1、1.4.2 微积分基本定理微积分基本定理(一一) 学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积 分 知识点 微积分基本定理 已知函数 f(x)2x1，F(x)x2x. 思考 1 f(x)与 F(x)有何关系？ 答案 F(x)2x1f(x) 思考 2 20f(x)dx 与 F(2)F(0)有何关系？ 答案 20f(x)dx20(2x1)dx1 22(15)6， F(2)F(0)6.20f(x)dxF(2)F(0) 梳理 (1)微积分基本定理 条件：F(x)f(x)，且 f(x)在a，b上可积 结论：baf(x)dxF(b)F(a) 符号表示：baf(x)d
2、xF(x)| b aF(b)F(a) (2)常见函数的定积分公式 baCdxCx| b a(C 为常数)； baxndx 1 n1x n1| b a(n1)； basin xdxcos x| b a；bacos xdxsin x| b a； ba1 xdxln x| b a(ba0)；baexdxex| b a； baaxdx ax ln a| b a(a0，且 a1) 1若 F(x)f(x)，则 F(x)唯一( ) 2微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数( ) 3 应用微积分基本定理求定积分的值时， 被积函数在积分区间上必须是连续函数 ( ) 类型一 求定积分 命题角
3、度1 求简单函数的定积分 例 1 求下列定积分 (1)10(2xex)dx； (2)21 1 x3cos x dx； (3) 2 2 0 sincosd 22 xx x ； (4) 3 0(x3)(x4)dx. 解 (1)10(2xex)dx(x2ex)|10 (1e1)(0e0)e. (2)21 1 x3cos x dx(ln x3sin x)| 2 1 (ln 23sin 2)(ln 13sin 1) ln 23sin 23sin 1. (3) sin x 2cos x 2 212sin x 2cos x 21sin x， 2 22 00 sincosd1sin d 22 xx xxx 2
4、 0 (cos )|xx 2cos 2 (0cos 0) 21. (4)(x3)(x4)x27x12， 30(x3)(x4)dx30(x27x12)dx 1 3x 37 2x 212x3 0 1 33 37 23 2123 027 2 . 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于 求得函数 F(x) (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x) 第二步：计算函数的增量 F(b)F(a) 跟踪训练 1 求下列定积分 (1)21 xx21 x dx； (2) 22 2 0 cossind 22 xx x ； (3
5、)94x(1 x)dx. 解 (1)21 xx21 x dx 1 2x 21 3x 3ln x2 1 1 22 21 32 3ln 2 1 2 1 3ln 1 ln 25 6. (2) 22 2 0 cossind 22 xx x 2 0 cos dx x 2 0 sin |x1. (3)94x(1 x)dx 94( xx)dx 3 29 2 4 21 | 32 xx 3 2 2 21 99 32 3 2 2 21 44 32 271 6 . 命题角度2 求分段函数的定积分 例 2 (1)求函数 f(x) sin x，0 x 2， 1， 2x2， x1，2x4 在区间0,4上的定积分； (2)
6、求定积分 20|x21|dx. 解 (1)40f(x)dx 2 0 sin dx x 2 2 1dx 42(x1)dx 2 0 (cos )|x 2 2 |x 1 2x 2x4 2 1 2 2 (40)7 2. (2)|x21| 1x2，x0，1， x21，x1，2， 又 xx 3 3 1x2， x3 3x x 21， 20|x21|dx10|x21|dx21|x21|dx 10(1x2)dx21(x21)dx xx 3 3 1 0 x3 3x 2 111 3 8 32 1 312. 反思与感悟 分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算 (2)当被积函数含有绝
7、对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数的定积分再计算 跟踪训练 2 (1)f(x) 12x，0 x1， x2，1x2， 求 20f(x)dx. 解 20f(x)dx 10(12x)dx21x2dx (xx2)|101 3x 3|2 127 3 13 3 . (2)求 22|x2x|dx 的值 解 |x2x| x2x，2x0， xx2，0 x1， x2x，10，f(x)2x1，若 t0f(x)dx6，则 t_. (2)已知 221(kx1)dx4，则实数 k 的取值范围为_ 答案 (1)3 (2) 2 3，2 解析 (1)t0f(x)dxt0(2x1)dxt2t6， 解得 t3 或2，t0，
8、t3. (2)21(kx1)dx 1 2kx 2x2 13 2k1. 由 23 2k14，得 2 3k2. 引申探究 1若将本例(1)中的条件改为 t0f(x)dxf t 2 ，求 t. 解 由 t0f(x)dxt0(2x1)dxt2t， 又 f t 2 t1， t2tt1，得 t1. 2若将本例(1)中的条件改为 t0f(x)dxF(t)，求 F(t)的最小值 解 F(t)t0f(x)dxt2t t1 2 21 4(t0)， 当 t1 2时，F(t)min 1 4. 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前
9、提 (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分 区间与函数 F(x)等概念 跟踪训练 3 已知 x(0,1，f(x)10(12x2t)dt，则 f(x)的值域是_ 答案 0,2) 解析 f(x)10(12x2t)dt (t2xtt2)|102x2(x(0,1) f(x)的值域为0,2) 1若 a1 2x1 x dx3ln 2，则 a 的值是( ) A5 B4 C3 D2 答案 D 解析 a1 2x1 x dxa12xdxa11 xdx x2|a1ln x|a1a21ln a3ln 2， 解得 a2. 2 2 3 0 1 2sind 2 等于( )
10、 A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案 D 解析 2 3 0 1 2sind 2 3 0 cos d 3 0 sin| 3 2 . 3已知 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(1)2，f(0)0，10f(x)dx2.求 a，b，c 的值 解 f(1)2，abc2， f(x)2axb，f(0)b0， 10f(x)dx10(ax2c)dx 1 3ax 3cx1 0 1 3ac2， 由可得 a6，b0，c4. 4已知 f(x) 4x2，0 x 2， cos x， 2x， 计算：0f(x)dx. 解 0f(x)dx 2 0 2 ddf xxf xx 2 0 2 42 dcos dxx
11、x x 取 F1(x)2x22x，则 F1(x)4x2； 取 F2(x)sin x，则 F2(x)cos x. 所以 2 0 2 42 dcos d ,xxx x 22 2 0 2 1 (22)|sin |1, 2 xxx 即 0f(x)dx1 2 21. 1求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分 (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分 2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积 理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和， 而是在 x 轴下方的图形面积要取定 积分的相反数
