1、第七章第七章 平行线的证明平行线的证明 1 1 为什么要证明为什么要证明 基础题基础题 知识点知识点 1 1 生活中的推理生活中的推理 1 1下列结论推理合理的是(D) A王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 2 2小红前五次数学单元测试都是优秀，第六次单元测试小红也一定是优秀，这个判断是错误的(填“正确”或“错 误”) 知识点知识点 2 2 数学中的推理数学中的推理 3 3通过观察，你能肯定的是(C) A图形中线段是否相等 B
2、图形中线段是否平行 C图形中线段是否相交 D图形中线段是否垂直 4 4下列结论正确的是(A) A全等三角形的对应角相等 B对应角相等的两个三角形全等 C有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D两个角相等，则这两个角一定是对顶角 中档题中档题 5 5下列说法正确的是(D) A经验、观察或实验完全可判断一个数学结论的正确与否 B推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C对于自然数 n，n 2n37 一定是质数 D有 10 个苹果，将它们放进 9 个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于 2 个 6 6某公园计划砌一形状如图 1 所示的喷水池，后来有人建议改为图 2 的形状，且外圆直径不变，喷水池边缘
3、的高 度、宽度不变，你认为砌喷水池的边缘(C) 图 1 图 2 A图 1 需要的材料多 B图 2 需要的材料多 C图 1、图 2 需要的材料一样多 D无法确定 7 7(淄博中考)甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场)，结果甲胜了丁，并且甲、乙、 丙胜的场数相同，则丁胜的场数是(D) A3 B2 C1 D0 8 8(遵义中考)字母 a，b，c，d 各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字 母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 bc 9 9(教材 P164 习题 T2 变式) (1)比较下列算式结果的大小：
4、(填“” “”或“”) 4 232243； (2) 2122(2)1； ( 2) 2(1 2) 22 21 2； 3 232233； (2)通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明理由 解：结论：a 2b22ab(当 ab 时，等号成立) 理由：因为(ab) 20，所以 a22abb20，即 a2b22ab. 综合题综合题 1010(绍兴中考)如图，汽车在东西向的公路 l 上行驶，途中 A，B，C，D 四个十字路口都有红绿灯，AB 之间的距离 为 800 m，BC 为 1 000 m，CD 为 1 400 m，且 l 上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次亮红(绿) 灯
5、的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同若绿灯刚亮时，甲汽车从 A 路口以 30 km/h 的速度沿 l 向东 行驶，同时乙汽车从 D 路口以相同的速度沿 l 向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯 亮的时间可能设置为(D) A50 秒 B45 秒 C40 秒 D35 秒 2 2 定义与命题定义与命题 第第 1 1 课时课时 定义与命题定义与命题 基础题基础题 知识点知识点 1 1 定义与命题的概念定义与命题的概念 1 1下列语句是命题的是(B) A延长线段 AB 至点 C B垂线段最短 C直线 AB 平行于直线 CD 吗 D不许大声讲话 2 2下列属于定义的是(C)
6、 A两点确定一条直线 B同角或等角的余角相等 C点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D两直线平行，内错角相等 知识点知识点 2 2 命题的结构命题的结构 3 3如果AB，BC，那么AC.这个命题的条件是AB，BC，结论是AC. 4 4将命题“同角的补角相等” ，改写成“如果那么”的形式是如果两个角是同角的补角，那么这两个角相 等 知识点知识点 3 3 真、假命题真、假命题 5 5(襄阳中考)下列命题错误的是(C) A所有的实数都可用数轴上的点表示 B等角的补角相等 C无理数包括正无理数，0，负无理数 D两点之间线段最短 6 6判断下列命题是真命题，还是假命题如果是假命题，举一个反例
7、(1)若 a 2b2，则 ab； (2)同位角相等，两直线平行； (3)一个角的余角小于这个角 解：(1)假命题，如：(2) 212，但230. 中档题中档题 7 7(重庆中考)下列命题是真命题的是(A) A如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是 0 B如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是 1 C如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是 0 D如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是 0 8 8下列语句：角平分线上的点到角两边的距离相等；如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，那么这两 个三角形全等；这个道理你明白吗？若 a 2b2，则 ab；过点
