1、第21章 一元二次方程21.1一元二次方程1只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ，这样的 整式 方程，叫做一元二次方程判别一个方程是不是一元二次方程，必须满足是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不能为0。2一元二次方程的一般形式为：ax2bxc0(a0)，其中 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项，注意各项系数的符号。21.2.1配方法1解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个 一元一次方程 。2当 P0时，x2 = p 的解为 ，（mx+n）2=p的解为 (m0)3通过配成 完全平方式 来解一元二次方程的方法叫
2、做配方法。4配方法一般步骤： (1)化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上 一次项系数的一半的平方 ，使左边配成一个完全平方式，写成 (mx+n)2=p 的形式；(3)若p 0，则可直接开平方求出方程的解，若p 0，则方程无解21.2.2公式法1一元二次方程成立的条件是 a0 ，它的求根公式是 。2用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成 一般形式 ；(2)写出相应的a、b、c的值并计算的值；(3)当 0 时，可直接套用公式得出方程的解。3一元二次方程(ax2+bx+c=0(a0) (1)当 b2-4ac0 时，有两个
3、不相等的实数根； (2)当 b2-4ac= 0 时，有两个相等的实数根； (3)当 b2-4ac0 时，没有实数根。21.2.3因式分解法1当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个 一元一次方程 ，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。2用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)方程的一边化为0； (2)将方程另一边分解成 两个一次因式的积 的形式；(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1如果ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1、x
4、2，那么x1+x2= ，x1x2= 2在应用根与系数关系式时应注意两个条件：(l) 二次项系数不为0 。(2) 0 。21.3实际问题与一元二次方程1列方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 未知量 ； (2)设：设未知数，可以直接设也可以 间接设 ； (3)列：依题意构建方程； (4)解方程，求出未知数的值； (5)检验作答2构建一元二次有程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合 实际意义 。3面积问题：求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之问的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。4利润=（ 售价 - 进价 ） 销售量 。
5、第22章 二次函数22.1.1二次函数一般地，形如_ y=ax2+bx+c(a0) _（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数，其中_x_是自变量，a、b、c分别是函数解析式的_二次_项系数、_一次_项系数、常数_项。22.1.2二次函数y=ax2图象和性质1二次函数y= ax2 的图象是一条 抛物线 ，其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 原点 。2抛物线y= ax2 与y= - ax2 关于 x 轴对称。抛物线y= ax2 ，当a0时，开口向 上 ，顶点是它的最 低 点：当以a0时，抛物线y= ax2 向上平移 k 个单位得y= ax2+k。 当k0时，抛物线y= ax2向 右 平移h个单
6、位得y= a（x-h）2；当h0时，开口向 上 ，有最 小 值为 k ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减少 ，右侧相反；当a 0时，在对称轴的左侧y随x的增大而 减小 ，在对称轴右侧y随x的增大而 增大 ；当a0时，在对称轴的左侧y随x的增大而 增大 ，在对称轴的右侧y随x的增大而_减小_。2二次函数y =ax2+bx+c的图象与y= ax2的图象 形状相同 ，只是 位置 不同；y =ax2+bx+c的图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。3 一般式y =ax2+bx+c：已知图象上 任意三 点坐标或 三 对x、y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式。4顶点式y=a（x
7、-h）2+k：已知抛物线 顶点 坐标和另 一 点坐标，可求得解析式。5交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是图象与x轴两交点的横坐标，适合此特点的抛物线设为交点式。22.2二次函数与一元二次方程1一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y =ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 。2抛物线y =ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系；当b2 -4ac0时，抛物线与x轴有 两 个交点。3抛物线y =ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之问的关系：(1)当a0时开口 向上
