1、 数据的分析 第 15 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 平均数 中位数、众数 数据的集中趋势 数据的离散程度 教学目标 1、知道怎样求算术平均数.理解平均数在数据统计中的意义和作用. 2、知道怎样求加权平均数.理解平均数在数据统计中的意义和作用. 3、认识中位数、众数这两种数据代表.利用中位数、众数分析数据信息,做出决策. 4、 从统计图中分析数据的集中趋势.熟练地根据统计图分析数据的集中趋势,幵能灵活运用 所学的三个数据代表解决实际问题. 5、方差和标准差概念的理解.应用方差和标准差分析数据,幵做出决策. 教学重点 三数、三差的
2、定义和应用。 教学难点 数据集中趋势和离散程度的灵活应用。 【教学建议教学建议】 本节课主要用三数、三差分析数据，对现实生活中的数据加以整合，重在培养学生的数学应用意识， 发展初步的统计意识和数据处理能力，体会统计对决策的作用 【知识导图】【知识导图】 概 述 某校初二年级共有 4 个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下： 班级 1 班 2 班 3 班 4 班 参考人数 40 42 45 32 平均成绩 80 81 82 79 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什么？ x= 4 1 （79+80+81+82）=80.5 平均数： 在日常生活中,我们常用平均数描
3、述一组数据的集中趋势.一般地,对于 n 个数 x1,x2,xn,我们把 (x1+x2+xn)叫做这 n 个数的算术平均数,简称平均数,记为 x. 数据的分析数据的分析 三数三数 平均数平均数 中位数中位数 众数众数 三差三差 极差极差 方差方差 标准差标准差 二、知识讲解 一、导入 考点 1 平均数、中位数、众数 教学过程 在实际生活中,我们通常用平均数来说明一组数据的集中程度,但有时计算平均数的方法也有多种.今天我 们就来学习另外一种计算平均数的方法加权平均数. 加权平均数： 中位数：一般地,一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.一组数据按大小顺序排列,位于 最中间的一个数据(
4、当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. 优点： 中位数把一组数据分成数目_的两部分， 其中一部分_或_中位数， 而另一部分_或_ 中位数，因此中位数代表了一组数据的数值大小的_,一组数据的个数较少时，中位数容易求出。 缺点：它没有利用数据中_信息，因此，有时，它可能不是_. 众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫这组数据的_. 特点：众数是一组数据中出现次数_的数。众数可以不止_. 优点：容易_,当一组数据中某数多次出现时，可以用众数作为这组数据的数值的_值。 缺点：众数没有充分利用数据中所有数据的_,因此，有时是没有效的。 一组数据中的数与这组数据的平均数的偏离程
5、度是数据的一个重要特征，它反映一组数据的_。 极差： (n 是数据的个数), | n x- x|可以用来表示一组数据的离散程度,但用这个公式计算绝对值,为避免涉及绝 对值,统计学中常用的方法是以偏差的平方即(xi- x)2 代替| n x- x|,于是有下面的方法: 方差： 设一组数据是 1021 ,xxx它们的平均数是,我们用 s 2= n 1 (x1- x) 2+(x 2- x) 2+(x n- x) 2来衡量这 组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差. 一组数据的方差越大,说明这组数据的离散程度越大,当两组数据的平均数相同或差异比较小时,可用方差 来比较这两组数据的离散程度. 求方差
6、的步骤为: (1)求平均数. (2)求偏差. (3)求偏差的平方和. (4)求平方和的平均数. 由于方差是各个数据偏差的平方的平均数,它的单位和原数据的单位不一致,因此,在有些情况下,需要用方 差的算术平方根,即标准差来衡量数据的离散程度. 考点 2 极差、方差、标准差 标准差 s=)x -(x+) x-(x+)x -(x n 1 2 _ n 2 _ 2 2 _ 1 类型一 平均数 1.明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：）：1，2，0，-1，-2，这五天的最低温度的平均值是 （ ） A1 B2 C0 D-1 【解析】C 【总结与反思】本题主要考查平均数 2在一次“爱心互助”捐款活动中，
7、某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额/ 元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这 8 名同学捐款的平均金额为多少？ 【解析】6.5 元 【总结与反思】本题主要考查加权平均数 类型二 中位数、众数 我市某校九年级一班学生参加毕业体考的成绩统计如图所示，请根据统计图中提供的信息完成后面的填空 题（将答案填写在相应的横线上） （1）该班共有_名学生； （2）该班学生体考成绩的众数是_；男生体考成绩的中位数是_； （3）若女生体考成绩在 37 分及其以上，男生体考成绩在 38 分及其以上被认定为体尖生，则该班共有 _名体尖生 三 、例题精析 【解析】（1）56；（2）