8、 A 作 ABCD 于点 O；若 x2，则3x 6.其中是命题的有(C) A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 9 9命题“直角都相等”的条件是两个角都是直角，结论是这两个角相等 1010(北京中考)用一组 a，b，c 的值说明命题“若 ab，则 acbc”是错误的，这组值可以是 a1，b2，c 1 1111判断下列命题是真命题，还是假命题，是假命题的举反例加以说明 (1)如果 AB2BC，那么点 C 是 AB 的中点； (2)三条线段分别为 a，b，c，如果 abc，那么这三条线段一定能组成三角形； (3)三角形的内角和等于 180； (4)如果|a|b|，那么 ab. 解：(1)假命题，
9、如：当点 C 在 AB 的延长线上，且 AB2BC，点 C 不是 AB 的中点 (2)假命题，如：当 a5，b1，c3 时，513，但长为 5，1，3 的三条线段不能组成三角形 (3)真命题 (4)假命题，如：当 a2，b2 时，|a|b|，但 ab. 综合题综合题 1212(台州中考)某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛，甲说： “只参加一项的人数大于 14 人 ”乙说： “两项都参 加的人数小于 5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是(B) A若甲对，则乙对 B若乙对，则甲对 C若乙错，则甲错 D若甲错，则乙对 第第 2 2 课时课时 定理与证明定理与证明 基础题基
10、础题 知识点知识点 1 1 公理、定理公理、定理 1 1下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是(B) A公理和定理都是真命题 B公理就是定理，定理也是公理 C公理和定理都可以作为推理论证的依据 D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 2 2 “内错角相等，两直线平行”是(B) A定义 B定理 C公理 D需要判断的命题 3 3在证明过程中可以作为推理根据的是(B) A命题、定义、公理 B定理、定义、公理 C命题 D真命题 4 4下列语句中，属于定理的是(D) A在直线 AB 上取一点 E B如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C同位角相等 D同角的补角相等 5 5下列所学过的真命题中，不
11、是公理的是(A) A对顶角相等 B两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C同位角相等，两直线平行 D三边分别相等的两个三角形全等 6 6某工程队在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程(C) A直线的公理 B直线的公理或线段最短公理 C线段最短公理 D平行公理 7 7 “两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”是定理(填“定义” “公理”或“定理”) 知识点知识点 2 2 证明证明 8 8下面关于“证明”的说法正确的是(C) A “证明”是一种命题 B “证明”是一种定理 C “证明”是一种推理过程 D “证明”就是举例说明 9 9下列说
12、法不正确的是(A) A若12，则1，2 是对顶角 B若1，2 都是直角，则12 C若12，则1323 D若1390，2390，则12 1010如果 ab，bc，那么 ac，这个推理的依据是平行于同一条直线的两条直线平行 1111填空： 如图，已知 ABCD，AC，则可推得 ADBC，理由如下： ABCD(已知)， AD180(两直线平行，同旁内角互补) AC(已知)， CD180(等量代换) ADBC(同旁内角互补，两直线平行) 1212如图，已知 ACBC，C 为垂足，E 是 BC 上一点，并且12.试问：DE 与 BC 有何位置关系？请说明理由 解：DEBC.理由： 12， ACDE. A
13、CEDEC180. ACBC， ACE90. DEC1809090. DEBC. 中档题中档题 1313关于“垂线段最短” ，有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理其中正确的说法是(B) A B C D 1414下列命题可以作定理的有(A) 2与6的平均值是8； 能被3整除的数能被6整除； 5是方程1 2x7 9x2 6 的根； 三角形内角和是180； 等式两边加上同一个数仍是等式 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 1515根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理 (1)如图所示，若12，则 ab； (2)在ABC 和ABC中，ABAB，ACAC，AA，则ABCAB
14、C； (3)如果 ab，bc，那么 ac. 解：(1)内错角相等，两直线平行，是定理 (2)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，是定理 (3)等量代换，是公理 1616如图所示，如果12，那么 ABCD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为 真命题，并说明理由 解：不是，添加 BEDF. 理由：BEDF， EBDFDN. 12， EBD1FDN2. ABDCDN. ABCD. 1717请你完成命题“邻补角的角平分线互相垂直”的证明(画出图形，写出已知、求证，并完成证明) 解：已知：如图，AB，CD 相交于点 O，OE，OF 分别平分AOC，AOD. 求证：OEOF.