8、 ，当ar，则点d在O 外 ；若OB =r，则点B在O 上 ；若OCr，则点C在O 内 。2在同一平面内，经过一个点能作 无数 个圆；经过两个点可作 无数 个圆，经过 不在同一直线上 的三个点只能作一个圆。3三角形的外心是三角形外接圆的同心，此点是 三边垂直平分线的交点 。4反证法首先假设命题的 结论 不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设 错误 ，从而得到原命题成立。24.2.2直线和圆的位置关系1直线和圆有 相交 、 相切 、 相离 三种位置关系；2直线a与O 有唯一 公共点，则直线a与O相切；直线b与O 有两个 公共点，则直线b与O相交；直线c与O 没有 公共点，则直线c与O相离。3设O
9、的半径为r，直线到圆心的距离为d，则： (1)直线l1与O 相离 ，则d r； (2)直线l2与O 相切 ，则d = r； (3)直线l3与O 相交 ，则d r。4切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。5切线的性质定理：圆的切线 垂直于经过切点的半径 。6经过 圆外 一点作圆的切线，这点和切点之间 线段 的长，叫作这点到圆的切线长。7圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，这一点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角。8与三角形各边都 相切 的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的 内 心，它是三角形 三内角平分线 的交点。圆和圆的位
10、置关系在同一平面内，两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系：内含内切相交外切外离 如果两圆的半径分别为r1和r2（r1r2），圆心距为d，则:当两圆外离时_dr1+r2 ；当两圆外切时_d=r1+r2_;当两圆相交时r2-r1dr1+r2_；当两圆内切时_d=r2-r1；当两圆内含时_0dr2-r1 。24.3正多边形和圆1_各边相等_、_各角相等_ 的多边形是正多边形。2只要把一个圆分成 相等 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 外接 圆。3一个正多边形的外接圆的 圆心 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 半径 叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的 圆心
11、角 叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心距 。4 一股地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ，正多边形的中心角与外角的大小 相等 。24.4弧长和扇形面积1在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长是圆周长C= ，所以n的同心角所对的弧长为l= 。2在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s= ，所以网心角为n的扇形面积是S扇形= 。3用弧长表示扇形面积为 ，其中l为扇形弧长，R为半径。4圆锥是由一个 底 面和一个 侧 面围成的，我们把连接圆锥 顶 点和底面圆周上 任意 一点的线段叫作圆锥的母线。5圆锥的侧面展开图是一个
12、 扇 形，圆锥的母线是扇形的 半径 ，圆锥底面圆的周长是扇形的 弧长 ，圆锥侧面积是扇形的 面积 。6如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径是 l ，扇形的弧长是 2r ，因此圆锥的侧面积为 rl ，h、r、l之问满是的关系式为 。第25章 概率初步25.1.1随机事件在一定条件下，有些事件必然 会发生，这样的事件称为必然事件。2在一定条件下，有些事件必然 不会 发生，这样的事件称为不可能事件。3在一定条件下，可能 发生 也可能 不发生 的事件，称为随机事件。4生活中的事件可分为 确定性 事件和 随机 事件，其中确定性事件又分为 必然 事件和 不可能 事件。25.1.2
13、概率1一般地,对于一个随机事件A，我们把刻画其发生_可能性大小_的数值,称为随机事件A发生的概率,记为_P(A)_.2当试验具有以下特点时：每次试验，可能出现的结果只有_有限_个；每次试验，各结果出现的可能性_相等_.可以从事件所包含的_各种可能 的结果数在_全部可能的结果数中所占的_比_，分析出事件发生的概率.3一般地，如果在一次试验中，有_ n _种可能的结果，并且它们发生的可能性都_相等_，事件A包含其中的_m_种结果，那么事件A发生的概率为_ _ 。4当A为必然事件时，P（A）=_1_；当A为不可能事件时，P（A）=_0_；当A为随机事件时，_0_P(A)_1_，即事件发生的可能性越大
14、，它的概率越接近_1_；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近_0_。25.2用列举法求概率1古典概率：即一个实验有n个结果，而事件A包含了其中的rn个结果，则P(A)= 。2用古典概率定义求概率，必须具备两个条件： 一是一次实验中，可能出现的结果有 有限 个，各种结果发生的可能性 相等 。二是每个基本事件出现的可能性 相同 。3用概率的大小可以判断游戏是否 公平 。4当一次试验要涉及两个因素并且可能出观的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可 能的结果，通常采用 列表 或画 树状 法。5对于二元事件（两次型问题）要分清摸球放回与不放回。6若试验只有两步，用 列表法 和 树状法 都可以若试验在三步或三步以上，只能用 画树状图 来计算。25.3利用频率估计概率1对一般的随机事件，在同样条件下做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的 频率 总在一个 固定 数的附近摆动，显示出一定的稳定性。2一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)= P = 。