8、36 分，36 分（3）19 4、 【总结与反思总结与反思】本题主要考查统计图中的众数、中位数 类型三 方差、标准差 1已知一组数据 5,8,10，x，9 的众数是 8，那么这组数据的方差是_，标准差是_. 【解析】 5 14 ， 5 70 【总结与反思】s 2= n 1 (x1- x) 2+(x 2- x) 2+(x n- x) 2 2.样本方差的算式 2 20 2 2 2 1 2 )30()30()30( 20 1 xxxs中，20 和 30 分别是（ ） A.众数 、中位数 B.方差、平均数 C.样本中数据的个数、中位数 D.样本中数据的个数、平均数 【解析】C 【总结与反思】方差中 n
9、, x代表什么 1,某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙 三人的考核成绩统计如下： （1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人_将被录取 四 、课堂运用 基础 （2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们 6 和 4 的权计算他们赋 权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取 2.实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合 作学习的情况进行了综合评分下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值 90 95 90 88 9
10、0 92 85 这组数据的中位数和众数分别是（ ） A.88,90 B.90,90 C.88,95 D.90,95 3.为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽出 50 株，分 别量出每株长度，发现两组秧 苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是 3.5、10.9，则下列说法正确的是（ ） A.甲秧苗出苗更整齐 B.乙秧苗出苗更整齐 C.甲、乙出苗一样整齐 D.无法确定甲、乙出苗谁更整齐 答案与解析答案与解析 1.【答案】 （1）甲。 （2）根据题意得： 甲的平均成绩为： （856+924）10=87.8（分） ， 乙的平均成绩为： （916+854）10=88.6（分） ， 丙的平
11、均成绩为： （806+904）10=84（分） ， 乙的平均分数最高，乙将被录取。 【解析】本题主要考查平均数. 2.【答案】B 【解析】本题主要考查统计图中的众数、中位数 3. 【答案】B 【解析】利用方差来衡量一组数据的离散程度. 1.为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数， 得到下面的条形图，观察该图， 可知共抽查了_株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结_根黄瓜 巩固 2.已知一组从小到大的数据：0,4，x，10 的中位数是 5，则 x 等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3.数据-1,0,3,5，x 的极差是 7，则 x 的可能值有（ ） A.1
12、个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 答案与解析答案与解析 1.【答案】60，13 【解析】本题主要考查平均数. 2. 【答案】B 【解析】本题主要考查中位数. 3. 【答案】B 【解析】本题主要考查极差. 1. 已 知10个 数 据, 2, 1x x ， 10 x， 其 中, 2, 1x x ， 7 x的 平 均 数 为a; 个数据的平均数为（），则这的平均数为10, 1098 bxxx A. 2 ba B. 10 37ba C. 10 73ba D. 10 ba 2.某校九年级(1)班 40 名同学中，14 岁的有 1 人，15 岁的有 21 人，16 岁的有 16 人，17 岁的有
13、2 人，则 这个班同学年龄的中位数是_岁 3. 已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5的平均数是 2，方差是 3 1 ，那么另一组数据 3 x12,3 x22,3 x32,3 x42,3 x52 的平均数和方差分别是（ ） 拔高 A.2, 3 1 B.2,1 C.4, 3 1 D.4,3 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】本题主要考查平均数. 2. 【答案】15 【解析】解：该班有 40 名同学， 这个班同学年龄的中位数是第 20 和 21 个数的平均数， 15 岁的有 21 人， 这个班同学年龄的中位数是 15 岁； 故答案为：15 3. 【答案】D 【解析】一组数据同时变为
14、原来的 a 倍，则平均数变为原来的 a 倍，方差变为原来的 a倍； 一组数据同时加上 b，平均数加上 b，方差不变. 本节讲了 2 个重要内容： 1 三数：平均数、中位数、众数. 2三差：极差、方差、标准差. 1.已知 2,4,2x，4y 这四个数的平均数是 5,5,7,4x，6y 这四个数的平均数是 9，则 x 2+y3=_ 2.一组数据 2,4，x，2,4,7 的众数是 2，则这组数据的平均数、中位数分别为（ ） A.3.5 ，3 B.3,4 C.3,3.5 D.4,3 3. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试，6 次跳远的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位： m