15、证明：OE 平分AOC， AOE1 2AOC. OF 平分AOD， AOF1 2AOD. AOCAOD180， EOFAOEAOF1 2AOC 1 2AOD 1 2(AOCAOD) 1 218090. OEOF. 综合题综合题 1818在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点 B，F，C，E 在同一直线上)，并写出四个条件： ABDE；BFCE；BE；12. 请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明 条件；结论(均填写序号) 证明：BFCE， BFCFCECF，即 BCEF. 在ABC 和DEF 中， ABDE， BE， BCEF， ABCDE
16、F(SAS) 12.(答案不唯一) 3 3 平行线的判定平行线的判定 基础题基础题 知识点知识点 平行线的判定平行线的判定 1 1如图，下列推论及所注理由正确的是(C) A1B，DEBC(两直线平行，同位角相等) B2C，DEBC(两直线平行，同位角相等) C23B180，DEBC(同旁内角互补，两直线平行) D41，DEBC(对顶角相等) 2 2 如图， 工人师傅在工程施工中， 需在同一平面内弯制一个变形管道 ABCD， 使其拐角ABC150， BCD30， 则(C) AABBC BBCCD CABDC DAB 与 CD 相交 3 3(福州中考)下列图形中，由12 能得到 ABCD 的是(B
17、) 4 4(郴州中考)如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 ab 的是(D) A24 B14180 C54 D13 5 5如图，将两个形状相同的三角板的最长边靠在一起，上下滑动，直角边 ABCD，根据是内错角相等，两直线平 行 6 6如图，若CBEA，则 ADBC，理由是同位角相等，两直线平行 7 7 (湘潭中考)如图， 点 E 是 AD 延长线上一点， 如果添加一个条件， 使 BCAD， 则可添加的条件为AABC180 或CADC180或CBDADB 或CCDE(任意添加一个符合题意的条件即可) 8 8在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由 已知：如图，ADE60，
18、DF 平分ADE，130. 求证：DFBE. 证明：DF 平分ADE(已知)， EDF1 2ADE(角平分线定义) ADE60(已知)， EDF30(角平分线定义) 130(已知)， 1EDF(等量代换) DFBE(内错角相等，两直线平行) 9 9如图，已知ACD70，ACB60，B50.求证：ABCD. 证明：ACD70，ACB60， BCDACBACD130. B50， BBCD180. ABCD. 1010如图，3 与1 互余，3 与2 互余求证：ABCD. 证明：3 与1 互余，3 与2 互余， 12. ABCD. 中档题中档题 1111(吉林中考)如图，将木条 a，b 与 c 钉在一
19、起，170，250.要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度 数至少是(B) A10 B20 C50 D70 1 12 2(铜仁中考)如图，在下列条件中，能判定 ADBC 的是(A) ADACBCA BDCBABC180 CABDBDC DBACACD 1313如图，EFAB 于点 F，CDAB 于点 D，E 是 AC 上一点，12，则图中互相平行的直线是 EFCD，DEBC 1414(教材 P174 习题 T2 变式)(邵阳中考)将一副三角板拼成如图所示的图形，过点 C 作 CF 平分DCE 交 DE 于点 F. 求证：CFAB. 证明：由题意，知ACBDCE90，B45. CF 平分
20、DCE， DCFECF45. BECF. CFAB. 1515如图，已知 BE 平分ABD，DE 平分CDB，且1 与2 互余，求证：ABCD. 证明：1 与2 互余， 1290. BE 平分ABD，DE 平分CDB， ABD21，BDC22. ABDBDC21222(12)180. ABDC. 1616(淄博中考)如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中150，250，3130，找出图中 的平行线，并说明理由 解：OBAC，OABC. 理由：150，250， 12. OBAC. 250，3130， 23180. OABC. 综合题综合题 1717如图，已知ABC80，BCD30，CD
21、E130，试确定 AB 与 DE 的位置关系，并说明理由 解：ABDE. 理由：过 C 点作 FGAB， GCBABC80. BCD30， DCGGCBBCD803050. 又CDE130， DCGCDE180. DEFG. ABDE. 4 4 平行线的性质平行线的性质 基础题基础题 知识点知识点 1 1 平行线的性质平行线的性质 1 1如图，已知直线 ab. (1)根据两直线平行，同位角相等，可得15，48，26，37； (2)根据两直线平行，内错角相等，可得28，35； (3)根据两直线平行，同旁内角互补，可得25180，38180. 2 2(咸宁中考)如图，已知 ab，l 与 a，b 相
