：（2） 2222 30402500ADAB 2 2500BD 222 ADABBD AD 和 AB 垂直 意图： 运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处
8、理问题 效果： 先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性当刻度尺较短时，学生可能会在上 面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论 考点 2 勾股定理的其他应用 类型一圆柱体表面上两点间的最短距离 1.有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm在 AA1 上有一只蚂蚁 Q，QA=3cm；在 BB1 上有一滴蜂蜜 P， PB1=2cm若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到 P 点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为_（ 取整数 3） 【解析】13 【总结与反思】
9、勾股定理的实际应用 2.如图所示，有一根高为 2m 的木柱，它的底面周长为 0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩 带从柱底向柱顶均匀地缠绕 7 圈，一直缠到起点的正上方为止问：小明至少需要准备一根多长的彩带？ 【解析】2.9 【总结与反思】勾股定理的实际应用 类型二勾股定理的其他应用 1.如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点 A 处测得它到马路的距离为 9m，已知在距离载重汽车 41m 处 就可受到噪声影响 （1）试求在马路上以 4m/s 速度行驶的载重汽车，能给一楼 A 处的居民带来多长时间的噪音影响？ （2）若时间超过 25 秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条
10、路上通行吗？ 【解析】 （1）由题意得 AC=9，AB=AD=41，ACBD， B1 A1 Q P BA 三 、例题精析 RtACB 中，BC=40941 22 ， RtACD 中，DC=40941 22 ， BD=80， 804=20（s）， 受影响时间为 20s； （2）2025， 可以通行 【总结与反思】勾股定理的实际应用 1. 如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点 A 上升到点 B，已知 AB=5cm，树干的直径为 4cm计算出藤蔓一晚上生长的最短长度是（ ）（ 取整数 3） 2.如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过
11、4 个侧面爬行一圈 到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）cm A B 基础 3.如图， 甲轮船以 16 海里时的速度离开港口 O， 向东南方向航行， 乙轮船在同时同地， 向西南方向航行 已 知：它们离开港口 O 一个半小时后，相距 30 海里，求：乙轮船每小时航行多少海里? 答案与解析答案与解析 1.【答案】13 【解析】勾股定理的实际应用 2.【答案】13 【解析】勾股定理的实际应用 3. 【答案】12 海里/小时 【解析】甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，AOBO. 甲轮船以 16 海里/小时的速度航行了一个半小时， OB=161.5=24 海里，AB=30 海里， 在
12、Rt AOB 中，AO=182430 2222 OBAB. 乙轮船航行的速度为：181.5=12（海里/小时） 1.有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm在AA1上有一只蚂蚁Q，QA=3cm；在BB1上有一滴蜂蜜P， PB1=2cm若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到P点吃蜂蜜，则爬行的最短路径长为_（ 取整数 3） 2.如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm，BC=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬 到点B，需要爬行的最短距离是_ B1 A1 Q P BA A B C 5 10 15 20 巩固 3.如图， 某沿海开放城市 A 接到台风警报， 在该市正南方向
13、 100km 的 B 处有一台风中心， 沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在 距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几 小时内撤离才可脱离危险? 答案与解析答案与解析 1.【答案】13 【解析】勾股定理的实际应用 2. 【答案】25 【解析】勾股定理的实际应用 3. 【答案】游人在 2.5 小时内撤离才可脱离危险 【解析】在 RtABD 中，根据勾股定理，得 BD=kmADAB8060100 2222 8020=4
14、（小时）则台风中心经过 4 小时从 B 移动到 D 点； 如图，距台风中心 30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达 E 点之前撤离， BE=BD-DE=80-30=50km， 游人在 5020=2.5 小时内撤离才可脱离危险 1.如图，圆柱形容器高为 18cm，底面周长为 24cm，在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 cm（容器的厚度忽略不计） 拔高 2.图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得
15、到如图的几何 体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为_cm. 3如图，台风中心位于点 O 处，并沿东北方向（北偏东 45），以 40 千米/小时的速度匀速移动，在距离 台风中心 50 千米的区域内会受到台风的影响，在点 O 的正东方向，距离 60 千米的地方有一城市 A （1）问：A 市是否会受到此台风的影响，为什么？ （2）在点 O 的北偏东 15方向，距离 80 千米的地方还有一城市 B，问：B 市是否会受到此台风的影响？若 受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由 答案与解析答案与解析 1.【答案】20 【解析】勾股定理的实际应用 2.【答
16、案】（3323） 【解析】 3. 【答案】（1）A 市不会受到此台风的影响 （2）B 市会受到此台风的影响，影响时间约为 15 小时 【解析】（1）作 ADOC， 由题意得：DOA=45，OA=602km， AD=DO=6022=60km， 6050， A 市不会受到此台风的影响； （2）作 BGOC 于 G， 由题意得：BOC=30，OB=80km， BG= 2 1 OB=40km， 4050， 会受到影响， 如图：BE=BF=50km， EG= 22 BGBE =30km， EF=2EG=60km， 风速为 40km/h， 6040=15 小时， 影响时间约为 15 小时 本节讲了 2 个