15、）这六次成绩的平均数为 7.8，方差为 60 1 如果李刚再跳两次，成绩分别为 7.7，7.9则李刚这 8 次跳 远成绩的方差_（填“变大”、“不变”或“变小”） 答案与解析答案与解析 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 1.【答案】17 【解析】本题主要考查平均数. 2. 【答案】A 【解析】本题主要考查平均数、众数. 3. 【答案】变小 【解析】本题主要考查方差. 1.在科学课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示： 由此估计这种作物种子发芽率约为_（精确到 0.01） 2.某校在一次数学检测中，八年级甲、乙两班学生的数学成绩统计如下： 分数 50 6
16、0 70 80 90 100 人甲班 1 6 12 11 15 5 数乙班 3 5 15 3 13 11 请根据表中提供的信息回答下列问题： （1）甲班的众数为_分，乙班的众数为_分，从众数看成绩较好的是_班 （2）甲班的中位数是_分，乙班的中位数是_分，甲班成绩在中位数以上（包括中位数）的 学生所占的百分比是_%；乙班成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_%，从 中位数看成绩较好的是_班 （3）甲班的平均成绩是_分，乙班的平均成绩是_分，从平均成绩看成绩较好的是_班 3. 小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是 0.5，则 10 年后小明等五位同学年 龄的
17、方差（ ） A.增大 B.不变 C.减小 D.无法确定 答案与解析答案与解析 1.【答案】【解析】 400300200100 37628218794 100%=93.994% 【解析】本题主要考查平均数. 2. 【答案】根据两校参赛人数相等，可知甲校得 9 分的人数为 20-11-0-8=1（人） ，所以甲校的平均分为 20 8101908117 =8.3 分，因为中位数是第 10、11 个数的平均数，所以中位数为 7 分；由于两校 平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好 巩固 因为 8 名学生参加市级口语团体赛，甲校得 10 分的有 8
18、人，而乙校得 10 分的只有 5 人，所以应选甲校 【解析】本题综合考查了三数. 3. 【答案】B 【解析】一组数据同时加上 b，平均数加上 b，方差不变. 1.一组数据由 a 个 x1 ，b 个 x2，c 个 x3组成，则这组数据的平均数为（ ） A. 3 321 xxx B. 3 cba C. 3 321 cxbxax D. cba cxbxax 321 2.为了调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机调查了 8 名学生，他们每天完成作 业所需时间（单位：分）分别为：60，55，75，55，55，43，65，40 （1）求这组数的众数，中位数； （2）求这 8 名学生每天完
19、成家庭作业的平均时间，如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时 间不能超过 60 分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？ 3. 为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取 10 台进行测 试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）： 编号 类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 1 3 4 4 2 2 2 1 1 2 乙种电子钟 4 3 1 2 2 1 2 2 2 1 （1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； （2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差； （3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优若两种类型
20、的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子 钟？为什么？ 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】本题主要考查了平均数. 2. 【答案】解： （1）在这 8 个数据中，55 出现了 3 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 55，将 这 8 个数据按从小到大的顺序排列， 其中最中间的两个数据都是 55，即这组数的中位数是 55； （2）这 8 个数据的平均数是 8 1 x（60+55+75+55+55+43+65+40）= 56（分） ， 这 8 名学生完成家庭作业所需的平均时间为 56分钟， 因为 5660， 由此估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求 【解析】本题综合考查了三数的应用. 3. 【答案】解：（1）甲种电子钟走时误差平均数为： 021-1-22-244-3-1 10 1 乙种电子钟走时误差的平均数为： 01-22-12-21-3-4 10 1 两种电子钟走时误差的平均数都是 0 秒 （2） 22222 0204030-1 10 1 甲 s=660 10 1 2222 0-10-3-0-4 10 1 乙 s=8 . 448 10 1 即甲、乙两电子钟走时误差的方差分别是 6,4.8 （3）我会买乙种电子钟，因平均水平相同，且甲的方差比乙的大，说明乙的稳定性更好，故乙种电子钟质 量更优 【解析】本题考查平均数、方差的应用. 七 、教学反思