22、交，若170，则2 的度数等于(B) A120 B110 C100 D70 3 3(新疆中考)如图，ABCD，CE 平分BCD，B36，则DCE 等于(A) A18 B36 C45 D54 4 4(孝感中考)如图，直线 ADBC，若142，BAC78，则2 的度数为(C) A42 B50 C60 D68 5 5(滨州中考)如图，直线 ABCD，则下列结论正确的是(D) A12 B34 C13180 D34180 6 6(湘西中考)如图，DACE 于点 A，CDAB，130，则D60 7 7(重庆中考)如图，直线 ABCD，BC 平分ABD，154，求2 的度数 解：直线 ABCD， 13. 1
23、54， 354. BC 平分ABD， ABD23108. ABCD， BDC180ABD72. 2BDC72. 知识点知识点 2 2 平行线的性质与判定的综合应用平行线的性质与判定的综合应用 8 8(恩施中考)如图，若AABC180，则下列结论正确的是(D) A12 B23 C13 D24 9 9如图，EGBC 于点 G，ADBC 于点 D，1E，求证：AD 平分BAC. 证明：ADBC，EGBC， ADCEGC90. ADEG. 12，E3. E1， 23. AD 平分BAC. 1010(教材 P177 习题 T4 变式)如图，已知 B，E 分别是 AC，DF 上一点，12，CD.求证：AF
24、. 证明：12， 23， 13. BDCE. CDBA. CD， DDBA. DFAC. AF. 易错点易错点 无法准确画出图形致错无法准确画出图形致错 1111如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是相等或互补 中档题中档题 1212(沈阳中考)如图，ABCD，EFGH，160，则2 补角的度数为(D) A60 B100 C110 D120 1313(深圳中考)如图，已知 ab，直角三角板的直角顶点在直线 b 上若160，则下列结论错误的是(D) A260 B360 C4120 D540 1414如图，BCDE，EB180，则 AB 和 EG 的位置关系为平行 1
25、515(宜宾中考)如图，直线 ab，145，230，则P75 1616(宁夏中考改编)将一张长方形纸片按如图所示折叠，若140，则2 的度数是 70 1717如图，ABCD，ADCE.求证：BAECE. 证明：ABCD， BADD. ADCE， DC，DAEE. BADC. BAEBADDAECE. 1818如图，已知 CDAB，垂足为 D，点 F 是 BC 上任意一点，FEAB，垂足为 E，且12，380，求BCA 的度数 解：FEAB，CDAB， FECD. DCB2. 又12， 1DCB. DGBC. BCA3，即BCA80. 1919如图，MN，EF 分别表示两面互相平行的镜面，一束光
26、线 AB 照射到镜面 MN 上，反射光线为 BC，此时12； 光线 BC 经过镜面 EF 反射后的反射光线为 CD，此时34.求证：ABCD. 证明：MNEF， 23. 又12，34， 14. 1234. 又1ABC23BCD4180， ABCBCD. ABCD. 综合题综合题 2020如图，已知A90 x，B90 x，CED90，4CD30，射线 EFAC. (1)判断射线 EF 与 BD 的位置关系，并说明理由； (2)求C，D 的度数 解：(1)EFBD.理由： AB90 x90 x180， ACBD. EFAC， EFBD. (2)ACEFBD， CEFC，DEFD. CED90， C
27、D90. 联立 CD90， 4CD30，解得 C24， D66. C 的度数是 24，D 的度数是 66. 小专题小专题 1212 巧解平行线中的拐点问题巧解平行线中的拐点问题 教材 P186 复习题 T15(1)的变式与应用 【教材母题】【教材母题】 (教材 P186 复习题 T15(1)已知：如图，直线 ABED.求证：ABCCDEBCD. 【解答】 过点 C 作 CFAB， 则BCFABC. 又ABED， CFED.DCFCDE. ABCCDEBCFDCF， 即ABCCDEBCD. 变式变式 1 1 当点当点 C C 运动到平行线的右侧运动到平行线的右侧 如图，直线 ABED，B，BCD
28、，D 之间的关系是BBCDD360 【拓展】(1)如图 1，若 ABCD，则BDE1E2的度数为 540； (2)如图 2，若 ABCD，则BDE1E2E3的度数为 720； (3)如图 3，若 ABCD，猜想BDE1E2En的度数为(n1)180 变式变式 2 2 当点当点 C C 运动到平行线的外边运动到平行线的外边 已知 ABED，点 C 为 AB，ED 之外任意一点 (1)如图 1，B，BCD，D 之间的关系是BBCDD； (2)如图 2，B，EDC，C 之间的关系是EDCBC 图 1 图 2 解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知