17、重要内容： 1 圆柱体表面上两点间的最短距离 2 勾股定理的其他应用 本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多结合生活实际，用直观观察的方法，让学生有一个直 观的认识.本节课的可操作性也很强，在培养学生操作能力的同时可以提升他们的立体图形的观察和总结能 力. 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 1.如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ） A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm 2.如图，一只蚂蚁从长、宽都是 3cm，高是 8cm 的长方体纸盒的 A 点沿纸盒面爬到 B 点，那么它所行的最短 路线的长是（ ）
18、 A、（32+8）cm B、10cm C、14cm D、无法确定 3. 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题 小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈 树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕 榈树的树根有多远？（请画出示意图解答） A B 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】勾股定理的实际应用，圆柱体上的最短距离 2.【答案】B 【解析】勾股定理的实际应用，长方
19、体上的最短距离 3.【答案】这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺 【解析】试题分析：根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出 x 的值即可 试题解析：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度 由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设 EC 为 x 肘尺，BE 为（50 x）肘尺， 在 RtABE 和 RtDEC 中， 22222 20(50)AEABBEx ， 22222 30DEDCECx ， 又AE=DE， 2222 30(50)20 xx ，解得： 20 x ， 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根 20 肘尺 1.如图圆柱形玻璃杯高为 12cm，底面周长
20、为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁 正好在杯外壁 A， 离杯口上沿 4cm 与蜜蜂相对的点 A 处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm。 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dmA 和 B 是这个台阶上两个相对 的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm 巩固 3.如图， 小华将升旗的绳子拉到旗杆底端， 绳子末端刚好接触到地面， 然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处， 发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为 答案与解析答案与解析 1.【答案】15
21、cm 【解析】 试题分析： 过 C 作 CQEF 于 Q， 作 A 关于 EH 的对称点 A， 连接 AC 交 EH 于 P， 连接 AP， 则 AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出 AQ，CQ，根据勾股定理求出 AC 即可 试题解析：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH， 过 C 作 CQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AC 交 EH 于 P，连接 AP，则 AP+PC 就是蚂蚁到达蜂 蜜的最短距离， AE=AE，AP=AP， AP+PC=AP+PC=AC， CQ= 1 2 18cm=9cm，AQ=12cm-4cm+4cm=12cm， 在 RtAQC 中
22、，由勾股定理得：AC=15912 22 cm. 2. 【答案】25dm 【解析】勾股定理的应用，楼梯上的最短距离. 3. 【答案】17 米 【解析】勾股定理的应用 1.如图，A.B 两个村子在河 CD 的同侧，A.B 两村到河的距离分别为 AC1km，BD3km，且 CD3km，现要 在河边上建一个水厂向 A.B 两村输送自来水，铺设水管的费用为 20000 元km，请你在 CD 上选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最低，并求出铺设水管的总费用 2.中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA=45 海里，OB=15 海 里，钓鱼岛位于 O 点，我国海监船在点
23、B 处发现有一不明国籍的渔船，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓 鱼岛所在地点 O，我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C 处截住了 渔船 （1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置； （2）求我国海监船行驶的航程 BC 的长 答案与解析答案与解析 1.【答案】水厂位置 O 如图所示； 铺设水管的总费用 100000 元 【解析】如图，作出以 AB 为斜边的直角三角形， AC=1km，BD=3km，CD=3km， AE=CD=3km，BE=3+1=4km， 由勾股定理得，AB= 5km， 20 0005=100 000 元 答：铺设水管的总费用 100000 元 2. 【答案】（1）作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C 拔高 （2）我国渔政船行驶的航程 BC 的长为 25 海里 【解析】（1）作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C； （2）设 BC 为 x 海里，则 CA 也为 x 海里，O=90， 在 RtOBC 中，BO+OC=BC， 即：15+（45-x）=x， 解得：x=25， 答：我国渔政船行驶的航程 BC 的长为 25 海里 七 、教学反思
