1、 3.3 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 最新考纲 考情考向分析 1.了解定积分的实际背景， 了解定积分的基本 思想，了解定积分的概念 2.了解微积分基本定理的含义. 利用定积分求平面图形的面积，定 积分的计算是高考考查的重点. 1定积分的概念 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等 分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式 n i1f(i)x n i1 ba n f(i)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上 的定积分，记作 b af(x)dx，即
2、 b af(x)dxlim n n i1 ba n f(i) 在 b af(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做 被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式 2定积分的性质 (1) b akf(x)dxk b af(x)dx(k 为常数)； (2) b af1(x) f2(x)dx b af1(x)dx b af2(x)dx； (3) b af(x)dx c af(x)dx b cf(x)dx(其中 ac0.( ) (3)若 b af(x)dx0， 那么由 yf(x)， xa， xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方
3、( ) (4)曲线 yx2与 yx 所围成图形的面积是 1 0(x 2x)dx.( ) 题组二 教材改编 2P66A 组 T14 e1 2 1 x1dx_. 答案 1 解析 e1 2 1 x1dxln(x1)| e1 2 ln eln 11. 3P55A 组 T1 0 11x2dx_. 答案 4 解析 0 11x2dx 表示由直线 x0，x1，y0 以及曲线 y 1x2所围成的图形的面 积， 0 11x2dx 4. 4P60A 组 T6 汽车以 v(3t2)m/s 作变速直线运动时， 在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的位移是_ m. 答案 13 2 解析 s 2 1(3t2)d
4、t 22 1 3 (2 )| 2 tt 3 244 3 22 10 7 2 13 2 (m) 题组三 易错自纠 5直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A2 2 B4 2 C2 D4 答案 D 解析 如图，y4x 与 yx3的交点为 A(2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积 S阴 2 0(4xx 3)dx 242 0 1 (2)| 4 xx 81 42 44，故选 D. 6若 T 0x 2dx9，则常数 T 的值为_ 答案 3 解析 T 0x 2dx1 3x 3|T 01 3T 39，T3. 7已知 f(x) x2，1x0， 1，0x1， 则 1 1f(x)
5、dx 的值为_ 答案 4 3 解析 1 1f(x)dx 0 1x2dx 1 01dx 3 01 10 | 3 x x 1 31 4 3. 题型一题型一 定积分的计算定积分的计算 1(2018 唐山调研)定积分 1 1(x2sin x)dx_. 答案 2 3 解析 1 1(x2sin x)dx 1 1x2dx 1 1sin xdx 2 1 0x 2dx2 3 1 0 | 3 x 2 3. 2 1 1e|x|dx 的值为( ) A2 B2e C2e2 D2e2 答案 C 解析 1 1e|x|dx 0 1e xdx1 0e xdx e x|0 1ex|10e0(e)(ee0) 1ee12e2，故选
6、C. 3(2017 昆明检测)设 f(x) x2，x0，1， 2x，x1，2， 则 2 0f(x)dx 等于( ) A.3 4 B.4 5 C.5 6 D不存在 答案 C 解析 如图， 2 0f(x)dx 1 0x 2dx2 1(2x)dx 3 122 01 11 |(2)| 32 xxx 1 3 4221 2 5 6. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分 (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分 题型二题型二 定积分的几何意义定积分
7、的几何意义 命题点 1 利用定积分的几何意义计算定积分 典例 (1)计算： 3 1 32xx2 dx_. (2)若 m 2x22x dx 4，则 m_. 答案 (1) (2)1 解析 (1)由定积分的几何意义知， 3 1 32xx2 dx 表示圆(x1)2y24 和 x1，x3，y 0 围成的图形的面积， 3 1 32xx2dx1 44. (2)根据定积分的几何意义 m 2x22x dx 表示圆(x1)2y21 和直线 x2，xm 和 y 0 围成的图形的面积，又 m 2x22x dx 4为四分之一圆的面积，结合图形知 m1. 命题点 2 求平面图形的面积 典例 (2017 青岛月考)由曲线
8、xy1，直线 yx，y3 所围成的封闭平面图形的面积为 _ 答案 4ln 3 解析 由 xy1，y3，可得 A 1 3，3 . 由 xy1，yx，可得 B(1,1)，由 yx，y3，得 C(3,3)，由曲线 xy1，直线 yx，y3 所 围成图形的面积为 1 1 3 1 (3)dx x 3 1(3x)dx 1 1 3 (3ln )|xx 23 1 1 (3)| 2 xx(31ln 3) 99 23 1 2 4ln 3. 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分 (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； 借助图形确定出被积函数，求出交点
9、坐标，确定积分的上、下限； 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 计算定积分，写出答案 跟踪训练 (1)定积分 3 0 9x2dx 的值为_ 答案 9 4 解析 由定积分的几何意义知， 3 0 9x2dx 是由曲线 y 9x2，直线 x0，x3，y0 围 成的封闭图形的面积故 3 0 9x2dx3 2 4 9 4 . (2)如图所示，由抛物线 yx24x3 及其在点 A(0，3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形 的面积为_ 答案 9 4 解析 由 yx24x3， 得 y2x4.易知抛物线在点 A 处的切线斜率 k1y|x04， 在点 B 处的切线斜率 k2y|x32.因此，抛物线在点
10、A 处的切线方程为 y4x3，在点 B 处的切线方程为 y2x6. 两切线交于点 M 3 2，3 . 因此，由题图可知所求的图形的面积是 S 3 3 22 2 3 0 2 (43)(43)d( 26)(43)dxxxxxxxx 3 3 22 2 3 0 2 d(69)dxxxxx 3 3323 2 03 2 11 |(39 )| 33 xxxx 9 8 9 8 9 4. 题型三题型三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 典例 一物体作变速直线运动， 其 vt 曲线如图所示， 则该物体在1 2 s 6 s 间的运动路程为_ m. 答案 49 4 解析 由题图可知，v(t) 2t，0t1，
11、2，1t3， 1 3t1，3t6. 由变速直线运动的路程公式，可得 61 11 22 ( )d2 dsttt x v 3 12dt 6 3 1 3t1 dt 2 1326 113 2 1 |2 |()| 6 tttt49 4 (m) 所以物体在1 2 s6 s 间的运动路程是 49 4 m. 思维升华 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s b av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 W b aF(x)dx. 跟踪训练 一物体在变力 F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30 方 向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，F(x)做的功为( ) A. 3 J B.2 3 3 J C.4 3 3 J D2 3 J 答案 C 解析 2 1F(x)cos 30 dx 2 1 3 2 (5x2)dx 32 1 13 (5)| 32 xx4 3 3， F(x)做的功为4 3 3 J.