29、平行 线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论 1 1(随州中考)如图，在平行线 l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2上，若 165，则2 的度数是(A) A25 B35 C45 D65 2 2(聊城中考)如图，直线 ABEF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若BCD95，CDE25， 则DEF 的度数是(C) A110 B115 C120 D125 3 3(莱芜中考)如图，ABCD，BED61，ABE 的平分线与CDE 的平分线交于点 F，则DFB(B) A149 B149.5 C150 D150.5 4 4如图
30、 1，已知 ABCD，B30，D120. (1)若BEF60，则EFD90； (2)探索BEF 与EFD 之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图 2，已知 EP 平分BEF，FG 平分EFD，反向延长 FG 交 EP 于点 P，求P 的度数 图 1 图 2 解：(2)EFDBEF30. 理由：分别过点 E，F 作 EMAB，FNAB. EMABFN. BBEM30，MEFEFN. 又ABCD，ABFN， CDFN. DDFN180. 又D120，DFN60. BEFMEF30，EFDEFN60. EFDMEF60(MEF30)30BEF30. (3)过点 F 作 FHEP. 由(2)知，
31、EFDBEF30. 设BEF2x，则EFD(2x30). EP 平分BEF，FG 平分EFD， PEF1 2BEFx，EFG 1 2EFD(x15). FHEP， PEFEFHx，PHFG. HFGEFGEFH15， P15. 周测周测(7.1(7.17.4)7.4) ( (时间：时间：4040 分钟分钟 满分：满分：100100 分分) ) 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分) ) 1 1下列命题是真命题的是(A) A如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 B两个互补的角一定是邻补角 C如果 a 2b2，那么 ab D如果两个角是同位角，那么这两个
32、角一定相等 2 2如图，ABCD，射线 AE 交 CD 于点 F.若1115，则2 的度数是(B) A55 B65 C75 D85 3 3如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件能使 ab 的是(A) A26 B16 C13 D57 4 4如图，直线 EF 分别交 CD，AB 于点 M，N，且EMD65，MNB115，则下列结论正确的是(D) AAC BEF CAEFC DABDC 5 5 如图， 含 30角的直角三角尺 DEF 放置在ABC 上， 30角的顶点 D 在边 AB 上， DEAB.若B 为锐角， BCDF， 则B 的大小为(C) A30 B45 C60 D75 6 6如图，
33、将长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 与 AD 相交于点 F，EDF38，则ADB 的度数是(B) A25 B26 C27 D38 7 7探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位 于 O 点的灯泡发出的两束光线 OB，OC 经灯碗反射以后平行射出若图中ABO，DCO，则BOC 的度数为 (D) A.1 2() B180 C90() D 8 85 月 1 日，小明一家准备在市内短途旅游小明征求大家的意见： 爷爷奶奶：如果去玉泉观就一定再去伏羲庙； 爸爸妈妈：如果不去南郭寺也就不去李广墓； 姑姑：要么去玉
34、泉观，要么去南郭寺 如果只去一个景点，小明应该选择去(C) A玉泉观 B伏羲庙 C南郭寺 D李广墓 9 9小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题：如图，已知 EFAB，CDAB， 小明说： “如果还知道CDGBFE，则能得到AGDACB.” 小亮说： “把小明的已知和结论倒过来，即由AGDACB，可得到CDGBFE.” 小刚说： “AGD 一定大于BFE.” 小颖说： “如果连接 GF，则 GF 一定平行于 AB.” 他们四人中，有_个人的说法是正确的(B) A1 B2 C3 D4 1010学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得 到的
35、(如图(1)(4)，从图中可知，小敏画平行线的依据有(C) 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直 线平行 A B C D 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分) ) 1111将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果那么”的形式：如果三角形是等腰三角形，那么 它的两个底角相等 1212 如图是一条街道的两个拐角， ABC 与BCD 均为 140， 则街道 AB 与 CD 的关系是平行， 这是因为内错角相等， 两直线平行 1313如图，FBAB，ECAB，1D45，则图中与CED 相等的角共有 4 个
