1、1.4.2 微积分基本定理微积分基本定理(二二) 学习目标 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 1曲边梯形的面积 (1)当 xa，b时，若 f(x)0，由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边 梯形的面积 Sbaf(x)dx. (2)当 xa，b时，若 f(x)g(x)0，由直线 xa，xb(ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成的平 面图形的面积 Sbaf(x)g(x)dx.(如图) 1曲线 yx3与直线 xy2，y0 围成的图形面积为 10 x3dx21(2x)dx.( ) 2求由两条或两条以上的曲线围成的图形的面积，可根据实际情况选积分变量( ) 类型
2、一 利用定积分求面积 命题角度1 求不分割型图形的面积 例 1 求由曲线 y2x，yx2所围图形的面积 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 解 由 y2x， yx2， 得交点的横坐标为 x0 及 x1. 因此，所求图形的面积为 SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABD 10 xdx10 x2dx 3 1 2 0 2 | 3 x1 3x 3|1 02 3 1 3 1 3. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形 (2)找出范围，确定积分上、下限 (3)确定被积函数 (4)将面积用定积分表示 (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果 跟
3、踪训练 1 求由抛物线 yx24 与直线 yx2 所围成的图形的面积 解 由 yx24， yx2， 得 x3， y5 或 x2， y0， 所以直线 yx2 与抛物线 yx24 的交点坐标为(3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为 S，根据图形，可得 S23(x2)dx23(x24)dx 2x1 2x 22 3 1 3x 34x2 325 2 25 3 125 6 . 命题角度2 分割型图形面积的求解 例 2 (1)求由曲线 y x，y2x，y1 3x 所围成的图形的面积 解 画出图形，如图所示 解方程组 y x， xy2， y x， y1 3x 及 xy2， y1 3x， 得交点坐标分别为(
4、1,1)，(0,0)，(3，1)， 所以 S10 x 1 3x dx 31 2x 1 3x dx 10 x1 3x dx 3 1 2x1 3x dx 3 21 2 0 21 | 36 xx 2x1 2x 21 6x 23 1 2 3 1 6 2x1 3x 23 1 5 66 1 392 1 3 13 6 . (2)由抛物线 y28x (y0)与直线 xy60 及 y0 所围成图形的面积为_ 答案 40 3 解析 由题意，如图所示， 由 y28xy0， xy60， 得 x2， y4， 所以抛物线 y28x(y0)与直线 xy60 的交点坐标为(2,4) 方法一 (选 y 为积分变量) S40 6
5、y1 8y 2 dy 6y1 2y 21 24y 34 0 248 1 2464 40 3 . 方法二 (选 x 为积分变量) S20( 8x)dx62(6x)dx 82 3x 3 2 |20 6x1 2x 26 2 16 3 661 26 2 621 22 2 40 3 . 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形， 一定要确定图形范围， 通过解方程组求出 交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较烦琐，则积分变量可选 y，同时要 更换积分上、下限 跟踪训练 2 如图，阴影部分由曲线 y1 x，y 2x 与直线 x2，y0 所围成，则其面积为 _ 答案 2 3ln 2 解析 解
6、方程组 y1 x， y2x， 得 x1， y1. 所以 S10 xdx211 xdx 2 3x 3 2 |10ln x|21 2 3ln 2. 类型二 定积分的综合应用 例 3 在曲线 yx2(x0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 1 12， 试 求：切点 A 的坐标以及在切点 A 处的切线方程 解 如图，设切点 A(x0，y0)， 其中 x00， 由 y2x，得过点 A 的切线方程为 yy02x0(xx0)， 即 y2x0 xx20， 令 y0，得 xx0 2，即 C x0 2，0 ， 设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S， 则 SS曲边AO
7、BSABC， S曲边AOB 0 2 0 d x xx 1 3x 3 0 0 |x1 3x 3 0， SABC1 2|BC| |AB| 1 2 x0 x0 2 x201 4x 3 0 S1 3x 3 01 4x 3 0 1 12x 3 0 1 12. x01， 从而切点为 A(1,1)，切线方程为 2xy10. 反思与感悟 定积分的综合应用问题综合考查了导数的意义以及定积分等知识， 运用待定系 数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平 面几何的性质求出所围成的平面图形的面积， 根据条件建立方程求解， 从而使问题得以解决 跟踪训练3 如图所示， 直线ykx分
8、抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分， 求 k 的值 解 抛物线 yxx2与 x 轴两交点的横坐标为 x10，x21， 所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 S10(xx2)dx x2 2 1 3x 31 01 6. 由 yxx2， ykx， 可得抛物线 yxx2与 ykx 两交点的横坐标为 x30，x41k， 所以，S 2 1k 0 (xx2kx)dx 1k 2 x21 3x 31k 0 1 6(1k) 3. 又因为 S1 6，所以(1k) 31 2， 于是 k1 3 1 21 3 4 2 . 1在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( ) Sabf(x)g(x)dx
9、S80(2 2x2x8)dx S41f(x)dx74f(x)dx Sa0g(x)f(x)dxbaf(x)g(x)dx A B C D 答案 D 解析 应是 Sbaf(x)g(x)dx，应是 S802 2xdx84(2x8)dx，和正确，故选 D. 2曲线 ycos x 0 x3 2 与坐标轴所围成图形的面积是( ) A2 B3 C.5 2 D4 答案 B 解析 3 22 0 2 cos dcos dSx xx x 22 0 2 sin |sin |xx sin 2sin 0sin 3 2 sin 2101 13. 3曲线 yex，ye x 及 x1 所围成的图形的面积为_ 答案 e1 e2 解
10、析 如图，所围成的图形的面积为 10(exe x)dx(exex)|1 0 ee 12e1 e2. 4设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a_. 答案 4 9 解析 由题意可知 a0 xdxa2， 又 2 3x 3 2 x，2 3x 3 2 |a0a2， 即2 3a 3 2 a2，a4 9. 5求由抛物线 yx21，直线 x2，y0 所围成的图形的面积 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积 由 x210，得抛物线与 x 轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为 S11|x21|dx21(x21)dx 11(1x2)dx21(x21)dx xx 3 3 1 1 x3 3x 2 1 11 3 11 3 1 32 32 1 31 8 3. 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标 (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了 注意区别定积分与利用定 积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的