36、 1414如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30角的直角三 角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1 的度数是 15 1515有八个球编号是到，其中六个球一样重，另外两个球都轻 1 克，为了找出这两个球，用天平称了三次，结 果如下：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重，那么，这 两个轻球的编号是 三、解答题三、解答题( (共共 5050 分分) ) 1616(9 分)判断下列命题的真假，是假命题的举出反例 (1)两个锐角的和是钝角； (2)一个角的补角大于这个角； (3)不相等的角不是对顶角 解：(1)假命
37、题反例：30与 40的和为 70. (2)假命题反例：120的补角为 60. (3)真命题 1717(8 分)如图，E50，BAC50，D110，求ABD 的度数 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据 解：E50，BAC50(已知)， EBAC(等量代换) ABDE(同位角相等，两直线平行) ABDD180(两直线平行，同旁内角互补) D110(已知)， ABD70(等式的性质) 1818(9 分)如图，有三个论断：12；BC；AD，请你从中任选两个作为条件，另一个作为 结论构成一个命题，并证明该命题的正确性 解：已知：12，BC. 求证：AD. 证明：13，12， 32.ECBF.A
38、ECB. 又BC，AECC. ABCD.AD.(答案不唯一) 1919(10 分)已知：如图，DGBC，ACBC，EFAB，12.求证：EFCD. 证明：DGBC，ACBC， DGBACB90(垂直的定义) DGAC(同位角相等，两直线平行) 2ACD(两直线平行，内错角相等) 12(已知)， 1ACD(等量代换) EFCD(同位角相等，两直线平行) 2020(14 分)已知ABC 的两边与DEF 的两边平行，即 BAED，BCEF. (1)如图 1，若B40，则E40； (2)如图 2，猜想B 与E 有怎样的关系？试说明理由； (3)如图 3，猜想B 与E 有怎样的关系？试说明理由； (4)
39、根据以上情况，请归纳概括出一个真命题 解：(2)BE. 理由：BAED，BCEF， BEGC，EGCE. BE. (3)BE180. 理由：BAED，BCEF， BDGC，BGEE180. DGCBGE， BE180. (4)通过上面(1)(2)(3)，可得到的结论是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角的关 系是相等或互补 5 5 三角形内角和定理三角形内角和定理 第第 1 1 课时课时 三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明 基础题基础题 知识点知识点 三角形内角和定理三角形内角和定理 1 1(南宁中考)如图，在ABC 中，A60，B40，则C 等于(B) A100
40、 B80 C60 D40 2 2如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中12 的度数是(C) A30 B60 C90 D120 3 3在ABC 中，若ABC123，则此三角形是(C) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 4 4(广东中考)如图，ABCD，且DEC100，C40，则B 的大小是(B) A30 B40 C50 D60 5 5(莱芜中考)如图，在ABC 中，A46，C74，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，那么BDC 的度数是(A) A76 B81 C92 D104 6 6(泉州中考)如图，在ABC 中，A60，B40，点 D，E 分别在 BC，
41、AC 的延长线上，则180. 7 7(达州中考)如图，ABCD，AE 交 CD 于点 C，DEAE 于点 E.若A42，则D48 8 8在ABC 中，A35B，CB25，求ABC 的各个内角的度数 解：A35B， AB35. CB25，ABC180， B35BB25180. B80. A45，C55. 9 9如图，已知 ABCD，BEF 和EFD 的平分线交于点 G，求证：EGFG. 证明：ABCD， BEFEFD180. BEF 和EFD 的平分线交于点 G， FEG1 2BEF，EFG 1 2EFD. FEGEFG1 2(BEFEFD)90. G90. EGFG. 1010如图，已知在AB
42、C 中，A40，D，E 分别为边 AB，AC 上的点，求1234 的度数 解：在ABC 中，A40， 34180A140. 同理可得12140. 1234280. 易错点易错点 直角三角形中的直角不确定导致漏解直角三角形中的直角不确定导致漏解 11.11. 【易错】如图，已知AOD30，点 C 是射线 OD 上的一个动点在点 C 的运动过程中，AOC 恰好是直角三 角形，则此时A 所有可能的度数为 60或 90 中档题中档题 1212具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(D) AABC BBC1 2A CA90B DAB90 1313(武汉中考)如图，在ABC 中，ABAC，A36，BD
43、 是 AC 边上的高，则DBC 的度数是(A) A18 B24 C30 D36 1414(巴中中考)如图，在ABC 中，BO，CO 分别平分ABC，ACB.若BOC110，则A40 1515如图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50方向上，B 岛在 A 岛的北偏东 80方向上，C 岛在 B 岛的北偏东 30方向上，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角ACB20 1616(教材 P185 复习题 T9 变式)如图，在ABC 中，B70，C40，ADBC 于点 D，AE 平分BAC.求DAE 的度数 解：B70，C40， BAC180BC70. AE 平分BAC， EAC1 2
44、BAC35. ADBC， DAC180904050. DAEDACEAC15. 【变式 1 1】 若BC30，则DAE15 【变式 2 2】 若BC(BC)，求DAE 的度数(用含的代数式表示) 解：ADBC， ADC90. AE 平分BAC， EAC1 2BAC. 而BAC180BC， EAC901 2B 1 2C. DAC90C， DAEDACEAC 90C(901 2B 1 2C) 1 2(BC) BC(BC)，DAE1 2. 综合题综合题 1717已知：如图 1，线段 AB，CD 相交于点 O，连接 AD，CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形” 如图 2，在图 1 的条件下，
45、DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD，AB 分别相交于点 M，N.试解答下列问题： (1)在图 1 中，请直接写出A，B，C，D 之间的数量关系：ADCB； (2)在图 2 中，若D40，B36，试求P 的度数； (3)如果图 2 中D 和B 为任意角时，其他条件不变，试问P 与D，B 之间存在着怎样的数量关系？(直 接写出结论即可) 解：(2)D12B34，12，34， 40223624. 422. B4P2， PB4236238. (3)由(1)知，D22B24， 2B242P22， D2B2224B242P22. D2B2PB. PDB 2 . 第第 2
46、 2 课时课时 三角形的外角三角形的外角 基础题基础题 知识点知识点 1 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 1 1(1)如图 1，P 是ABC 中 BC 边延长线上一点，A50，B70，则ACP120； (2)如图 2，已知ABE142，C72，则A70，ABC38； (3)如图 3，已知3120，则1260 2 2(广西中考)如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD，若A60，B40，则ECD 等于(C) A40 B45 C50 D55 3 3(宿迁中考)如图，点 D 在ABC 的边 AB 的延长线上，DEBC.若A35，C
47、24，则D 的度数是(B) A24 B59 C60 D69 4 4如图，平面上直线 a，b 分别经过线段 OK 两端点(数据如图)，则 a，b 相交所成的锐角是 30 5 5将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEC75 度 6 6如图，点 F 是ABC 的边 BC 延长线上一点DFAB，A30，F40，求ACF 的度数 解：在DFB 中，DFAB， FDB90. F40，FDBFB180， B50. 在ABC 中，A30，B50， ACFAB305080. 7 7(教材 P183 习题 T3 变式)一个零件的形状如图所示，按规定A 应等于 90，B，C 应分别是 30，20， 李叔叔量得BDC142，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 解：连接 AD 并延长至 E， 1BBAD，2CCAD. BAC90，B30，C20， BDC12 BBADCADC BBACC 309020140. 140142，这个零件不合格 知识点知识点 2 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 8 8(长沙中考)下列各图中，1 大于2 的是(D) 9 9如图，D 点是ABC 的边 AC 延长线上的一点，E
